Sự tồn tại điểm bất động trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH …………………………………. NGUYỄN TIẾN TUẦN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH …………………………………. NGUYỄN TIẾN TUẦN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 Cán bộ hướng dẫn khoa học PGS.TS. ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2014 3 Không gian mêtric và lý thuyết điểm bất động là đối tượng nghiên cứu quan trọng của giải tích, nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi cũng như trong nhiều ngành khoa học ứng dụng khác. Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong đó phải kể đến nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). Với việc chỉ ra sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp hội tụ về điểm bất động đó, nguyên lý ánh xạ co Banach đã được vận dụng rất phổ biến và thành công trong việc chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực của giải tích. Có nhiều hướng nghiên cứu, tìm cách mở rộng khái niệm không gian mêtric thành các lớp không gian tổng quát hơn hoặc các lớp không gian có cấu trúc tương tự, đồng thời các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian mêtric cũng được nghiên cứu phong phú cho nhiều loại ánh xạ trên nhiều lớp không gian khác nhau. Huang và Zhang ( 3 )   đã mở rộng khái niệm không gian mêtric bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa mêtric bởi không gian Banach có thứ tự và đã đưa ra khái niệm không gian mêtric nón. Cũng tương tự như đối với không gian mêtric nón, có thể đưa ra khái niệm không gian giả mêtric nón bằng cách thay giả thiết hàm giả mêtric nhận giá trị trong tập các số thực không âm bởi nhận giá trị trong nón định hướng trong không gian Banach. Với cách làm này, trong 1   ,Lê Thị Dung đã giới thiệu khái niệm không gian giả mêtric nón và chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian giả mêtric nón. 4 Trong lý thuyết điểm bất động, vấn đề tìm điều kiện đủ để cho các ánh xạ xác định trên các không gian có trang bị thứ tự, có điểm bất động cũng được nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu Xem [4]; [5] . Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu này nhằm tìm hiểu các tính chất của không gian giả mêtric nón, tìm các điều kiện để cho các ánh xạ co suy rộng có điểm bất động trên các không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận. Vì thế, chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Về sự tồn tại điểm bất động trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận”. Với mục đích đó, luận văn chia làm hai chương. Chương I. Không gian giả mêtric nón Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian giả mêtric nón. Chương II. Sự tồn tại điểm bất động trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận Chương này là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương này đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và co suy rộng trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận. Phần thứ hai đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ tăng yếu trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận. Các kết quả trong Chương II là mới, đó là sự mở rộng một số kết quả đã có trong không gian mêtric hoặc không gian mêtric nón cho không gian giả mêtric nón. 5 Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau đại học, Ban Chủ Nhiệm Khoa sư phạm Toán – Trường Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ về chuyên môn cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành tốt luận văn. Vinh, tháng 5 năm 2014 Tác giả 6 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn. Các kết quả này được lấy từ 2   và 3   . 1.1.1. Định nghĩa. Cho tập hợp . Họ  các tập con của  được gọi là tôpô trên  nếu thỏa mãn điều kiện (T 1 ) ,  ; (T 2 ) Nếu  i  ,       i  ; (T 3 ) Nếu  1 , 2   thì  1   2  . Tập hợp  cùng với tôpô  trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là (,hoặc. Các phần tử của  được gọi là điểm trong không gian tôpô. Các phần tử thuộc được gọi là tập mở. Giả sử   . Tập  được gọi là tập đóng nếu \ là tập mở. 1.1.2. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X, tập con A của  được gọi là lân cận của điểm    nếu tồn tại tập mở    sao cho    A. Cho không gian tôpô ,   , () là họ tất cả các lân cận tại . Họ  ()      được gọi là cơ sở lân cận của  nếu với mọi    tồn tại    sao cho   . 1.1.3. Định nghĩa. Dãy{ n }trong không gian tôpô  được gọi là hội tụ tới   nếu với mỗi lân cận  của  tồn tại  0  cho  n  với mọi    0 . 7 Khi đó, ta viết n xx hoặc lim n x xx   . 1.1.4. Định nghĩa. Không gian tôpô  được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm  có một cơ sở lân cận () có lực lượng đếm được. Không gian tôpô  được gọi là 1 T – không gian nếu với mọi ,   ,    tồn tại lân cận  của  và lân cận  của  sao cho    và   . Không gian tôpô của  được gọi là 2 T –không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm bất kỳ ,     tồn tại các lân cận tương ứng , xy UU của  sao cho UU xy    . Nếu  là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong  mà hội tụ thì hội tụ tới một điểm duy nhất. 1.1.5. Định nghĩa. Giả sử ,XY là hai không gian tôpô và : XYf  . Ánh xạ f được gọi là liên tục tại xX nếu với mỗi lân cận V của ()fx , tồn tại lân cận U của  sao cho ()f U V . Ánh xạ f được gọi là liên tục trên  nói gọn là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của . 1.1.6. Định lý. Giả sử  và  là các không gian tôpô f :   . Khi đó các điều kiện sau đây tương đương i) f liên tục trên ; ii) Nếu  là tập mở trong  thì 1 f  () mở trong ; iii) Nếu  là tập đóng trong  thì 1 f  () đóng trong . 1.1.7. Định nghĩa: Giả sử  là các tập khác rỗng và :d X X R . Hàm  được gọi là một mêtric trên  nếu các điều kiện sau được thỏa mãn i) 0  với mọi   X và = 0 khi và chỉ khi  ; ii)          với mọi  X  ; iii)               với mọi   X . 8 Tập  cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian metric và ký hiệu là ( , )X d hoặc . 1.1.8. Định nghĩa. Giả sử  là các tập khác rỗng và ánh xạ :d X X R    được gọi là giả khoảng cách hay giả mêtric trên X nếu d thỏa mãn 3 tiên đề sau đây với bất kỳ  thuộc vào X i) 0        nếu   ; ii)          ; iii)                Tập X cùng với giả khoảng cách d được gọi là không gian giả mêtric và ký hiệu là ( , )Xd . 1.1.9. Định nghĩa. Giả sử  là không gian vectơ trên trường  =  hoặc  = C . Hàm :    thỏa mãn các điều kiện i)  (x)  0   và      khi và chỉ khi   ; ii)               ; iii)                   được gọi là một chuẩn trên không gian vectơ . Số     được gọi là chuẩn của vectơ  . Ta thường ký hiệu chuẩn của  là   . Không gian vectơ  cùng với chuẩn xác định trên nó được gọi là một không gian định chuẩn. 1.1.10. Mệnh đề. Nếu  là không gian định chuẩn thì công thức           9 xác định một mêtric trên . Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn. 1.1.11. Định nghĩa. Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh bởi chuẩn thì được gọi là một không gian Banach. 1.1.12. Định lý. Nếu  là không gian định chuẩn thì ánh xạ chuẩn    x  ; phép cộng: (          và phép nhân với vô hướng:         là các ánh xạ liên tục. 1.1.13. Định lý. Giả sử  là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi   và mỗi  ,  các ánh xạ   ,    xE là các phép đồng phôi  lên . 1.2. Nón trong không gian Banach Mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian Banach 1.2.1. Định nghĩa ([4]). Cho  là không gian Banach trên trường số thực . Tập con  của  được gọi là một nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau i)  là tập đóng ,   và      ii) Với mọi    mọi   ta có     iii) Nếu    và   thì  . 10 1.2.2. Ví dụ ([4]). 1. Trong không gian các số thực với chuẩn thông thường, tập =         là một nón. 2. Giả sử  =  2 , ={(      2 . Khi đó,  thỏa mãn ba điều kiện i)  là tập đóng ,  ≠ Ø và  ≠ {0}; ii) Với mọi (, (  , mọi   , 0 ta có  (  (   iii) Với (  P và (  ta có (= (0,0) . Vậy  là một nón trên E . 3. Giả sử C [a,b] là tất cả các hàm số nhận giá trị thực, liên tục trên    . Ta đã biết C [a,b] là không gian Banach với chuẩn , sup ( ) x a b f f x       C [a,b] . Trên C [a,b] có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường  được xác định bởi  C [a,b]                 Đặt      [a,b] : 0  } Khi đóthỏa mãn ba điều kiện i)  là tập đóng,        ; ii)Với mọi  , 0 và với mọi  ta có          với mọi      Do đó     iii)Với   và  ta có    Vập  là một nón trên . Cho  là một nón trong không gian Banach . Khi đó, trên  xét quan hệ thứ tự xác định bởi  như sau  nếu và chỉ nếu     Chúng ta quy ước   nếu   và   còn    nếu     với  là phần trong của . [...]... Mặt có thứ tự bộ phận và cũng được kí hiệu bởi 2.1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và tựa co theo thứ tự trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và tựa co theo thứ tự trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận 2.1.1 Định nghĩa Giả sử Điểm được gọi là điểm bất động của nếu... Từ bất đẳng thức tam giác suy ra 20 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( và Do đó ( (  21 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Trong chương này, ta giả thiết ( là không gian giả mêtric nón với giả nhận giá trị trong nón , trong đó mêtric nón thực và là nón trong không gian Banach là hai thứ tự bộ phận trên khác, ta cũng giả thiết rằng, trên được xác định bởi Mặt có thứ. .. nên theo Bổ đề 1.2.6.ix) ta có ( Vậy ( là điểm bất động  của 2.2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểu Hardy – Rogers trong không gian giả mêtric nón Trong mục này, chúng ta sẽ đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung của các ánh xạ co kiểu Hardy–Rogers trong không gian giả mêtric nón 2.2.1 Định lý Giả sử ( là không gian giả mêtric nón đầy đủ và ánh xạ thỏa... nghĩa Ánh xạ  là điểm bất động của [ 2.1.5 Chú ý Trong Định lý 2.1.4, nếu lấy , trong đó    0,  sao cho 2 ( với mọi { ( mà ( ( ( ( } 2.1.7 Định lý Giả sử ( là không gian giả mêtric nón đầy đủ, là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện (i) f tựa co theo thứ tự; (ii) f không giảm và tồn tại sao cho ; (iii) f liên tục hoặc (iii’) Nếu { } là dãy không giảm trong X, Khi đó, f có điểm bất động trong X 26 thì... là giả mêtric trên thì ( | là mêtric nón trên Như vậy, không gian mêtric nón là trường hợp đặc biệt của không gian giả mêtric nón 2 )Trong ví dụ trên không phải là mêtric nón trên ( ( khả tích trên [ ∫ | ( 3) Trong vậy lấy và với 1neáu a  x  b 0neáu x  b  ( Khi đó ] Thật [ [ ], nghĩa là ( | ] và ] [ nhưng Rõ ràng như trong Ví dụ 1) thì ta thấy rằng mọi không gian giả xét nón mêtric là giả. .. ánh 2.2.4 Định nghĩa Giả sử Cặp ( Điểm là tập có thứ tự bộ phận, được gọi là tăng yếu nếu ( và là hai ánh xạ từ và với mọi được gọi là điểm bất động chung của ( vào nếu ( Sau đây, chúng ta sẽ đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ tăng yếu 2.2.5 Định lý Giả sử ( là không gian giả mêtric nón đầy đủ, và cặp ánh xạ tăng yếu sao cho tồn tại các hằng số không âm thỏa mãn ,... Ánh xạ được gọi là co theo thứ tự nếu tồn tại ( [ sao cho ( Từ Mệnh đề 1.3.8 suy ra Bổ đề sau 2.1.2 Bổ đề Cho các không gian giả mêtric nón ( rỗng { Hàm } sao cho 2.1.3 Định lý Giả sử ( liên tục tại điểm thì ( ( ,( và tập hợp không khi và chỉ khi với mọi dãy là không gian giả mêtric nón đầy đủ và ánh xạ thỏa mãn các điều kiện (i) là co theo thứ tự; (ii) không giảm và tồn tại (iii) liên tục hoặc sao... của Vậy là không gian giả mêtric nón đầy đủ,  và là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện (i) là hàm không giảm; (ii) là hàm không giảm và tồn tại (iii) ( (iv) ( sao cho ( ; ; liên tục hoặc (iv’) Nếu { }là dãy không giảm trong và thì với mọi n Khi đó, f có điểm bất động trong X Chứng minh Ta xác định dãy { Khi đó, từ và } trong bởi là hàm không giảm, suy ra Do đó, theo điều kiện (iii) ta có ( ( ( ( Với... lân cận tại điểm a, do đó X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất Chứng minh Giả sử sao cho ( Vì là lân cận bất kỳ của điểm Khi đó, tồn tại khi và 19 nên Bổ đề 1.2.7, suy ra tồn tại ( Do đó, sao cho ( ) Suy ra là cơ sở lân cận tại điểm Hiển nhiên là tập đếm được Do đó là không gian thỏa mãn tiên đề đếm  được thứ nhất 1.3.9 Mệnh đề Giả sử ( { ( Đặt là không gian giả mêtric nón và }... )  g ( x) L[a,b] là giả mêtric nón trên L[a,b] và do đó L[a,b] là không gian giả mêtric nón Chứng minh Đặt ) Khi đó, = [0, số thực Hơn nữa thứ tự bộ phận trên là nón trong không gian Banach các được xác định bởi chính là thứ tự nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên Rõ ràng ( ] [ ( ( Giả sử ∫| ( nếu [ ] ( | và ( ( với mọi Ta có ∫| ( 15 ( ( ( | ∫| ( Vậy ( | là giả mêtric nón trên Chú ý 1) Nếu kéo theo . kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và co suy rộng trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận. Phần thứ hai đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung. yếu trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận. Các kết quả trong Chương II là mới, đó là sự mở rộng một số kết quả đã có trong không gian mêtric hoặc không gian mêtric nón cho không gian. luận văn là: “Về sự tồn tại điểm bất động trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận . Với mục đích đó, luận văn chia làm hai chương. Chương I. Không gian giả mêtric nón Chương này