Sự tồn tại các điểm giả bất động, giả bất động chung trong không gian giả mêtric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH TIẾN DŨNG SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG, GIẢ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH TIẾN DŨNG SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG, GIẢ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1 1 KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN 4 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Nón trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN 19 2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ co trong không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Sự tồn tại điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích hàm, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết xác suất, các bao hàm thức vi phân và trong vật lí. Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). Sau đó, người ta đã mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian khác nhau. Vào năm 2007, H. Long - Guang và Z. Xian [6] bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa mêtric bởi một không gian Banach có thứ tự và đã thu được lớp các không gian rộng hơn lớp các không gian mêtric đó là lớp các không gian mêtric nón. Một số tính chất tôpô và một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric nón đầy đủ cũng đã được chứng minh. Với mức độ ngày càng tổng quát hơn, vấn đề về sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung trong không gian mêtric nón đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả ([6, 7, 8, 10]). Vào năm 2013, dựa vào khái niệm không gian giả mêtric và không gian mêtric nón, bằng cách thay giả thiết hàm giả mêtric nhận giá trị trong tập số thực không âm bởi nhận giá trị trong một nón định hướng trong không gian Banach, Lê Thị Dung [1] đã đưa ra khái niệm không gian giả mêtric nón đồng thời chứng minh được một số kết quả về sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ co và ánh xạ co suy rộng trong không gian này. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tổng quát hóa một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động từ không gian mêtric và không gian mêtric nón đầy đủ sang không gian giả mêtric nón đầy đủ. Sau đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại điểm giả bất động chung của hai cặp ánh xạ tương thích yếu trong không gian giả mêtric nón. Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương. 1 Chương 1. Không gian giả mêtric nón Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của tôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đến nội dung của luận văn. Trình bày khái niệm, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không gian Banach. Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm, ví dụ về không gian giả mêtric nón và một số tính chất tôpô của không gian giả mêtric nón mà chúng cần dùng trong chương 2. Chương 2. Một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động trong không gian giả mêtric nón Chương này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ co, điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian giả mêtric nón. Đầu tiên, chúng tôi chứng minh kết quả tương tự như Định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ liên tục, dãy ánh xạ liên tục hội tụ đều trong không gian mêtric nón đầy đủ vẫn đúng trong không gian giả mêtric nón đầy đủ. Sau đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh một định lý về sự tồn tại điểm giả bất động chung của hai cặp ánh xạ tương thích yếu trong không gian giả mêtric nón cùng một số hệ quả và chỉ ra một số kết quả trong [5, 9] được suy ra từ các kết quả của chúng tôi. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Vinh. Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích - Khoa Toán- Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học giải tích - K20 đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. 2 Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Thành phố Vinh, tháng 06 năm 2014 Tác giả 3 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của tôpô đại cương, giải tích hàm, nón trong không gian Banach, không gian giả mêtric nón và một số tính chất tôpô của không gian giả mêtric nón cần dùng trong luận văn. 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm cơ bản của tôpô đại cương và giải tích hàm. Các kết quả này được lấy từ [1] và [2]. 1.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp X. Họ T các tập con của X được gọi là tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện i) ∅ ∈ T và X ∈ T ; ii) Nếu G i ∈ T , i ∈ I thì  i∈I G i ∈ T ; iii) Nếu G 1 , G 2 ∈ T thì G 1 ∩ G 2 ∈ T . Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là (X, T ) hoặc X. Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô. Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở. Giả sử E ⊂ X. Tập E được gọi là tập đóng nếu X \ E là tập mở. 1.1.2 Định nghĩa. Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A. Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) là họ tất cả các lân cận tại x. Họ B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận của x nếu với mọi U ∈ U(x) tồn tại V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U. 4 Cho không gian tôpô X, A là tập con của X. Tập mở lớn nhất chứa trong A được gọi là phần trong của A. Ký hiệu intA. 1.1.3 Định nghĩa. Dãy {x n } trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n 0 ∈ N sao cho x n ∈ U với mọi n ≥ n 0 . Khi đó, ta viết x n → x hoặc lim n→∞ x n = x. 1.1.4 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) có lực lượng đếm được. Không gian tôpô X được gọi là T 1 − không gian nếu với mọi x, y ∈ X, x = y tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho y /∈ U và x /∈ V . 1.1.5 Định nghĩa. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y. Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f(x), tồn tại lân cận U của x sao cho f(U) ⊂ V . Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X. 1.1.6 Định lý. Giả sử X và Y là các không gian tôpô, f : X → Y. Khi đó, các điều kiện sau đây tương đương 1) f liên tục trên X; 2) Nếu E là tập mở trong Y thì f −1 (E) mở trong X; 3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f −1 (E) đóng trong X. 1.1.7 Định nghĩa. Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X → R. Hàm d được gọi là một mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn i) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X; iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X. Tập X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu là (X, d) hoặc X. 1.1.8 Định nghĩa. Cho tập X khác rỗng và ánh xạ d :X × X → R (x, y) −→ d(x, y). Khi đó, ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách hay là giả mêtric trên X nếu d thỏa mãn 3 tiên đề sau đây với bất kỳ x, y, z thuộc X. 5 i) 0 ≤ d(x, y) và nếu x = y thì d(x, y) = 0; ii) d(x, y) = d(y, x); iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Tập X cùng với giả khoảng cách d được gọi là không gian giả mêtric và ký hiệu là (X, d). 1.1.9 Định nghĩa. Giả sử E là không gian vectơ trên trường K = R hoặc K = C. Hàm p : E → R thỏa mãn các điều kiện i) p(x) ≥ 0 ∀x ∈ E và p(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0; ii) p(λx) = |λ|p(x) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K; iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E. được gọi là chuẩn trên không gian vectơ E. Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x ∈ E. Ta thường ký hiệu chuẩn của x là x. Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là không gian định chuẩn. 1.1.10 Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức d(x, y) = x − y ∀x, y ∈ E xác định một mêtric trên E. Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn. 1.1.11 Định nghĩa. Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh bởi chuẩn thì được gọi là không gian Banach. 1.1.12 Định lý. Nếu E là không gian định chuẩn thì các ánh xạ x −→ x, ∀x ∈ E, (x, y) −→ x + y, ∀(x, y) ∈ E × E, (λ, x) −→ λx, ∀(λ, x) ∈ K × E là các ánh xạ liên tục. 1.1.13 Định lý. Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi a ∈ E và mỗi λ ∈ K, λ = 0 các ánh xạ x −→ x + a, ∀x ∈ E, x −→ λx, ∀x ∈ E là phép đồng phôi từ E lên E. 6 1.1.14 Định nghĩa. Cho tập hợp X và ≤ là một quan hệ hai ngôi trên X. Quan hệ ≤ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau i) x ≤ x với mọi x ∈ X; ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X; iii) x ≤ y; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z ∈ X. Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận và ký hiệu (X, ≤) hoặc X. 1.1.15 Định nghĩa. Giả sử "≤" là một quan hệ hai ngôi trên X và A ⊆ X. a) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu a ≤ x (tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a ∈ A. b) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng) của A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x). Khi đó, ta kí hiệu x = sup A (tương ứng x = inf A). 1.2 Nón trong không gian Banach Mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian Banach. 1.2.1 Định nghĩa ([6]). Cho E là không gian Banach trên trường số thực R. Tập con P của E được gọi là nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau i) P là tập đóng, P = ∅ và P = {0}; ii) Với mọi x, y ∈ P, mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0 ta có ax + by ∈ P; iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0. 1.2.2 Ví dụ ([6]). 1) Trong không gian các số thực R với chuẩn thông thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón. 2) Giả sử E = R 2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R 2 . Khi đó, P thỏa mãn ba điều kiện: i) P là tập đóng, P = ∅ và P = {0}; ii) Với mọi (x, y), (u, v) ∈ P và mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0, ta có a(x, y) + b(u, v) ∈ P ; iii) Với (x, y) ∈ P và (−x, −y) ∈ P ta có (x, y) = (0, 0). Vậy, P là một nón trên E. 7 [...]... = 0 Vậy, điểm giả bất động của f là duy nhất 25 2.2 Sự tồn tại điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian giả mêtric nón Trong mục này, sẽ đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian giả mêtric nón 2.2.1 Định nghĩa Trong không gian giả mêtric nón (X, d), giả sử f, g là hai ánh xạ từ X vào X Khi đó, Điểm x ∈... không gian giả mêtric nón cùng các hệ quả của nó 2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ co trong không gian giả mêtric nón Trong mục này, ta sẽ chứng minh một số tính chất của ánh xạ liên tục, nguyên lý ánh xạ co và các định lý về điểm giả bất động của ánh xạ co trong không gian giả mêtric nón Các kết quả này có được bằng cách tổng quát từ những kết quả trong không gian mêtric nón và không gian. .. bất đẳng thức tam giác suy ra d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) = d(a, b) và d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, y) + d(y, b) = d(x, y) Do đó d(a, b) = d(x, y) 18 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN Chương này trình bày một số tính chất của ánh xạ liên tục, điểm giả bất động của ánh xạ co và điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không. .. Định nghĩa Giả sử f và {fn } là dãy các ánh xạ từ không gian giả mêtric nón X vào không gian giả mêtric nón Y Ta nói {fn } hội tụ đều tới f trên X nếu với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc , sao cho với mọi n ≥ nc và với mọi x ∈ X ta có d(fn x, f x) c 2.1.10 Định lý Giả sử X là không gian giả mêtric nón đầy đủ, F : X → X Cho Fn : X → X là dãy các ánh xạ liên tục sao cho mỗi Fn có điểm giả bất động là... trong không gian mêtric nón và không gian giả mêtric Trong các định lý sau, ta giả sử các giả mêtric nón nhận giá trị trong nón P , trong đó P là nón trong không gian Banach thực E, intP = ∅, ≤ và là hai thứ tự trên E được xác định bởi P 2.1.1 Định lý ([1]) Cho các không gian giả mêtric nón (X, d), (Y, d) và tập hợp không rỗng E ⊂ X Hàm f : E → Y liên tục tại điểm x0 ∈ E khi và chỉ khi với mọi dãy {xn... B và S là các ánh xạ bảo tồn khoảng cách không Khi đó, A, B và S có điểm giả bất động chung Hơn nữa, nếu y và z là hai điểm giả bất động chung của A, B và S thì d(y,z)=0 Trong Hệ quả 2.2.3, lấy S : X → X là ánh xạ đồng nhất (Sx = x, ∀x ∈ X) ta được hệ quả sau 30 2.2.4 Hệ quả Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón và A, B là các ánh xạ từ X vào X thỏa mãn các điều kiện sau i) Một trong các tập A(X),... v) A và S là các ánh xạ bảo tồn khoảng cách không Khi đó, A và S có điểm giả bất động chung Hơn nữa, nếu y và z là hai điểm giả bất động chung của A và S thì d(y, z) = 0 Trong Định lý 2.2.2, thay T bởi S ta được hệ quả sau 31 2.2.6 Hệ quả Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón và A, B, S là các ánh xạ từ X vào X thỏa mãn các điều kiện sau i) A(X) ⊂ S(X), B(X) ⊂ S(X) ii) Một trong các tập A(X),... d thỏa mãn các điều kiện của Định nghĩa 1.3.1, tức d là giả mêtric nón trên X Ta thấy rằng d không là mêtric nón Thật vậy, nếu ta xét các hàm f, g ∈ X với f (x) = x, g(x) = x + 1 với mọi x ∈ [a, b] thì f = g nhưng d(f, g) = 0 Từ đây về sau, ta giả thiết (X, d) là không gian giả mêtric nón với d nhận giá trị trong nón P 1.3.3 Định nghĩa ([1]) Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, với bất kỳ a ∈... khoảng cách nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón và được kí hiệu là (X, d) hoặc X 1.3 Không gian giả mêtric nón Từ đây về sau, ta quy ước P là một nón trong không gian Banach thực E sao cho intP = ∅, ≤, là các thứ tự trên E được xác định bởi P 1.3.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là tập khác rỗng và d: X ×X →P (x, y) −→ d(x, y) Khi đó, ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách nón hay là giả mêtric nón. .. thuẫn với giả thiết của điều kiện đủ Do đó, f liên tục tại điểm x0 2.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho các không gian giả mêtric nón (X, d) và (Y, d) Ánh xạ f : X → Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 ≤ α < 1 sao cho d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y) ∀x, y ∈ X 2.1.3 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, điểm x0 ∈ X và f : X → X Điểm x0 được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f (x0 ) = x0 Điểm x0 . DŨNG SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG, GIẢ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH TIẾN DŨNG SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG,. gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN 19 2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của các. không gian giả mêtric nón và một số tính chất tôpô của không gian giả mêtric nón mà chúng cần dùng trong chương 2. Chương 2. Một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động trong không gian giả mêtric