LUẬN VĂN “Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric nón”.

Lý thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu. Người ta đã tìm thấy sự ứng dụng đa dạng của lý thuyết điểm bất động trong toán học và nhiều ngành kỹ thuật khác. Sự phát triển của lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn như Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani,… Kết quả quan trọng đầu tiên phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach (1992). Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian khác nhau. Một trong những hướng mở rộng đó là thay đổi điều kiện trong định nghĩa mêtric, từ đó thu được lớp không gian rộng hơn lớp không gian mêtric. Sau đó, người ta nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động trong lớp các không gian vừa định nghĩa,…

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN XUÂN LONG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NĨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Vinh - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN XUÂN LONG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NĨN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS ĐINH HUY HOÀNG Vinh - 2017 Mục lục Lời Mở đầu Chương1 Khơng gian b-mêtric nón 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Nón khơng gian Banach 1.3 Khơng gian b-mêtric nón 13 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón Chương2 17 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng không gian b-mêtric 17 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón 26 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Người ta tìm thấy ứng dụng đa dạng lý thuyết điểm bất động toán học nhiều ngành kỹ thuật khác Sự phát triển lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Kết quan trọng phải kể đến lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) Người ta mở rộng nguyên lý cho nhiều loại ánh xạ nhiều loại không gian khác Một hướng mở rộng thay đổi điều kiện định nghĩa mêtric, từ thu lớp khơng gian rộng lớp khơng gian mêtric Sau đó, người ta nghiên cứu tồn điểm bất động lớp không gian vừa định nghĩa, Năm 2007, nhà toán học Trung Quốc: Huang Long Guang Zhang Xian ([6]) thay giả thiết hàm mêtric nhận giá trị tập hợp số thực không âm nhận giá trị nón định hướng không gian Banach đưa khái niệm không gian mêtric nón Sau đó, nhiều nhà tốn học nghiên cứu đạt nhiều kết tồn điểm bất động khơng gian mêtric nón Những người thu nhiều kết theo hướng là: J S Ume, R A Stoltenbeg, C S Wong, H L Guang Z Xian, Khái niệm không gian b-mêtric đưa nghiên cứu S Czerwik [5] Trong [7], N Hussain cộng mở rộng lớp khơng gian b-mêtric mêtric nón cách đưa khái niệm khơng gian b-mêtric nón chứng minh số tính chất tơpơ tồn điểm bất động lớp không gian Năm 2013, M Kir H Kiziltunc [8] chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian b-mêtric Mới (2014), Z Mustaja cộng [9] mở rộng kết Kannan, Chatterjea, Choudhury [4] A Razani, Parvanneh [10] tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan, Chatterjea, T -co yếu suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea không gian mêtric cho không gian b-mêtric Một vấn đề đặt cách tự nhiên là, kết tương tự tồn điểm bất động không gian b-mêtric, đặc biệt kết Z Mustafa cộng [9] mở rộng cho khơng gian b-mêtric nón hay khơng? Để tập dượt nghiên cứu khoa học lĩnh hội lý thuyết điểm bất động, chúng tơi tìm hiểu, nghiên cứu tính chất khơng gian b-mêtric nón tồn điểm bất động không gian Vì chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu là: “Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón” Ngoài phần mở đầu phần kết luận luận văn gồm chương Chương luận văn trình bày số khái niệm tính chất khơng gian mêtric nón khơng gian b-mêtric nón Chương đưa vài kết tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng không gian b-mêtric không gian b-mêtric nón, Định lí 2.1.2, 2.2.1 Hệ hai định lí Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình PGS TS Đinh Huy Hồng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Trường Đại học Vinh Tác giả xin cảm ơn q Thầy giáo tổ Giải tích khoa Tốn - Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn học viên Cao học K23 - Chun ngành Tốn Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Nghệ An,tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Xn Long Chương Khơng gian b-mêtric nón Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric nón làm sở cho việc trình bày chương 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục, cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập hợp khác rỗng d : X × X → R Hàm d gọi mêtric X với x, y, z ∈ X thỏa mãn điều kiện sau: i) d(x, y) ≥ d(x, y) = x = y ; ii) d(x, y) = d(y, x); iii) d(x, z) ≤ d(y, x) + d(y, z) Tập X với mêtric d gọi khơng gian mêtric kí hiệu (X, d) hặc X 1.1.2 Định nghĩa ([5]) Giả sử X tập hợp khác rỗng số thực s ≥ Hàm d : X × X → [0, ∞) gọi b-mêtric với x, y, z ∈ X , ta có i) d(x, y) = ⇔ x = y ; ii) d(x, y) = d(y, x); iii) d(x, z) ≤ s[d(y, x) + d(y, z)] (bất đẳng thức tam giác) Tập X với b-mêtric gọi khơng gian b-mêtric với hệ số s, nói gọn khơng gian khơng gian b-mêtric kí hiệu (X, d) X 1.1.3 Chú ý 1) Từ sau, nói tới khơng gian b-mêtric ta ln hiểu hệ số s ≥ 2) Từ định nghĩa không gian mêtric không gian b-mêtric ta thấy rằng, không gian mêtric trường hợp đặc biệt khơng gian b-mêtric s = Ví dụ sau cho thấy rằng, lớp không gian b-mêtric thực rộng lớn lớp không gian mêtric 1.1.4 Ví dụ 1)([9]) Giả sử (X, ρ) khơng gian mêtric d : X × X → [0, ∞) hàm xác định d(x, y) = (ρ(x, y))2 , ∀x, y ∈ X Khi d b - mêtric với s = 2) Giả sử X = R R ta xét mêtric thơng thường Ta xác định hàm d : X × X → [0, ∞) d(x, y) = |x − y|2 , ∀x, y ∈ R Khi đó, d mêtric với s = (theo 1), d mêtric R d(1, −2) = > = d(1, 0) + d(0, −2) 1.1.5 Định nghĩa ([5]) Giả sử {xn } dãy không gian b-mêtric (X, d) Dãy {xn } gọi b-hội tụ (nói gọn hội tụ) tới x ∈ X kí hiệu xn → x limn→∞ xn = x với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 cho d(xn , x) < ε với n ≥ n0 Nói cách khác, xn → x d(xn , x) → n → ∞ Dãy {xn } gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 cho d(xn , xm ) < ε với n, m ≥ n0 Không gian b-mêtric gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ 1.1.6 Định nghĩa Giả sử E không gian véc tơ trường K = R K = C Hàm p : E → R gọi chuẩn E thỏa mãn điều kiện sau: i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E p(x) = x = 0; ii) p(λx) = |λ| p(x), ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ; iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E Số p(x) gọi chuẩn véctơ x ∈ E Ta thường kí hiệu chuẩn x x Không gian vectơ E với chuẩn xác định gọi không gian định chuẩn 1.1.7 Mệnh đề Nếu E khơng gian định chuẩn cơng thức d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E , xác định mêtric E Ta gọi mêtric mêtric sinh chuẩn hay mêtric chuẩn Một không gian định chuẩn không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh chuẩn gọi không gian Banach 1.1.8 Định lí Giả sử E khơng gian định chuẩn ánh xạ định chuẩn: x → x , ∀x ∈ E ; phép cộng: (x, y) → x + y , ∀(x, y) ∈ E × E ; phép nhân với vô hướng: (λ, x) → λx, ∀(λ, x) ∈ K × E ánh xạ liên tục 1.1.9 Định nghĩa Cho tập hợp X ≤ quan hệ hai X Quan hệ ≤ gọi quan hệ thứ tự phận X thỏa mãn điều kiện sau i) x ≤ x, với x ∈ X ; ii) x ≤ y y ≤ x suy x = y , với x, y ∈ X ; iii) x ≤ y y ≤ z suy x ≤ z , với x, y, z ∈ X Tập hợp X với thứ tự phận gọi tập thứ tự phận kí hiệu (X, ≤) X 1.1.10 Định nghĩa ([2]) Giả sử ” ≤” quan hệ hai X A ⊆ X i) Phần tử x ∈ X gọi cận (tương ứng cận dưới) A a ≤ x (tương ứng x ≤ a), với phần tử a ∈ A; ii) Phần tử x ∈ X gọi cận (tương ứng cận đúng) xủa A x cận (tương ứng cận dưới) A y cận (tương ứng cận dưới) A x ≤ y (tương ứng y ≤ x) Khi đó, ta kí hiệu x = sup A (tương ứng x = inf A) 1.2 Nón không gian Banach 1.2.1 Định nghĩa ([4]) Cho E không gian Banach trường số thực R Một tập P E gọi nón E (i) P đóng, P = ∅, P = {0}; (ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ x, y ∈ P ax + by ∈ P ; (iii) Nếu x ∈ P −x ∈ P x = 1.2.2 Ví dụ 1) Trong không gian Banach số thực R với chuẩn thông thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} nón 2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2 Khi P thỏa mãn ba điều kiện (i) P đóng, P = ∅, P = {0}; (ii) Với (x, y), (u, v) ∈ P với a, b ∈ R, a, b ≥ 0, ta có a(x, y) + b(u, v) ∈ P ; (iii) Với (x, y) ∈ P (−x, −y) ∈ P , ta có (x, y) = (0, 0) Do limn,m→∞ d(yn , ym ) = Như {yn } dãy Cauchy Vì (X, d) đầy đủ nên tồn y ∈ X cho yn → y , tức T f n x0 → y Khẳng định 1) chứng minh 2) Giả sử T ánh xạ hội tụ dãy Khi đó, {T f xn } = {yn+1 } dãy hội tụ nên tồn dãy {f xni } {f xn } cho f xni → x ∈ X , tức limni →∞ d(f xni , x) = Vì T liên tục nên T f xni → T x Mặt khác, T f xn → y {f xni } dãy {f xn } nên từ Bổ đề (1.3.5) suy T x = y Ta chứng minh x điểm bất động f Sử dụng điều kiện (2.1), ta có d(T f x, T x) ≤ sd(T f x, T f xn ) + sd(T f xn , T x) ≤ sd(yn+1 , y) + s2 α1 d(yn , y) + sα2 [d(yn , yn+1 ) + d(yn , T f x)] + s2 α3 [d(y, T f x) + d(yn , yn+1 )] − sϕ(d(y, yn ) ≤ s(1 + sα2 )d(yn+1 , y) + s2 α1 d(y, yn ) + s2 α2 [d(yn , y) + d(y, T f x)] + s2 α3 [d(y, T f x) + d(yn , yn+1 )] − sϕ(d(y, yn )) = s(1 + α2 )d(yn+1 , y) + s2 (α1 + α2 )d(y, yn ) + s2 (α2 + α3 )d(y, T f x) + s2 α3 d(yn , yn+1 ) − sϕ(d(y, yn ), ∀n = 1, 2, Cho n → ∞, ta d(y, T f x) ≤ s2 (α2 + α3 )d(y, T f x) Kết hợp với điều kiện (2.3) suy d(y, T f x) = 0, tức y = T f x hay T x = T f x Vì T đơn ánh nên x = f x Vậy x điểm bất động f Bây giờ, ta chứng minh x điểm bất động f Giả sử x điểm bất động f Khi đó, d(T x, T x ) = d(T f x, T f x ) ≤ α1 sd(T x, T x ) + α2 [d(T x, T x ) + d(T x, T x )] + α3 s[d(T x, T x) + d(T x , T x )] − ϕ(d(T x, T x )) = (sα1 + 2α2 )d(T x, T x ) − ϕ(d(T x, T x )) 21 Kết hợp với điều kiện (2.2) suy ϕ(d(T x, T x )) = Do d(T x, T x )) = nên T x = T x Vì T đơn ánh tức x = x 3) Giả sử T ánh xạ hội tụ dãy Khi đó, chứng minh 2), thay {f xni } {f xn }, ta có f xn → x 2.1.3 Hệ Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với số s ≥ ánh xạ f : X → X thỏa mãn d(f x, f y) ≤ d(x, y) − ϕ(d(x, y)), ∀x, y ∈ X s ϕ ∈ Φ1 Khi đó, f có điểm bất động Chứng minh Giả sử T : X → X ánh xạ đồng nhất, tức T (x) = x, với x ∈ X Đặt α1 = , α2 = α3 = Khi đó, điều kiện Định lí 2.1.2 s thỏa mãn Do f có điểm bất động 2.1.4 Hệ Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1, f T : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: i) T đơn ánh liên tục; ii) Tồn ϕ ∈ Φ1 số không âm α1 , α2 , α3 , cho với x, y ∈ X , ta có d(T f x, T f y) ≤ α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)] + α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ(λd(T x, T y)), (2.8) λ > α1 + 2α2 + 2α3 ≤ , s α2 + α3 < , s α1 + 2α2 ≤ s Khi đó, 22 (2.9) (2.10) (2.11) 1) Với x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ; 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động nhất; 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Ta xác định hàm ϕ1 : [0, ∞) → [0, ∞) ϕ1 (t) = ϕ(λt), ∀t ∈ [0, ∞) Vì λ > nên dễ dàng kiểm tra ϕ1 ∈ Φ1 Do sử dụng (2.8) tính chất ϕ, ta có d(T f x, T f y) ≤ α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)] + α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ(λd(T x, T y)) = α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)] + α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ1 (d(T x, T y)), ∀x, y ∈ X Vì ϕ1 ∈ Φ1 nên khẳng định Hệ suy từ Định lí 2.1.2 2.1.5 Hệ Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1, f T : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: i) T đơn ánh liên tục; ii) Tồn số không âm β1 , β2 , β3 cho β1 + 2β2 + 2β3 < , s β2 + β3 < , s β1 + 2β2 < s (2.12) (2.13) (2.14) với x, y ∈ X , ta có d(T f x, T f y) ≤ β1 sd(T x, T y) + β2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)] + β3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] Khi đó, 23 (2.15) 1) Với x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ; 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động nhất; 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Từ điều kiện (2.12), (2.13), (2.14) suy tồn số không âm α1 ,α2 , α3 , cho βi < αi với i = 1, 2, bất đẳng thức (2.2), (2.3), (2.4) thỏa mãn Ta xác định hàm ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) ϕ(t) = t, ∀t ∈ [0, ∞) Khi đó, ϕ ∈ Φ1 Sử dụng (2.15), ta có d(T f x, T f y) ≤ β1 sd(T x, T y) + β2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)] + β3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] = α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)] + α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ((α1 − β1 )sd(T x, T y) + (β2 − α2 )[d(T x, T f y) + d(T y, T f x)] + (β3 − α3 )s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] ≤ α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)] + α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ((α1 − β1 )sd(T x, T y), ∀x, y ∈ X Kết hợp với (α1 − β1 )s > 0, ta thấy điều kiện Hệ 2.1.4 thỏa mãn Do điều cần chứng minh suy từ việc áp dụng Hệ 2.1.4 2.1.6 Hệ Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1, f T : X → X hai ánh xạ Khi đó, T đơn ánh, liên tục hội tụ dãy con, f ánh xạ T -co f có điểm bất động Chứng minh Trong Hệ 2.1.5, ta đặt α = β1 s lấy β2 = β3 = điều kiện (2.15) trở thành d(T f x, T f y) ≤ αd(T x, T y), ∀x, y ∈ X , 24 α ∈ [0, ) Do khẳng định cần chứng minh suy từ Hệ s 2.1.5 2.1.7 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, f T : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: i) T đơn ánh liên tục; ii) Tồn số không âm α1 , α2 , α3 , α4 , α5 , cho α1 + α2 + α3 + α4 + α5 < d(T f x, T f y) ≤ α1 d(T x, T y) + α2 d(T x, T f y) + α3 d(T y, T f x) + α4 d(T x, T f x) + α5 d(T y, T f y), ∀x, y ∈ X (2.16) Khi đó, 1) Với x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ; 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động nhất; 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Từ (2.16), ta có d(T f y, T f x) ≤ α1 d(T y, T x) + α2 d(T y, T f x) + α3 d(T x, T f y) + α4 d(T y, T f y) + α5 d(T x, T f x), ∀x, y ∈ X (2.17) Từ (2.16), (2.17) suy α2 + α3 α3 + α2 d(T x, T f y) + d(T y, T f x) 2 α4 + α5 α5 + α4 + d(T x, T f x) + d(T y, T f y), ∀x, y ∈ X 2 (2.18) d(T f x, T f y) ≤ α1 d(T x, T y) + Đặt 25 α1 = β1 , β2 = α2 + α3 α4 + α5 , β3 = 2 Khi (2.18) trở thành d(T f x, T f y) ≤ β1 d(T x, T y) + β2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)] + β3 [d(T x, T f x) + d(T y, T f y)], ∀x, y ∈ X Như vậy, điều kiện (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) Hệ 2.1.5 thỏa mãn với s = Mặt khác, không gian mêtric đầy đủ trường hợp đặc biệt không gian b-mêtric đầy đủ s = Do điều phải chứng minh suy từ việc sử dụng Hệ 2.1.5 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón Mục đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng không gian b-mêtric nón 2.2.1 Định lí Giả sử (X, d) khơng gian b-mêtric nón đầy đủ với số s ≥ 1, f T : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: i) T đơn ánh liên tục; ii) Tồn số không âm α1 , α2 , α3 , α4 , α5 cho α1 + α2 + α3 + α4 + α5 < , s s (α1 + α2 ) + sα3 < 1, α3 + α4 < s (2.19) (2.20) (2.21) d(T f x, T f y) ≤ α1 sd(T x, T y) + α2 d(T x, T f y) + α3 d(T y, T f x) + α4 sd(T x, T f x) + α5 sd(T y, T f y), ∀x, y ∈ X Khi đó, 26 (2.22) 1) Với x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ; 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động nhất; 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh 1) Giả sử x0 ∈ X Xây dựng dãy {xn } xn+1 = f xn = f n x0 , với n = 0, 1, 2, Đặt yn = T xn , với n = 0, 1, 2, Sử dụng điều kiện (2.22), ta có d(yn+1 , yn ) = d(T f xn , T f xn−1 ) ≤ α1 sd(yn , yn−1 ) + α2 d(yn , yn ) + α3 d(yn−1 , yn+1 ) + α4 sd(yn , yn+1 ) + α5 d(yn−1 , yn )) ≤ s(α1 + α3 + α5 )d(yn , yn−1 ) + s(α3 + α4 )d(yn , yn+1 ) (2.23) Tương tự, với n = 1, 2, , ta có d(yn+1 , yn ) = d(T f xn , T f xn−1 ) ≤s(α1 + α2 + α4 )d(yn , yn−1 ) + s(α2 + α5 )d(yn , yn+1 ) (2.24) s(2α1 + α2 + α3 + α4 + α5 ) d(yn , yn−1 ) − s(α2 + α3 + α4 + α5 ) (2.25) s(2α1 + α2 + α3 + α4 + α5 ) − s(α2 + α3 + α4 + α5 ) (2.26) Từ (2.23), (2.24), suy d(yn+1 , yn ) ≤ n = 1, 2, Đặt λ= Khi đó, từ (2.25) suy với n = 1, 2, , ta có d(yn+1 , yn ) ≤ λd(yn , yn−1 ) ≤ ≤ λn d(y1 , y0 ) (2.27) Từ (2.26) (2.19) ta có λ ∈ [0, 1) Do λn d(y1 , y0 ) → n → ∞ Vì với c ∈ intP , tồn số tự nhiên nc cho λn d(y1 , y0 ) c, với n ≥ nc Kết hợp với (2.27), ta có d(yn+1 , yn ) c, 27 ∀n ≥ nc (2.28) Tiếp theo, ta chứng minh {yn } dãy Cauchy Để thực điều này, trước − sα3 − s2 (α1 + α2 ) c ∈ intP tồn tiên từ Bổ đề 1.2.4 suy tồn c = s[1 + s(α2 + α4 + α5 )] t ∈ intP cho t c t c Do đó, từ (2.28) suy rằng, với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho với n ≥ nc , ta có d(yn+1 , yn ) (2.29) t Bây giờ, ta chứng minh khẳng định sau (A) Nếu với n0 n ≥ nc mà d(yn , yn0 ) c d(yn+1 , yn0 ) Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có c d(yn+1 , yn0 ) ≤d(yn+1 , yn0 +1 ) + d(yn0 +1 , yn0 ) = d(T f xn , T f xn0 ) + d(yn0 +1 , yn0 ) s ≤ α1 sd(yn , yn0 ) + α2 d(yn , yn0 +1 ) + α3 d(yn0 , yn+1 ) + α4 sd(yn , yn+1 ) + α5 sd(yn0 , yn0 +1 ) + d(yn0 +1 , yn0 ) ≤ s(α1 + α2 )d(yn , yn0 ) + s(α2 + α5 )d(yn0 , yn0 +1 ) + α3 d(yn0 , yn+1 ) + α4 sd(yn , yn+1 ) + d(yn0 +1 , yn0 ) Từ suy ( − α3 )d(yn+1 , yn0 ) + d(yn0 ) ≤ s(α1 + α2 )d(yn , yn0 ) s + [1 + s(α2 + α5 )]d(yn0 , yn0 +1 ) + α4 sd(yn , yn+1 ) s(α1 + α2 )c + [1 + s(α2 + α4 + α5 )]c Do d(yn+1 , yn0 ) s (s(α1 + α2 )c + (1 + s(α2 + α4 + α5 ))c )= c − sα3 Như khẳng định (A) chứng minh Cố định n0 ≥ nc Khi từ (2.29) khẳng dịnh (A) suy d(yn0 +2 , yn0 ) c Sử dụng tiếp khẳng định (A) ta c Tiếp tục lý luận tương tự, quy nạp ta chứng suy d(yn0 +3 , yn0 ) minh d(yn , yn0 ) c, ∀n ≥ n0 Từ suy rằng, với n, m ≥ n0 , ta có d(yn , ym ) ≤ s[d(yn , yn0 ) + d(yn0 , ym )] 28 2c Điều chứng tỏ {yn } dãy Cauchy Vì (X, d) đầy đủ nên yn → y ∈ X , tức T f n x0 → y Khẳng định (1) chứng minh 2) Giả sử T ánh xạ hội tụ dãy Khi đó, {T f xn } dãy hội tụ nên tồn dãy {f xni } {f xn } cho f xni → x ∈ X ni → ∞ Vì T liên tục nên T f xni → T x ni → ∞ Kết hợp với T f xn → y n → ∞ Suy T x = y Bây giờ, ta chứng minh x điểm bất động f Vì yn → y n → ∞ nên từ Định nghĩa 1.3.4 Bổ đề 1.3.5 suy với c ∈ intP tồn số tự nhiên n0 cho với n ≥ n0 , ta có d(yn , y) c, d(yn , yn+1 ) c d(T f x, y) − c s Do đó, với n ≥ n0 ta có d(T f x, y) − c s d(T f x, yn+1 ) d(T f x, T f xn ) ≤ α1 sd(y, yn ) + α2 d(y, yn+1 ) + α3 d(yn , T f x) + α4 sd(y, T f x) + α5 sd(yn , yn+1 ) ≤ s(α1 + α3 )d(y, yn ) + s(α3 + α4 )d(y, T f x) + α2 d(y, yn+1 ) + α5 sd(yn , yn+1 ) [s(α1 + α3 + α5 ) + α2 ]c + s(α3 + α4 )d(T f x, y) Do [ − s(α3 + α4 )]d(T f x, y) s [s(α1 + α3 + α5 ) + α2 + 1]c hay − s2 (α3 + α4 ) d(T f x, y) s[s(α1 + α3 + α5 ) + α2 + 1] c Kết hợp với Bổ đề 1.2.5 suy − s2 (α3 + α4 ) d(T f x, y) = s[s(α1 + α3 + α5 ) + α2 + 1] 29 (2.30) Từ điều kiện (2.21), ta có − s2 (α3 + α4 ) > Do từ (2.30) suy d(T f x, y) = 0, tức T f x = y = T x Vì T đơn ánh nên x = f x Vậy x điểm bất động f Cuối cùng, giả sử x điểm bất động f X Khi đó, d(T x, T x ) = d(T f x, T f x ) ≤α1 sd(T x, T x ) + α2 d(T x, T x ) + α3 d(T x , T x) + α4 sd(T x, T x) + α5 sd(T x , T x ) = (α1 s + α2 + α3 )d(T x, T x ) (2.31) Từ điều kiện (2.20) suy α1 s + α2 + α3 < Do đó, từ (2.31) suy d(T x, T x ) = 0, tức T x = T x Vậy x = x điểm bất động f 3) Giả sử T ánh xạ hội tụ dãy Khi đó, chứng minh 2), thay {f xni } {f xn }, ta có f xn → x n → ∞, tức f n x0 → x Trong Định lí 2.2.1, ta đặt α1 = β1 , α2 = α3 = β2 , α4 = α5 = β3 ta nhận Hệ sau 2.2.2 Hệ Giả sử (X, d) khơng gian b-mêtric nón đầy đủ với số s ≥ 1, f T : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau i) T đơn ánh liên tục; ii) Tồn số không âm β1 , β2 , β3 cho β1 + 2(β2 + β3 ) < , s sβ1 + (1 + s)β2 ) < , s β2 + β3 < s (2.32) (2.33) (2.34) d(T f x, T f y) ≤ β1 sd(T x, T y) + β2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)] + β3 [d(T x, T f x) + d(T y, T f y)], ∀x, y ∈ X Khi đó, 30 (2.35) 1) Với x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ; 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động nhất; 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Nếu Định lí 2.2.1, lấy T : X → X ánh xạ đồng (T x = x, với x ∈ X ) ta nhận Hệ sau 2.2.3 Hệ Giả sử (X, d) khơng gian b-mêtric nón đầy đủ với số s ≥ 1, f : X → X ánh xạ cho tồn số không âm α1 , α2 , α3 , α4 , α5 thỏa mãn α1 + α2 + α3 + α4 + α5 < , (2.36) s s2 (α1 + α2 ) + sα3 < 1, (2.37) (2.38) α3 + α4 < s d(T f x, T f y) = d(f x, f y) ≤ α1 sd(x, y) + α2 d(x, f y) + α3 d(y, f x) + α4 d(x, f x) + α5 d(y, f y), ∀x, y ∈ X (2.39) Khi đó, f có điểm bất động với x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Nếu Định lí 2.2.1, lấy s = 1, tức (X, d) khơng gian mêtric đầy đủ ta nhận Hệ sau 2.2.4 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, f T : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau i) T đơn ánh liên tục; ii) Tồn số không âm α1 , α2 , α3 , α4 , α5 cho α1 + α2 + α3 + α4 + α5 < 1, (2.40) α1 + α2 + α3 < 1, (2.41) α3 + α4 < (2.42) 31 d(T f x, T f y) ≤ α1 d(T x, T y) + α2 d(T x, T f y) + α3 d(T y, T f x) + α4 d(T x, T f x) + α5 d(T y, T f y), ∀x, y ∈ X (2.43) Khi đó, 1) Với x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ; 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động nhất; 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f 32 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: - Trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất nón khơng gian mêtric nón, khơng gian b-mêtric nón - Đưa số kết tồn điểm bất động khơng gian b-mêtric b-mêtric nón, Định lí 2.1.2, 2.2.1 Hệ 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, 2.1.7, 2.2.2, 2.2.3 2.3.4 33 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Giải tích tốn học, Tập 1, Nhà xuất đại học sư phạm [2] J.kelley (1973),Tôpô đại cương, Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường, (dịch), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] A Aghajani, M Abbas, J R Roshan, Common fixed point of generalized weak contractive mapping in partially ordered b-metric spaces, Math Slovaca (2014, in press) [4] B S Choudhury (2009), Unique, fixed point theorem for weak Ccontractive mappings, Kathamandu Univ J Sci Eng Technol 5(1), 6-13 [5] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math In-form Univ Ostrav 1, 5-11 [6] H L Guang, Z Xian (2007), Cone metric space and lopological and fixed point theorems of contractive mappings, J math Anal Appl 332, 1468-1476 [7] N Hussain and M H Shah (2010), KKM mappings in come b-metric spaces, Computers and Math Appl 62, 1677-1684 [8] M Kir, H Kiziltunc (2013), On some well known fixed point theorems in b-metric spaces, Turkish Journal of Analysis and Number Theory, Vol 1, No 1, 13-16 34 [9] Z Mustafa, J R Roshan, V Parvaneh and Z Kadelburg (2014), Fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractions in b-metric spaces, Journal of Inequalities and Applications, 2014: 46 [10] A Razani, V Parvaneh (2013), Some fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contrative mappings in complete metric spaces, Russ Math (Izv VUZ), 57(3), 38-45 35 ... b t động ánh xạ T -co suy rộng không gian b- mêtric nón Chương trình b y số k t t n điểm b t động ánh xạ T -co suy rộng không gian b- mêtric nón 2.1 Sự t n điểm b t động ánh xạ T -co suy rộng không. .. ch t khơng gian b- mêtric nón t n điểm b t động không gian Vì chúng t i chọn đề t i nghiên cứu là: “Về t n điểm b t động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b- mêtric nón” Ngồi phần mở đầu phần k t luận. .. ánh xạ co kiểu Kannan, Chatterjea, T -co yếu suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea không gian mêtric cho không gian b- mêtric M t vấn đề đ t cách t nhiên là, k t tương t t n điểm b t động không gian