Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric

Bài viết đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian metric đầy đủ. Các kết quả này là mở rộng thực sự của một số kết quả trong các tài liệu

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 24 (49) - Thaùng 01/2017 Về tồn điểm bất động ánh xạ Cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng không gian mêtric About the existence of fixed point results for generalized Chatterjea-type Cyclic weakly contractive mappings in metric spaces PGS.TS Đinh Huy Hoàng, Trường Đại học Vinh Dinh Huy Hoang, Assoc.Prof., Ph.D., Vinh University ThS Đậu Hồng Quân, Trường Đại học Vinh Dau Hong Quan, Vinh University Nguyễn Hoài Phương, Trường Đại học Vinh Nguyen Hoai Phuong, Vinh University Tóm tắt Trong báo chúng tơi đưa vài kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng không gian metric đầy đủ Các kết mở rộng thực số kết tài liệu [1], [2], [4], [6] Từ khóa: điểm bất động, ánh xạ cyclic co yếu, không gian mêtric Abstract In this paper, we obtain fixed-point results for generalized Chatterjea-type cyclic weakly contractive mappings in complete metric spaces Our results extend and generalize well-known comparable results in [1], [2], [4], [6] Keywords: fixed point, cyclic weakly contractive maps, metric space hướng mở rộng thay đổi điều kiện co Năm 1972, Chatterjea [1] đưa định nghĩa sau 1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử ( X , d ) không gian mêtric f : X  X Ánh xạ f gọi co kiểu Chatterjea Mở đầu Nguyên lý Banach tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ kết quan trọng lý thuyết điểm bất động Nó có nhiều ứng dụng quan trọng tốn học ngành kỹ thuật khác Do đó, việc mở rộng nguyên lý Banach thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Người ta mở rộng nguyên lý Banach cho nhiều loại ánh xạ nhiều loại không gian Một  1 tồn   0;  cho  2 d ( fx, fy)    d ( x, fy)  d ( y, fx) x, y  X Trong [1], Chatterjea chứng minh rằng, ánh xạ co kiểu Chatterjea 22 không gian mêtric đầy đủ có điểm bất động Sau đó, Choudhury [2] đưa khái niệm ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea sau 1.2 Định nghĩa ([2]) Giả sử ( X , d ) không gian mêtric f : X  X Ánh xạ f gọi co yếu kiểu Chatterjea m i 1  Ta kí hiệu F1   : 0,    0,    i 1 Ai  i 1 F2   : 0,    0,    nửa liên tục  ( x, y, t, u)   x  y  t  u  0 1.5 Định nghĩa ([4]) Giả sử (X, d) không gian mêtric, A1, A2,…, Am tập khác rỗng X f : m m A  i 1 Ai i 1 i 1) Ánh xạ f gọi cyclic co yếu kiểu Chatterjea f cyclic tồn  1   F1 ,    0,  cho  2 d ( fx, fy)    d ( x, fy)  d ( y, fx)   (d ( x, fy), d ( y, fx)) với x  A i , y  Ai 1 , i  1, 2, , m , Ai Ánh Am1  A1 xạ f gọi m-cyclic (nói gọn cyclic) 2) Ánh xạ f gọi cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng f cyclic  1 tồn   F2 ,    0,  cho  4 f ( Ai )  Ai 1 với i = 1, 2,…, m; Am+1 = A1 Khi đó, tập Y m i 1 nửa liên tục  (t , u)   t  u  0 : [0, +)2  [0, +) hàm liên tục  (u, t )  u  t  Trong [2], Choudhury chứng minh rằng, ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea không gian mêtric đầy đủ có điểm bất động Vào năm 2003, Kirk cộng [5] đưa khái niệm ánh xạ cyclic nghiên cứu tồn điểm bất động khơng gian mêtric 1.3 Định nghĩa ([5]) Giả sử A1 ,…, Am tập khác rỗng không gian mêtric (X, d) f : Ai gọi cyclic  - co  Ai, yAi+1, i=1,…,m, Am+1 = A1 x, y  X , m m i 1 yếu f ánh xạ cyclic tồn ánh xạ : [0, +)  [0, +) liên tục, tăng (t) = t = cho d ( fx, fy)  d ( x, y)   (d ( x, y)) , với x d ( fx, fy)   d ( x, fy )  d ( y, fx)   (d ( x, fy ), d ( y, fx)) m Ai  Ai gọi biểu diễn cyclic Y tương ứng với f Sau đó, vào năm 2011 2012, Karapinar cộng ([3], [4]) giới thiệu khái niệm ánh xạ cyclic  co yếu, co yếu kiểu Chatterjea, co yếu kiểu Chatterjea suy rộng chứng minh số định lý tồn điểm bất động lớp ánh xạ không gian mêtric 1.4 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X, d) không gian mêtric, A1,…,An tập khác rỗng X Ánh xạ f : d ( fx, fy)    d ( x, fx)  d ( y, fy)  d ( x, fy)  d ( y,, fx)  (d ( x, fx), d ( x, fy), d ( y, fy), d ( y, fx)) với x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2, , m , Am1  A1 Trong [3], [4] Karapinar cộng đưa định lý khẳng định rằng, không gian mêtric đầy đủ ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng có suy điểm bất động m i 1 23 Ai 3d ( xn1 , xn1 )   d ( xn , xn )  5d ( xn , xn1 )  (d ( xn1 , xn ), d ( xn1 , xn1 ), d ( xn , xn1 ), 0) Trong báo này, đưa định lý số hệ tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng không gian mêtric Các kết mở rộng số kết [1], [2], [4], [6] Các kết Ta kí hiệu F3   : 0,    0,    ( x, y, u, v)   x  y  u  v   (1   )d ( xn1 , xn )  3 d ( xn1, xn )  d ( xn , xn1 )  5d ( xn , xn1 )  (d ( xn1 , xn ), d ( xn1 , xn1 ), d ( xn , xn1 ),0) (4) Do đó, với n = 1, 2, … ta có d ( xn , xn1 )  Điều chứng tỏ d ( xn , xn1 ) dãy số khơng âm giảm Do đó, tồn lim d ( xn , xn1)    Từ (4) tính chất n  liminf  ( xn , yn , un , )   (liminf xn ,liminf yn ,liminf un ,liminf v )} n n n n n ánh xạ  suy n 2.1 Định lí Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, A1, A2, , An tập đóng khác rỗng X f : m i 1 Ai  m i 1   (1    23  5 )   ( ,liminf d ( xn1, xn1 ),  ,0) n Vì 1    23  5  nên từ bất đẳng Ai ánh xạ cyclic Khi đó, thức suy  ( ,liminf d ( xn1, xn1 ),  ,0)  n tồn F3 số không âm 1 ,  , , 5 thỏa mãn 1    23  5  1, (1) 1  3    (2) Do từ tính chất  suy = 0, tức lim d ( xn , xn1 )  (5) n  Tiếp theo, ta chứng minh với   tồn số tự nhiên n cho với r,q  N mà r – q = 1(mod m), r  n , q  n d (x r , x q )   Giả sử điều d ( fx, fy)  1d ( x, y)   2d ( x, fx)  3d ( x, fy)   4d ( y, fx) 5d ( y, fy)   (d ( x, fx), d ( x, fy), d ( y, fy), d ( y, fx)) (3) với x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2, , m , khơng Khi đó,tồn   cho với n  N tồn số tự nhiên rn, qn cho rn > qn ≥ n, rn – qn =1(mod m) d ( xrn , xq )   (6) Am1  A1 f có điểm bất động z  m i 1 Ai Chứng minh Lấy x0  m i 1 Ai xác n định dãy  xn  xn  fxn1 , n  1, 2, Nếu tồn n0  1     d ( xn1 , xn )  d ( xn1 , xn )  3  5 Lấy n > 2m Khi đó, với qn ≥ n ta chọn rn cho rn số tự nhiên nhỏ mà rn > qn, rn – qn = 1(mod m) d ( xrn , xq )   Do đó, d ( xqn , xr m )   Từ cho xn0  xn0 1 fxn0  xn0 1  xn0 Như xn0 điểm n n bất động f Giả sử xn  xn1 với đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có n=0,1,… Khi đó, với n=0,1… tồn i 1, 2, , m cho xn  Ai Do m m   d ( xq , xrn )  d ( xqn , xr m )   d ( xr i , xrn i1 )     d ( xr i , xrn i1 ) n i 1 n n i 1 n Cho n   bất đẳng thức sử dụng (5) ta có (7) lim d ( xq , xr )   xn1  fxn  Ai 1 Từ đó, sử dụng điều kiện (3), với n = 1, 2,… ta có n  d ( xn , xn1 )  d ( fxn1 , fxn )  1d ( xn1 , xn )  2d ( xn1 , xn ) 24 n n Ta có   d ( xq , xr )  d ( xq , xq 1 )  d ( xq 1 , xr 1 )  d ( xr 1 , xr ) n n n  d ( xqn , xq n 1  2d ( xqn , xq n )  d ( xq 1 n 1 n n n cho tồn xr n  Ai d ( xn , xn1 )  xqn  Ai 1 xq n  Ai xrn  Ai 1 Nếu 3d ( xrn , xqn 1 )   d ( xqn , xrn 1 )  5d ( xqn , xqn 1 )  (d ( xrn , xrn 1 ), d ( xrn , xqn 1 ), d ( xqn , xqn 1 ), d ( xqn , xrn 1 ))  d ( xrn , xqn )  d ( xrn , xrn 1 )   5d ( xqn , xqn 1 ) Cho n   , sử dụng (5),(7),(8) tính chất  ta n n n   d ( xn p 1 , xn  p )  (k  1) n n Do lim inf d ( xq , xr 1 )  Mặt khác, ta n có   d ( xr , xq )  d ( xr , xq 1 )  d ( xq 1, xq ) n n n Do   liminf d ( xrn , xq n n 1 n n n   Do  xn  dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên mâu thuẫn với   tồn z  X cho xn  z Từ cách xây Nếu xqn  Ai xrn  Ai 1 chứng dựng dãy  xn  f ánh xạ cyclic suy minh tương tự ta có điều mâu thuẫn  xn  (11) d ( xn , xn p )  d ( xn , xn pk 1 )  d ( xn pk 1, xn p )   )  Điều Bây giờ, ta chứng minh  (12) 2m Từ (11) (12) suy rằng, với n  n0 p=0,1, ta có  (0,lim inf d ( xr , xq 1 ),0,lim inf d ( xq , xr 1 ))  n d ( xn pk 1, xn p )  d ( xn pk 1, xn pk 2 )  d ( xn pk 2 , xn pk 3 ) n n  Vì 1  3    nên n (10) Từ bất đẳng thức tam giác (10) suy   (1  3   )   (0,lim inf d ( xr , xq 1 ),0,lim inf d ( xq , xr 1 )) n  n  n2 d ( xn , xn  p k 1 )   (d ( xrn , xrn 1 ), d ( xrn , xqn 1 ), d ( xqn , xqn 1 ), d ( xqn , xrn 1 )) n , (n  p  k  1)  n  1(mod m) Do đó, theo (9) ta có  1d ( xrn , xqn )   d ( xrn , xrn 1 )  3 d ( xrn , xqn )  d ( xqn , xqn 1 )  n 2m p= 0,1, , giả sử p – k = 0(mod m ), k 1, 2, , m , k  p Khi đó, d ( xqn 1 , xrn 1 )  d ( fxrn , fxqn )  1d ( xrn , xqn )  2d ( xrn , xrn 1 ) n  Với n  n0  max n1 , n2  , với xr n  Ai xqn  Ai 1 n  (9) Mặt khác, từ (5) ta suy tồn n2  N * cho (8) rn  qn  1(mod m) nên n n d ( xr , xq )  n  n )  d ( xrn , xq )  2d ( xrn , xr 1 ) lim d ( xqn 1 , xrn 1 )   i 1, 2, , m n n , xqn )  d ( xqn , xr )  d ( xrn , xr 1 )  d ( xr 1 , xrn ) Cho n   ta Vì n n rằng, với i = 1, 2, …, m, tồn dãy dãy x    cho xin  Ai Vì r  n1 q  n1 mà r  q  1(mod m) 2,…, m nên z  Ai với i = 1, 2, , m in  xn  Cauchy Giả sử   Khi đó, theo chứng minh tồn n1  N * cho với Ai đóng X xin  z với i = 1, 25 tức z  m i 1 yếu kiểu Chatterjea nên tồn Ai  1   F1 ,    0,   2 Bây giờ, ta chứng minh z điểm bất động f Vì z  Ai với i=1,2,…, m thỏa mãn Định nghĩa 1.5.1).Ta xác định hàm 1 : 0,  4  0,   nên áp dụng điều kiện (3), với n=1,2,… ta có 1 (a, b, c, d )   (b, d )   (a, c), (a, b, c, d )  0,   d ( xn1, fz)  d ( fxn , fz)  1d ( xn , z)  2d ( xn , xn1 ) Vì Mặt khác, từ tính nửa liên tục  suy Vì xn  z n   nên từ bất đẳng thức suy liminf 1 (an , bn , cn , dn )  liminf  (bn , dn )   (an , cn  d (z, fz)  (3  5 )d ( z, fz )   (0, d ( z, fz ), d ( z, fz ),0) với 3  5  suy ta có 1 (a, b, c, d )   a  b  c  d   (d ( xn , xn1 ), d ( xn , fz), d ( z, fz), d ( z, xn1 )) hợp   F1   : 0,    0,    nửa liên tục  ( x, y)   x  y nên 3d ( xn , fz )   d ( z, xn1 )  5d ( z, fz ) Kết  n n  liminf  (bn , dn )  liminf  (an , cn ) n n  (0, d ( z, fz), d ( z, fz),0)  Do d(z, fz)   (liminf bn , liminf dn )   (liminf an , lim inf cn ) = tức fz = z Vậy z điểm bất động f  1 (liminf an , liminf bn , liminf cn , liminf dn ) n  n n n  n n n  n Như 1  F3 Giả sử u  X điểm bất động f Khi đó, f ánh xạ cyclic suy u  Ai với i = 1, 2, …, m Do đó, theo điều kiện (3) ta có Bây giờ, dễ dàng kiểm tra điều kiện Định lí 2.1 thỏa mãn với 1  2  5  0,3  4   1 d (u, z)  d ( fu, fz)  1d (u, z)  2d (u, u)  3d (u, z)  4d ( z, u)  5d ( z, z) xác định Do đó, từ Định lí 2.1 ta có điều phải chứng minh  (1  3  4 )d (u, z)   (0, d (u, z),0, d (u, z)) 2.3 Hệ ([4] Theorem 2.9) Cho (X,d) không gian mêtric đầy đủ A1 , A2 , , Am tập đóng khác  (0, d (u, z),0, d (u, z)) Từ 1  3    tính chất  suy d(u, z) = 0, tức u = z Vậy điểm bất động f rỗng X, X  2.2 Hệ ([4] Theorem 2.9) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ A1 , A2 , , Am tập đóng khác rỗng X, X  i 1 điểm bất động z  bất động z  i 1 Ai Giả sử f: m i 1 Ai Chứng minh Vì F2  F3 nên từ Định nghĩa 1.5 2) dễ dàng kiểm tra điều kiện Định lý 1.2 thỏa mản Ai Giả sử f: X  X ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Khi đó, f có điểm m i 1 X  X ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng Khi đó, f có Sau hệ Định lý 2.1 m m với 1  0,   3    5     0,   Ai 4   F2 Do kết cần chứng minh suy từ Định lí 1.2 Chứng minh Vì f ánh xạ cyclic co 26 1  3  4  Trong Định lý 2.1, lấy A1  A2   An  X ta nhận hệ sau 2.4 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ f: X  X ánh xạ cyclic cho tồn   F3 số d ( fx, fy)  1d ( x, y)   d ( x, fx)  3 ( x, fy) với x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2, , m, Am1  A1 f có điểm bất động 1    2    1       5d ( y, fy)   (d ( x, fx), d ( x, fy), d ( y, fy), d ( y, fx)) với x, y  X Khi đó, f có điểm bất động z  X i 1 Ai Chứng minh Từ (13) (14) suy tồn số không âm 1 ,  , , 5 cho điều kiện (1) (2) Định lý 2.1 thỏa mản i  i với i=1,2,…,5 2.5 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ A1 , A2 , Am , tập Ta xác định hàm  : 0,    0,   cơng thức đóng, khác rỗng X f:  (a, b, c, d )  (2  2 )a  (3  3 )b  (4   )d  (5  5 )c m A ánh xạ cyclic Khi đó, i 1 i với (a, b, c, d )   0,   Khi đó,  tồn số không âm 1 , 2 , , 5 cho 1  2  23  5  1, m d ( fx, fy)  1d ( x, y)   d ( x, fx)  3d ( x, fy)   d ( y, fx) A i 1 i (15)  4 d ( y, fx)  5d ( y, fy) không âm 1 ,  , , 5 thỏa mãn m (14) liên tục từ i  i với i = 1, 2, , suy rằng, (a, b, c, d) = a =b = c = d =0 Do đó,   F3 Từ (15) suy (13) d ( fx, fy )  1d ( x, y )   d ( x, fx)   3d ( x, fy )   4d ( y, fx)   d ( y, fy )   (d ( x, fx ), d ( x, fy ), d ( y, fy ), d ( y, fx))  1d ( x, y )   d ( x, fx )   3d ( x, fy )   4d ( y , fx )   d ( y, fy )   (d ( x, fx), d ( x, fy ), d ( y, fy ), d ( y, fx)) với x  Ai , y  Ai 1 , i  1, 2, , m d ( fx, fy)  1d ( x, y)   d ( x, fx)  3d ( x, fy) Như điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn Do f có điểm bất động   4d ( y, fx)  5d ( y, fy ) với x, y  X f có điểm bất động X Chứng minh Theo điều kiện (17) ta có m A i 1 i 2.6 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, f: X  X Khi đó, tồn số không âm 1 ,  , , 5 d ( fy, fx)  1d ( x, y)  2d ( y, fy)  3d ( y, fx)  4d ( x, fy)  5d ( x, fx) x, y  X (18) Từ (17) (18) suy cho 1    3    5  (17) d ( fx, fy )  1d ( x, y )  (16)  27   3   5 d ( y , fx )  d ( x, fx)  5   2  3 d ( x, fy ) d ( y, fy ) x, y  X (19) Đặt 1  1 , 2  5    5 , 3    3   f  2, f  f  f  Trên X ta xét mêtric d cho i) d ( x, y)   x  y Khi đó, từ (16) suy 1  2  23  5  1  3  4  ii) d ( x, y)  d ( y, x), x, y  X Mặt khác, lấy A1  A2   Am  X từ (19) suy f thỏa mãn (15) Như điều kiện Hệ 2.5 thỏa mãn Do f có điểm bất động X 2.7 Hệ ([6] Theorem 3.1) Giả sử A1 , A2 , , Am tập đóng khác rỗng khơng khơng gian mêtric đầy đủ (X, d) f: im1 Ai  im1 Ai ánh xạ cyclic Khi đó, tồn  1  1 a  (0,1), b   0,  , c   0,   2  2 iv) d (2,3)  d (2, 4)  d (3, 4)  iii) d (1, 2)  d (1,3)  d (1, 4)  Khi đó, (X, d) khơng gian mêtric đầy đủ, A1 , A2 tập đóng, khác rỗng X f ánh xạ cyclic ta 0,   0,  Bây giờ, 0   (a, b, c, d )    cho cặp (x, y)  Ai x Ai 1 , i  1, 2, , m, Am1  A1 ba điều kiện sau thỏa mãn 1) d ( fx, fy)  ad ( x, y); f có điểm bất động m Ai Chứng minh Hệ suy trực tiếp từ Hệ 2.5 việc lấy 1) 1  a, 2  3  4  5  0; : a = b = c = d = xảy trường hợp lại 2) 1  0, 2  5  b, 3  4  0; Từ suy f không ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Do Định lý 2.2 [4] khơng áp dụng cho f Mặt khác 3) 1  2  3  0, 3  4  c Hệ 2.2 Hệ 2.3 Định lý 2.1 mở rộng hai Định lý 2.2 2.9 [4] Ví dụ sau cho thấy Định lý 2.1 thực mạnh hai Định lý 2.2 2.9 [4] d ( f 1, f 2)    d (1, f 1)  d (1, f 2)  d (2, f 1)  d (2, f 2) 3 3   ( , , 0,1)    ( , , 0,1) 2 2 với   F2 Điều chứng tỏ f không ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng Do Định lí 2.2 [4] khơng áp dụng cho f 2.8 Ví dụ Giả sử X  1, 2,3, 4 , A1  1, 4 , A2  2,3, 4 f : X  X hàm Đặt 1  1;2  3    5  Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra hàm f thỏa mãn tất điều kiện Định lý 2.1 Do Định lý 2.1 áp dụng cho f Tiếp theo, ta chứng minh Định lý 2.2 Định lý 2.9 [4] không áp dụng cho f Ta có d ( f 1, f 2)  d (2, 4)   d (1, f 2)  d (2, f 1)  3) d ( fx, fy)  c  d ( x, fy)  d ( y, fx) i 1 định a = b = c = d = xảy trường hợp lại Ta thấy   F3 2) d ( fx, fy)  b  d ( x, fx)  d ( y, fy); z xác hàm cho 28 point theorem for cyclic Chatterjea type contraction, Journal of Applied Mathematics, Volune 2012, Article ID 165698, 15 pages, doi: 10.1155/2012/165698 TÀI LIỆU THAM KHẢO S.K Chatterjea (1972), Fixed-point theorems Acad Bulgare Sci, vol 25, pp 727-730 B.S Choudhury (2009), Unique fixed point theorem for weak C - contractive mappings, Kathmandu University Journal of Science, Engineering and Technology, vol.4, no.1, pp 6-13 W.A.Kirk, P.S Srinivasan, and P.Veeramani (2003), Fixed point for mappings satisfying cyclic contractive conditions, Fixed point Theory, vol 4, no 1, pp 79-89 E Karapinar (2011), Fixed point theory for cyclic weak  - contraction, Applied Mathematics Letters, vol 24, no.6, pp 822-825 M.Petric, Bzalatanov (2010), Fixed point theorems of Kannan type for cyclical contractive conditions, Anniversary International Conference REMIA E Karapinar and H.K Nashine (2012), Fixed Ngày nhận bài: 22/12/2016 Biên tập xong: 15/01/2017 29 Duyệt đăng: 20/01/2017 ... Trong [2], Choudhury chứng minh rằng, ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea khơng gian mêtric đầy đủ có điểm bất động Vào năm 2003, Kirk cộng [5] đưa khái niệm ánh xạ cyclic nghiên cứu tồn điểm bất động. .. xn1 , xn1 ), d ( xn , xn1 ), 0) Trong báo này, đưa định lý số hệ tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng không gian mêtric Các kết mở rộng số kết [1], [2], [4], [6] Các... 1, 2, , m , Am1  A1 Trong [3], [4] Karapinar cộng đưa định lý khẳng định rằng, không gian mêtric đầy đủ ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng có suy điểm bất động m i 1 23 Ai 3d