Về sự tồn điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu chatterjea suy rộng trong không gian mêtric

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN HOÀI PHƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC CO YẾU KIỂU CHATTERJEA SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HOÀI PHƯƠNG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH

XẠ CYCLIC CO YẾU KIỂU CHATTERJEA SUY RỘNG

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HOÀI PHƯƠNG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH

XẠ CYCLIC CO YẾU KIỂU CHATTERJEA SUY RỘNG

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

co kiểu Banach, Kannam Chatterjea trong không gian mêtric 7

2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểuChatterjea và co yếu kiểu Chatterjea suy rộng 152.1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chat-terjea 152.2 Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểuChatterjea suy rộng 21

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọngtrong giải tích Nó có nhiều ứng dụng trong toán học và nhiều ngành khoahọc kỹ thuật khác Kết quả quan trọng đầu tiên trong lý thuyết điểm bấtđộng là nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ Banach (1992).Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều kiểu ánh xạ và nhiều loạikhông gian Có điều cần lưu ý là các ánh xạ co (kiểu Banach) trong khônggian mêtric là liên tục Từ đó, nảy sinh vấn đề là mở rộng nguyên lý ánh xạ

co của Banach cho các ánh xạ không liên tục Để giải quyết vấn đề này, vàonăm 1968, Kannan [3] và vào năm 1972, Chatterjea [1] lần lượt đưa ra kháiniệm ánh xạ co kiểu Kannan và ánh xạ co kiểu Chatterjea và chứng minh sựtồn tại điểm bất động của các ánh xạ này trong không gian mêtric đầy đủ.Sau đó, vào năm 2009, Chondhury [2] đã đưa ra khái niệm ánh xạ co kiểuChatterjea suy rộng (hay ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea) và chứng minh sựtồn tại điểm bất động của ánh xạ này trong không gian mêtric đầy đủ Cũngtheo hướng mở rộng nguyên lý Banach kiểu này, vào năm 2003, Krik và cáccộng sự [6] đã giới thiệu khái niệm ánh xạ co cyclic và nghiên cứu sự tồn tạiđiểm bất động của nó trong không gian mêtric Từ đó đến nay, vấn đề về sựtồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện co được nhiềunhà toán học quan tâm nghiên cứu Vào năm 2012, Karapinar và các cộng

sự [5] đã đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ

Chương 1 Trình bày sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic cokiểu Banach, Chatterjea,Kannan trong không gian mêtric đã có trong các tàiliệu tham khảo [2], [6], [7].

Trong chương 2, đầu tiên chúng tôi trình bày lại một số kết quả về sự tồntại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chaterjea trong khônggian mêtric, tiếp theo chúng tôi trình bày sự tồn tại điểm bất động của cácánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong [5] và chỉnh sửa lại nhữngsai sót Sau đó, chúng tôi đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bấtđộng của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng đó là Định lý2.2.4 và các Hệ quả 2.2.6, 2.2.8 Các kết quả này là sự mở rộng của Định lý2.2 và Định lý 2.9 trong [5] và một số kết quả trong [7] Cuối cùng, chúng tôiđưa ra ví dụ 2.2.9 chứng tỏ Định lý 2.2.4 là mở rộng thực sự của Định lý 2.2

và Định lý 2.9 trong [5]

co yếu kiểu Chatterjea và co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gianmêtric đầy đủ Tuy nhiên, các tác giả của [5]đã mắc phải vài sai sót trongkhi chứng minh ịnh lý 2.2 và chứng minh ịnh lý 2.9 Các kết quả của tácgiả E Karapinar và H K Nashine (2012) trong [5] còn có thể mở rộng được

Từ đó, vấn đề được chúng tôi đặt ra là khắc phục các sai sót và mở rộng cáckết quả trong [5] của E Karapinar và H K Nashine (2012) Với mục đích đóluận văn của chúng tôi có nhan đề là "Về sự tồn tại điểm bất động của cácánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric" vàđược trình bày thành hai chương

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Vinh năm 2015 dưới sựhướng dẫn tận tình của PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc của mình đến Thầy và xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệmkhoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa sư phạm Toán và quý thầy, cô trong

tổ Giải tích trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ chúng

tôi trong thời gian học tập, rèn luyện và hoàn thành luận văn này.

Qua đây, tác giả gửi lòng cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Chuyên

Lê Hồng Phong, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tôi trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt làcác bạn trong lớp Cao học 21 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tácgiả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạnchế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp củaQuý thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠCYCLIC CO KIỂU BANACH, KANNAN, CHATTERJEA

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của cácánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện co kiểu Banach, Kannan, Chatterjea

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric

và ánh xạ mà chúng ta cần dùng trong luận văn

1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X và hàm d : X × X → R Hàm d

được gọi là mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau

(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X

Tập hợp X cùng với mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric và kýhiệu là (X, d) hoặc X

1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho X là không gian mêtric, dãy {xn} trong X

được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi  > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho với mọi

m, n ≥ n0 thì d(xm, xn) < 

Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.

Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nóđều hội tụ

Tập con A ⊂ X gọi là đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh

Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập đóngtrong không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ

1.1.3 Định lý ([1]) Giả sử Y là tập con của không gian mêtric (X, d) Khi

đó, Y đóng trong X khi và chỉ khi mọi dãy {yn} trong Y mà {yn} hội tụ tới

x ∈ X thì x ∈ Y

1.1.4 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric Ánh xạ f : X →

X được gọi là một ánh xạ co kiểu Banach (nói gọn là ánh xạ co) nếu tồn tại

q ∈ [0, 1) sao cho

d(f x, f y) ≤ qd(x, y), ∀x, y ∈ X

1.1.5 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là một không gian mêtric và ánh xạ

f : X → X Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f (a) = a

1.1.6 Định lý ([1]) (Nguyên lý co Banach) Mọi ánh xạ co trên không gianmêtric đầy đủ đều có duy nhất một điểm bất động

1.1.7 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian mêtric và f : X → X.1) ([4]) Ánh xạ f được gọi là co kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈ [0,12) saocho

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)], ∀x, y ∈ X

2) ([3]) Ánh xạ f được gọi là co kiểu Chatterjea nếu tồn tại α ∈ [0,12) saocho

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)], ∀x, y ∈ X

3) ([1]) Ánh xạ f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu

lim inf

n→∞ f (xn) ≥ f (lim inf

n→∞ xn)

với mọi dãy {xn} ⊂ X

1.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạcyclic co kiểu Banach, Kannam Chatterjea trong không gianmêtric

Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh

xạ cyclic thỏa mãn các điều kiện co trong không gian mêtric

1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho A1, A2, , Ap, Ap+1 = A1 là các tập hợp khácrỗng của không gian mêtric X và ánh xạ T : Sp

i=1Ai → Sp

i=1Ai Ánh xạ T

được gọi là p-cyclic (nói gọn là cyclic) nếuT (Ai) ⊂ Ai+1với mọii = 1, 2, , p

Chú ý Từ định nghĩa này suy ra nếu T là ánh xạ p-cyclic và T có điểmbất động x thì x ∈ Tp

i=1Ai.1.2.2 Bổ đề Nếu X là không gian mêtric đầy đủ, F : X → X là ánh xạliên tục và tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho

d(F x, F2x) ≤ kd(x, F x), ∀x ∈ X

thì F có điểm bất động trong X Hơn nữa, với mỗi x0 ∈ X, dãy {Fn(x0)}

hội tụ tới điểm bất động của F

Chứng minh Lấyx0 ∈ X và đặt xn = F xn−1 với mọi n = 1, 2, Khi đó, vớimỗi n = 1, 2, ta có

d(xn, xn+1) = d(F xn−1, F2xn−1) ≤ kd(xn−1, F xn−1)

= kd(F xn−2, F2xn−2) ≤ k2d(xn−2, F xn−2)

≤ ≤ knd(x0, F x0) = knd(x0, x1)

Từ đó và sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác ta có

B 6= ∅ và đầy đủ Từ điều kiện 2) suy ra F |AT B là ánh xạ co trên

AT

B Do đó, theo Nguyên lý ánh xạ co Banach thì F có duy nhất điểm bấtđộng trong AT

B.1.2.4 Hệ quả ([6]) Cho A và B là hai tập đóng khác rỗng của không gianmêtric đầy đủ X Cho f : A → B và g : B → A là hai hàm số sao cho

d(f x, gy) ≤ kd(x, y), ∀(x, y) ∈ A × B

) → 0 khi n → ∞

Từ đó suy ra {x

trong đó k ∈ (0, 1) Khi đó, tồn tại duy nhất x0 ∈ AT

i=1Ai → Sp

i=1Ai làánh xạ cyclic và tồn tại a ∈ [0, 1), b ∈ [0, 12), c ∈ [0,12) sao cho với mỗi cặp

(x, y) ∈ Ai× Ai+1

Khi đó,

(i) T có duy nhất điểm bất động x∗ trong Tp

i=1Ai;(ii) Dãy lặp Picard {xn} cho bởi

xn+1 = T xn, ∀n = 0, 1,

hội tụ đến x∗ với bất kỳ điểm x0 ∈ Sp

i=1Ai;(iii) Các đẳng thức sau là đúng

(iv) Tốc độ của sự hội tụ của dãy lặp Picard được cho bởi

d(xn, x∗) ≤ λd(xn−1, x∗), ∀n = 1, 2,

trong đó λ = max{a,1−bb , 1−cc }

Chứng minh Lấy i ∈ {1, 2, , p} và hai điểm x ∈ Ai, y ∈ Ai+1 Dùng tiên

đề mêtric ta dễ dàng chứng minh mỗi một trong ba hệ thức 1), 2), 3) có thểđược viết tương đương như sau

d(T x, T y) ≤ λd(x, y) + 2λd(x, T x) (1.1)và

Do đó, d(x∗, T x∗) = 0 hay T x∗ = x∗.

Bây giờ, giả sử T có điểm bất động khác y∗ ∈ Tp

i=1Ai, x∗ 6= y∗ Sử dụng(1.1) ta có

xạ cyclic, tức là T (Ai) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, , p, trong đó Ap+1 = A1.Khi đó, nếu tồn tại α ∈ [0, 12) sao cho

d(T x, T y) ≤ α max{d(x, y), d(x, T x), d(y, T y), d(x, T y), d(y, T x)}

với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1 và i = 1, 2, , p thì T có điểm bất động duy nhất

x∗ trong Tpi=1Ai Hơn nữa, với mọi x0 ∈ Ai, (i = 1, 2, , p), dãy {Tnx0} hội

tụ đến x∗

Chứng minh Lấy x0 ∈ Ai với i nào đó mà 1 ≤ i ≤ p Đặt x1 = T x0,

x2 = T x1, ,xn = T xn−1 = Tnx0 Khi đó, vì T là ánh xạ cyclic nên nếu

xn ∈ Ai thì xn+1 ∈ Ai+1, 1 ≤ i ≤ p Do đó, với mọi n = 1, 2, ta có

d(xn, xn+1) = d(T xn−1, T xn)

≤ α max{d(xn−1, xn), d(xn−1, T xn−1),d(xn, T xn), d(xn−1, T xn), d(xn, T xn−1)}

Sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác và bất đẳng thức trên ta có

suy ra, với mỗi i = 1, 2, , p đều tồn tại dãy con của {xn} nằm trong Ai, mà

Ai là tập con đóng của X nên x∗ ∈ Tp

i=1Ai.Tiếp theo, ta chứng minh x∗ là điểm bất động của T Vì x∗ ∈ Tp

≤ d(x∗, xn+1) + α max{d(xn, x∗), d(xn, xn+1),d(x∗, T x∗), d(xn, x∗) + d(x∗, T x∗), d(x∗, xn+1)}

và chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạcyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric Kết quả này

là sự mở rộng thực sự của một số kết quả trong [5], [7]

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểuChatterjea

Ta kí hiệu F1 là tập hợp tất cả các hàm ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) nửa liên tụcdưới và ϕ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 0

2.1.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric, A1, A2, , Am

2) Tồn tại ϕ ∈ F1 và α ∈ (0, 12] sao cho

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)] − ϕ(d(x, f y), d(y, f x)) (2.1)với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, i = 1, 2, , m

2.1.2 Định lý ([5]) Giả sử (X, d)là không gian mêtric đầy đủA1, A2, , Am

là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho Sm

i=1Ai = X và f : X → X

là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Khi đó, f có duy nhất một điểm bấtđộng z ∈ Tm

i=1Ai.Chứng minh Lấy x0 ∈ X và đặt

f xn = xn+1, ∀n = 0, 1, 2

Nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho xn0+1 = xn0 thì ta có xn0+1 = f xn0 Do đó, xn0

là điểm bất động của f

Giả sử xn 6= xn+1 với mọi n = 0, 1, 2, Vì X = Sm

i=1Ai nên với mỗi n =

1, 2, tồn tại in ∈ {1, 2, , m} sao cho xn−1 ∈ Ain và xn = f xn−1 ∈ Ain+1

Do f là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea nên với mọi n = 1, 2,

Vì α ∈ (0, 12] nên 1−αα ∈ (0, 1] Do đó {d(xn, xn+1)} là dãy giảm các số không

âm nên tồn tại lim

sử điều này không đúng Khi đó, tồn tại  > 0 sao cho với mỗi n ∈ N tồn tại

các số tự nhiên rn, qn sao cho rn > qn ≥ n, rn− qn = 1(mod m) và

Lấy n > 2m Khi đó, với qn ≥ n ta có thể chọn rn sao cho rn là số tự nhiênnhỏ nhất mà rn là số tự nhiên nhỏ nhất mà rn > qn, rn− qn = 1(mod m) và

d(xrn, xqn) ≥  Do đó, d(xqn, xrn−m) <  Từ đó, sử dụng bất đẳng thức tamgiác ta có

Vì rn − qn = 1(mod m) nên tồn tại i ∈ {1, 2, , m} sao cho xrn ∈ Ai,

xqn ∈ Ai+1 hoặc xrn ∈ Ai+1, xqn ∈ Ai

Bây giờ, ta chứng minh {xn} là dãy Cauchy Giả sử  > 0 Khi đó, theochứng minh trên tồn tại số tự nhiên n1 sao cho với mọi r, q ∈ N mà r và

Giả sử r, s ≥ max{n1, n2} với s > r Khi đó, tồn tạik ∈ {1, 2, , m} sao cho

s − r = k(mod m) Do đó s − r + j = 1(mod m) với j = m − k + 1 Từ đósuy ra

Điều này chứng tỏ {xn} là dãy Cauchy Vì (X, d) là không gian mêtric đầy

đủ nên xn → z ∈ X

Từ cách xây dựng {xn} và f là ánh xạ cyclic suy ra rằng với mỗi i =

1, 2, , m tồn tại dãy con {xin} của dãy {xn} sao cho{xin} ⊂ Ai VìAi đóngtrong X và xin → z nên z ∈ Ai với mọi i = 1, 2, , m Do đó z ∈ Tm

i=1Ai

Bây giờ, ta chứng minh z là điểm bất động của f Vì z ∈ Ai với mọi

i = 1, 2, , m nên theo điều kiện (2.1) ta có

d(y, z) = d(f y, f z) ≤ α[d(y, z) + d(z, y)] − ϕ(d(y, z), d(z, y))

= 2αd(y, z) − ϕ(d(y, z), d(z, y))

Vì 2α ≤ 1 nên ϕ(d(y, z), d(z, y)) = 0 Do đó, d(z, y) = 0 tức là y = z Vậy z

là điểm bất động duy nhất của f

2.1.3 Chú ý Định lý 2.1.2 chính là Định lý 2.2 (Theorem 2.2) trong [5]nhưng khi chứng minh Định lý này các tác giả của [5] đã mắc phải một vàisai lầm Chẳng hạn, sau khi có (2.3), các tác giả này đã đặt k = 1−αα vàkhẳng định k < 1 rồi từ đó suy ra d(xn, xn+1) → 0 Tuy nhiên khi α = 12 thì

k = 1 Trong luận văn này, chúng tôi đã chỉnh sửa việc chứng minh đoạn này

và một vài đoạn khác nữa

2.1.4 Hệ quả ([5] Corollary 2.3) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy

đủ, A1, A2, , Am là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X =Sm

i=1Ai

và f : X → X là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau

1) f là ánh xạ cyclic;

2) Tồn tại β ∈ [0;12) sao cho

d(f x, f y) ≤ β[d(x, f y) + d(y, f x)] (2.11)với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, i = 1, 2, , m, trong đó Am+1 = A1 Khi đó, f códuy nhất một điểm bất động z ∈ Tm

i=1Ai.Chứng minh Vì β ∈ [0,12) nên tồn tại α ∈ (0,12] sao cho α > β ta xác địnhhàm ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) bởi công thức

i=1Ai Ánh xạ f được gọi

là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng nếu

1) f là cyclic, tức là f (Ai) ∈ Ai+1 với i = 1, 2, , m, trong đó Am+1 = A1;2) Tồn tại ϕ ∈ F2, và α ∈ (0, 14] sao cho

d(f x, f y) ≤α[d(x, f x) + d(x, f y) + d(y, f x) + d(y, f y)]

− ϕ(d(x, f x), d(x, f y), d(y, f y), d(y, f x)) (2.12)

với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, i = 1, 2, , m trong đó Am+1 = A1.

2.2.2 Định lý ([5] Theorem 2.9) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ,

2.2.4 Định lý Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, A1, A2, , An làcác tập con đóng khác rỗng của X và f :Sm

i=1Ai →Sm

i=1Ai là ánh xạ cyclic.Khi đó, nếu tồn tại ϕ ∈ F3 và các số không âm α1, α2, , α5 thỏa mãn

α1 + α2 + 2α3 + α5 ≤ 1, (2.13)

α1 + α3 + α4 ≤ 1 (2.14)và

d(f x, f y) ≤ α1d(x, y) + α2d(x, f x) + α3d(x, f y) + α4d(y, f x)

+ α5d(y, f y) − ϕ(d(x, f x), d(x, f y), d(y, f y), d(y, f x)) (2.15)với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, i = 1, 2, , m, trong đó Am+1 = A1 thì f có điểmbất động duy nhất z ∈ Tm