Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic hầu co kiểu geraghty suy rộng trong không gian B-mêtric

Bài viết thiết lập một vài kết quả về sự tồn tại và duy nhất điểm bất động của ánh xạ cyclic hầu co kiểu Geraghty suy rộng trong không gian b-mêtric đầy đủ.

Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 49 - Số 1A/2020, tr 21-33 VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC HẦU CO KIỂU GERAGHTY SUY RỘNG TRONG KHƠNG GIAN b-MÊTRIC Đinh Huy Hồng (1) , Trần Thị Ngọc Thảo (2) Trường Đại học Vinh, Nghệ An Trường THPT Hàm Thuận Bắc, Bình Thuận Ngày nhận 6/12/2019, ngày nhận đăng 16/02/2020 Tóm tắt: Trong báo này, thiết lập vài kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic hầu co kiểu Geraghty suy rộng không gian b-mêtric đầy đủ Kết mở rộng thực vài kết tài liệu [2], [4], [6], [7] Từ khóa: Điểm bất động; khơng gian b-mêtric; co cyclic; ánh sáng cyclic hầu co kiểu Geraghty Mở đầu Nguyên lý ánh xạ co Banach không gian mêtric đầy đủ kết quan trọng lý thuyết điểm bất động Nhiều nhà toán học mở rộng Nguyên lý cho nhiều lớp không gian nhiều loại ánh xạ khác Chúng ta để ý rằng, ánh xạ co kiểu Banach liên tục Để mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp ánh xạ không liên tục, năm 2003, Kirk cộng [5] đưa khái niệm ánh xạ cyclic nghiên cứu tồn điểm bất động lớp ánh xạ khơng gian mêtric Sau đó, vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện co nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [2], [6], [7]) Vào năm 2018, Babu cộng [2] chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ cyclic hầu co Geraghty Để mở rộng lớp không gian mêtric, năm 1993, Czerwik [3] đưa khái niệm không gian b-mêtric số kết tồn điểm bất động không gian Một vấn đề đặt kết Babu [2] mở rộng cho khơng gian b-mêtric hay không? Trong báo này, đưa khái niệm ánh xạ cyclic hầu co kiểu Geraghty suy rộng chứng minh tồn điểm bất động khơng gian b-mêtric đầy đủ Kết mở rộng kết Babu [2] cho không gian b-mêtric Hơn nữa, xét khơng gian mêtric kết mở rộng thực Định lý 2.3 [2] Đầu tiên, trình bày số khái niệm kết sở Ký hiệu S = {g : [0; +∞) −→ [0; 1) | với dãy bị chặn {tn } ⊂ [0; +∞) mà g (tn ) → tn → 0} Năm 1973, Geraghty chứng minh định lý sau 1) Email: thaonguyenthpt@gmail.com (T T N Thảo) 21 Đ H Hoàng, T T N Thảo / Về tồn điềm bất động ánh xạ cyclic hầu co Định lí 1.1 ([4]) Giả sử X khơng gian mêtric đầy đủ f : X −→ X ánh xạ cho tồn g ∈ S thỏa mãn: d (f x, f y) ≤ g (d (x, y)) d (x, y) , ∀x, y ∈ X Khi đó, f có điểm bất động z X với x0 X {f n x0 } hội tụ tới z, đó: f x0 = f x0 , f x0 = f f x0 , , f n x0 = f f n−1 x0 , Định nghĩa 1.2 ([5]) Giả sử A1 , , Ap tập khác rỗng không gian mêtric p p Ai −→ (X, d) F : Ai Ánh xạ F gọi p-cyclic (nói gọn cyclic) i=1 i=1 F (Ai ) ⊂ Ai+1 với i = 1, 2, , p, Ap+1 = A1 Định lí 1.3 ([5]) Giả sử A1 , , Ap tập đóng khác rỗng không gian mêtric p p Ai −→ đầy đủ (X, d) F : i=1 Ai ánh xạ cyclic Khi đó, tồn tai g ∈ S cho i=1 d (f x, f y) ≤ g (d (x, y)) d (x; y) , ∀x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , p F có điểm bất động Định nghĩa 1.4 ([2]) Giả sử X1 , , Xp tập đóng khác rỗng không gian p p Xi −→ mêtric (X, d) F : i=1 Xi Ánh xạ F gọi cyclic hầu co Geraghty F i=1 ánh xạ cyclic tồn g ∈ S L ≥ cho d (F x, F y) ≤ g (d (x, y)) d (x; y) + L min{d (x, F x) , d (y, F x)}, với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , p Định nghĩa 1.5 ([5]) Giả sử X tập hợp khác rỗng số thực s ≥ Hàm d : X × X −→ [0; +∞) gọi b-mêtric với x, y, z ∈ X ta có 1) d (x, y) = ⇔ x = y; 2) d (x, y) = d (y, x); 3) d (x, y) ≤ s [d (x, z) + d (z, y)] (bất đẳng thức tam giác) Tập X với b-mêtric gọi khơng gian b-mêtric với tham số s, nói gọn khơng gian b-mêtric ký hiệu (X, d) X Chú ý 1) Từ sau nói tới không gian b-mêtric ta hiểu tham số s ≥ 2) Từ định nghĩa khơng gian mêtric không gian b-mêtric ta thấy không gian mêtric trường hợp đặc biệt không gian b-mêtric s = 22 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 49 - Số 1A/2020, tr 21-33 Định nghĩa 1.6 ([3]) Giả sử {xn } dãy không gian b- mêtric (X, d) Dãy {xn } gọi b-hội tụ (nói gọn hội tụ) tới x ∈ X ký hiệu xn → x lim xn = x n→∞ với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 cho d(xn , x) < ε với n ≥ n0 Nói cách khác, xn → x d(xn , x) → n → ∞ Dãy {xn } gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 cho d(xn , xm ) < ε với n, m ≥ n0 Không gian b-mêtric gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ Bổ đề 1.7 ([3]) Giả sử {xn } dãy không gian b-mêtric (X, d) xn → x ∈ X Khi đó, [ 1)] {xn } dãy Cauchy; x nhất; d(x, y) ≤ lim inf d(xn , y) ≤ lim sup d(xn , y) ≤ sd(x, y) với y ∈ X n→∞ s n→∞ Bổ đề 1.8 ([1]) Giả sử (X, d) không gian b-mêtric, {xn } {yn } hai dãy X hội tụ tới x y Khi đó, ta có d(x, y) ≤ lim inf d(xn , yn ) ≤ lim sup d(xn , yn ) ≤ s2 d(x, y) n→∞ s2 n→∞ Đặc biệt, x = y lim d(xn , yn ) = n→∞ Các kết Định nghĩa 2.1 Giả sử X1 , , Xp tập khác rỗng không gian b-mêtric p p Xi −→ (X, d) F : i=1 Xi Ánh xạ F gọi cyclic hầu co kiểu Geraghty suy rộng i=1 F ánh xạ cyclic tồn g ∈ S số không âm L, α1 , α2 , , α5 cho α1 + α2 + α3 + 2α4 s ≤ 1, (1) α1 s2 + (α4 + α5 ) s ≤ 1, (2) (α3 + α4 s) s < (3) d(F x, F y) ≤ g(d(x, y)) α1 d(x, y) + α2 d(x, F x) + α3 d(y, F y) + α4 d(x, F y) + α5 d(y, F x) +L min{d(x, F x), d(y, F x)} (4) với x ∈ Xi , y ∈ Xi+1 , i = 1, 2, , p, Xp+1 = X1 23 Đ H Hoàng, T T N Thảo / Về tồn điềm bất động ánh xạ cyclic hầu co Nhận xét 2.2 Trong Định nghĩa 2.1, ta lấy α1 = 1, α2 = α3 = α4 = α5 = s = (tức (X, d) khơng gian mêtric) ta nhận khái niệm ánh xạ cyclic hầu co Geraghty phát biểu Định nghĩa 1.4 Nói cách khác, ánh xạ cyclic hầu co Geraghty trường hợp đặc biệt ánh xạ cyclic hầu co kiểu Geraghty suy rộng Định lí 2.3 Giả sử X1 , , Xp tập đóng khác rỗng khơng gian b-mêtric đầy p p Xi −→ đủ (X, d) F : Xi ánh xạ cyclic hầu co kiểu Geraghty suy rộng Khi đó, i=1 i=1 p p Xi , với điểm x0 ∈ F có điểm bất động z ∈ i=1 Xi , dãy {F n x0 } hội i=1 tụ tới z Chứng minh Lấy x0 ∈ Xi với i thuộc {1, 2, , p} đặt xn = F xn−1 = F n x0 , ∀n = 1, 2, Nếu tồn n0 cho xn0 = xn0 +1 , tức xn0 = F xn0 xn0 điểm bất động F Do ta giả sử xn = xn+1 với n = 0, 1, Vì F ánh xạ cyclic nên F (Xi ) ⊂ Xi+1 với i = 1, 2, , p, Xp+1 = X1 Từ suy rằng, với n = 1, 2, tồn in ∈ {1, 2, , p} cho xn ∈ Xin , xn+1 ∈ Xin +1 Do đó, sử dụng điều kiện (4) bất đẳng thức tam giác ta có d(xn , xn+1 ) = d(F xn−1 , F xn ) ≤ g(d(xn−1 , xn )) α1 d(xn−1 , xn ) + α2 d(xn−1 , xn ) + α3 d(xn , xn+1 ) + α4 d(xn−1 , xn+1 ) + α5 d(xn , xn ) + L min{d(xn−1 , xn ), d(xn , xn )} ≤ (α1 + α2 )d(xn−1 , xn ) + α3 d(xn , xn+1 ) + α4 sd(xn−1 , xn ) + α4 sd(xn+1 , xn ) = (α1 + α2 + sα4 )d(xn−1 , xn ) + (α3 + sα4 )d(xn , xn+1 ) (5) với n = 1, 2, Do d(xn , xn+1 ) ≤ Từ điều kiện (1) suy α1 + α2 + sα4 d(xn , xn+1 ), ∀n = 1, 2, − α3 − sα4 α1 + α2 + sα4 ≤ Do − α3 − sα4 d(xn , xn+1 ) ≤ d(xn , xn−1 ) ∀n = 1, 2, Như {d(xn , xn+1 )} dãy giảm số khơng âm Do tồn lim d(xn , xn+1 ) Đặt n→∞ lim d(xn , xn+1 ) := r Ta có r ≥ Giả sử r > Khi đó, từ (5) suy số n→∞ α1 , α2 , α3 , α4 không đồng thời d(xn , xn+1 ) ≤ g(d(xn−1 , xn )) < (α1 + α2 + sα4 )d(xn−1 , xn ) + (α3 + sα4 )d(xn , xn+1 ) 24 (6) Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 49 - Số 1A/2020, tr 21-33 với n = 1, 2, Mặt khác lim n→∞ = d(xn , xn+1 ) (α1 + α2 + sα4 )d(xn−1 , xn ) + (α3 + sα4 )d(xn , xn+1 ) r ≥ = (α1 + α2 + α3 + 2sα4 )r α1 + α2 + α3 + 2sα4 Kết hợp với (6) suy lim g(d(xn , xn−1 )) = Sử dụng tính chất hàm g suy n→∞ r = lim d(xn , xn−1 ) = n→∞ Điều mâu thuẫn với r > Vậy r = 0, tức lim d(xn+1 , xn ) = (7) lim d(xn , xn+k ) = ∀k ∈ N, k ≡ (mod p) (8) n→∞ Tiếp theo ta chứng minh n→∞ Giả sử khẳng định (8) khơng Khi đó, tồn ε > cho với n = 1, 2, tồn hai số tự nhiên mn , kn cho mn > n, kn ≡ (mod p), d(xmn , xmn +kn ) > ε (9) mn số tự nhiên bé thỏa mãn (9), tức là: d(xmn −1 , xmn −1+kn ) ≤ ε (10) Vì kn ≡ (mod p) nên mn +kn −1−(mn −1) ≡ (mod p) Do đó, xmn −1 ∈ Xin với in ∈ {1, 2, , p} xmn +kn −1 ∈ Xin +1 Từ đó, sử dụng điều kiện (4) với n = 1, 2, ta có d(xmn , xmn +kn ) = d(F xmn −1 , F xmn +kn −1 ) ≤ g(d(xmn −1 , xmn +kn −1 )) α1 d(xmn −1 , xmn +kn −1 ) + α2 d(xmn −1 , xmn ) + α3 d(xmn +kn −1 , xmn +kn ) + α4 d(xmn −1 , xmn +kn ) + α5 d(xmn +kn −1 , xmn ) + L min{d(xmn −1 , xmn ), d(xmn +kn −1 , xmn )} ≤ g(d(xmn −1 , xmn +kn −1 )) α1 sd(xmn −1 , xmn ) + α1 s2 d(xmn , xmn +kn ) + α1 s2 d(xmn +kn , xmn +kn −1 ) + α2 d(xmn −1 , xmn ) + α3 d(xmn +kn −1 , xmn +kn ) + α4 sd(xmn −1 , xmn ) + α4 sd(xmn , xmn +kn ) + α5 sd(xmn +kn −1 , xmn +kn ) + α5 sd(xmn +kn , xmn ) +L d(xmn −1 , xmn ) 25 Đ H Hoàng, T T N Thảo / Về tồn điềm bất động ánh xạ cyclic hầu co Từ suy ≤ − (α1 s2 + α4 s + α5 s) g(d(xmn −1 , xmn +kn −1 )) d(xmn , xmn +kn ) ≤ g(d(xmn −1 , xmn +kn −1 )) (α1 s + α2 + α4 s) d(xmn −1 , xmn ) + (α1 s2 + α3 s + α5 s) d(xmn +kn −1 , xmn +kn ) + L d(xmn −1 , xmn ) (11) Từ (7) g(t) ∈ [0, 1) với t ≥ suy vế phải (11) tiến tới không n → ∞ Do đó, từ (11) suy lim [1 − (α1 s + α4 + α5 )s g(d(xmn −1 , xmn +kn −1 ))] d(xmn , xmn +kn ) = n→∞ Kết hợp với (9) suy lim [1 − (α1 s + α4 + α5 )s g(d(xmn −1 , xmn +kn −1 ))] = n→∞ Điều xảy (α1 s + α4 + α5 )s = lim g(d(xmn −1 , xmn +kn −1 )) = n→∞ theo điều kiện (2) (α1 s + α4 + α5 )s ≤ hàm g nhận giá trị [0, 1) nên lim g(d(xmn −1 , xmn +kn −1 )) ≤ Từ (10) tính chất g suy n→∞ lim d(xmn −1 , xmn +kn −1 ) = n→∞ (12) Mặt khác ta có ε ≤ d(xmn , xmn +kn ) ≤ sd(xmn , xmn −1 ) + s2 d(xmn −1 , xmn +kn −1 ) +s2 d(xmn +kn −1 , xmn +kn ) Cho n → ∞, sử dụng (7) (12) ta có ε < Đây điều vô lý Vậy khẳng định (8) Bây ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Với j = 1, 2, tồn l ∈ {0, 1, , p − 1} cho ≤ j − l ≡ (mod p) Do theo (8) ta có lim d(xn+j−l , xn ) = n→∞ (13) Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức tam giác nhiều lần ta có ≤ d(xn+j−l , xn+j ) ≤ sd(xn+j−l , xn+j−l+1 ) + s2 d(xn+j−l+1 , xn+j−l+2 ) + + sl−1 d(xn+j−1 , xn+j ) ∀n (14) Từ (7) suy vế phải (14) hội tụ tới n → ∞ Do lim d(xn+j−l , xn+j ) = n→∞ 26 (15) Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 49 - Số 1A/2020, tr 21-33 Từ (13), (15) bất đẳng thức d(xn+j , xn ) ≤ s[d(xn+j , xn+j−l ) + d(xn+j−l , xn )] ∀n suy lim d(xn+j , xn ) = với j = 1, 2, n→∞ Do {xn } dãy Cauchy Vì (X, d) khơng gian đầy đủ nên tồn z ∈ X cho p xn → z Vì {xn } ⊂ Xi nên từ tính cyclic g cách xây dựng {xn } suy rằng, với i=1 i = 1, 2, , p tồn dãy {xin } dãy {xn } cho {xin } ⊂ Xi Do xn → z nên p xin → z Kết hợp với tính đóng Xi suy z ∈ Xi với i = 1, 2, , p tức z ∈ Xi i=1 Tiếp theo, ta chứng minh z điểm bất động F Vì z ∈ Xi với i = 1, 2, , p nên sử dụng điều kiện (4) ta có d(xn+1 , F z) = d(F xn , F z) ≤ g(d(xn , z))[α1 d(xn , z) + α2 d(xn , xn+1 ) + α3 d(z, F z) + α4 d(xn , F z) + α5 d(z, xn+1 )] + L min{d(xn , xn+1 ), d(z, xn+1 )} ≤ α1 d(xn , z) + α2 d(xn , xn+1 ) + α3 d(z, F z) + α4 s d(xn , z) + α4 s d(z, F z) + α5 d(z, xn+1 ) + L d(xn , xn+1 ) với n = 1, 2, Vì xn → z nên theo Bổ đề 1.7 ta có d(z, F z) ≤ lim sup d(xn+1 , F z) s n→∞ ≤ lim sup[α1 d(xn , z) + α2 d(xn , xn+1 ) n→∞ + (α3 + α4 s)d(z, F z) + α4 sd(xn , z) + α5 d(z, xn+1 ) + L d(xn , xn+1 )] ≤ (α3 + α4 s)d(z, F z) Kết hợp với điều kiện (3) suy d(z, F z) = tức z = F z z điểm bất động F Cuối cùng, ta chứng minh điểm bất động z F Giả sử y điểm p bất động F , tức y = F y Vì F ánh xạ cyclic nên y ∈ Xi Do đó, sử dụng điều i=1 kiện (4) ta có d(z, y) = d(F z, F y) ≤ g(d(z, y))[α1 d(z, y) + α2 d(z, z) + α3 d(y, y) + α4 d(z, y) + α5 d(y, z)] + L min{d(z, z), d(y, z)} = (α1 + α4 + α5 )g(d(z, y)) d(z, y) 27 Đ H Hoàng, T T N Thảo / Về tồn điềm bất động ánh xạ cyclic hầu co Vì ≤ (α1 + α4 + α5 )g(d(z, y)) < nên d(z, y) = 0, tức z = y Vậy điểm bất động F Sau số hệ Định lý 2.3 Hệ 2.4 Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ, X1 , , Xp tập đóng p p Xi −→ khác rỗng X, F : i=1 Xi ánh xạ cyclic Khi đó, tồn số i=1 không âm L, β1 , , β5 cho β1 + β2 + β3 + 2β4 s < 1, (16) β1 s2 + (β4 + β5 )s < 1, (17) (β3 + β4 s)s < 1, (18) d(F x, F y) ≤ β1 d(x, y) + β2 d(x, F x) + β3 d(y, F y) + β4 d(x, F y) + β5 d(y, F x) + L min{d(x, F x), d(y, F x)} (19) với x ∈ Xi , y ∈ Xi+1 , i = 1, 2, , p; Xp+1 = X1 p Xi F có điểm bất động i=1 Chứng minh Từ (16), (17) (18) suy tồn số không âm α1 , α2 , , α5 cho βi < αi , i = 1, 2, , α1 + α2 + α3 + 2α4 s ≤ 1, α1 s2 + (α4 + α5 )s ≤ 1, (α3 + α4 s)s < Đặt α = max thức βi : i = 1, 2, , 5; αi = xác định hàm g : [0, +∞) −→ [0, 1) công αi  α + − α ∀t ∈ (0, +∞), 1+t g(t) = α t = Khi đó, g ∈ S g(t) ≥ α với t ∈ [0, +∞) Do βi ≤ αi g(t) ∀t ∈ [0, +∞) Kết hợp với (19) suy ra: d(F x, F y) ≤ g(d(x, y)) α1 d(x, y) + α2 d(x, F x) + α3 d(y, F y) + α4 d(x, F y) + α5 d(y, F x) + L min{d(x, F x), d(y, F x)} 28 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 49 - Số 1A/2020, tr 21-33 với x ∈ Xi , y ∈ Xi+1 , i = 1, 2, , n Như điều kiện định lý 2.3 thỏa mãn Do điều cần chứng minh suy từ Định lý 2.3 Trong Hệ 2.4 lấy s = (tức (X, d) khơng gian mêtric) ta nhận hệ sau Hệ 2.5 Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, X1 , , Xp tập đóng p p Xi −→ khác rỗng X, F : Xi ánh xạ cyclic Khi đó, tồn số i=1 i=1 không âm L, β1 , , β5 cho β1 + β2 + β3 + 2β4 < 1, β1 + β4 + β5 < 1, d(F x, F y) ≤ β1 d(x, y) + β2 d(x, F x) + β3 d(y, F y) + β4 d(x, F y) + β5 d(y, F x) + L min{d(x, F x), d(y, F x)} với x ∈ Xi , y ∈ Xi+1 , i = 1, 2, , p; đóXp+1 = X1 F có điểm bất p Xi động i=1 Từ Hệ 2.5 trực tiếp suy hai hệ sau Hệ 2.6 ([7], Theorem 3.1) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ; X1 , X2 , , Xp , Xp+1 = X1 tập đóng khác rỗng X p p Xi −→ F : i=1 Xi ánh xạ cyclic Khi đó, tồn số thực a ∈ [0, 1), b ∈ i=1 1 [0, ), c ∈ [0, ) cho với x ∈ Xi , y ∈ Xi+1 , i = 1, 2, , p điều kiện 2 sau thỏa mãn: d(F x, F y) ≤ ad(x, y), d(F x, F y) ≤ b[d(x, F x) + d(y, F y)], d(F x, F y) ≤ c[d(x, F y) + d(y, F x)] p F có điểm bất động Xi i=1 29 Đ H Hoàng, T T N Thảo / Về tồn điềm bất động ánh xạ cyclic hầu co Hệ 2.7 ([6], Theorem 7) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ; X1 , X2 , , Xp , Xp+1 = p p Xi −→ X1 tập đóng khác rỗng X F : i=1 Xi ánh xạ cyclic Khi đó, i=1 tồn số thực không âm a, b, c cho a+b+c Ta có g ∈ S 4(1 + t) d(f 1, f 2) = d(f 1, f 1) = 0, 4 d(f 1, f 3) = d(1, 2) = < = d(f 3, 3) 5 < g(d(1, 3))α3 d(3, f 3) 31 Đ H Hoàng, T T N Thảo / Về tồn điềm bất động ánh xạ cyclic hầu co d(f 2, f 3) = < = α3 d(3, f 3) < g(d(2, 3))α3 d(3, f 3) Do f thỏa mãn điều kiện Định lí 2.3 với s = 1, L = Như Định lí 2.3 áp dụng cho f ta thấy f có điểm bất động TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Aghajani, M Abbas and J R Roshan, “Common fixed point of generalized weak contractive mapping in partically ordered b-metric spaces”, Math Slovaca, 2014 [2] G V R BaBu, K M M Sarma, V A Kumari and P Sudheer, “Fixed point resuls of various cyclic contractions in metric spaces”, International Journal of Advances in Mathematics, Vol 2018, No 5, 1-13, 2018 [3] S Czerwik, Contraction mappings in b-metric space, Acta Mathematica et Informatica Universitatis Ostraviensis, Vol 1, No 1, pp 5-11, 1993 [4] M A Geraghty, “On contractive maps”, Proc of Amer Math Soc, 40, pp 604-608, 1973 [5] W A Kirt, P S Srinivasa and P Vrearamani, “Fixed points for mappings satisfying cyclical contractive conditions”, Fixed Point Theory, Vol 4, No 1, pp 79-89, 2003 [6] M A Petric, “Some results concerning cyclical contractive mappings”, General Mathematics, Vol 18, No 4, pp 213-226, 2010 [7] M A Petric and B Zlatanov, Fixed point theorems of Kannan type for cyclic contractive conditions, Anniversity International Conference REMIA, Plovdiv, Bulgaria, pp 187-194, 2010 32 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 49 - Số 1A/2020, tr 21-33 SUMMARY ON EXISTENCE OF FIXED POINTS FOR GENERALIZED GERAGHTY TYPE ALMOST CYCLIC CONTRACTIONS IN b-METRIC SPACES In this paper, we estalibsh the existence and uniqueness of fixed point for generalized Geraghty type of almost cyclic contraction mappings in b-metric spaces These results extend and generalize well-known results in [2], [4], [6], [7] Keyword: Fixed point; b-metric space; cyclic contraction; Almost Geraghty cyclic type contraction mapping 33 ... sử X1 , , Xp tập khác rỗng không gian b-mêtric p p Xi −→ (X, d) F : i=1 Xi Ánh xạ F gọi cyclic hầu co kiểu Geraghty suy rộng i=1 F ánh xạ cyclic tồn g ∈ S số không âm L, α1 , α2 , , α5... / Về tồn điềm bất động ánh xạ cyclic hầu co Nhận xét 2.2 Trong Định nghĩa 2.1, ta lấy α1 = 1, α2 = α3 = α4 = α5 = s = (tức (X, d) khơng gian mêtric) ta nhận khái niệm ánh xạ cyclic hầu co Geraghty. .. 1.4 Nói cách khác, ánh xạ cyclic hầu co Geraghty trường hợp đặc biệt ánh xạ cyclic hầu co kiểu Geraghty suy rộng Định lí 2.3 Giả sử X1 , , Xp tập đóng khác rỗng khơng gian b-mêtric đầy p p Xi