Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 2: Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric nón Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric nón. 2.1. Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và T co suy rộng trong không gian b mêtric Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và T co suy rộng trong không gian b mêtric 2.2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric nón Mục này nghiên cứu, xem xét một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric và không gian mêtric nón còn đúng cho không gian b mêtric nón nữa hay không?
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG TRONG KHƠNG GIAN b-MÊTRIC NĨN NGUYỄN XN LONG Lớp Cao học 23 - Tốn Giải tích Cán hướng dẫn: PGS TS Đinh Huy Hoàng Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 / 34 Lời nói đầu • Lý thuyết điểm bất động vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Sự phát triển lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, • Kết quan trọng phải kể đến lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) • Năm 2007, nhà tốn học Trung Quốc: Huang Long Guang Zhang Xian ([6]) thay giả thiết hàm mêtric nhận giá trị tập hợp số thực không âm nhận giá trị nón định hướng khơng gian Banach đưa khái niệm khơng gian mêtric nón • Sau đó, nhiều nhà tốn học nghiên cứu đạt nhiều kết tồn điểm bất động khơng gian mêtric nón Những người thu nhiều kết theo hướng là: J S Ume, R A Stoltenbeg, C S Wong, H L Guang Z Xian, Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 / 34 Lời nói đầu • Khái niệm không gian b-mêtric đưa nghiên cứu S Czerwik [5] Trong [7], N Hussain cộng mở rộng lớp không gian bmêtric mêtric nón cách đưa khái niệm khơng gian b-mêtric nón chứng minh số tính chất tơpơ tồn điểm bất động lớp không gian • Năm 2013, M Kir H Kiziltunc [8] chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan kiểu Chatterjea khơng gian b-mêtric • Mới (2014), Z Mustaja cộng [9] mở rộng kết Kannan, Chatterjea, Choudhury [4] A Razani, Parvanneh [10] tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan, Chatterjea, T -co yếu suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea không gian mêtric cho không gian b-mêtric Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 / 34 Lời nói đầu • Một vấn đề đặt cách tự nhiên là, kết tương tự tồn điểm bất động không gian b-mêtric, đặc biệt kết Z Mustafa cộng [9] mở rộng cho khơng gian b-mêtric nón hay khơng? • Vì chọn đề tài nghiên cứu là: “Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón” Nguyễn Xn Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 / 34 Cấu trúc luận văn • Chương Khơng gian b-mêtric nón • Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng không gian b-mêtric nón Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 / 34 Chương Khơng gian b-mêtric nón Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric nón làm sở cho việc trình bày chương Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 / 34 Chương Không gian b-mêtric nón Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric nón làm sở cho việc trình bày chương 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục, Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 / 34 Chương Khơng gian b-mêtric nón Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric nón làm sở cho việc trình bày chương 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục, 1.2 Nón khơng gian Banach Trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất nón khơng gian Banach Nguyễn Xn Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 / 34 Chương Không gian b-mêtric nón Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric nón làm sở cho việc trình bày chương 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục, 1.2 Nón khơng gian Banach Trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất nón khơng gian Banach 1.3 Khơng gian b-mêtric nón Trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric nón, Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 / 34 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Luận văn đưa nội dung • Khái niệm không gian mêtric [1], Khái niệm không gian b-mêtric [5]; • Đưa ý khơng gian mêtric trường hợp đặc biệt không gian b-mêtric s = 1; • Đưa ví dụ khơng gian b-mêtric [9] ví dụ có không gian b-mêtric không gian mêtric; • Đưa định nghĩa dãy hội tụ, dãy Cauchy, không gian b-mêtric đầy đủ không gian b-mêtric số nội dung khác cần thiết Luận văn Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 / 34 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng không gian b-mêtric nón 2.2.1 Định lí Giả sử (X , d ) khơng gian b-mêtric nón đầy đủ với số s ≥ 1, f T : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: i) T đơn ánh liên tục; ii) Tồn số không âm α1 , α2 , α3 , α4 , α5 cho α1 + α2 + α3 + α4 + α5 < , s s (α1 + α2 ) + sα3 < 1, α3 + α4 < s Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co (14) (15) (16) Vinh, 08/2017 23 / 34 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón 2.2.1 Định lí d (Tfx, Tfy ) ≤ α1 sd (Tx, Ty ) + α2 d (Tx, Tfy ) + α3 d (Ty , Tfx) + α4 sd (Tx, Tfx) + α5 sd (Ty , Tfy ), ∀x, y ∈ X (17) Khi đó, 1) Với x0 ∈ X , dãy {Tf n x0 } hội tụ; 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động nhất; 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 24 / 34 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón Trong Định lí 2.2.1, ta đặt α1 = β1 , α2 = α3 = β2 , α4 = α5 = β3 ta nhận Hệ sau Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 25 / 34 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón Trong Định lí 2.2.1, ta đặt α1 = β1 , α2 = α3 = β2 , α4 = α5 = β3 ta nhận Hệ sau 2.2.2 Hệ Giả sử (X , d ) không gian b-mêtric nón đầy đủ với số s ≥ 1, f T : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau i) T đơn ánh liên tục; ii) Tồn số không âm β1 , β2 , β3 cho β1 + 2(β2 + β3 ) < , s sβ1 + (1 + s)β2 ) < , s β2 + β3 < s Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co (18) (19) (20) Vinh, 08/2017 25 / 34 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón 2.2.2 Hệ d (Tfx, Tfy ) ≤ β1 sd (Tx, Ty ) + β2 [d (Tx, Tfy ) + d (Ty , Tfx)] + β3 [d (Tx, Tfx) + d (Ty , Tfy )], ∀x, y ∈ X (21) Khi đó, 1) Với x0 ∈ X , dãy {Tf n x0 } hội tụ; 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động nhất; 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 26 / 34 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón Nếu Định lí 2.2.1, lấy T : X → X ánh xạ đồng (Tx = x, với x ∈ X ) ta nhận Hệ sau Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 27 / 34 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón Nếu Định lí 2.2.1, lấy T : X → X ánh xạ đồng (Tx = x, với x ∈ X ) ta nhận Hệ sau 2.2.3 Hệ Giả sử (X , d ) không gian b-mêtric nón đầy đủ với số s ≥ 1, f : X → X ánh xạ cho tồn số không âm α1 , α2 , α3 , α4 , α5 thỏa mãn α1 + α2 + α3 + α4 + α5 < , s s (α1 + α2 ) + sα3 < 1, α3 + α4 < s Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co (22) (23) (24) Vinh, 08/2017 27 / 34 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón 2.2.3 Hệ d (Tfx, Tfy ) = d (fx, fy ) ≤ α1 sd (x, y ) + α2 d (x, fy ) + α3 d (y , fx) + α4 d (x, fx) + α5 d (y , fy ), ∀x, y ∈ X (25) Khi đó, f có điểm bất động với x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 28 / 34 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón Nếu Định lí 2.2.1, lấy s = 1, tức (X , d ) không gian mêtric đầy đủ ta nhận Hệ sau Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 29 / 34 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón Nếu Định lí 2.2.1, lấy s = 1, tức (X , d ) khơng gian mêtric đầy đủ ta nhận Hệ sau 2.2.4 Hệ Giả sử (X , d ) không gian mêtric đầy đủ, f T : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau i) T đơn ánh liên tục; ii) Tồn số không âm α1 , α2 , α3 , α4 , α5 cho Nguyễn Xuân Long (CH23) α1 + α2 + α3 + α4 + α5 < 1, (26) α1 + α2 + α3 < 1, (27) α3 + α4 < (28) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 29 / 34 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón 2.2.4 Hệ d (Tfx, Tfy ) ≤ α1 d (Tx, Ty ) + α2 d (Tx, Tfy ) + α3 d (Ty , Tfx) + α4 d (Tx, Tfx) + α5 d (Ty , Tfy ), ∀x, y ∈ X (29) Khi đó, 1) Với x0 ∈ X , dãy {Tf n x0 } hội tụ; 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động nhất; 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 30 / 34 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất nón khơng gian mêtric nón, khơng gian b-mêtric nón • Đưa số kết tồn điểm bất động khơng gian b-mêtric b-mêtric nón, Định lí 2.1.2, 2.2.1 Hệ 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, 2.1.7, 2.2.2, 2.2.3 2.3.4 Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 31 / 34 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Giải tích tốn học, Tập 1, Nhà xuất đại học sư phạm [2] J.kelley (1973),Tôpô đại cương, Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường, (dịch), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] A Aghajani, M Abbas, J R Roshan, Common fixed point of generalized weak contractive mapping in partially ordered b-metric spaces, Math Slovaca (2014, in press) [4] B S Choudhury (2009), "Unique, fixed point theorem for weak Ccontractive mappings", Kathamandu Univ J Sci Eng Technol 5(1), 6-13 [5] S Czerwik (1993), "Contraction mappings in b-metric spaces", Acta Math In-form Univ Ostrav.1, 5-11 Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 32 / 34 Tài liệu tham khảo [6] H L Guang, Z Xian (2007), "Cone metric space and lopological and fixed point theorems of contractive mappings", J math Anal Appl 332, 1468-1476 [7] N Hussain and M H Shah (2010), "KKM mappings in come b-metric spaces", Computers and Math Appl 62, 1677-1684 [8] M Kir, H Kiziltunc (2013), "On some well known fixed point theorems in b-metric spaces", Turkish Journal of Analysis and Number Theory, Vol 1, No 1, 13-16 [9] Z Mustafa, J R Roshan, V Parvaneh and Z Kadelburg (2014), "Fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractions in b-metric spaces", Journal of Inequalities and Applications, 2014, 46 [10] A Razani, V Parvaneh (2013), "Some fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contrative mappings in complete metric spaces", Russ Math (Izv VUZ), 57(3), 38-45 Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 33 / 34 Xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08/2017 34 / 34 ... là: J S Ume, R A Stoltenbeg, C S Wong, H L Guang Z Xian, Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08 /2017 / 34 Lời nói đầu • Khái niệm không gian b-mêtric đưa nghiên cứu... Kannan, Chatterjea không gian mêtric cho không gian b-mêtric Nguyễn Xuân Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08 /2017 / 34 Lời nói đầu • Một vấn đề đặt cách tự nhiên là, kết tương tự... điểm bất động ánh xạ T -co suy rộng khơng gian b-mêtric nón” Nguyễn Xn Long (CH23) Về tồn điểm bất động ánh xạ T -co Vinh, 08 /2017 / 34 Cấu trúc luận văn • Chương Khơng gian b-mêtric nón • Chương