Về sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ tựa hầu co và tựa hầu co suy rộng trong không gian mêtric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐÌNH HƢNG VỀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA HẦU CO VÀ TỰA HẦU CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐÌNH HƢNG VỀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA HẦU CO VÀ TỰA HẦU CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học PGS.TS.ĐINH HUY HOÀNG Nghệ An – 2014 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 2 MỞ ĐẦU 3 Chƣơng 1. Không gian mêtric nón 5 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.2 Nón trong không gian Banach 8 1.3 Không gian mêtric nón 13 Chƣơng 2. Sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ tựa hầu co và tự hầu co suy rộng trong không gian mêtric nón 20 2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tựa hầu co 20 2.2 Sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung của các ánh xạ T- tựa co và T – tựa hầu co 24 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 MỞ ĐẦU Lí thuyết về điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích và một số ngành khoa học khác. Vì thế, chủ đề này đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả. Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ (1922) là kết quả quan trọng đầu tiên trong lý thuyết điểm bất động. Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian. Trong [7], Ciric đã đưa ra khái niệm ánh xạ tựa co và chứng minh một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ này trong không gian mêtric. Trong [5], Berinde đã giới thiệu và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tựa hầu co trong không gian mêtric. Sau đó, Moradi và Omit[10] đã đưa ra và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T- co. Vào năm 2007, Huang Long - Quang và Zhang Xian [9] đã thay tập hợp số thực trong định nghĩa mêtric bởi một nón định hướng trong không gian Banach và đã thu được khái niệm mới tổng quát hơn, đó là khái niệm không gian mêtric nón. Sau đó nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả về sự tồn tại của điểm bất động của các ánh xạ trong không gian mêtric nón. Trong luận văn này, đưa vào các khái niệm về ánh xạ tựa co, tựa hầu co, T- tựa co trong không gian mêtric chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ này trong không gian mêtric nón. Với mục đích đó, luận văn của chúng tôi được trình bày hai chương. Chƣơng 1 Trình bày về định nghĩa, ví dụ, tính chất của nón và không gian mêtric nón mà chúng được dùng trong chương sau. Chƣơng 2 Trình bày khái niệm ánh xạ tựa co, tựa hầu co, T- tựa co, T- tựa hầu co trong không gian mêtric nón. Sau đó, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ tựa hầu co, T- tựa co, T- tựa hầu co trong không gian mêtric nón. Đó là các Định lí 2.1.3, các Hệ quả 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, Định lí 2.2.6 và các Hệ quả 2.2.7, 2.2.8 và 2.2.9. Các kết quả này là sự mở rộng một số kết quả trong không gian mêtric. Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy. Tác giả xin được cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán – Trường Đại học Vinh. Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích trong Khoa Toán – Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học khóa 20 – Chuyên ngành Giải Tích đã cộng tác , giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về mặt kiến thức và thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 05 năm 2014 Tác giả Nguyễn Đình Hưng CHƢƠNG 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN 1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn. Các kết quả trong mục này chủ yếu được trích từ [2]. 1.1.1. Định nghĩa. Cho tập hợp X. Họ  các tập con của X được gọi là tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện (T 1 )  và X ; (T 2 ) Nếu G i  , i I thì i iI G   ; (T 3 ) Nếu G 1 , G 2  thì G 1 G 2  . Tập hợp X cùng với tôpô  trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là (X, ) hay đơn giản hơn là X. Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô. Các phần tử thuộc  được gọi là tập mở. Giả sử A  X. Tập A được gọi là đóng nếu X \ A là mở. 1.1.2.Định nghĩa. Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân cận của điểm x  X nếu tồn tại tập mở V  X sao cho x  V  A. Cho không gian tôpô X, x  X và  là họ tất cả các lân cận của x. Họ       được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U      tồn tại V      sao cho V  U. 1.1.3. Định nghĩa. Dãy {x n } trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới x  X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n 0   sao cho x n  U với mọi n ≥ n 0 . Khi đó, ta viết x n  x hoặc   x n = x. 1.1.4. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x  X có một cơ sở lân cận     có lực lượng đếm được. Không gian tôpô X được gọi là T 2 - không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm bất kỳ x, y  X, x ≠ y tồn tại các lân cận tương ứng U x , U y của x và y sao cho U x  U y = . Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy hội tụ trong X sẽ hội tụ tới một điểm duy nhất. 1.1.5. Định nghĩa. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X  Y. Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x  X với mỗi lân cận V của f(x), tồn tại lân cận U của x sao cho f(U)  V. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X. 1.1.6. Định nghĩa. Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X . Hàm d được gọi là mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) d(x,y) ≥ 0 với mọi x, y  X và d(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y; (ii) d(x,y) = d(y, x) với mọi x, y  X; (iii) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) với mọi x, y, z  X. Tập hợp X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu (X, d) hay đơn giản hơn là X. 1.1.7. Định nghĩa. Cho X là không gian mêtric. Một dãy {x n } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n 0  sao cho với mọi n, m ≥ n 0 thì d(x n , x m ) < ε. Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Tập con A  X gọi là tập đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh, nói cách khác mọi dãy Cauchy trong A đều hội tụ tới điểm thuộc A. Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng của một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ. Nhận xét rằng: Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy. 1.1.8. Định nghĩa. Giả sử E là không gian vectơ trên trường    hoặc   . Hàm p : E  được gọi là chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) p(x) ≥ 0, x  E và p(x) = 0  x = 0; (ii) p(  x) =|  |p(x), x  E,   ; (iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), x, y  E. Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x  E. Ta thường kí hiệu chuẩn của x là ||x||. Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là không gian định chuẩn. 1.1.9. Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức d(x,y) = ||x – y||, x,y  E, xác định trên một mêtric trên E. Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn. Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach. 1.1.10. Định lý. Nếu E là không gian định chuẩn thì i) ánh xạ chuẩn: x  ||x||, x  E; ii) phép cộng: (x, y)  x + y, (x, y)  E × E iii) phép nhân vô hướng: (  , x)   x, với mọi (  , x)  × E là các ánh xạ liên tục. 1.1.11. Định lý. Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi a  E và mỗi   ,  ≠ 0 các ánh xạ x  x + a, x   x,x  E là các phép đồng phôi E lên E. 1.1.12. Định nghĩa. Cho tập hợp X và ≤ là một quan hệ hai ngôi trên X. Quan hệ ≤ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) x ≤ x với mọi x  X; (ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y  X; (iii) x ≤ y ; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z  X. Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận và ký hiệu (X, ≤) hoặc X. 1.1.13. Định nghĩa. Giả sử “ ≤ ” là một quan hệ hai ngôi trên X và A  X. 1) Phần tử x  X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu a ≤ x (tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a  A. 2) Phần tử x  X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng) của A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x). Khi đó, ta kí hiệu x = sup A (tương ứng x = inf A). 1.2. NÓN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong mục này sẽ trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian Banach. 1.2.1. Định nghĩa([9]). Cho E là không gian Banach trên trường số thực . Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu: (i) P là đóng, P ≠ , P ≠ {0}; (ii) Với a, b , a, b ≥ 0 và x, y  P thì ax + by  P; (iii) Nếu x  P và –x  P thì x = 0. 1.2.2. Ví dụ ([9]). 1) Trong không gian Banach các số thực  với chuẩn thông thường, tập P = {x  : x ≥ 0} là một nón. 2) Giả sử E =  2 , P = { (x, y)  E : x, y ≥ 0 }   2 . Khi đó, P thỏa mãn ba điều kiện (i) P là tập đóng, P ≠ , P ≠ {0}; (ii) Với mọi (x, y), (u, v)  P và mọi a, b  , a, b ≥ 0 ta có a(x, y) + b(u, v)  P; (iii) Với (x , y)  P và (–x, –y)  P ta có (x, y) = (0, 0). Vậy P là một nón trên E. 3) Giả sử C [a,b] là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên [a, b]. Ta đã biết C [a,b] là không gian Banach với chuẩn || f || = [ , ] sup x a b |f(x)| , f  C [a,b] . Trên C [a,b] có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định như sau: với f, g  C [a,b] , f ≤ g  f(x) ≤ g(x) x  [a, b]. Đặt P = { f  C [a,b] : 0 ≤ f }. Khi đó, P thỏa mãn ba điều kiện (i) P là tập đóng, P ≠ , P≠ {0}; (ii) Với mọi a, b  , a, b ≥ 0 và mọi f, g  P ta có 0 ≤ af(x) + bg(x) x  [a, b]. Do đó af + bg  P. (iii) Với f  P và –f  P ta có f = 0. [...]... tục tại a □ CHƢƠNG 2 SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA HẦU CO VÀ TỰA HẦU CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ tựa hầu co suy rộng trên không gian mêtric nón đầy đủ 2.1 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TỰA HẦU CO Mục này trình bày một số kết quả sự tồn tại điểm bất động. .. (2.6) suy ra (2.1) Do đó điều phải chứng minh được suy từ Định lý 2.1.3 □ 2.2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA ÁNH XẠ T – TỰA CO VÀ T – TỰA HẦU CO Mục này đưa ra khái niệm các ánh xạ T – tựa co, T – tựa hầu co và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung của các ánh xạ này trong không gian mêtric nón 2.2.1.Định nghĩa Giả sử (X,d) là không gian mêtric nón , T và. .. 1) Trong định nghĩa trên nếu lấy T là ánh xạ đồng nhất thì ta thấy rằng các khái niệm ánh xạ co, ánh xạ tựa co và ánh xạ tựa hầu co lần lượt là trường hợp đặc biệt của ánh xạ T – co, ánh xạ T – tựa co, và ánh xạ T – tựa hầu co tương ứng 2.2.3 Định nghĩa Giả sử X là không gian mêtric nón, f, g, T là các ánh xạ từ 1 2 X vào X Hai ánh xạ f , g được gọi là cặp T – tựa hầu co nếu tồn tại   [0, ) và ... sự tồn tại điểm bất động, điểm bất động chung của các ánh xạ tựa hầu co, T – tựa co, T – tựa hầu co, trong không gian mêtric nón Các kết quả này là sự mở rộng của một số kết quả trong không gian mêtric Đó là Định lí 2.1.3, các Hệ quả 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, Định lí 2.2.6 và các Hệ quả 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Hòa (2013), Không gian mêtric nón và sự tồn tại điểm bất động, Luận... ánh xạ đồng nhất Do đó f và g có điểm bất động chung KẾT LUẬN Luận văn đã thu được các kết quả chính sau đây 1) Trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của nón và của không gian mêtric nón 2) Dựa vào các khái niệm các ánh xạ tựa co, tựa hầu co, T – tựa co, T – tựa hầu co, trong không gian mêtric đưa ra các khái niệm tương ứng trong không gian mêtric nón 3) Đưa ra một số kết quả mới về sự tồn. .. là hai ánh xạ từ X vào X Điểm x  X được gọi là điểm bất động chung của f và g nếu fx  gx  x Tương tự như thế, ta định nghĩa điểm bất động chung của ba, bốn ánh xạ 2.2.6 Định lý Giả sử (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ, T, f và g: X X là các ánh xạ thỏa mãn (i) f và g là cặp T– tựa hầu co; (ii) T là đơn ánh và có một trong các tính chất sau a) T liên tục và hội tụ dãy con, b) T(X) đóng trong. .. của ánh xạ tựa hầu co kiểu Ciric của Berinde trong không gian mêtric nón 2.1.1 Định nghĩa([7]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón và ánh xạ f : X X Ánh xạ f được gọi là tựa co nếu tồn tại h [0, ) sao cho d(fx, fy) ≤ hMf (x, y) với mọi x, y X, trong đó Mf (x, y) = sup{ d(x, y), d(x, fx), d(y, fy), d(x, fy), d(y, fx) } 2.1.2 Định nghĩa([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón và ánh xạ f : X X Ánh xạ. .. định được tính duy nhất điểm bất động Với điều kiện chặt hơn thì kết quả sau khẳng định được tính duy nhất điểm bất động của ánh xạ tựa hầu co 2.1.4 Hệ quả Nếu (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ và f : X X là ánh xạ tựa hầu co với L < 1 – α thì f có duy nhất một điểm bất động Chứng minh Rõ ràng theo Định lý 2.1.5 thì f có điểm bất động Bây giờ, giả sử x, y là các điểm bất động của f Khi đó, Mf (x,... và Tgx = gTx với x là điểm bất động chung của f và g thì T, f và g có duy nhất điểm bất động chung là x Trong Định lý 2.2.6, nếu lấy g = f thì ta nhận được Hệ quả sau 2.2.8 Hệ quả Giả sử (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ,T và f : X X là hai ánh xạ thỏa mãn (i) f là T– tựa hầu co; (ii) T đơn ánh và có một trong các tính chất sau a) T liên tục và hội tụ dãy con, b) T(X) đóng trong X, c) T toàn ánh. .. x là điểm bất động của f và g Khi đó, ta có fTx = Tx và gTx = Tx, tức Tx cũng là một điểm bất động chung của f và g Vì α +β < 1 nên f và g có duy nhất một điểm bất động chung Do đó x = Tx Vậy x là điểm bất động chung duy nhất của T, f và g □ Sau đây là một số hệ quả của Định lý 2.2.6 Trong Định lý 2.2.6, nếu lấy β = 0 thì ta nhận được hệ quả sau 2.2.7 Hệ quả Giả sử (X, d) là không gian mêtric nón đầy . ánh xạ tựa hầu co và tự hầu co suy rộng trong không gian mêtric nón 20 2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tựa hầu co 20 2.2 Sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung của các ánh xạ. trong không gian mêtric nón. Sau đó, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ tựa hầu co, T- tựa co, T- tựa hầu co trong không gian mêtric. cứu và đạt được nhiều kết quả về sự tồn tại của điểm bất động của các ánh xạ trong không gian mêtric nón. Trong luận văn này, đưa vào các khái niệm về ánh xạ tựa co, tựa hầu co, T- tựa co trong