Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gian Metric nón với đại số Banach

Header Page of 149 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐINH BẢO TRUNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN VỚI ĐẠI SỐ BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 149 Header Page of 149 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐINH BẢO TRUNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN VỚI ĐẠI SỐ BANACH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 149 Header Page of 149 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Hà Đức Vượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Hà Đức Vượng - người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2016 Tác giả luận văn Đinh Bảo Trung Footer Page of 149 Header Page of 149 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach" tự làm Luận văn không trùng lặp với luận văn, luận án khác Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2016 Tác giả luận văn Đinh Bảo Trung Footer Page of 149 Header Page of 149 Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian Banach 10 1.3 Đại số Banach 15 1.4 Không gian metric nón 19 Điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach 29 2.1 Không gian metric nón với đại số Banach 29 2.2 Điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach 32 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 38 Footer Page of 149 Header Page of 149 Bảng kí hiệu N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực C Tập hợp số phức ∅ Tập hợp rỗng d Metric dp Metric nón (X, d) Không gian metric (X, dp ) Không gian metric nón E intP Không gian Banach thực Phần P ≤p Quan hệ thứ tự theo nón P Kết thúc chứng minh Footer Page of 149 Header Page of 149 Mở đầu Lý chọn đề tài Xét ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào T : X → X Nếu có số k > thỏa mãn d(T x, T y) ≤ kd(x, y) T gọi ánh xạ Lipschitz k gọi số Lipschitz Trong trường hợp k < T gọi ánh xạ co, k = T gọi ánh xạ không giãn Điểm x thỏa mãn x = T x gọi điểm bất động ánh xạ T tập hợp X Các kết nghiên cứu lĩnh vực hình thành nên Lý thuyết điểm bất động, gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani, Ky Fan, Những định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, có kết kinh điển Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Đây trường hợp riêng ánh xạ Lipschitz ánh xạ co ánh xạ Lipschitz Sau nhiều nhà toán học mở rộng kết sang lớp không gian khác Năm 2007, hai nhà toán học người Trung Quốc Huang LongGuang Zhang Xian giới thiệu khái niệm không gian metric nón, Footer Page of 149 Header Page of 149 cách thay tập số thực R định nghĩa metric không gian Banach thực [4] Từ nhiều kết điểm bất động cho lớp không gian công bố Năm 2013, nhà toán học người Trung Quốc Hao Liu Shaoyuan Xu công bố kết điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng báo Cone metric spaces with Banach algebras and fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings [3] Đây kết điểm bất động Với mong muốn tìm hiểu sâu điểm bất động, điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, chọn đề tài nghiên cứu: "Điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu không gian metric, không gian metric nón, đại số Banach điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach Footer Page of 149 Header Page of 149 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach, chủ yếu dựa báo: Cone metric spaces with Banach algebras and fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings Hao Liu Shaoyuan Xu [3] Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings Huang Long-Guang Zhang Xian [4] Phương pháp nghiên cứu Sử dụng số phương pháp công cụ Giải tích hàm Lý thuyết điểm bất động Đóng góp luận văn Luận văn tài liệu tổng quan Điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach Luận văn gồm hai chương nội dung Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày kiến thức không gian metric, không gian metric đầy đủ Tiếp theo kiến thức không gian định chuẩn, không gian Banach, đại số tập hợp, đại số định chuẩn, đại số Banach cuối kiến thức không gian metric nón Footer Page of 149 Header Page 10 of 149 Sau khái niệm, đưa ví dụ để minh họa Chương Điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach Trong chương này, trình bày kiến thức không gian metric nón với đại số Banach, với ví dụ minh họa Cuối trình bày chi tiết định lý điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach với phần chứng minh chi tiết Footer Page 10 of 149 Header Page 30 of 149 Bây ta chứng minh định lý Với c ∈ E, ≤p c lim xn = x, lim xn = y ta suy tồn số tự n→∞ n→∞ nhiên N1 , N2 cho c dp (xn , x) ≤p , ∀n ≤ N1 , c dp (xn , y) ≤p , ∀n ≤ N2 Vậy ta có c − dp (xn , x) ∈ intP, c − dp (xn , y) ∈ intP, ∀n > N = max{N1 , N2 } Từ intP + intP ⊂ P, với nón P ta suy c c − dp (xn , x) + − dp (xn , y) = c − (dp (xn , x) + dp (xn , y)) ∈ intP, ∀n > N 2 Ta nhận dp (x, y) ≤p dp (xn , x) + dp (xn , y) ≤p c, ∀n > N Vậy dp (x, y) = 0, tức x = y Định lý 1.4.4.[4] Cho (X, dp ) không gian metric nón {xn } dãy X Nếu dãy {xn } hội tụ tới x dãy hội tụ tới x Chứng minh Với c ∈ E mà ≤p c, tồn số tự nhiên n0 cho ∀n ≥ n0 ta có dp (xn , x) ≤p c Với k > n0 nk > k > n0 , nên dp (xnk , x) ≤p c Do dãy {xnk } hội tụ tới x Định lý 1.4.5.[4] Cho (X, dp ) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K {xn }, {yn } dãy X Nếu lim xn = x, lim yn = y lim dp (xn , yn ) = dp (x, y) n→∞ Footer Page 30 of 149 n→∞ n→∞ 25 Header Page 31 of 149 Chứng minh ε · 4K + Từ lim xn = x, lim yn = y, tồn số tự nhiên N cho Với ε > 0, chọn c ∈ E cho ≤p c c ≤ n→∞ n→∞ dp (xn , x) ≤p c, dp (yn , y) ≤p c, ∀n > N Ta có dp (xn , x) ≤p dp (xn , x) + dp (x, y) + dp (y, yn ) ≤p dp (x, y) + 2c, ∀n > N Do dp (x, y) ≤p dp (xn , x) + dp (xn , yn ) + dp (yn , y) ≤p dp (xn , yn ) + 2c Suy ≤p dp (x, y) + 2c − dp (xn , yn ) ≤p 4c ≤p −(dp (xn , yn ) − 2c − dp (x, y)) ≤p 4c Hay Vì P nón chuẩn tắc với số K, ta có −(dp (xn , yn ) − 2c − dp (x, y)) = (dp (xn , yn ) − 2c − dp (x, y)) ≤ K 4c · Vậy −(dp (xn , yn ) − dp (x, y)) = dp (xn , yn ) − 2c − dp (x, y) + 2c ≤ dp (xn , yn ) − 2c − dp (x, y) + 2c · Do dp (xn , yn ) − dp (x, y) ≤ K 4c + 2c = (4K + 2) c · ε ta suy dp (xn , yn ) − dp (x, y) ≤ ε Mà c ≤ 4K + Hay lim dp (xn , yn ) = dp (x, y) n→∞ Định nghĩa 1.4.6.[4] Cho (X, dp ) không gian metric nón Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy với c ∈ E thỏa mãn tồn số tự nhiên n0 cho dp (xm , xn ) p p c, c, ∀n, m ≥ n0 Định nghĩa 1.4.7.[4] Cho (X, dp ) không gian metric nón Nếu dãy Cauchy hội tụ X (X, dp ) gọi không gian metric nón đầy đủ Footer Page 31 of 149 26 Header Page 32 of 149 Ví dụ 1.4.3 Cho X = {a1 , a2 , } tập đếm khoảng cách điểm E = (l2 , ) không gian Banach thực P = {{xn } ∈ l2 : xn ≥ 0, ∀n ≥ 1} nón E 3i , ∀xi ∈ l2 , ∀i ≥ Đặt {xi } = n n≥1 Ta xác định ánh xạ dp : X × X −→ E sau: 3i − 3j dp (ai , aj ) = |xi − xj | = , ∀i, j = 1, 2, 3, n Khi (X, dp ) không gian metric nón đầy đủ Định lý 1.4.6.[4] Cho (X, dp ) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số K {xn } dãy X Khi {xn } dãy Cauchy lim dp (xn , xm ) = n,m→∞ Chứng minh Giả sử {xn } dãy Cauchy X Với ε > 0, chọn c ∈ E cho ≤p c K c < ε Khi đó, từ giả thiết {xn } dãy Cauchy, tồn số tự nhiên N cho dp (xn , xm ) ≤p c, ∀n, m > N Vì P nón chuẩn tắc với số K nên ta suy dp (xn , xm ) ≤ K c , ∀n, m > N Mà K c < ε nên ta có dp (xn , xm ) < ε, ∀n, m > N Hay lim dp (xn , xm ) = n,m→∞ Ngược lại, giả sử lim dp (xn , xm ) = n,m→∞ Với c ∈ E mà ≤p c, tồn ε > cho x < δ c − x ∈ intP (Do intP tập mở) Footer Page 32 of 149 27 Header Page 33 of 149 Với δ > xác định trên, tồn số tự nhiên n0 cho dp (xn , xm )

n0 Suy c − dp (xn , xm ) ∈ intP, ∀n, m > n0 Vậy dp (xn , xm ) ≤p c, ∀n, m > n0 Tức lim dp (xn , xm ) = 0, hay {xn } dãy Cauchy X n,m→∞ Định lý 1.4.7.[4] Nếu {xn } dãy hội tụ không gian metric nón (X, dp ) dãy Cauchy Chứng minh Giả sử ta có lim xn = x, x ∈ X n→∞ Khi đó, với c ∈ E mà ≤p c tồn số tự nhiên n0 cho c dp (xn , x) ≤p , ∀n > n0 Vì vậy, ∀m, n > n0 ta có dp (xn , xm ) ≤p dp (xn , x) + dp (x, xm ) c c ≤p + = c 2 Do lim dp (xn , xm ) = Suy {xn } dãy Cauchy X n,m→∞ Footer Page 33 of 149 28 Header Page 34 of 149 Chương Điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach Trong chương trình bày kiến thức không gian metric nón với đại số Banach với ví dụ minh họa Phần chương ba định lý điểm bất động ánh xạ Lipschitz suy rộng không gian metric nón với đại số Banach, trình bày chứng minh chi tiết 2.1 Không gian metric nón với đại số Banach Định nghĩa 2.1.1.[3] Cho A đại số Banach có đơn vị e Một tập hợp P A gọi nón nếu: P tập đóng, P = ∅, {0, e} ⊂ P αP + β P ⊂ P, ∀α,β≥ 0, α,β ∈ R P = P P ⊂ P Footer Page 34 of 149 29 Header Page 35 of 149 P ∩ (−P ) = {0} Định nghĩa 2.1.2.[3] Cho A đại số Banach thực có đơn vị e, P nón A Khi đó, A ta xây dựng quan hệ thứ tự “ ≤p ” theo nón P sau: x ≤p y ⇔ y − x ∈ P x