về định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric đầy đủ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THU HƯƠNG VỀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HỢP THÀNH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THU HƯƠNG VỀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HỢP THÀNH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hà Trần Phương, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Giải tích trường ĐHSPTN đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi, cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu và giúp đỡ tôi nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn trường ĐHSPTN và khoa Toán là nơi mà tôi đã được đào tạo và hoàn thành luận văn thạc sỹ khoa học. Tôi xin chân thành cảm ơn trường THPT ATK Tân Trào - Sơn Dương, Tuyên Quang nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè là nguồn động viên lớn lao trong quá trình tôi làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 Tác giả Trần Thị Thu Hương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức cơ bản 3 1.1 Không gian metric và không gian định chuẩn . . . . . . . 3 1.1.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Không gian metric đầy đủ, không gian Banach . . 7 1.2 Ánh xạ Lipschitz và Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . 7 1.2.1 Ánh xạ Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric 15 2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Trường hợp bốn không gian metric đầy đủ . . . . . 17 2.2.2 Trường hợp p không gian metric đầy đủ . . . . . . 29 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Vấn đề nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và cấu trúc điểm bất động của ánh xạ đơn trị hay đa trị là một vấn đề thời sự, có lịch sử lâu dài, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Toán học trên thế giới: Brouwer, Banach, Schauder, Tikhonov, và đạt được nhiều kết quả quan trọng. Cho X là một không gian, T : X −→ X là một ánh xạ (đơn trị). Vấn đề đặt ra là: với những điều kiện nào của X và T để có thể khẳng định sự tồn tại điểm x 0 ∈ X sao cho T x 0 = x 0 ? Điểm x 0 như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Khái niệm này được mở rộng tự nhiên cho ánh xạ đa trị. Những định lí điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong đó phải kể đến Nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và Nguyên lí ánh xạ co Banach (1922), trong đó Nguyên lí ánh xạ co Banach được đánh giá là định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất. Về sau, các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra nhiều lớp ánh xạ và các không gian khác nhau, thu được nhiều kết quả quan trọng và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ tập chung vào các hướng: nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất (cấu trúc) của điểm bất động, các phương pháp tìm điểm bất động và nghiên cứu ứng dụng của định lý điểm bất động trong các lĩnh vực khác khau của toán học, đặc biệt trong toán học ứng dụng và các bài toán kinh tế Các công trình theo hướng nghiên cứu này được tập hợp lại dưới một tên chung: "Lý thuyết điểm bất động" và ngày càng được phát triển mạnh mẽ. Thời gian gần đây, các định lí điểm bất động còn được mở rộng cho một Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 họ ánh xạ giữa các không gian metric. Cho X 1 , , X p là một họ các không gian metric, f 1 : X 1 → X 2 , , f p−1 : X p−1 → X p và f p : X p → X 1 là một họ các ánh xạ. Vấn đề đặt ra là với những điều kiện nào của các không gian X j và ánh xạ f j thì các ánh xạ hợp thành f j−1 f j+1 f j : X j → X j có điểm bất động. Những nghiên cứu đầu tiên theo hướng này phải kể đến công trình của N. P. Nung (xem [3]), Ông nghiên cứu vấn đề trên với p = 3 và có xem xét đến tính chất liên tục của các ánh xạ. Trong [8], các tác giả xem xét với p = 3 và tính chất liên tục của các ánh xạ được bỏ qua. L. Kikina và K. Kikina khảo sát với p = 4 trong [5] Trong luận văn này, chúng tôi trình bày tổng quan các kết quả nghiên cứu và chứng minh chi tiết kết quả L. Kikina và K. Kikina trong [5]. Ngoài ra chúng tôi chứng minh một kết quả nghiên cứu mới của chúng tôi về định lý điểm bất động trong trường hợp tổng quát p không gian metric đầy đủ. Khi đặc biệt hóa p = 4, kết quả của chúng tôi mạnh hơn kết quả của L. Kikina và K. Kikina trong [6]. Luận văn gồm hai chương: Chương 1 dành cho việc trình bày một số vấn đề cơ sở của không gian metric, không gian Banach, Nguyên lý ánh xạ co Banach và một số cải tiến của nó. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày về các dạng định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric đầy đủ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian Banach, ánh xạ Lipschitz và Nguyên lý ánh xạ co Banach về điểm bất động. 1.1 Không gian metric và không gian định chuẩn 1.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập khác rỗng, trên X ta trang bị hàm số ρ : X × X → R (x, y) → ρ(x, y) thỏa mãn các điều kiện sau (1) ρ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y, (2) ρ(x, y) = ρ(x, y), ∀x, y ∈ X, (3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), ∀x, y, z ∈ X. Khi đó ρ được gọi là một metric hay khoảng cách trên X và cặp (X, ρ) gọi là một không gian metric. Mỗi phần tử của X sẽ được gọi là một điểm, ρ(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x, y trên X. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K(C, R), chuẩn trên X là hàm số . : X −→ R + x −→ x thỏa mãn các điều kiện 1) x  0, x = 0 ⇔ x = 0, 2) λx = |λ|x, 3) x + y  x + y, với mọi x, y ∈ X và λ ∈ K. Cặp (X, .), trong đó X là một không gian tuyến tính, . là một chuẩn trên X, gọi là một không gian định chuẩn (hay còn gọi là không gian tuyến tính định chuẩn). Với một không gian định chuẩn (X, .), ta dễ dàng chứng minh được hàm ρ : X × X −→ R + , xác định bởi ρ(x, y) = x − y, với x, y ∈ X, là một metric trên X, gọi là metric sinh bởi chuẩn. Như vậy, không gian định chuẩn là một không gian metric. Ví dụ 1. Lấy X = R hoặc X = C, đặt x = |x|, với x ∈ X. Khi đó (X, .) là một không gian định chuẩn. Do đó (X, ρ) sẽ là một không gian metric với ρ(x, y) = |x − y| (x, y ∈ X). Ví dụ 2. Lấy X = R n với x = (x 1 , , x n ), y = (y 1 , , y n ) ∈ R n , đặt ρ(x, y) =     n  k=1 |x k − y k | 2 . Khi đó ρ thỏa mãn điều kiện (1) và (2). Ta chứng minh điều kiện (3): Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Giả sử x = (x 1 , , x n ), y = (y 1 , , y n ), z = (z 1 , , z n ) là ba phần tử tùy ý trong R n . Khi đó: ρ 2 (x, y) = n  k=1 |x k − z k | 2  n  k=1 (|x k − y k | + |y k − z k |) 2 = n  k=1 |x k − y k | 2 + 2 n  k=1 |x k − y k |.|y k − z k | + n  k=1 |y k − z k | 2  n  k=1 |x k − y k | 2 + 2     n  k=1 |x k − y k | 2 . n  k=1 |y k − z k | 2 + n  k=1 |y k − z k | 2 =        n  k=1 |x k − y k | 2 +     n  k=1 |y k − z k | 2    2 = (ρ(x, y) + ρ(y, z)) 2 . Điều đó suy ra ρ(x, z)  ρ(x, y) + ρ(y, z). Như vậy ρ là một metric trên R n và R n với metric xác định như trên là một không gian metric. Ta cũng dễ chứng minh được (R n , .), trong đó x =  x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n , với x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n , là một không gian định chuẩn. Sự hội tụ trong không gian metric Định nghĩa 1.3. Cho (X, ρ) là một không gian metric, {x n } là một dãy các phần tử của X, ta nói {x n } hội tụ đến x 0 ∈ X nếu: lim n→∞ ρ(x n , x 0 ) = 0. Khi đó ta viết lim n→∞ x n = x 0 hoặc x n → x 0 , x 0 gọi là giới hạn của dãy {x n }. Ví dụ 3. Trong không gian R và C, lim n→∞ x n = x 0 ⇔ lim n→∞ |x n − x 0 | = 0, đây là sự hội tụ mà ta đã biết trong giải tích cổ điển. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Ví dụ 4. Trong không gian R n , giả sử {x k = (x k 1 , , x k n )} ∞ k=1 , x 0 = (x 0 1 , , x 0 n ). Khi đó lim n→∞ x k = x 0 ⇔ lim n→∞  n  k=1 |x k i − x 0 i | 2  1 2 = 0 ⇔ lim n→∞ x k i = x 0 i , ∀i = 1, 2, , n. Vì vậy ta thường gọi sự hội tụ trong không gian R n là sự hội tụ theo tọa độ. Tập hợp đóng và tập hợp mở trong không gian metric Định nghĩa 1.4. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric, x 0 ∈ X và r > 0.Tập B(x 0 , r) = {x ∈ X : ρ(x 0 , x) < r} gọi là hình cầu mở tâm x 0 bán kính r.Tập B(x 0 , r) = {x ∈ X : ρ(x 0 , x) ≤ r} gọi là hình cầu đóng tâm x 0 bán kính r. Định nghĩa 1.5. Giả sử A là một tập con của không gian metric (X, ρ), điểm x 0 ∈ A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r > 0 sao cho B(x 0 , r) ⊂ A. Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A và kí hiệu intA hoặc A o . Nhận xét 1.1. Trong không gian metric (X, ρ), X, ∅ là các tập mở. Hình cầu B(x 0 , r) là một tập mở vì với mọi x ∈ B(x 0 , r) luôn tồn tại r 1 = r − ρ(x 0 , x) > 0 sao cho B(x, r 1 ) ⊂ B(x 0 , r), tức là mọi điểm của B(x 0 , r) đều là điểm trong Định nghĩa 1.6. Một tập con A trong không gian metric (X, ρ) được gọi là đóng nếu phần bù của nó C X A là tập mở. Hiển nhiên X và ∅ là những tập đóng trong không gian metric (X, ρ). Dễ dàng chứng minh được mọi hình cầu đóng là một tập đóng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Cụ thể, chúng tôi trình bày kết quả của L Kikina và K Kikina ([5]) về định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa bốn không gian metric đầy đủ Và chứng minh một mở rộng kết quả của đó trong trường hợp tổng quát p không gian metric đầy đủ 2.2 Định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric đầy đủ 2.2.1 Trường hợp bốn không gian metric đầy đủ Định lí 2.2.(xem [5])Cho (X, d1 ),... Khi đó RST có một điểm bất động duy nhất α ∈ X, T RS có một điểm bất động duy nhất β ∈ Y, ST R có một điểm bất động duy nhất γ ∈ Z Hơn nữa, T α = β, Sβ = γ và Rγ = α Công trình của Nung được xem là một trong những nghiên cứu đầu tiên về điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric, trong đó các không gian metric là đầy đủ và các ánh xạ giữa các không gian là liên tục Về sau, nhiều tác... RST x) ≤ nên 4 ánh xạ T : X −→ Y , S : Y −→ Z , R : Z −→ U = X và IX : X −→ X thỏa mãn (2.1),(2.2),(2.3) và (2.4) của Định lý 2.2, từ đó ta sẽ có kết luận về các điểm bất động Nhận xét Định lí 2.2 của L Kikina và K Kikina là một kết quả về điểm bất động giữa 4 không gian metric đầy đủ, trong đó không cần tính liên tục của các ánh xạ giữa các không gian metric và các hằng số c trong các Số hóa bởi Trung... gian metric Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric đầy đủ 2.1 Mở đầu Cho X1 , , Xp là một họ gồm p không gian metric và f1 : X1 → X2 , , fp−1 : Xp−1 → Xp , fp : Xp → X1 là các ánh xạ giữa các không gian đó Khi đó, ta có p ánh xạ hợp thành từ mỗi không gian Xj , j = 1, , p, vào chính nó như sau: H1 = f1 f2 fp : X1... y ∈ Q là một không gian metric, dãy xn = 1 + n là một dãy Cauchy trong Q nhưng không hội tụ trong Q Định nghĩa 1.8 Không gian metric X được gọi là không gian metric đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ Định nghĩa 1.9 Không gian định chuẩn đầy đủ với metric sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach Ví dụ 5 R, C với metric tự nhiên, là các không gian metric đầy đủ (theo tiêu... bất đẳng thức (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) là như nhau Trong phần sau của luận văn chúng tôi chứng minh một mở rộng của chúng tôi cho kết quả này 2.2.2 Trường hợp p không gian metric đầy đủ Trong phần này chúng tôi sẽ chứng minh một cải tiến của Định lý 2.2 Cụ thể, chúng tôi sẽ xem xét vấn đề điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa p 4 không gian metric đầy đủ, với các hằng số c trong các điều kiện của. .. thỏa mãn f (x) = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ f Việc tìm điểm bất động của một ánh xạ là vấn đề có nhiều ứng dụng trong giải tích, nhất là trong lý thuyết các phương trình (vi phân, đạo hàm riêng, tích phân), vì một điểm x bất động trong ánh xạ f chính là lời giải của phương trình f (x) = x Định nghĩa 1.12 Giả sử (X, ρ) là một không gian metric đầy đủ, ánh xạ F : X → X được gọi là Lipschitz... vậy α = α , kéo theo α là điểm bất động duy nhất của QRST Chứng minh tương tự, ta suy ra β là điểm bất động duy nhất của T QRS , γ là điểm bất động duy nhất của ST QR và δ là điểm bất động duy nhất của RST Q Định lí được chứng minh Hệ quả 2.3.(Xem [5]) Trong Định lí 2.2, nếu xét không gian metric (U, d4 ) giống với không gian metric (X, d1 ), tức là U = X, d4 = d1 và Q là ánh xạ đồng nhất trên X (tức... nghiên cứu các trường hợp mở rộng khác nhau của kết quả trên theo các hướng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 - Xem xét vấn đề tương tự với số không gian lớn hơn; - Xem xét sự cần thiết về tính liên tục của các ánh xạ giữa các không gian; - Xem xét tính cần thiết về tính đầy đủ không gian metric; - Thay đổi các điều kiện của hằng số c trong định lí trên... chứng minh một định lí điểm bất động giữa các không gian metric trong trường hợp p = 3, trong đó tính liên tục của các ánh xạ giữa các không gian đã được bỏ qua Về sau, việc phát triển các mở rộng của vấn đề theo các hướng trên thu hút được nhiều nhà toán học và thu được nhiều kết quả quan trọng Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả nghiên cứu của một số tác giả và của chúng tôi theo . 2 Điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric đầy đủ. 2.1. về điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric, trong đó các không gian metric là đầy đủ và các ánh xạ giữa các không gian là liên tục. Về sau, nhiều tác giả đã nghiên cứu các. sở của không gian metric, không gian Banach, Nguyên lý ánh xạ co Banach và một số cải tiến của nó. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày về các dạng định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa