phương pháp halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG NGỌC PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HALPERN TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại : TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học : GS.TS Nguyễn Bường Phản biện 1 : PGS.TS Đỗ Văn Lưu Phản biện 2 : TS Nguyễn Thị Thu Thủy Luận văn đã được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại : Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Ngày 28 tháng 8 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Đại học Thái Nguyên Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Một số ký hiệu và chữ viết tắt 4 Chương 1. Một số khái niệm cơ bản 5 1.1. Một số khái niệm của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Một số tính chất của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Bài toán tìm điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình 0 ∈ Tx 16 Chương 2. Phương pháp Halpern và cải biên 28 2.1. Phương pháp Halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 28 2.2. Phương pháp xấp xỉ mềm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3. Phương pháp Halpern cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Tài liệu tham khảo 46 1 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS Nguyễn Bường. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô khoa Toán - Tin, phòng đào tạo sau đại học Trường Đại Học Khoa Học, Đại Học Thái Nguyên cũng như các Thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2009 - 2011, lời cảm ơn sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục và đào tạo của Nhà trường. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn với các thầy, các cô trong Ban giám hiệu và Tổ Toán - Tin Trường Trung học phổ thông Trại Cau đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn cao học. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị em học viên cao học toán K3 và bạn bè đồng nghiệp đã động viên, khích lệ và cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Thái Nguyên, ngày 6 tháng 5 năm 2011 Tác giả Dương Ngọc Phương 2 Mở đầu Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert hay Banach là một vấn đề lớn được rất nhiều các nhà toán học trên thế giới quan tâm. Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu vận dụng phương pháp Halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Bố cục luận văn gồm 02 chương : Chương I: Các khái niệm cơ bản Trong chương này giới thiệu một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình 0 ∈ T x. Chương II: Phương pháp Halpern và mở rộng Chương này gồm 3 phần: + Phương pháp Halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. + Phương pháp xấp xỉ mềm. + Phương pháp Halpern cải biên. Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình làm luận văn cũng như trong quá trình sử lý văn bản chắc chắn không thể tránh khỏi sai sót, Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Thầy cô và bạn đọc. 3 Một số ký hiệu và chữ viết tắt R n không gian Euclide n-chiều |β| trị tuyệt đối của số thực β x := y x được định nghĩa bằng y ∀x với mọi x ∃x tồn tại x I ánh xạ đồng nhất A ⊂ B tập A là tập con thực sự của tập B A ⊆ B tập A là tập con của tập B A ∪ B A hợp với B A ∩ B A giao với B A × B tích Đề-các của hai tập A và B convD bao lồi của tập D x k → x dãy {x k } hội tụ mạnh tới x x k  x dãy {x k } hội tụ yếu tới x A ∗ toán tử liên hợp của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A 4 Chương 1 Một số khái niệm cơ bản Trong chương này, chúng tôi đề cập đến các vấn đề sau. Trong mục 1.1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kiến thức liên quan đến không gian Hilbert. Trong mục 1.2, chúng tôi trình bày một số tính chất của toán tử. Mục 1.3 được dùng để trình bày bài toán tìm điểm bất động. Mục 1.4 được dùng để trình bày phương pháp lặp Solodov-Svaiter giải phương trình 0 ∈ T x. 1.1. Một số khái niệm của không gian Hilbert Các khái niệm và kết quả trong phần này được tham khảo trong tài liệu [1] và [2]. 1.1.1. Định nghĩa không gian Hilbert Cho X là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng trong X là một ánh xạ ., . : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau: i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x, ∀x, y ∈ X; iii) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R; iv) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ X. Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng ., . được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Chuẩn của phần tử x được kí hiệu là x và được xác định bằng x =  x, x. Các không gian R n , L 2 [a, b] là các không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định tương ứng là: 5 x, y = n  i=1 ξ i η i ; x = (ξ 1 , ξ 2 , , ξ n ) ∈ R n ; y = (η 1 , η 2 , , η n ) ∈ R n ; ϕ, ψ =  b a ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L 2 [a, b]. 1.1.2. Một số khái niệm cơ bản • Cho X là một không gian Hilbert, một dãy {x n } gồm các phần tử x n ∈ X gọi là hội tụ mạnh tới phần tử của x ∈ X nếu x n − x → 0 khi n → ∞. Nếu {x n } hội tụ mạnh tới x ∈ X thì: (i) Mỗi dãy con {x n k } ⊂ {x n } cũng hội tụ tới x; (ii) Mỗi dãy {x n − ξ} bị chặn, ξ ∈ X. • Dãy {x n } ⊂ X được gọi là đủ hay Cauchy, nếu với mỗi ε > 0, tồn tại n 0 (ε) sao cho: x m − x n  < ε với mọi m ≥ n 0 (ε), n ≥ n 0 (ε). • Toán tử A : X → R được gọi là tuyến tính nếu: (i) A(x 1 + x 2 ) = Ax 1 + Ax 2 ∀x 1 , x 2 ∈ X; (ii)A(αx) = αAx, ∀α ∈ R, x ∈ X. • Toán tử tuyến tính A được gọi là bị chặn, nếu tồn tại một hằng số M > 0 sao cho Ax ≤ Mx. Giá trị hằng số M nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức đó được gọi là chuẩn của A và ký hiệu là A. Mệnh đề 1.1. Cho X là một không gian Hilbert và x 0 ∈ X là một phần tử tùy ý. Khi đó tồn tại một hàm tuyến tính ϕ : X → R sao cho ϕ = 1 và ϕ(x 0 ) = x 0 . • Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu của X) và được ký hiệu là X ∗ . • Dãy {x n } gồm các phần tử x n ∈ X được gọi là hội tụ yếu tới phần tử x ∈ X (viết tắt là x n  x) nếu φ, x n  → φ, x với mỗi φ ∈ X ∗ . • Cho X là không gian Hilbert, và C là tập con của X. Một ánh xạ T : C → X được gọi là d-compact, nếu nó thỏa mãn tính chất với mỗi dãy {x n } bị chặn trong X và {T x n − x n } hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con 6 {x n k } của {x n } cũng hội tụ mạnh. • T được gọi là d- đóng tại điểm p nếu {x n } ∈ D(T ) sao cho {x n } hội tụ yếu tới x ∈ D(T ) và {T (x n )} hội tụ mạnh đến p thì T (x) = p. Định nghĩa 1.1 Nếu dãy {x n } hội tụ yếu tới x ∈ X thì dãy {x n } là bị chặn. • Cho X là một không gian Hilbert, M là một tập con khác rỗng của X. (i) M được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ M, 0 ≤ λ ≤ 1 ta có: λx + (1 − λ)y ∈ M; (ii) M được gọi là compact nếu mọi dãy {x n } ⊂ M đều chứa dãy con hội tụ tới một điểm thuộc M. • Mỗi tập con đóng bị chặn M của một không gian Hilbert là compact yếu, tức là với mỗi dãy bị chặn trong M có thể trích ra được một dãy con hội tụ yếu tới một phần tử của không gian này. • Tập M ⊂ X được gọi là tập đóng yếu, nếu {x n }  x, thì x ∈ M. Định lý 1.1. (Mazur) Mỗi tập con lồi đóng của một không gian Hilbert là đóng yếu. Định nghĩa 1.2. Một phiếm hàm ϕ xác định trên X được gọi là lồi, nếu ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) với mọi x, y ∈ X, t ∈ [0, 1]. Nếu dấu "=" xảy ra chỉ khi x = y, thì ϕ được gọi là lồi chặt. • Nếu tồn tại một hàm liên tục tăng γ : [0; +∞) → R, γ(0) = 0 sao cho: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ(x − y) với mọi x, y ∈ X thì ϕ được gọi là lồi đều và hàm γ(t) gọi là modul lồi của ϕ. • Nếu γ(t) = ct 2 (c > 0) thì phiếm hàm ϕ được gọi là lồi mạnh. Định nghĩa 1.3. Một phiếm hàm ϕ được gọi là nửa liên tục dưới tại x 0 ∈ X, 7 nếu với mỗi dãy {x n } ⊂ X sao cho x n → x 0 ta có: ϕ(x 0 ) ≤ lim inf n→∞ ϕ(x n ). Nếu x n  x 0 và ϕ(x 0 ) ≤ lim inf n→∞ ϕ(x n ), thì ϕ được gọi là nửa liên tục yếu tại x 0 . Định lý 1.2. Cho một phiếm hàm ϕ : X → R. Ta nói rằng ϕ khả vi theo hướng h tại một điểm x ∈ X nếu giới hạn lim t→0 ϕ(x + th) − ϕ(x) t = V  (x, h). (1.1) Nếu giới hạn trong (1.1) tuyến tính liên tục theo h, tức là V  (x, h) = A(x)h thì A(x) được gọi là vi phân Gâteaux của ϕ tại điểm x và được kí hiệu là ϕ  (x). Trong định nghĩa (1.1) nếu tồn tại toán tử A : X → X ∗ sao cho: V  (x, h) = Ax, h, ∀x, h ∈ X, thì toán tử A được gọi là Gradient của hàm ϕ và ký hiệu ϕ  hay gradϕ. Định lý 1.3. (i) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi trên X thì ϕ  (x) thỏa mãn bất đẳng thức sau: ϕ  (x) − ϕ  (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X; (ii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi đều trên X thì: ϕ  (x) − ϕ  (y), x − y ≥ 2γ(x − y), ∀x, y ∈ X; (iii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi mạnh trên X thì: ϕ  (x) − ϕ  (y), x − y ≥ 2cx − y 2 , ∀x, y ∈ X. Định lý 1.4. (i) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi trên X thì ϕ  (x) thỏa mãn bất đẳng 8 [...]... n+1 1 với phương pháp lặp trên là một dạng khác của trung Do dó αn = n+1 bình Cesaro 2.2 Phương pháp xấp xỉ mềm Vấn đề đặt ra là tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên tập đóng lồi C của không gian Hilbert X Giả sử tập các điểm bất động S = ∅, phương pháp xấp xỉ mềm tạo ra dãy hội tụ mạnh tới những điểm cố định đặc biệt của ánh xạ T Tìm x ∈ C sao cho : ¯ x = T (¯) ¯ x (2.12) ta phải tìm các... mạnh trong phương pháp là bắt buộc theo một phép chiếu 27 Chương 2 Phương pháp Halpern và cải biên Trong chương này, chúng tôi đề cập đến các vấn đề sau Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày phương pháp Halpern Trong mục 2.2, chúng tôi trình bày phương pháp xấp xỉ mềm Mục 2.3 dùng để trình bày phương pháp Halpern cải biên 2.1 Phương pháp Halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn Trong không gian... C là một toán tử đơn điệu 1.3 Bài toán tìm điểm bất động Cho X là không gian Metric bất kỳ T : X → X là một ánh xạ liên tục, khi đó bài toán tìm điểm bất động được phát biểu như sau: Tìm điểm x∗ ∈ X sao cho T (x∗ ) = x∗ Trong trường hợp T : X → 2X là một ánh xạ đa trị thì bài toán được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ T (x∗ ) Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế... T : C → C là ánh xạ không giãn và d- compact Khi đó tập hợp các điểm bất động F ixT của ánh xạ T là một tập lồi, đóng và với mỗi x0 ∈ C, λ ∈ (0, 1) dãy lặp {xn }∞ xác định bởi: n=0 xn+1 = (1 − λ)xn + λT xn , n = 0, 1 hội tụ mạnh tới điểm bất động của toán tử T Nhận xét Nếu T không có tính chất d- compact thì dãy lặp {xn } hội tụ yếu tới điểm bất động của T Định nghĩa 1.12 Cho H là không gian Hilbert,... "Nguyên lý điểm bất động Brower (1912) và Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)" Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra cho lớp các ánh xạ và không gian 10 khác nhau, đã được ứng dụng trong toán học nói riêng và trong khoa học kỹ thuật nói chung 1.3.1 Nguyên lý ánh xạ co Trước khi phát biểu nguyên lý ánh xạ co ta sẽ định nghĩa ánh xạ co: Định nghĩa 1.10 Cho X, Y là các không gian Metric, ánh xạ T : X... (1.7) là S = {x ∈ H : 0 ∈ T (x)} Một trong những phương pháp để giải phương trình (1.7) là phương pháp điểm gần kề được giới thiệu bởi Martinet [4] sau đó tiếp tục phát triển bởi Rockafellar [5] cho đến nay phương pháp này và ứng dụng của nó đã được thay đổi rất nhiều Nếu có xk ∈ H là nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.7), phương pháp điểm gần kề tạo ra điểm lặp tiếp theo xk+1 thông qua việc giải bài... trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.11 Cho H là không gian Hilbert, C là tập con lồi đóng của H Toán tử T : C → H được gọi là không giãn trên C, nếu: Tx − Ty ≤ x − y , ∀ x, y ∈ C Định lý 1.6.[2] Cho H là không gian Hilbert, C là tập con lồi đóng và giới nội của H Toán tử T : C → H là không giãn trên C Khi đó T có ít nhất một điểm bất động Định lý 1.7.[3] Cho C là tập con lồi đóng và giới nội trong không. .. ta chọn bất kỳ z ∈ F và đặt K := {x − z : x ∈ K} T x := T (x + z) − z (x ∈ K) Rõ ràng T là ánh xạ không giãn trên K và T 0 = 0 Dưới đây là định lí gần với kết quả ban đầu của Halpern Định lý 2.2 31 (m > nε ) Cho (αn ) là dãy trong đoạn [0, 1] thỏa mãn: limn→∞ αn = 0; (i) ∞ αn = ∞; (ii) n=1 ∞ |αn+1 − αn | < ∞ (iii) n=1 Cho thêm K là tập con đóng trong không gian Hilbert H và T là ánh xạ không giãn trên... t > 0 nên nếu t < 2λ = 1 − λ thì: Tt x − Tt y 2 ≤ (x − y) 2 hay Tt x − Tt y 2 ≤ (x − y) 2 Do đó T là ánh xạ không giãn Theo Định lý 1.6 thì Tt có ít nhất một điểm bất động trong C Mặt khác, lại theo Định lý 1.7 với mỗi k ∈ [0, 1) dãy lặp xn = (Tt )n x0 với x0 ∈ C hội k tụ mạnh tới điểm bất động x∗ của T trong C Mặt khác, toán tử (Tt )k có dạng: (Tt )k = (1 − k)I + kT t = (1 − k)I + k[(1 − t)I + tT... } sao cho xni → x∗ Vì Tt là ánh xạ không giãn nên: Tt xni → Tt x∗ , và Tt x∗ = x∗ Từ đó suy toàn bộ dãy {xn }∞ hội tụ tới x∗ n=0 15 1.4 Phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình 0 ∈ T x Bài toán được phát biểu như sau : Tìm x ∈ H sao cho 0 ∈ T (x), (1.7) trong đó H là không gian Hilbert và T (.) là toán tử đơn điệu cực đại trên H Ta kí hiệu tập nghiệm của phương trình (1.7) là S = {x ∈ . 10 1.4. Phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình 0 ∈ Tx 16 Chương 2. Phương pháp Halpern và cải biên 28 2.1. Phương pháp Halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 28 2.2. Phương pháp. Hilbert, phương pháp lặp Solodov - Svaiter giải phương trình 0 ∈ T x. Chương II: Phương pháp Halpern và mở rộng Chương này gồm 3 phần: + Phương pháp Halpern tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. + Phương. đơn điệu. 1.3. Bài toán tìm điểm bất động Cho X là không gian Metric bất kỳ T : X → X là một ánh xạ liên tục, khi đó bài toán tìm điểm bất động được phát biểu như sau: Tìm điểm x ∗ ∈ X sao cho T