Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co mạnh trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  TèNG V¡N HUY PH¦¥NG PH¸P LỈP T×M §IĨM BÊT §éng cđa ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh kh«ng gian banach Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN, 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  Tèng v¨n huy PH¦¥NG PH¸P LỈP T×M §IĨM BÊT §éng cđa ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh kh«ng gian banach Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Ngưới hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thu Thủy Thái Ngun – 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Ánh xạ giả co tốn điểm bất động 1.1 1.2 Một số định nghĩa ký hiệu 1.1.1 Khơng gian Banach lồi đều, trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Ánh xạ giả co Bài tốn điểm bất động 10 1.2.1 Bài tốn điểm bất động 10 1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 11 Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh 14 2.1 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp xác 14 2.2 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp có nhiễu 24 2.3 Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ khơng xác định tồn khơng gian 28 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bảng ký hiệu X Khơng gian Banach thực X∗ Khơng gian liên hợp X ∅ Tập rỗng x := y x định nghĩa y ∀x Với x ∃x Tồn x I Ánh xạ đơn vị J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J A∗ Tốn tử liên hợp tốn tử A x∗ , x Giá trị phiếm hàm x∗ điểm x D(A) Miền xác định tốn tử A R(A) Miền ảnh tốn tử A N (A) Tập khơng điểm tốn tử A F ix(A) Tập điểm bất động tốn tử A xn → x∗ Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x∗ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Một số định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến ngun lý điểm bất động Browder năm 1912 ngun lý ánh xạ co Banach năm 1922 Các kết mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ khác nhau, chẳng hạn ánh xạ khơng giãn, ánh xạ giả co Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu, tốn cân bằng, bất đẳng thức biến phân Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải tốn điểm bất động vấn đề thời thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học nước giới Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ giả co mạnh khơng gian Banach sở phương pháp lặp Mann phương pháp lặp Ishikawa Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu số khái niệm khơng gian Banach trơn đều, khơng gian Banach lồi đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ giả co tốn điểm bất động Một số phương pháp cổ điển xấp xỉ điểm bất động khơng gian Hilbert đề cập phần cuối chương Chương trình bày số định lý hội tụ mạnh dãy lặp Mann dãy lặp Ishikawa điểm bất động ánh xạ giả co mạnh khơng gian Banach Phần đầu chương nghiên cứu hội tụ dãy lặp cho xác Phần thứ hai nghiên cứu hội tụ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu dãy lặp cho có nhiễu Phần cuối chương dành để trình bày nghiên cứu điều kiện để dãy lặp Mann Ishikawa xác định miền xác định ánh xạ tập thường tồn khơng gian Đóng góp tác giả tìm đọc, dịch tổng hợp kiến thức [1]-[4] Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình Cơ suốt q trình tác giả thực luận văn Trong q trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, Thầy Cơ Đại học Thái Ngun, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu cơng tác thân Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi học tập nghiên cứu Tác giả Tống Văn Huy Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Ánh xạ giả co tốn điểm bất động Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết ánh xạ giả co số phương pháp xấp xỉ điểm bất động khơng gian Banach Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]-[5] 1.1 1.1.1 Một số định nghĩa ký hiệu Khơng gian Banach lồi đều, trơn Cho X khơng gian Banach thực, X ∗ khơng gian liên hợp X x∗ , x ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho T ánh xạ với miền xác định D(T ) miền giá trị R(T ) N (T ) tập khơng điểm F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T tương ứng, nghĩa N (T ) = {x ∈ D(T ) : T x = 0}, F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x} Ký hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX = {x ∈ X : x = 1} Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Ánh xạ giả co tốn điểm bất động Định nghĩa 1.1.1 Khơng gian Banach X gọi khơng gian (i) lồi chặt với x, y ∈ SX , x = y (1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1), (ii) lồi với ε thỏa mãn < ε ≤ 2, x, y thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ x − y ≥ ε suy tồn δ = δ(ε) ≥ cho x+y ≤ − δ Chú ý khơng gian Banach lồi đều khơng gian phản xạ lồi chặt Định nghĩa 1.1.2 Khơng gian Banach X gọi (i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc khơng gian trơn) giới hạn lim t→0 x + ty − x t tồn với x, y ∈ SX ; (ii) có chuẩn khả vi Gâteaux giới hạn đạt với x ∈ SX Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X khơng gian tuyến tính định chuẩn thực với số chiều lớn 2, x, y ∈ X Mơ đun trơn X xác định ρX (τ ) := sup x+y + x−y − : x = 1, y = τ (1.1) Ta có định nghĩa khác khơng gian trơn sau: Định nghĩa 1.1.4 Một khơng gian Banach X gọi trơn ρX (τ ) = τ →0 τ →0 τ Các khơng gian Lp , lp ví dụ khơng gian trơn lim hX (τ ) := lim (1.2) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Ánh xạ giả co tốn điểm bất động 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc khơng gian Banach ∗ X ánh xạ J : X → 2X xác định J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x x∗ , x∗ = x } (1.3) với x ∈ X Ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị j Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có tính chất sau Mệnh đề 1.1.1 Giả sử X khơng gian Banach Khi đó, (i) J(x) tập lồi, J(λx) = λJ(x), với λ > 0; (ii) J ánh xạ đơn trị X ∗ khơng gian lồi chặt Trong trường hợp X khơng gian Hilbert J ≡ I-ánh xạ đơn vị X Nếu X khơng gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị Nếu X khơng gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục tập bị chặn X Một bất đẳng thức đơn giản thơng dụng thường dùng để thiết lập mối quan hệ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J chuẩn khơng gian Banach bất đẳng thức Petryshyn [5] Định lý 1.1.1 Cho X khơng gian Banach thực, J : X → 2X ∗ ánh xạ đối ngẫu X Khi x+y ≤ x + y, j(x + y) (1.4) với x, y ∈ X j(x + y) ∈ J(x + y) Bất đẳng thức (1.4) gọi bất đẳng thức Petryshyn 1.1.3 Ánh xạ giả co Định nghĩa 1.1.6 Cho T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ Ánh xạ T gọi liên tục Lipschitz với số Lipschitz L với Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Ánh xạ giả co tốn điểm bất động x, y ∈ D(T ) ta có Tx − Ty ≤ L x − y Nếu ≤ L < ta có định nghĩa ánh xạ co, L = ta có định nghĩa ánh xạ khơng giãn Định nghĩa 1.1.7 Cho T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ (i) Ánh xạ T gọi accretive với x, y ∈ D(T ), tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho T x − T y, j(x − y) ≥ (1.5) (ii) Ánh xạ T gọi h-accretive (hemiaccretive) với x ∈ D(T ) q ∈ N (T ), tồn j(x − q) ∈ J(x − q) cho T x, j(x − q) ≥ (1.6) (iii) Ánh xạ T gọi accretive mạnh với x, y ∈ D(T ), tồn j(x − y) ∈ J(x − y) số k ∈ (0, 1) cho T x − T y, j(x − y) ≥ k||x − y||2 (1.7) Định nghĩa 1.1.8 Cho T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ (i) Ánh xạ T gọi giả co với x, y ∈ D(T ), tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y (1.8) (ii) Ánh xạ T gọi giả co mạnh với x, y ∈ D(T ) tồn j(x − y) ∈ J(x − y) số l ∈ (0, 1) cho T x − T y, j(x − y) ≤ l x − y (1.9) (iii) Ánh xạ T gọi giả co chặt với x, y ∈ D(T ), tồn số k > j(x − y) ∈ J(x − y) cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y − k (Ix − Iy) − (T x − T y) , (1.10) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]...Chương 1 Ánh xạ giả co và bài tốn điểm bất động x, y ∈ D(T ) ta có Tx − Ty ≤ L x − y Nếu 0 ≤ L < 1 thì ta có định nghĩa ánh xạ co, nếu L = 1 thì ta có định nghĩa ánh xạ khơng giãn Định nghĩa 1.1.7 Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ (i) Ánh xạ T được gọi là accretive nếu với mỗi x, y ∈ D(T ), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho T x − T y, j(x − y) ≥ 0 (1.5) (ii) Ánh xạ T được gọi là h-accretive... (1.6) (iii) Ánh xạ T được gọi là accretive mạnh nếu với mỗi x, y ∈ D(T ), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) và hằng số k ∈ (0, 1) sao cho T x − T y, j(x − y) ≥ k||x − y||2 (1.7) Định nghĩa 1.1.8 Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một ánh xạ (i) Ánh xạ T được gọi là giả co nếu với mỗi x, y ∈ D(T ), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 2 (1.8) (ii) Ánh xạ T được gọi là giả co mạnh nếu với... j(x − y) ≤ x − y 2 (1.8) (ii) Ánh xạ T được gọi là giả co mạnh nếu với mọi x, y ∈ D(T ) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) và hằng số l ∈ (0, 1) sao cho T x − T y, j(x − y) ≤ l x − y 2 (1.9) (iii) Ánh xạ T được gọi là giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ D(T ), tồn tại một hằng số k > 0 và j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 2 − k (Ix − Iy) − (T x − T y) 2 , (1.10) 9 Số hóa bởi trung tâm học liệu