Phương Pháp Lặp Tìm Điểm Bất Động Của Ánh Xạ Giả Co Mạnh Trong Không Gian Banach

Header Page of 126 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  TèNG V¡N HUY PH¦¥NG PH¸P LỈP T×M §IĨM BÊT §éng cđa ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh kh«ng gian banach Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN, 2013 Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  Tèng v¨n huy PH¦¥NG PH¸P LỈP T×M §IĨM BÊT §éng cđa ¸nh x¹ gi¶ co m¹nh kh«ng gian banach Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Ngưới hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thu Thủy Thái Ngun – 2013 Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Mục lục Mở đầu Ánh xạ giả co tốn điểm bất động 1.1 1.2 Một số định nghĩa ký hiệu 1.1.1 Khơng gian Banach lồi đều, trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Ánh xạ giả co Bài tốn điểm bất động 10 1.2.1 Bài tốn điểm bất động 10 1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 11 Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh 14 2.1 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp xác 14 2.2 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp có nhiễu 24 2.3 Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ khơng xác định tồn khơng gian 28 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Bảng ký hiệu X Khơng gian Banach thực X∗ Khơng gian liên hợp X ∅ Tập rỗng x := y x định nghĩa y ∀x Với x ∃x Tồn x I Ánh xạ đơn vị J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J A∗ Tốn tử liên hợp tốn tử A x∗ , x Giá trị phiếm hàm x∗ điểm x D(A) Miền xác định tốn tử A R(A) Miền ảnh tốn tử A N (A) Tập khơng điểm tốn tử A F ix(A) Tập điểm bất động tốn tử A xn → x∗ Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x∗ Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Mở đầu Một số định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến ngun lý điểm bất động Browder năm 1912 ngun lý ánh xạ co Banach năm 1922 Các kết mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ khác nhau, chẳng hạn ánh xạ khơng giãn, ánh xạ giả co Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu, tốn cân bằng, bất đẳng thức biến phân Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải tốn điểm bất động vấn đề thời thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học nước giới Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ giả co mạnh khơng gian Banach sở phương pháp lặp Mann phương pháp lặp Ishikawa Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu số khái niệm khơng gian Banach trơn đều, khơng gian Banach lồi đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ giả co tốn điểm bất động Một số phương pháp cổ điển xấp xỉ điểm bất động khơng gian Hilbert đề cập phần cuối chương Chương trình bày số định lý hội tụ mạnh dãy lặp Mann dãy lặp Ishikawa điểm bất động ánh xạ giả co mạnh khơng gian Banach Phần đầu chương nghiên cứu hội tụ dãy lặp cho xác Phần thứ hai nghiên cứu hội tụ Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Mở đầu dãy lặp cho có nhiễu Phần cuối chương dành để trình bày nghiên cứu điều kiện để dãy lặp Mann Ishikawa xác định miền xác định ánh xạ tập thường tồn khơng gian Đóng góp tác giả tìm đọc, dịch tổng hợp kiến thức [1]-[4] Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Lời cảm ơn Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình Cơ suốt q trình tác giả thực luận văn Trong q trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, Thầy Cơ Đại học Thái Ngun, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu cơng tác thân Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi học tập nghiên cứu Tác giả Tống Văn Huy Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Chương Ánh xạ giả co tốn điểm bất động Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết ánh xạ giả co số phương pháp xấp xỉ điểm bất động khơng gian Banach Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]-[5] 1.1 Một số định nghĩa ký hiệu 1.1.1 Khơng gian Banach lồi đều, trơn Cho X khơng gian Banach thực, X ∗ khơng gian liên hợp X x∗ , x ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho T ánh xạ với miền xác định D(T ) miền giá trị R(T ) N (T ) tập khơng điểm F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T tương ứng, nghĩa N (T ) = {x ∈ D(T ) : T x = 0}, F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x} Ký hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX = {x ∈ X : x = 1} Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Chương Ánh xạ giả co tốn điểm bất động Định nghĩa 1.1.1 Khơng gian Banach X gọi khơng gian (i) lồi chặt với x, y ∈ SX , x = y (1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1), (ii) lồi với ε thỏa mãn < ε ≤ 2, x, y thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ x − y ≥ ε suy tồn δ = δ(ε) ≥ cho x+y ≤ − δ Chú ý khơng gian Banach lồi đều khơng gian phản xạ lồi chặt Định nghĩa 1.1.2 Khơng gian Banach X gọi (i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc khơng gian trơn) giới hạn lim t→0 x + ty − x t tồn với x, y ∈ SX ; (ii) có chuẩn khả vi Gâteaux giới hạn đạt với x ∈ SX Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X khơng gian tuyến tính định chuẩn thực với số chiều lớn 2, x, y ∈ X Mơ đun trơn X xác định ρX (τ ) := sup x+y + x−y − : x = 1, y = τ (1.1) Ta có định nghĩa khác khơng gian trơn sau: Định nghĩa 1.1.4 Một khơng gian Banach X gọi trơn ρX (τ ) = τ →0 τ →0 τ Các khơng gian Lp , lp ví dụ khơng gian trơn lim hX (τ ) := lim (1.2) Footer Page of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 10 of 126 Chương Ánh xạ giả co tốn điểm bất động 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc khơng gian Banach ∗ X ánh xạ J : X → 2X xác định J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x x∗ , x∗ = x } (1.3) với x ∈ X Ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị j Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có tính chất sau Mệnh đề 1.1.1 Giả sử X khơng gian Banach Khi đó, (i) J(x) tập lồi, J(λx) = λJ(x), với λ > 0; (ii) J ánh xạ đơn trị X ∗ khơng gian lồi chặt Trong trường hợp X khơng gian Hilbert J ≡ I-ánh xạ đơn vị X Nếu X khơng gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị Nếu X khơng gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục tập bị chặn X Một bất đẳng thức đơn giản thơng dụng thường dùng để thiết lập mối quan hệ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J chuẩn khơng gian Banach bất đẳng thức Petryshyn [5] Định lý 1.1.1 Cho X khơng gian Banach thực, J : X → 2X ∗ ánh xạ đối ngẫu X Khi x+y ≤ x + y, j(x + y) (1.4) với x, y ∈ X j(x + y) ∈ J(x + y) Bất đẳng thức (1.4) gọi bất đẳng thức Petryshyn 1.1.3 Ánh xạ giả co Định nghĩa 1.1.6 Cho T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ Ánh xạ T gọi liên tục Lipschitz với số Lipschitz L với Footer Page 10 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 32 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh D(T ) dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa    x0 ∈ B    yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥      xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ (2.37) nằm trong B hội tụ mạnh tới x∗ Hơn s αn = , ∀n ≥ (1 + L)2 ||xn+1 − x∗ || ≤ ρn ||x0 − x∗ ||, s2 ρ = − ∈ (0, 1) 2(1 + L)2 Chứng minh Đặt B(y, r) = {x ∈ X : ||x − y|| ≤ r} Khi tồn r1 > cho B(x∗ , r1 ) ⊆ D(T ) Vì D(T ) miền mở T Để ý dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa dãy lặp (2.37) viết sau xn+1 = (1 − αn )xn + αn T xn + αn (T yn − T xn ), (2.38) với n ≥ Bây ta dãy lặp {xn } hồn tồn xác định quy nạp Đầu tiên ta yn ∈ B xn ∈ B với n ≥ Giả sử xn ∈ B Khi từ cơng thức (2.37) Định lý 2.3.1 ta có ||yn − x∗ || ≤ (1 − s βn )||xn − x∗ || ≤ r, 2(1 + L) từ ta suy yn ∈ B Bây ta xn ∈ B với n ≥ Thật vậy, theo cách chọn x0 ta có x0 ∈ B Giả sử xn ∈ B Khi sử dụng Định lý 2.3.1 cơng thức (2.38), ta s ||xn+1 − x∗ || ≤ (1 − αn )||xn − x∗ || ≤ r, 4(1 + L) (2.39) từ suy xn+1 ∈ B ta có xn ∈ B với n ≥ Quy nạp từ cơng thức (2.39) ta suy kết luận Định lý 2.3.2 30 Footer Page 32 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 33 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Hệ 2.3.1 Cho X, T αn Định lý 2.3.2 Khi tồn hình cầu đóng B = {x ∈ D(T ) : ||x − x∗ || < r} nằm D(T ) dãy lặp Mann {xn } định nghĩa   x0 ∈ B  x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.40) nằm B hội tụ mạnh tới x∗ Hơn nữa, αn = s , ∀n ≥ 0, (1 + L)2 ||xn+1 − x∗ || ≤ ρn ||x0 − x∗ ||, s2 ρ = (1 − ) ∈ (0, 1) 2(1 + L)2 Chứng minh Sủ dụng Định lý 2.3.2 với βn = 0, với n ≥ Định lý 2.3.3 Cho X khơng gian Banach thực, trơn T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ nửa co mạnh liên tục Lipschitz địa phương với miền mở D(T ) nằm X điểm bất động x∗ ∈ D(T ) Khi tồn hình cầu đóng B nằm D(T ) cho dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa    x0 ∈ B    yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥      xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ (2.41) nằm B hội tụ mạnh tới điểm bất động x∗ T với αn βn thỏa mãn điều kiện: δ i) αn + βn ≤ min{k, }, n ≥ 0; (1 + L)r ∞ αn = +∞, ii) n=0 k, δ, L r số dương cố định Chứng minh Vì T ánh xạ Lipschit địa phương nên tồn r > ¯ = Br (x∗ ) = {x ∈ D(T ) : ||x − x∗ || ≤ r} ⊆ cho T Lipschit B 31 Footer Page 33 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 34 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh t−1 ∈ (0, 1) L ≥ tương ứng với số nửa co t mạnh số Lipschitz Vì X khơng gian Banach trơn nên D(T ) Đặt k = ánh xà đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục tập bị chặn kr X Vậy, với ε = > ta định nghĩa số dương δ cho 2L ||j(x) − j(y)|| ≤ ε, x, y ∈ BLr = {x ∈ X : ||x − x∗ || ≤ Lr} ||x − y|| ≤ δ Tại điểm ta chọn tham số αn βn thỏa mãn điều kiện i) ii) định nghĩa dãy lặp {xn } (2.41) Khẳng định 1: yn ∈ B với xn ∈ B với n ≥ Giả sử xn ∈ B Khi ||xn − x∗ || ≤ r Sử dụng Định lý 1.4 cơng thức đệ quy (2.41), ta có ||yn − x∗ ||2 ≤ (1 − βn )2 ||xn − x∗ ||2 + 2βn T xn − x∗ , j(yn − x∗ ) ≤ (1 − βn )2 r2 + 2(1 − k)βn r2 + 2Lβn kr 2L (2.42) ≤ r2, từ suy yn ∈ B Khẳng định 2: xn ∈ B với n ≥ Chọn x0 ∈ B Giả sử xn ∈ B với só ngun n cố định Khi ta chứng minh xn+1 ∈ B với n Đầu tiên ta có yn ∈ B, tức ||yn − x∗ || ≤ r Đặt en = ||j(xn+1 − x∗ ) − j(yn − x∗ )|| Sử dụng lại Định lý 1.4 cơng thức (2.41) ta ||xn+1 − x∗ ||2 ≤ (1 − αn )2 ||xn − x∗ ||2 + 2αn T yn − x∗ , j(xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − αn )2 r2 + 2αn T yn − x∗ , j(xn+1 − x∗ ) (2.43) ≤ (1 − αn )2 r2 + 2(1 − k)αn r2 + 2Lrαn en ≤ r2, 32 Footer Page 34 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 35 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh từ suy xn+1 ∈ B Bằng cách quy nạp ta khẳng định xn ∈ B với n ≥ Khẳng định 3: xn → x∗ n → ∞ Làm tương tự chứng minh Định lý 2.1.1 Hệ 2.3.2 Cho X, T αn Định lý 2.3.3 Khi tồn hình cầu đóng B = {x ∈ D(T ) : ||x − x∗ || ≤ r} nằm D(T ) dãy lặp Mann {xn } định nghĩa   x0 ∈ B  x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.44) giữ ngun B hội tụ mạnh tới x∗ Hơn αn = δ min{k, } với n ≥ (1 + L)r ||xn+1 − x∗ || ≤ Qn ||x0 − x∗ ||, Q ∈ (0, 1) Định lý 2.3.4 Cho X khơng gian Banach thực T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ giả co mạnh, liên tục với điểm bất động q ∈ D(T ) số giả co mạnh k ∈ (0, 1) Giả sử với giá trị lặp ban đầu x0 ∈ D(T ), tồn hình cầu đóng B = {x ∈ D(T ) : ||x − x0 || ≤ ||x0 − T x0 ||} cho B ⊂ D(T ) Khi tồn số k dương M , δ cho dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa    x0 ∈ B    (2.45) yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥      xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ hội tụ mạnh tới điểm bất động q T , miễn αn βn thỏa mãn điều kiện sau: δ ||x0 − T x0 || i) αn ≤ min{k, , }, n ≥ 0, 2M kM 33 Footer Page 35 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 36 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh ii) βn ≤ min{k, ∞ δ ||x0 − T x0 || , }, n ≥ 0, 4M kM αn = ∞, iii) n=0 iv) αn → 0, βn → n → ∞ Chứng minh Vì T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ giả co mạnh Khi (I − T ) ánh xạ accretive mạnh tồn số k ∈ (0, 1) j(x − y) ∈ J(x − y) cho x − T x − y + T y, j(x − y) ≥ k||x − y||2 , (2.46) với x, y ∈ D(T ) Từ cơng thức ta suy T x − T y, j(x − y) ≤ (1 − k)||x − y||2 , (2.47) với x, y ∈ D(T ) Từ cơng thức (2.47) ta có ||x0 − q|| ≤ ||x0 − T x0 || k (2.48) Vì T liên tục D(T ) nên T bị chặn D(T ) Đặt M = sup{||x − T x|| : x ∈ B} Khi M < ∞ Hơn nữa, từ tính liên tục T , với ε = ||x0 − T x0 || Khi phải tồn số δ cho ||T x − T y|| ≤ ε, (2.49) mà ||x − y|| ≤ δ Trước hết ta dãy lặp {xn } định nghĩa cơng thức (2.45) hồn tồn xác định Sau hai dãy lặp {xn } {yn } nằm B, với n ≥ Đầu tiên ta chứng minh 1 ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || với ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || k k Giả sử ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 ||, từ (2.45) ta có k ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || (2.50) k 34 Footer Page 36 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 37 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Sử dụng Định lý 1.4, cơng thức (2.45) (2.47) ta ||yn − q||2 ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn T xn − q, j(yn − q) ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn ||T xn − T yn ||||yn − q|| + 2βn (1 − k)||yn − q||2 (2.51) ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + βn ||x0 − T x0 ||2 k + 2βn (1 − k)||yn − q||2 , từ suy ||x0 − T x0 ||2 , (2.52) k điều có nghĩa ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Bây ta k ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 ||, với n ≥ Ta kết thúc bước k quy nạp Bằng định nghĩa ánh xạ T , ||x0 − q|| ≤ ||x0 − T x0 || k Giả sử ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Khi lý luận trên, k ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Chú ý k ||yn − q||2 ≤ ||xn+1 − q|| ≤ (1 − αn )||xn − q|| + αn ||T yn − q|| ≤ (1 − αn ) ||x0 − T x0 || ||x0 − T x0 || + αn (M1 + ) (2.53) k k ≤ ||x0 − T x0 ||, k xn+1 ∈ B Sử dụng Định lý 1.4 (2.45), ta có ||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − q, j(xn+1 − q) ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn ||T yn − T xn+1 ||||xn+1 − q|| + 2αn (1 − k)||xn+1 − q||2 (2.54) 35 Footer Page 37 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 38 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Để ý ||yn − xn+1 || ≤βn ||xn − T xn || + αn ||xn − yn || + αn ||T yn − yn || ≤βn M + αn βn M + αn M (2.55) ≤(αn + 2βn )M ≤δ, ||x0 − T x0 || Thay (2.53) (2.55) vào (2.54) cho ||x0 − T x0 || ta ||xn+1 − q|| ≤ Bằng quy nạp ta ||xn − q|| ≤ k ||x0 − T x0 || , với n ≥ Do xn , yn ∈ B với n ≥ Phần k lại lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.1.3 để ||T yn −T xn+1 || ≤ Hệ 2.3.3 Cho X, T B1 Định lý 2.3.3 Khi tồn số dương M , δ cho dãy lặp Mann {xn } định nghĩa   x0 ∈ D(T )  x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.56) hội tụ mạnh tới điểm bất động q T miễn {αn } thỏa mãn điều kiện sau: δ ||x0 − T x0 || i) αn = min{k, , }, n ≥ 0, 2M kM ∞ ii) αn = ∞, n=0 iii) αn → n → ∞ Chứng minh Trong Định lý 2.3.4 thay βn = 0, với n ≥ Định lý 2.3.5 Cho X khơng gian Banach thực trơn T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ giả co mạnh với điểm bất động q ∈ D(T ) số giả co mạnh t > Đặt k = t−1 (t − 1) Giả sử với giá trị ban đầu x0 ∈ D(T ), tồn hình cầu đóng B2 = {x ∈ D(T ) : ||x − x0 || ≤ ||x0 − T x0 ||} cho B ⊂ D(T ) (I − T )B bị chặn k 36 Footer Page 38 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 39 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Khi tồn số dương M , δ cho dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa cơng thức sau:    x0 ∈ D(T )    yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥      xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ 0, (2.57) hội tụ mạnh tới điểm bất động q T miễn {αn } {βn } thỏa mãn điều kiện sau: δ ||x0 − T x0 || i) αn ≤ min{k, , }, n ≥ 0, 2M 2kM δ ||x0 − T x0 || ii) βn ≤ min{k, , }, n ≥ 0, M M ∞ iii) αn = ∞, n=0 iv) αn → 0, βn → n → ∞ Chứng minh Đặt M = sup{||x − T x|| : x ∈ B} Vì khơng gian Banach X trơn đều, j liên tục tập bị chặn X, với ||x0 − T x0 ||2 , ε= 2(kM + ||x0 − T x0 ||) tồn số dương δ cho ||j(x) − j(y)|| ≤ ε với x, y ∈ B mà ||x − y|| ≤ δ 1 Khẳng định 1: ||yn −q|| ≤ ||x0 −T x0 || mà ||xn −q|| ≤ ||x0 −T x0 || k k 1 Để ý ||x0 −q|| ≤ ||T x0 −x0 || Giả sử ||xn −q|| ≤ ||x0 −T x0 || k k Khi ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || yn ∈ B Chú ý k ||xn − yn || ≤ βn M ≤ δ ||x0 − T x0 ||2 bn = ||j(xn − q) − j(yn − q)|| ≤ 2(kM + ||x0 − T x0 ||) Bây ta cần chứng minh ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Thật sử k 37 Footer Page 39 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 40 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh dụng Định lý 1.4 (2.57), ta ||yn − q||2 ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn T xn − q, j(yn − q) ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn (||T xn − xn || + ||xn − q||)bn + 2βn (1 − k)||xn − q||2 , (2.58) suy ||yn − q|| ≤ ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || k Khẳng định 2: ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 ||, với n ≥ k Ta chứng minh quy nạp Hiển nhiên khẳng định với n = Giả sử khẳng định đến n ta cần chứng minh khẳng định đến n + Chú ý ||xn − x0 || ≤ ||x0 − T x0 || từ (2.57) ta k có 1 ||xn+1 − q|| ≤ ||x0 − T x0 || + αn (M + ||x0 − T x0 ||) k k (2.59) ≤ ||x0 − T x0 ||, k từ suy xn+1 ∈ B2 Đặt cn = ||j(xn+1 − q) − j(yn − q)|| Khi ta có ||x0 − T x0 ||2 cn ≤ 2(kM + ||x0 − T x0 ||) Vì ||xn+1 − yn || ≤ δ Sử dụng Định lý 1.4 (4.30) ta ||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − q, j(xn+1 − q) ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − q, j(xn+1 − q) − j(yn − q) + 2αn T yn − q, j(yn − q) (2.60) ||x0 − T x0 ||2 ≤||xn − q|| − αn k + 2αn (M + ||x0 − T x0 ||)cn k ≤||xn − q||2 , 38 Footer Page 40 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 41 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh từ suy ||xn+1 − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Bằng quy nạp ta khẳng k định ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 ||, với n ≥ k Khẳng định 3: xn → q n → ∞ Đặt dn = ||j(yn − q) − j(xn − q) en = ||j(xn+1 − q) − j(yn − q)|| Khi dn → 0, en → n → ∞ Ở ta sử dụng tính liên tục j tập bị chặn X Sử dụng Định lý 1.4 (2.57), ta ||yn − q||2 ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn T xn − q, j(yn − q) ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn M + ||x0 − T x0 || dn k (2.61) + 2βn (1 − k)||xn − q||2 ≤||xn − q||2 + o(βn ) Từ cơng thức (2.60) (2.61) ta có ||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − q, j(xn+1 − q) ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn M + ||x0 − T x0 || en k + 2αn (1 − k)||yn − q||2 ≤(1 − kαn )||xn − q||2 + o(αn ), (2.62) từ suy xn → q n → ∞ (theo Bổ đề 2.1.1 Định lý chứng minh xong Hệ 2.3.4 Cho X, T , B αn Định lý 2.3.5 Định nghĩa dãy lặp Mann cơng thức   x0 ∈ B  x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.63) Khi dãy lặp {xn } định nghĩa (2.63) hội tụ mạnh tới điểm bất động q T , {αn } thỏa mãn điều kiện sau: 39 Footer Page 41 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 42 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh δ ||x0 − T x0 || , }, n ≥ 0, 2M 2M ii) αn → n → ∞, i) αn ≤ min{k, ∞ αn = ∞ iii) n=0 Chứng minh Trong Định lý 2.3.5 thay βn ≡ 0, với n ≥ Định lý 2.3.6 Cho X khơng gian Banach trơn T : D(T ) → X ánh xạ giả co mạnh với miền xác định D(T ) tập mở Giả sử điểm bất động q ∈ D(T ) Khi tồn hình cầu đóng B cho dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa    x0 ∈ B    yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥      xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ 0, (2.64) hội tụ mạnh tới điểm bất động q T miễn {αn }, {βn } thỏa mãn điều kiện sau: ∞ αn = ∞, i) n=0 ii) αn → 0, βn → n → ∞, r δ iii) αn ≤ min{k, , }, n ≥ 0, 2M 4(M + r) r δ iv) βn ≤ min{k, , }, n ≥ 0, M 4(M + r) Chứng minh Chú ý (I − T ) ánh xạ accretive mạnh bị chặn địa phương điểm miền hữu hiệu Vì D(T ) mở, ta chọn r > cho B = {x ∈ X : ||x − q|| ≤ r} nằm D(T ) (I − T )(B) bị chặn Đặt M = sup{||x − T x|| : x ∈ B} Vì X khơng gian Banach trơn đều, j liên tục tập kr2 bị chặn X Vậy với ε = , ta chọn δ > 2(M + r) cho ||j(x) − j(y)|| ≤ ε, với x, y ∈ B2r = {x ∈ X : ||x|| ≤ 2r} mà ||x − y|| ≤ δ Tại điểm ta định nghĩa dãy lặp {xn } (2.64) 40 Footer Page 42 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 43 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Bây ta dãy {xn } hồn tồn xác định nằm B Đầu tiên ta yn ∈ B với xn ∈ B Cho xn ∈ B, ta có ||yn − q|| ≤ r + βn M ≤ 2r, ||xn − yn || ≤ δ kr2 Ta có en = ||j(yn − q) − j(xn − q)|| ≤ 2(M + r) Sử dụng Định lý 1.4, cơng thức (2.64) đánh giá ta có ||yn − q||2 ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn T xn − q, j(yn − q) ≤(1 − βn )2 r2 + 2βn (M + r)en + 2βn r2 (2.65) ≤(1 − kβn )r2 + kβn r2 , suy ||yn − q|| ≤ r Bây ta xn ∈ B, ∀n ≥ Bằng cách chọn x0 , ta có x0 ∈ B Giả sử xn ∈ B Khi từ lý luận ta suy yn ∈ B Hơn ta có ||xn+1 − q|| ≤ r + αn (M + βn M ) ≤ 2r, ||xn+1 − yn || ≤ δ, fn = ||j(xn+1 − q − j(yn − q))|| ≤ ε Vì ta có đánh giá sau ||xn+1 − q|| ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn T yn − q, j(xn+1 − q) ≤(1 − αn )2 r2 + 2αn (M + r)fn + 2αn (1 − k)r2 (2.66) ≤(1 − kαn )r2 + kαn r2 = r2 , từ suy xn+1 ∈ B Bằng quy nạp ta xn ∈ B, ∀n ≥ Phần lại chứng minh lý luận tương tự Định lý 2.3.5 Hệ 2.3.5 Cho X, T, B {αn } Định lý 2.3.6 Định nghĩa dãy lặp Mann cơng thức:   x0 ∈ B  x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.67) Khi dãy lặp {xn } định nghĩa (2.67) hội tụ mạnh tới điểm bất động T {αn } thỏa mãn điều kiện sau: 41 Footer Page 43 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 44 of 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh δ r , }, n ≥ 0, 4(M + r) 2M ii) αn → n → ∞, i) αn ≤ min{k, ∞ αn = ∞ iii) n=0 Chứng minh Trong Định lý 2.3.6 thay βn ≡ 0, ∀n ≥ 42 Footer Page 44 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 45 of 126 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ giả co mạnh khơng gian Banach sở phương pháp lặp Mann phương pháp lặp Ishikawa Cụ thể chúng tơi trình bày số định lý hội tụ mạnh dãy lặp Mann dãy lặp Ishikawa trường hợp dãy lặp cho xác dãy lặp cho có nhiễu Đóng góp tác giả tìm đọc, dịch tổng hợp kiến thức [1]-[5] 43 Footer Page 45 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 46 of 126 Tài liệu tham khảo [1] Shih-sen Chang, Yeol Je Cho and Haiyun Zhou, Iterative methods for nonlinear operator equations in Banach spaces , Nova Science Publishers, Inc, Huntington, New York, 2001 [2] K Deimling, Zeros of accretive oprators, Manuscripta Math., 13(1974), 283-288 [3] S Ishikawa, Fixed point by a new iteration method, Proc Amer Math Soc., 44(1974), 147-150 [4] W.R Mann, Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc., 4(1953), 506-510 [5] W V Petryshyn, A characterization of strict convexity of Banach spaces and other uses of duality mappings, J Funct Anal., 6(1970), 282-291 44 Footer Page 46 of 126 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... 126 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Trong chương này, chúng tơi trình bày số phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh khơng gian Banach, sở dãy lặp kiểu... pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh 2.2 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp có nhiễu Trong mục ta nghiên cứu hội tụ mạnh dãy lặp Mann dãy lặp Ishikawa xấp xỉ điểm bất động ánh xạ giả co mạnh. .. Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh hội tụ mạnh tới điểm bất động T Chứng minh Nếu F ix(T ) = ∅ F ix(T ) phải có giá trị, giả sử q điểm bất động T Vì T : K → K ánh xạ giả co