Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach

LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Hà Đức Vượng, người thầy hướng dẫn truyền cho tác giả kinh nghiệm quí báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn trình hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán Tổ Giải tích với quý thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả Đỗ Đức Anh LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn Tiến sĩ Hà ĐứcVượng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả Đỗ Đức Anh Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian định chuẩn 14 1.1.3 Không gian Banach 19 1.2 Không gian Hilbert 23 1.2.1 Không gian tích vô hướng 23 1.2.2 Không gian Hilbert 26 Chương Không gian Banach lồi 30 2.1 Tính lồi hình cầu đơn vị không gian Banach 30 2.2 Modul lồi đặc trưng lồi không gian Banach 34 Chương Modul lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach 42 3.1 Cấu trúc chuẩn tắc 42 3.2 Modul lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach 46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 BẢNG KÍ HIỆU N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực Z Tập số nguyên C Tập số phức Rk Không gian thực k chiều C[a;b] Tập tất hàm số thực liên tục [a, b] ∅ Chuẩn Tập hợp rỗng Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1936 Clarkson đặt móng cho hướng nghiên cứu quan trọng Giải tích toán học "Hình học không gian Banach" Đây công cụ quan trọng để giải nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật Đặc biệt công cụ thiếu lĩnh vực nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ không giãn Năm 1948, Brodskii Milman đưa khái niệm điểm đường kính (diametral point) xây dựng khái niệm tập hợp có cấu trúc chuẩn tắc (normal structure) Các khái niệm modul lồi (modulus of convexity), đặc trưng lồi (Characteristic of convexity) xuất hiện, thu hút nhiều nhà toán học nghiên cứu quan hệ modul lồi, đặc trưng lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach như: Bynum, Day, James, Goebel, Kirk Với mong muốn tìm hiểu sâu mối quan hệ modul lồi, đặc trưng lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach, giúp đỡ, hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Hà Đức Vượng mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu : “Modul lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài xây dựng tổng quan modul lồi, đặc trưng lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach Công trình nghiên cứu dựa kết chương: Chương 5: "Scaling the convexity of the unit ball"; Chương 6: "The modulus of convexity and normal structure" sách “Topics in metric fixed point theory” tác giả K Goebel W A Kirk xuất Mỹ năm 1990 Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích trên, nhiệm vụ nghiên cứu là: - Nghiên cứu tính lồi hình cầu đơn vị không gian Banach - Nghiên cứu mối quan hệ modul lồi đặc trưng lồi không gian Banach - Nghiên cứu cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach - Nghiên cứu mối quan hệ modul lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu modul lồi, đặc trưng lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Đóng góp Đây tổng quan modul lồi, đặc trưng lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach Giúp người đọc hiểu mối quan hệ modul lồi đặc trưng lồi không gian Banach, mối quan hệ modul lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach Chương Kiến thức chuẩn bị Không gian metric, không gian Banach không gian Hilbert không gian quan trọng Giải tích hàm Trong chương trình bày số khái niệm không gian metric, không gian Banach, không gian Hilbert, số tính chất quan trọng ví dụ minh họa không gian 1.1 1.1.1 Không gian Banach Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 [4] Không gian metric tập hợp X = ∅ với ánh xạ d từ X vào tập số thực R, thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y, với ∀x, y ∈ X; 2) d(x, y) = d(y, x), với ∀x, y ∈ X; 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với ∀x, y, z ∈ X Ánh xạ d gọi metric X Không gian metric ký hiệu (X, d) Ví dụ 1.1.1 Với hai véctơ x = (x1 , x2 , , xk ), y = (y1 , y2 , , yk ) thuộc không gian véctơ thực k chiều Rk (k số nguyên dương đó) đặt: k (xj − yj )2 d(x, y) = (1.1) j=1 Ta có (Rk , d) không gian metric Thật vậy: Ta có k (xj − yj )2 ≥ 0, với x, y ∈ R j=1 Suy d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R Mặt khác ta có: k (xj − yj )2 = d(x, y) = ⇔ j=1 Ta có (xj − yj )2 = 0, ∀j = 1, 2, , k Hay xj = yj , ∀j = 1, 2, , k Suy x = y Vậy d(x, y) = ⇔ x = y Để kiểm tra hệ thức (1.1) thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 1.1.1, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopski: Với 2k số thực aj , bj , (j = 1, 2, , k) ta có: k k k a2j aj bj ≤ j=1 j=i b2j j=i Thật k k (ai bj − aj bi )2 0≤ i=1 j=1 (1.2) k k k a2i b2j = −2 k i=1 j=1 k k a2j b2i bi aj bj + i=1 j=1 k i=1 j=1 k a2j =2 k b2j j=1 j=1 k k −2 aj b j j=1 Do ta có a2j j=1 b2j k aj b j ≤ Từ suy − j=i j=1 ≥ aj b j j=1 k k j=1 a2j k j=i b2j Với ba véc tơ x = (x1 , x2 , , xk ), y = (y1 , y2 , , yk ), z = (z1 , z2 , , zk ) thuộc Rk ta có: k (xj − yj )2 d (x, y) = j=1 k [(xj − zj ) + (zj − yj )]2 = j=1 k k k (xj − zj ) + = j=1 j=1 k j=1 k ≤ (zj − yj )2 (xj − zj )(zj − yj ) + (xj − zj ) + j=1 k (xj − zj )2 j=1 k (zj − yj j=1 )2 (zj − yj )2 + j=1 = d2 (x, z) + 2d(x, z)d(y, z) + d2 (z, y) = [d(x, z) + d(y, z)]2 Từ suy ra: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ R Do hệ thức (1.1) thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 1.1.1 Vậy hệ thức (1.1) metric Rk Ta có (Rk , d) không gian metric 39 Suy ε = [1 − δX (2 (1 − δX (ε)))] = [1 − δX (f (ε))] = f (ε) , ∀ε ∈ [ε0 ; 2] Hay ε = f (ε), ∀ε ∈ [ε0 ; 2] Mặt khác, theo định nghĩa đặc trưng lồi δX hàm không giảm, nhận giá trị [0; 1] nên δX (ε) = 0, ∀ε ∈ [0; ε0 ] Do f (ε) = f [f (ε)] = f [2 (1 − δX (ε))] = f (2) Vậy f (ε) = f (2), ∀ε ∈ [0; ε0 ] Nếu ε0 < từ tính liên tục hàm f suy tồn r ∈ (ε0 ; 1) 1 thỏa mãn f (r) = 2r Vậy ≤ k ≤ từ > r > ε0 f giảm r k ngặt trên[ε0 ; 2] ta có f k < f (r) = 2r < k Vì f giảm ngặt [0; 2], f (ε) = ε, ∀ε ∈ [ε0 ; 2] ta suy > ε0 k Suy k f < f2 k = k Do kf k < 1, với k ∈ 1; r (2.6) 40 Từ (2.3): cho ε → 2− , ta có δX (2 (1 − δX (2− ))) = Do ε ≥ − δX − Suy ε0 Vì bất đẳng thức ngược lại đạt ε → ε+ , nên ta có δX 2− ≥ − δX (2− ) = − ε0 hay lim− δX (ε) = − ε→2 ε0 Điều lim f (ε) = ε0 ε→2− Nhận xét 2.2.4 Không gian Banach X lồi ε0 (X) = Thậy Vì ε0 (X) = ⇔ sup {ε ∈ [0; 2] : δX (ε) = 0} = Vì δX hàm không giảm, nhận giá trị [0; 1] δX (0) = 0, suy δX (ε) > 0, ∀ε > Theo nhận xét 2.2.1 tương đương X lồi Ví dụ 2.2.1 Giả sử H không gian Hilbert với chuẩn thông thường Từ theo quy tắc hình bình hành H ta có x+y + x−y =2 x + y Nếu x, y ∈ H thoả mãn x = y = x − y = ε, ta có ε2 + ||x + y||2 = 4, hay x+y = ε2 1− 41 Từ suy ε2 Bây giả sử λ ≥ kí hiệu Xλ không gian thu đặt lại δH (ε) = − 1− chuẩn không gian Hilbert l2 , sau: Với x = (x1 , x2 , ) ∈ l2 , ta đặt x = max Tất chuẩn λ x −1 ∞,λ x   = max max xi , λ−1  λ ∞ x2i    i=1 tương đương ta có λ−1 x ≤ x λ ≤ x Tuy nhiên với λ > với chuẩn không gian không lồi Bằng kỹ thuật tính toán ta có  2 (λ2 − 1) ε0 (Xλ ) = 2 với λ ≤ với λ ≥ √ √ 2 √ Chẳng hạn với λ = √ < ta có: √ ε X √5 = 2 2 − = Trên trình bày không gian lồi đều, modul lồi đặc trưng lồi không gian Banach Qua thấy rằng: - Mọi không gian Hilbert lồi Có không gian Banach lồi chặt không lồi - Mọi không gian lồi lồi chặt - Modul lồi không gian Banach số dương phụ thuộc vào khoảng cách điểm x y mà không phụ thuộc vào vị trí chúng Chương Modul lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach Trong chương II tìm hiểu modul lồi không gian Banach Tiếp theo, tìm hiểu không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc mối quan hệ modul lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach 3.1 Cấu trúc chuẩn tắc Định nghĩa 3.1.1 [12] Cho X không gian Banach, D H tập hợp X Tập hợp: a) ru (D) = sup {||u − v|| : v ∈ D} , u ∈ X gọi bán kính D u b) rH (D) = inf {ru (D) : u ∈ H} gọi bán kính Chebyshev D H c) CH (D) = {u ∈ H : ru (D) = rH (D)} gọi tâm Chebyshev D H Nhận xét 3.1.1 1) Nếu u ∈ CH (D) D ⊂ B(u, ru (D)), B(u, ru (D)) hình cầu tâm u bánh kính ru (D) 43 2) Nếu H = D: r(D) = inf {ru (D) : u ∈ D} gọi bán kính Chebyshev D C(D) = {u ∈ D : ru (D) = r(D)} gọi tâm Chebyshev D 3) Hiển nhiên ta có r(D) ≤ ru (D) ≤ diamD Định nghĩa 3.1.2 [12] Cho X không gian Banach, D tập X Điểm u ∈ D gọi điểm đường kính (diametral) ru (D) = diamD Điểm u ∈ D gọi điểm không đường kính (nondiametral) ru (D) < diamD Ví dụ 3.1.1 Cho C[0;1] không gian hàm số thực, liên tục [0; 1] với chuẩn sup thông thường: ||x|| = sup {x(t) : t ∈ [0; 1]} M tập C[0;1] , xác định sau: M = {x = {x(t) : = x(0) ≤ x(t) ≤ x(1) = 1}} Ta xét với hai chuẩn khác C[0;1] sau: Với x ∈ C[0;1] : ||x||0 = max {x(t)} , 0≤t≤1   21 ||x||1 = ||x||0 +  (x(t))2 dt 44 Khi với ta có: r(M ) = diamM = Vậy M tập điểm đường kính Ta có C(M ) = M Với ta có: diamM = 2; r(M ) = Do r(M ) < diamM điểm M điểm đường kính Ta có C(M ) = ∅ Định nghĩa 3.1.3 [12] Cho X không gian Banach K tập lồi X, gọi có cấu trúc chuẩn tắc (normal structure) với tập lồi, bị chặn S K với diamS > S có điểm không đường kính Định nghĩa 3.1.4 Cho X không gian Banach Dãy {xn } X gọi dãy đường kính (diametral sequence) số chung cuộc(eventually constant) lim dist (xn+1 , conv {x1 , x2 , , xn }) = diam {x1 , x2 , , } n→∞ Định lý 3.1.1 [12] Cho K tập lồi, bị chặn không gian Banach X, có cấu trúc chuẩn tắc không chứa dãy đường kính Chứng minh Trước hết ta thấy K chứa dãy đường kính {xn } S = conv {x1 , x2 , , } tập điểm đường kính Ta chứng minh định lý phản chứng Giả sử K tập có cấu trúc chuẩn tắc chứa dãy đường kính {xn } 45 Đặt d = diamS, d > chọn ε ∈ (0; d) Bắt đầu với x1 ∈ S, ta xây dựng dãy {xn } thỏa mãn: ||yn−1 − xn+1 || > d − với n yn−1 = i=1 ε , n2 xi n n n Lấy x ∈ S, ta có : x = αj xj , với α ≥ j=1 αj = 1, S tập lồi j=1 Nếu α = αp = max {α1 , α2 , , αn } yn−1 x = + nα Ở ta có + nα n αj − xj n nα j=1 n j=1 αj − n nα =1 xj − ≥ n nα Do ta có d− ε < ||yn−1 − xn+1 || n2 ≤ ||x − xn+1 || + nα ≤ j=p αj ||xj − xn+1 || − n nα 1 ||x − xn+1 || + − d nα nα Vì ta có ||x − xn+1 || > =d− d ε − nα n nα αε n Điều mẫu thuẫn x ∈ S ε nhỏ tùy ý Vậy K không chứa dãy đường kính 46 Định nghĩa 3.1.5 [12] Giả sử X không gian Banach Đặt r(K) : K ⊂ X, lồi bị chặn, diam(K)>0 diam(K) N (X) = sup Khi N (X) gọi số cấu trúc chuẩn tắc Nhận xét 3.1.2 1) X không giam Banach, K tập lồi, bị chặn với diam(K) > ta có: r(K) ≤ N (X)diam(K) Rõ ràng N (X) ≤ Nếu N (X) < X gọi không gian có cấu trúc chuẩn tắc (space with uniformly normal structure) 2) Hiển nhiên không gian có cấu trúc chuẩn tắc có cấu trúc chuẩn tắc Ngoài người ta chứng minh không gian có cấu trúc chuẩn tắc phản xạ 3.2 Modul lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach Định lý 3.2.1 [12] Nếu modul lồi δ không gian Banach X thỏa mãn δ(1) > 0, X có cấu trúc chuẩn tắc Chứng minh Giả sử K ⊂ X lồi đóng với diam(K) = d > Lấy µ > cho d − µ > ε0 (X)d, chọn u, v ∈ K cho u − v ≥ d − µ đặt z = (u + v) Khi với x ∈ K : x − u ≤ d, x − v ≤ d, u − v ≥ d − µ Ta có x−z ≤ 1−δ Vì δ d−µ d d−µ d d > 0, ta suy x − z ≤ d − dδ d−µ d < d = diam(K) (3.1) 47 Vậy z điểm không đường kính K Suy X có cấu trúc chuẩn tắc Định lý 3.2.2 [12] Nếu modul lồi δ không gian Banach X thỏa mãn δ(1) > 0, X có cấu trúc chuẩn tắc (uniformly normal structure) N (X) ≤ − δ(1) Định lý suy trực tiếp từ Định lý 3.2.1 Nhận xét 3.2.1 Tâm Chebyshev tập lồi bị chặn không gian lồi tập gồm điểm Thật vậy: Với K tập lồi bị chặn X, ta có: r(K) ≤ (1 − δ(1)) diam(K) (3.2) Với µ > chọn u, v ∈ C(K), với C(K) tâm Chebyshep tập K cho u − v ≥ (1 − µ)diamC(K) Đặt z = (u + v) chọn x ∈ K cho z − x ≥ (1 − µ)r(K) Khi đó: x − u ≤ r(K), x − v ≤ r(K) Như ta có (1 − µ)r(K) ≤ z − x ≤ Cho µ → 0+ ta δ 1−δ (1 − µ)diamC(K) r(K) diamC(K) r(K) ≤ 0, tức diamC(K) ≤ ε0 (X)r(K) r(K) 48 Theo (3.2) ta suy diamC(K) ≤ ε0 (X)(1 − δ(1))diamK (3.3) Vậy ta có: diamC(K) = Chứng tỏ C(K) tập gồm điểm √ Ví dụ 3.2.1 Cho không gian Hilbert H Khi N (H) ≤ Thật ta có: ε2 − δ(ε) = − Mà N (H) ≤ − δ(1) Ta suy N (H) ≤ Hay 1− √ Ví dụ 3.2.2 Xét không gian cổ điển lp = lp (N) với l ≤ p ≤ +∞ N (H) ≤ bao gồm dãy x = {xn } thoả mãn p ∞ x p = xn p < +∞ n=1 Mỗi phần tử x ∈ lp biểu diễn x = x+ − x− , tương ứng với thành phần thứ i x+ x− cho bởi: x+ i = max {xi , 0} = xi + |xi | ; |xi | − xi i Giả sử p, q ∈ [1, +∞) tùy ý, với x ∈ lp ta đặt x− = max {0, −xi } = x x p,q p,∞ = q x+ p + q x− p q ; = max ||x+ ||p , ||x− ||p Như ta xác định cho lp họ chuẩn tương đương, không gian sinh kí hiệu lp,q 49 Các không gian lp,q lồi p, q ∈ (1, ∞) ε0 (lp,q ) = ε0 (lp,1 ) = p Không gian lp,∞ cấu trúc chuẩn tắc Mặt khác, không gian lp,1 có cấu trúc chuẩn tắc Hơn nữa, không gian lp,∞ lp,1 không gian đối ngẫu với Định lý 3.2.3 [12] Giả sử X không gian Banach giả sử X1 = (X, ||.||1 ) X2 = (X, ||.||2 ), với ||.||1 ||.||2 hai chuẩn tương đương X thoả mãn với < α < β α||x||1 ≤ ||x||2 ≤ β||x||1 , x ∈ X Nếu k = β α k N (X1 ) ≤ N (X2 ) ≤ kN (X1 ) (3.4) Chứng minh Hiển nhiên ta có bất đẳng thức suy trực tiếp từ định nghĩa Nhận xét 3.2.2 Theo giả thiết Định lí (3.2.3) ta xác định mối quan hệ modul lồi δ1 = δX1 δ2 = δX2 Ta có ứng dụng sau với x, y ∈ X ε > mà: ||x||2 ≤ 1, ||y||2 ≤ 1, ||x − y||2 ≥ ε, suy ||x||1 ≤ α−1 , ||y||1 ≤ α−1 , ||x − y||1 ≥ εβ −1 Từ ruy x+y ≤ − δ1 εk −1 α−1 50 Suy x+y ≤ − δ1 εk −1 k Từ dẫn tới δ2 (ε) ≥ − k − δ1 εk −1 Vậy ta xác định mối quan hệ δ1 δ2 Trong chương trình bày cấu trúc chuẩn tắc mối quan hệ modul lồi cấu trúc chuẩn tắc Qua thấy: Một không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc hiển nhiên có cấu trúc chuẩn tắc Nếu modul lồi không gian Banach X thỏa mãn δ(1) > X có cấu trúc chuẩn tắc KẾT LUẬN Đề tài “Modul lồi, đặc trưng lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach” trình bày tổng quan modul lồi, đặc trưng lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach Đồng thời mối quan hệ modul lồi, đặc trưng lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach với số ví dụ minh hoạ Cụ thể sau: Chương 1: Trình bày hệ thống số kiến thức không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach không gian Hilbert Chương 2: Trình bày tính lồi hình cầu đơn vị không gian Banach, modul lồi đặc trưng lồi không gian Banach Đồng thời trình bày mối quan hệ modul lồi đặc trưng lồi không gian Banach Chương 3: Trình bày cấu trúc chuẩn tắc, mối quan hệ modul lồi cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach Với phạm vi thời gian kiến thức có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Mong quý thầy cô, bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả Đỗ Đức Anh Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2004), Bài tập giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Đỗ Văn Lưu(1999), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Đỗ Văn Lưu (1998), Tôpô đại cương, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [5] Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục [6] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [7] Bynum, W.L (1972), A Class of Banach spaces lacking normal structure, Compositio Math, (25),233-236 [8] Bynum, W.L (1980), Normal structure coefficients for Banach spaces, Pacific J Math, (86), 427- 436 [9] Clarkson, J.A (1936),Uniformly convex spaces, Trans Amer Soc, (40), 396 - 414 [10] Day, M M, James, R C and Swaminathan, S (1971),Normed linear spaces that are uniformly convex in every direction, Can J Math, (23), 1051- 1059 53 [11] Dvoretsky, A (1961),Some results on convex bodies and Banach spaces, Poc Int Symp linear Spaces, Jerusalem, 1960, Jerusalem Academic Press, Jerusalem; pp.123-160 [12] Goebel, K and Kirk, W A (1990), Topics in metric fixed point theory, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press, Cambridge [13] Enflo, P (1972),Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm, Israel J Math, (13), 281-288 [14] James R C (1964)Umiformly non-square Banach spaces, Ann Math, (80), 542 - 550 [15] Đo Hong Tan and Ha Duc Vuong (2002),On eventually and asymptotically Lipschitzian mappings, Vietnam Journal of Mat., 30 (1), 31 - 42 [16] Ha Duc Vuong (2006), “A fixed point theorem for nonexpansive mappings in locally convex spaces”, Vietnam Journal of Mathematics, 34 (2), 149 – 155