tổng quát hóa bổ đề schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của không gian phức

19 2 Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của không gian phức 20 2.1 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của không gian phức taut.. Sau đó Abate r3s chứng minh thêm đ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN YÊN BÌNH

TỔNG QUÁT HÓA BỔ ĐỀ SCHWARZ CHO CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC CỦA KHÔNG GIAN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN YÊN BÌNH

TỔNG QUÁT HÓA BỔ ĐỀ SCHWARZ CHO CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC CỦA KHÔNG GIAN PHỨC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Huệ Minh

Thái Nguyên - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công

bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả luận văn

Nguyễn Yên Bình

Mục lục

1.1 Đa tạp phức 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Ví dụ 4

1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức 4

1.1.4 Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức 5

1.2 Hàm độ dài 6

1.2.1 Định nghĩa 6

1.2.2 Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài 7

1.3 Tôpô compact mở và compact hóa một điểm 7

1.3.1 Tôpô compact mở 7

1.3.2 Compact hóa một điểm 8

1.4 Không gian phức 9

1.4.1 Định nghĩa 9

1.4.2 Điểm chính quy và điểm kỳ dị 10

1.4.3 Định lý Ascoli đối với họ liên tục đồng đều 10

1.5 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 11

1.5.1 Định nghĩa 11

1.5.2 Tính chất 12

1.6 Không gian phức hyperbolic 13

1.6.1 Định nghĩa 13

1.6.3 Không gian phức nhúng hyperbolic 14

1.7 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình trong không gian phức 15

1.7.1 Định nghĩa 15

1.7.2 Tính chất 15

1.7.3 Họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình trong không gian phức 17

1.8 Không gian taut 17

1.8.1 Không gian phức taut 17

1.8.2 Tính chất 18

1.8.3 Không gian phức nhúng taut 19

2 Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của không gian phức 20 2.1 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của không gian phức taut 20

2.1.1 Tổng quát hóa định lý Cartan-Carathéodory 21

2.1.2 Sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ chỉnh hình f trên không gian phức taut 23

2.2 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của không gian phức hyperbolic 29

2.3 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của không gian phức 32

2.3.1 Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của không gian phức 32

2.3.2 Sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ chuẩn tắc trên không gian phức 34

Sau đó Abate r3s chứng minh thêm được một kết quả về sự hội tụcủa dãy các ánh xạ lặp tfnu của ánh xạ chỉnh hình f, đó là:

p với fn được định nghĩa bởi f1  f và fn  f  fn
1 với n¡ 1.Định lý trên đã được Abate [3] tổng quát hóa cho các ánh xạ chỉnhhình của không gian phức taut và cũng được Kobayashi [10], Kaup [9]

mở rộng (các khẳng định i), ii), iii) nhưng với điều kiện yếu hơn) chocác ánh xạ chỉnh hình trên không gian phức hyperbolic Năm 2000, J

E Joseph và M H Kwack [6] đã đưa ra hai tính chất cho họ chuẩn tắcđều các ánh xạ chỉnh hình, từ đó đã mở rộng được các kết quả trên chocác ánh xạ chuẩn tắc của không gian phức

Mục đích của luận văn là nghiên cứu, học tập và hệ thống lại cáckết quả nêu trên

Nội dung của luận văn được trình bày thành hai chương:

Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản củaGiải tích phức hyperbolic Đồng thời trình bày một số khái niệm vàtính chất của họ chuẩn tắc, họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình.Những kiến thức này sẽ là cơ sở cho việc nghiên cứu ở chương sau.Chương II: Tổng quát hóa Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắccủa không gian phức

Chương này gồm hai nội dung chính Thứ nhất là trình bày kết quả

mở rộng của Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của một khônggian phức taut, không gian phức hyperbolic và kết quả mở rộng của

Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của một không gian phức.Thứ hai là trình bày các kết quả về sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặpcủa ánh xạ chỉnh hình (ánh xạ chuẩn tắc) trên không gian phức taut(không gian phức)

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư Phạm - Đại họcThái Nguyên Để hoàn thành được bản luận văn này, trước hết tôi xinbày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS Trần Huệ Minh, người

cô đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoànthành luận văn Tôi cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới cácthầy cô trong Khoa Toán, trường Đại học Sư Phạm - Đại học TháiNguyên, Viện Toán học Việt Nam và trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập, làm và hoàn thành luận văn Luận vănkhông thể tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, rất mong nhận được

sự góp ý của các thầy cô và các bạn Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 21 tháng 08 năm 2013

Học viên

Nguyễn Yên Bình

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Giả sử X là một không gian tôpô Hausdorff

là tập mở trong X và ϕ : U Ñ Cn là ánh xạ, nếu các điều kiện sauđược thỏa mãn:

i) ϕpUq là tập mở trong Cn

tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏamãn

trên X, và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một

Giả sử f : M Ñ N là song ánh giữa các đa tạp phức Nếu f và f
1

là các ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa

1.1.4 Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp

phức

Giả sửM là một đa tạp phứcmchiều và ∆là đĩa đơn vị trong C Giả

Khi đó pz1, , zmq là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quanh x.Đặt zα  xα iyα, trong đó xα và yα là các giá trị thực Khi đó

được xem như là đa tạp khả vi thực 2m chiều Giả sử TxM là khônggian tiếp xúc của M tại x Khi đó TxM là không gian vectơ thực 2m

là một cơ sở của TxM Ký hiệu TxM bR C là phức hóa của TxM Khi

đó (1.1) cũng là một cơ sở của không gian vectơ phức TxM bR C.Đặt

Khi đó TxM là một không gian con tuyến tính phức m chiều của

TxM bRC, mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương

phương xác định trên một tập con mở U của M Khi đó ta có

là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương của T M

Ta gọi T M là phân thớ tiếp xúc chỉnh hình của đa tạp phức M

+ Giả sử Z là đa tạp thực và E là phân thớ vectơ phức trên Z Hàm

độ dài trên E là một hàm H từ E vào tập các số thực không âm thỏamãn

+ Hàm H : E Ñ R¥0 được gọi là hàm nửa độ dài nếu H thỏa mãn

ii) và nửa liên tục trên

+ Khoảng cách d trên tập hợp X là một hàm

thỏa mãn, với mọi x, y, z P X,

Giả sử T Z là phân thớ tiếp xúc của đa tạp Z Giả sử H là hàm độdài trên T Z mà ta cũng gọi là hàm độ dài trên Z

và gọi LH là độ dài của đường cong γ ứng với hàm độ dài H

Với x, y P X, ta gọi đường nối giữa x và y là hợp của hữu hạn cácđường cong lớp C1 sao cho điểm cuối của đường này là điểm đầu củađường tiếp theo Độ dài của đường nối giữa x và y ứng với hàm độ dàicho trước được định nghĩa là tổng của các độ dài của các đường conglớp C1 thành phần

Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài H là khoảng cách được xác địnhbởi

trong đó inf được lấy theo tất cả các đường γ nối giữa x và y

Giả sử X, Y là các không gian tôpô Gọi F là một họ các ánh xạ từ

+ Với mỗi tập con K của không gian X và với mỗi tập con U củakhông gian Y, ta định nghĩa

Họ tất cả các tập WpK, Uq, trong đó K là một tập con compactbất kỳ của X và U là một tập mở trong Y, là một tiền cơ sở của tôpôcompact mở C trên F

Do đó họ tất cả các giao hữu hạn các tập hợp dạng WpK, Uq, trong

đó K và U là các tập hợp như trên, lập thành cơ sở của tôpô compact

mở trên F Một phần tử tùy ý của cơ sở đó có dạngXtW pKi, Uiq | i 

tập con mở của Y

+ Giả sử tfnu là một dãy trong F Ta nói dãy tfnu hội tụ tới f P F

đều trên các tập con compact của X (hay hội tụ theo tôpô compactmở) nếu với mỗi tập con compact K của X và mỗi tập mở U của Y

thỏa mãn fpKq € U, tồn tại n0 ¡ 0 sao cho với mọi n ¥ n0 ta có

Giả sử X là một không gian tôpô không compact Cặp pY, ϕq, trong

đó Y là một không gian compact, ϕ : X Ñ Y là một phép nhúng đồngphôi X vào Y sao cho ϕpXq trù mật trong Y, gọi là một compact hóacủa X

Ta sẽ xét compact hóa bởi một điểm của không gian không compact.Giả sử Y là một không gian tôpô không compact và 8 là một điểmkhông thuộc Y Đặt Y  Y Y t8u Ta trang bị cho Y một tôpô τ

như sau:

- Nếu G là một tập hợp trong Y không chứa 8, tức là G€ Y, thì

G P τ khi và chỉ khi G mở trong Y

- Nếu G là một tập hợp trong Y chứa 8 thì G P τ khi và chỉ khi

YzG là một tập hợp đóng và compact trong X

Ta có pY, τq là một không gian tôpô và Y là không gian con củakhông gian tôpô Y Nếu gọi i : Y Ñ Y, ipxq  x là phép nhúngđồng phôi Y vào Y thì cặp pY, iq là một compact hóa của Y và gọi

là compact hóa 1 điểm hay compact hóa Alexandroff của Y

Giả sử Z là đa tạp phức Một không gian phức đóng X là một tậpcon đóng của Z mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn cácphương trình giải tích Tức là, với x0 P X tồn tại lân cận mở V của x

trong Z và hữu hạn các hàm chỉnh hình ϕ1, , ϕm trên V sao cho

Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức Z Hàm

lân cận Upxq € Z và một hàm chỉnh hình fˆtrên U sao cho

ˆ

Giả sử f : X Ñ Y là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y f

được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con

Các khái niệm hàm độ dài, khoảng cách sinh bởi hàm độ dài trongkhông gian phức X được định nghĩa tương tự như đối với đa tạp

1.4.2 Điểm chính quy và điểm kỳ dị

Giả sử X là một không gian phức

Một điểm α P X được gọi là điểm chính quy của X nếu α có mộtlân cận U trong Z sao cho U X X là đa tạp phức Tập các điểm chínhquy của X được ký hiệu là Xreg

Một điểm α P X được gọi là điểm kỳ dị củaX nếu nó không là điểmchính quy Tập các điểm kỳ dị của X được ký hiệu là Xsin

Trong không gian phức X tập các điểm chính quy Xreg là một đatạp phức mở và tập các điểm kỳ dị Xsin là một không gian phức với

Nếu F là liên tục đồng đều với mọi x P X và mọi y P Y thì F đượcgọi là liên tục đồng đều từ X đến Y

b) Định lý:

Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C pX, Y q từ khônggian chính quy compact địa phương X vào không gian Hausdorff Y và

i) F là họ liên tục đồng đều;

ii) Với mỗi x P X, tập hợp Fx  tfpxq|f P F u là compact tương đốitrong Y

1.5 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian

trang bị tôpô compact mở Xét dãy các điểm p0  x, p1, , pk  y của

X, dãy các điểm a1, a2, , ak của ∆ và dãy các ánh xạ f1, , fk trong

Thật vậy, lấy x P X, và gọi Z là tập gồm tất cả các điểm trong X

mà có thể nối với x bởi một dây chuyền chỉnh hình Ta sẽ chứng minh

Z vừa là tập mở vừa là tập đóng

Nếu X là đa tạp phức thì hiển nhiên Z  X.

Nếu X là không gian phức Lấy z P Z Theo định lý Hironaka vềgiải kỳ dị, tồn tại lân cận U của z và một ánh xạ chỉnh hình toàn ánh,riêng

Với n đủ lớn ta có yn P U Vì π là toàn ánh, ta có thể nâng tynu

thành tunu € M Do tyn, zu là tập compact và π là ánh xạ riêng nên

Từ đó, ta có thể trích được dãy con hội tụ, cũng ký hiệu là tunu, tới

hình trong M nối u với un Vậy qua π, tồn tại dây chuyền chỉnh hìnhnối yn với z với n đủ lớn Mà yn nối được với x bởi một dây chuyềnchỉnh hình, do đó có dây chuyền chỉnh hình nối z với x Suy ra z P Z.Vậy Z đóng Mà X liên thông nên Z  X

a) Nếu f : X Ñ Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phứcthì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩalà

Hơn nữa, dX là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh

xạ chỉnh hình f : ∆ Ñ X là giảm khoảng cách

b) + d∆  ρ∆

+ dCn  0

c) Đối với bất kỳ các không gian phức X, Y, ta có

với mọi x, x1 P X, và mọi y, y1 P Y

d) Giả sử X là không gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi

a) Nếu X, Y là các không gian phức, thì X  Y là không gian perbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic.b) Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Nếu Y

hy-là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, không giancon của một không gian hyperbolic là hyperbolic

c) (Định lý Barth) Giả sử X là không gian phức liên thông Nếu X

là hyperbolic thì dX sinh ra tôpô tự nhiên của X

Chứng minh Ta có không gian phứcX là compact địa phương với tôpôđếm được, do đó nó metric hóa được bởi định lý metric hóa Urưxơn

Vì vậy có hàm khoảng cách ρ xác định tôpô tự nhiên của X Ta phảichứng minh dX và ρ là so sánh được, tức là với txnu € X ta có

Do dxliên tục nên từ ρpxn, xq Ñ 0 suy radXpxn, xq Ñ 0khin Ñ 8.Ngược lại, giả sử dXpxn, xq Ñ 0 mà ρpxn, xq Û 0 khi n Ñ 8 Khi

đó tồn tại s ¡ 0 sao cho có dãy con (vẫn ký hiệu là txnu) mà các xn

nằm ngoài ρ-cầu tâm x, bán kính s

Nối xn với x bởi một dây chuyền chỉnh hình Gọi γ là ảnh của cáctrắc địa trong đĩa qua dây chuyền trên, γ : ra, bs Ñ X

Xét hàm t ÞÑ ρpγptq, xq, đây là một hàm liên tục do đó tồn tại

cầu tâm x bán kính s (đối với metric ρ) Từ đó theo định nghĩa giảkhoảng cách Kobayashi ta có

Do tính compact địa phương, dãy tynu có dãy con tynku hội tụ tới y

thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s (đối với metric ρ)

Khi đó,

mày  x Điều này mâu thuẫn với giả thiếtX là không gian hyperbolic

d) (Bổ đề Eastwood) Giả sử π : X Ñ Y là ánh xạ chỉnh hình giữacác không gian phức Giả sử Y là hyperbolic và với mỗi điểm y P Y cólân cận U củay sao choπ
1pUq là hyperbolic Khi đó X là hyperbolic

a) Định nghĩa:

Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y X đượcgọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y P X, x  y luôn tồn

tại các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho

b) Nhận xét:

i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng perbolic trong chính nó

hy-ii) Nếu các không gian con phức X1 là nhúng hyperbolic trong Y1 và

X2 là nhúng hyperbolic trong Y2 thì X1  X2 là nhúng hyperbolictrong Y1  Y2

iii) Nếu có hàm khoảng cách δ trên X thỏa mãn

ii) Ngược lại, nếu M là không gian phức Hermit đầy và họ F khôngphân kỳ compact và thỏa mãn (*) thì F chuẩn tắc.

b) Giả sử Ω là một miền trong Cm, M là một không gian phứcHermit đầy và F € H pΩ, Y q

Khi đó họF không chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại các dãytpju € Ω

thỏa mãn một trong hai khẳng định sau

iq Dãy tgjuj ¥1 phân kỳ compact trên Cm

iiq Dãy tgjuj ¥1 hội tụ đều trên các tập con compact của Cm tới mộtánh xạ chỉnh hình không hằng g :Cm Ñ M

c) Giả sử Ωlà một miền trong Cm,M là một không gian phức Hermitđầy và F € H pΩ, Y q

Khi đó họ F không chuẩn tắc trên mọi lân cận của z0 P Ω khi và chỉkhi tồn tại các dãy tznu € Ω với tznu Ñ z0 P Ω, tfju € F , tρju € R

thỏa mãn một trong hai khẳng định sau

iq Dãy tgju phân kỳ compact trên Cm

iiq Dãy tgju hội tụ đều trên các tập con compact của Cm tới một ánh

xạ chỉnh hình không hằng g :Cm Ñ M

d) Giả sử Ω là một miền trong Cm và M là một không gian phứccompact Giả sử F € H pΩ, Y q

Khi đó họF không chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại các dãytpju € Ω

hội tụ đều trên các tập con compact của Cm tới một ánh xạ khônghằng g

1.7.3 Họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình trong không

gian phức

a) Định nghĩa:

Cho X, Y là các không gian phức

Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X tới khônggian phức Y được gọi là chuẩn tắc đều trong H pX, Y q nếu

F  H pM, Xq  tf  g : f P F , g P H pM, Xqu

là compact tương đối trong C pM, Yq với mọi không gian phức M, vàánh xạ f P H pX, Y q được gọi là ánh xạ chuẩn tắc nếu tfu là chuẩntắc đều

b) Tính chất:

+) Giả sử M là một đa tạp phức và Y là một không gian phức Khi

dài E trên Y sao cho |df|E ¤ 1 với mọi f P F

+) Đa tạp phứcX là hyperbolic khi và chỉ khi tồn tại không gian phức

Y và họ chuẩn tắc đều F của H pX, Y q sao cho họ F tách điểm

Giả sử X, Y là các không gian phức, F € H pX, Y q