2 Tổng quát hĩa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc
2.3.1 Tổng quát hĩa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ
tắc của khơng gian phức
Mệnh đề 2.14. r6s Cho X, Y là các khơng gian phức và H là một
hàm nửa độ dài trên X sao cho fH ¤ K∆ với mọi H p∆, Xq. Với
F H pX, Yq, ta cĩ các phát biểu sau là tương đương:
iq F là chuẩn tắc đều.
iiq F H p∆, Xq là một tập con liên tục đồng đều của H p∆, Yq.
iiiq Cĩ một hàm độ dài E trên Y thỏa mãn |df|H,E ¤ 1 với mỗi f P F.
Chứng minh. i) suy ra ii): Áp dụng định lý Ascoli ta cĩ ngay điều phải
chứng minh.
ii) suy ra iii): Giả sử F H p∆, Xq là một tập con liên tục đồng đều của H p∆, Yq. Ta sẽ chứng minh với mỗi hàm độ dài E trên Y và tập con compact Q Y, tồn tại c ¡ 0 sao cho |df|H,E ¤ c trên f1pQq với mỗi f P F.
Giả sửQ Y là compact và khơng thỏa mãn các điều điện được phát biểu cho hàm độ dài E, chọn các dãy tpnu,tfnu,tvnu và q P Q sao cho
pn P X, fn P F, vn P TpnpXq, fnppnq P Q, Hpvnq 1, fnppnq Đ q và
Epdfnpvnqq ¡n. Khi đĩ Epdfnpvnqq Đ 8 và dãy tφnu trong H p∆, Xq
thỏa mãn φnp0q pn và |pdfn φnq0| Đ 8.
Gọi V là một lân cận compact của Q mà là nhúng hyperbolic trong
Y. Từ giả thiết ii), ta chọn được 0 r 1 sao chofnφnp∆rq V, trong đĩ ∆r tz P ∆ : |z| ru, do vậy tập pfn φnq|∆r là compact tương đối trong H p∆r, Yq, điều này mâu thuẫn với |pdfnφnqp0q| Đ 8.
Chọn các dãy tVnu,tcnu sao cho mỗi tập Vn là tập mở và compact tương đối trong Y, Vn Vn 1, Y8
n1Vn Y, cn ¡ 0 và |df|H,E cn trên
µcn ¤ 1trên VnzVn1. Khi đĩ hàm L µE là một hàm độ dài trên Y
và |df|H,L ¤ 1 với mỗi f P F.
iii) suy ra i): Vì cĩ hàm độ dài E trên Y sao cho |df|H,E ¤ 1 với mỗi
f P F nên mỗi phần tử của F H p∆, Xq là giảm khoảng cách ứng với d∆ và dE.
Bằng cách lập luận như trong [7]- Mệnh đề 1.6, ta cĩ điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.15. r6s Cho X, Y là các khơng gian phức. Nếu F
H pX, Yq là chuẩn tắc đều, khi đĩ F là compact tương đối trong
CpX, Yq.
Chứng minh. Cho p P X và cho U là một lân cận hyperbolic của p.
Theo mệnh đề 2.14, cĩ các hàm khoảng cách trên U và Y mà đối với chúng, mỗi f P F là một ánh xạ giảm khoảng cách, do vậy hạn chế của F lên U là compact tương đối trong CpU, Yq.
Mệnh đề 2.16. r6s Cho X là một khơng gian con phức của khơng
gian phức Y và cho f P H pX, Yq là một ánh xạ chuẩn tắc thỏa mãn
fpXq X. Khi đĩ tập hợp các ánh xạ lặp của f là một họ con chuẩn
tắc đều của H pX, Yq và là compact tương đối trong CpX, Yq.
Chứng minh. Họ F các ánh xạ lặp của f là chuẩn tắc đều vì F
H p∆, Xq fH p∆, Xq,f là ánh xạ chuẩn tắc thỏa mãnfpXq X. Theo Mệnh đề 2.15, F là compact tương đối trong CpX, Yq.
Cho X là một khơng gian con phức của khơng gian phức Y và
f P H pX, Yq thỏa mãn fpXq X. Ký hiệu F là tập các ánh xạ lặp của ánh xạ f và F1 là tập các giới hạn của dãy con của tfnu trong
CpX, Yq. Thế thìF FYF1 là một tập con compact củaCpX, Yq
nếu f là ánh xạ chuẩn tắc.
Từ các mệnh đề trên, bằng cách lập luận tương tự như trong chứng minh của định lý 2.2, ta cĩ kết quả sau được xem như là tổng quát hĩa của bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian phức.
Định lý 2.17. r6s Cho X là một khơng gian con phức của một khơng
gian phức Y, p là một điểm khơng kỳ dị của X. Giả sử f P H pX, Yq
là một ánh xạ chuẩn tắc thỏa mãn fpXq X và fppq p và gọi
dfp: TppXq Đ TppXq là vi phân của f tại p. Khi đĩ:
iq Các giá trị riêng của dfp cĩ giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng 1;
iiq Nếu dfp là phép biến đổi đồng nhất của TppXq, khi đĩ f là phép
biến đổi đồng nhất của X.
iiiq Nếu |detpdfpq| 1 thì f là ánh xạ song chỉnh hình trên X.
Theo một nhận xét trong [7]: ánh xạ đồng nhất trên X là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu X là nhúng hyperbolic trong Y. Ta cĩ hệ quả sau:
Hệ quả 2.18. r6s Cho X là một khơng gian con phức của một khơng
gian phức Y. X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu tồn tại một
ánh xạ chuẩn tắc f P H pX, Yq sao cho fpXq X và với p là điểm
khơng kỳ dị của X thì fppq p và |detpdfpq| 1.