Mở rộng định lý forell cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ THẮM MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ FORELLI CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Lê Tài Thu HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Tài Thu, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Thắm Lời cam đoan Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Tài Thu, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Mở rộng định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Thắm Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình . 5 1.1. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . 12 Chương 2. Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1. Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực. . . . . . . . . . . . 20 2.1.1. Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2. Tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Định lý Forelli đối với hàm chỉnh hình và ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức kiểu Stein . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức. 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết định lý cổ điển của Hartogs nói rằng nếu một hàm xác định trên một miền trong C n , chỉnh hình theo từng biến riêng rẽ thì chỉnh hình trên cả miền đó. Về trực giác hình học, điều này có nghĩa là nếu một hàm chỉnh hình trên giao của miền với từng đường thẳng song song với trục tọa độ thì sẽ chỉnh hình trên cả miền đó. Một vấn đề rất tự nhiên được đặt ra là nếu chúng ta thay họ đường thẳng song song với trục tọa độ bởi họ đường thẳng kiểu khác thì định lý Hartogs có còn đúng không? Nói cách khác có hay không những định lý Hartogs đối với những họ đường thẳng không nhất thiết song song với trục tọa độ? Xuất phát từ những ý tưởng trên vào cuối những năm bảy mươi của thế kỷ hai mươi F. Forelli đã chứng minh một định lý đẹp đẽ nói rằng định lý Hartogs vẫn còn đúng đối với họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Cụ thể ông đã chứng minh định lý sau: Giả sử f : B n → C là hàm sao cho f chỉnh hình ở trên giao của B n với mỗi đường thẳng phức  đi qua gốc tọa độ, và f là hàm lớp C ∞ trong một lân cận của điểm gốc. Thế thì f chỉnh hình trong B n . Lưu ý một điều rằng điều kiện f là nhẵn trong một lân cận của điểm gốc là không thể bỏ được. Một vấn đề được đặt ra là xem xét định lý Forelli nói trên cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức. Thật vậy vấn đề này là hoàn toàn 1 2 rất tự nhiên bởi lẽ đã có nhiều kết quả của các nhà toán học trên thế giới đề cập đến việc mở rộng định lý Hartogs cổ điển cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức. Năm 2003 Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai đã chứng tỏ định lý Forelli vẫn còn đúng đối với lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức kiểu Stein. Với những lý do trên và mong muốn tìm hiểu sâu hơn về định lý Forelli được sự định hướng của người hướng dẫn tôi đã chọn đề tài: “Mở rộng định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. Nội dung chính của luận văn là mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. Đề tài đã chỉ ra được rằng trong trường hợp tổng quát thì ánh xạ f là chỉnh hình ngoài một tập đa cực trên mặt cầu. Trong đề tài này, chúng tôi đưa vào lớp không gian phức có tính chất Forelli và chứng tỏ rằng những không gian phức kiểu Hartogs đều có tính chất Forelli. Đồng thời khẳng định ngược lại cũng đúng đối với lớp không gian phức K¨ahler lồi chỉnh hình. Một phản ví dụ được cho sau đó chỉ ra rằng điều kiện K¨ahler là không thể bỏ được. Cuối cùng, chúng tôi muốn bình luận đôi điều về sự so sánh giữa hai định lý Hartogs và định lý Forelli. Chúng ta thấy, trong định lý Hartogs thì hàm đã cho chỉnh hình trên họ các đường thẳng song song với trục tọa độ. Ta cũng có thể xem họ đường thẳng này cùng đi qua điểm vô 3 cùng. Điều này cũng tương đồng với giả thiết về tính chỉnh hình của hàm trên họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong định lý Forelli. Mặt khác khó khăn cơ bản trong chứng minh định lý Hartogs là ta không có được tính liên tục của hàm đã cho. Bù lại họ các đường thẳng song song với trục tọa độ là rất nhiều. Trong định lý Forelli thì ngược lại, tính liên tục tại gốc tọa độ của hàm đã được giả thiết nhưng họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ thì không nhiều. Trong định lý Forelli nhờ vào tính nhẵn của hàm tại gốc nên cách chứng minh là không khó như trong định lý Hartogs. Đề tài này gồm hai chương: Chương 1 dành cho việc nhắc lại một số khái niệm cơ bản và các kết quả đã biết về hàm biến số phức và các kết quả có liên quan tới đề tài. Phần cuối của chương dành cho việc nhắc lại một số kết quả đã biết về định lý cổ điển của Hartogs. Chương 2 dành cho việc mở rộng định lý Forelli từ lớp hàm chỉnh hình lên lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. 2. Mục đích nghiên cứu Mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. 4 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu định lý Hartogs cổ điển; - Nghiên cứu định lý Forelli cho hàm chỉnh hình; - Mở rộng định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là định lý Hartogs cổ điển và mở rộng định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. Phạm vi nghiên cứu của luận án là lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. 5. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết nhiệm vụ của đề tài chúng tôi đã vận dụng một cách linh hoạt các kết quả của hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến. 6. Đóng góp mới của luận văn Hệ thống lại cách chứng minh định lý Hartogs cổ điển. Mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. Luận văn chỉ ra được rằng trong trường hợp tổng quát thì ánh xạ f là chỉnh hình ngoài một tập đa cực trên mặt cầu. Chúng tôi đưa vào lớp không gian phức có tính chất Forelli và chứng tỏ rằng những không gian phức kiểu Hartogs đều có tính chất Forelli. Chương 1 Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình Trong chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị nhằm phục vụ cho chương sau. Nội dung của chương trình bày một số kiến thức về hàm chỉnh hình, tiếp sau trình bày về định lý Hartogs cổ điển, hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực trong mặt phẳng phức. 1.1. Hàm chỉnh hình Cho z = (z 1 , z 2 , . . . , z n ) ∈ C n . Với mỗi z ∈ C n hai chuẩn trên C n thường được sử dụng là chuẩn Euclide z = (z 1 ¯z 1 + ···+ z n ¯z n ) 1 2 và chuẩn max |z| = max{|z 1 |, . . . , |z n |}. Dễ thấy rằng hai chuẩn này là tương đương vì ta có |z| ≤ z ≤ √ n|z| ∀z ∈ C n . Cho a ∈ C n và r > 0. Một đa đĩa mở tâm tại a bán kính r là tập hợp D(a, r) = {z ∈ C n : |z −a| < r}. 5 6 Đa đĩa đóng tâm a bán kính r là tập hợp ¯ D(a, r) = {z ∈ C n : |z −a| < r}. Trước tiên, chúng tôi nhắc lại định nghĩa hàm R 2n -khả vi. Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω là tập mở trong C n và cho điểm a ∈ Ω. Hàm f : Ω −→ C gọi là R 2n -khả vi (hay khả vi) tại điểm a ∈ Ω nếu tồn tại vi phân df = ∂f ∂x 1 dx 1 + ···+ ∂f ∂x n dx 2n . (1.1) Nếu hàm f là R 2n -khả vi tại mọi điểm a ∈ Ω thì hàm f được gọi là R 2n -khả vi trong Ω. Với các số phức z ν , ¯z ν ta đặt x ν = z ν + ¯z ν 2 , x n+ν = z ν + ¯z ν 2i . Khi đó, ta có thể viết lại (1.1) dưới dạng df = ∂f ∂z 1 dz 1 + ···+ ∂f ∂z n dz n + ∂f ∂¯z 1 dz 1 + ···+ ∂f ∂¯z n d¯z n , trong đó, với ν = 1, . . . , n ta đặt ∂f ∂z ν = 1 2 ( ∂f ∂x ν − i ∂f ∂x n+ν ), ∂f ∂¯z ν = 1 2 ( ∂f ∂x ν + i ∂f ∂x n+ν ). Sau đây, chúng tôi nhắc lại định nghĩa hàm C n -khả vi. Định nghĩa 1.2. Giả sử Ω là tập mở trong C n và cho điểm a ∈ Ω. Hàm f : Ω −→ C gọi là C n -khả vi tại điểm a nếu f là hàm R 2n -khả vi tại a và tại điểm này ∂f ∂¯z ν = 0, ν = 1, . . . , n, (1.2) [...]... Mệnh đề 2.2 ([2, Hệ quả 2.9.10 p 67]) Tập đa cực có độ đo Lebesgue bằng 0 2.2 Định lý Forelli đối với hàm chỉnh hình và ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức kiểu Stein Sau đây, chúng tôi xin nhắc lại định lý Forelli với hàm chỉnh hình và ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức kiểu Stein (xem [4, 7]) Định nghĩa 2.4 Hàm phức u xác định trong một lân cận của gốc trong Cn gọi là thuộc lớp C ∞ ({0}) nếu với... hình theo mỗi biến zν trong đa tròn U (a, r) nào đó; ii) Hàm f chỉnh hình tại một điểm a ∈ Cn theo nghĩa Weierstrass, nếu f có thể khai triển trong một đa tròn U (a, r) nào đó thành chuỗi lũy thừa ∞ ck (z − a)k f (z) = |k|=0 Chương 2 Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Nội dung chính của chương này là trình bày mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian. .. gian phức tùy ý Chúng tôi đã chỉ ra được rằng, trong trường hợp tổng quát thì ánh xạ f chỉnh hình ngoài một tập đa cực trên mặt cầu (Định lý 2.9) Chúng tôi cũng đưa vào lớp không gian có tính chất Forelli và chứng tỏ rằng những không gian phức kiểu Hartogs đều có tính chất Forelli (Định lý 2.12) Đồng thời khẳng định ngược lại cũng đúng đối với lớp không gian phức K¨hler lồi chỉnh a hình (Định lý 2.13)... gọi là định lý Forelli đối với hàm chỉnh hình Định lý 2.7 Giả sử f : Bn → C là hàm sao cho f chỉnh hình trên giao của Bn với mỗi đường thẳng l đi qua gốc tọa độ và f là lớp C ∞ trong một lân cận của điểm gốc, thế thì f chỉnh hình trong Bn Năm 2003, Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai đã đưa ra định nghĩa không gian phức kiểu Stein (xem [7, Định nghĩa 5.1]) Định nghĩa 2.5 i) Giả sử M là một không gian phức. .. Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức kiểu Stein (xem [7]) Định lý 2.8 Giả sử M là không gian phức kiểu Stein Giả sử f : Bn → M là ánh xạ sao cho hạn chế của f trên mỗi đường thẳng phức đi qua gốc là chỉnh hình và f là lớp C ∞ trong lân cận của gốc Khi đó f chỉnh hình trong Bn 29 Chứng minh Ta chia chứng minh làm ba bước như sau: Bước 1 Giả sử rằng f chỉnh hình trong Bn với 0 < α < 1... theo Định lý Weierstrass hàm f là chỉnh hình Vì f trùng ¯ với hàm f trên một tập con mở không rỗng của P (0, r) \ P (0, 1), theo ˜ nguyên lý đồng nhất ta thu được f là mở rộng của hàm f Từ định lý Hartogs cổ điển, chúng ta thấy ngay các khái niệm hàm chỉnh hình theo nghĩa Riemann và Weierstrass là tương đương Trong đó 19 Định nghĩa 1.5 i) Hàm f chỉnh hình tại một điểm a ∈ Cn theo nghĩa Riemann, nếu f chỉnh. .. nguyên lý môdun cực đại đối với hàm một biến phụ thuộc vào hằng số ω, ϕω (ζ) = c(ω) Mặt khác, ϕω (0) = f (a) không phụ thuộc vào ω, nên c(ω) =const trong lân cận của điểm a Áp dụng Định lý 1.2 ta có f =const trong D Định nghĩa 1.4 (Tách chỉnh hình) Giả sử Ω là một tập mở trong Cn , n ≥ 2 Hàm f : Ω → C gọi là tách chỉnh hình nếu f chỉnh hình theo mỗi biến khi ta cố định các biến còn lại 1.2 Định lý Hartogs... con mở A của M được gọi là có kiểu (S) nếu tồn tại một ánh xạ song chỉnh hình từ A lên một tập con giải tích của Cm ; ii) Không gian M được gọi là kiểu Stein nếu với mỗi p ∈ M, tồn tại một lân cận Wp của p, rp > 0 và một lân cận Sp của p kiểu (S) sao cho, với mỗi f ∈ Hol(∆, M ), nếu f (0) ∈ Wp thì f (∆rp ) ⊂ Sp Sau đó, Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai đã tổng quát hóa định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh. .. chặn, tức là f chỉnh hình trong V Định lý 1.5 (Hartogs) Giả sử hàm f chỉnh hình tại mọi điểm của miền D ⊂ Cn theo mỗi biến zv thì nó chỉnh hình trong D 17 Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh tính chỉnh hình của f tại điểm z 0 ∈ D tùy ý, đồng thời không mất tính tổng quát ta có thể giả sử z 0 = 0 Như vậy, giả sử f chỉnh hình theo mỗi biến trong đa tròn U (0, R) đòi hỏi chứng minh nó chỉnh hình trong đa... do đó f chỉnh hình theo z trong V đối với zn ∈ U n tùy ý, mà theo điều vừa chứng minh, nó chỉ chỉnh hình theo z trong W Từ đó f chỉnh hình theo z trong đa tròn V chứa điểm z = 0 Như vậy, khẳng định đã được chứng minh với hàm n biến Định lý 1.6 (Hartogs, [2, Định lý 2.10.1 p 75]) Giả sử Ω là một lân cận mở của đa giác đóng K trong Cn với n ≥ 2 Nếu f ∈ Hol(Ω \ K) ˜ ˜ thì tồn tại một hàm chỉnh hình f . 24 2.2. Định lý Forelli đối với hàm chỉnh hình và ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức kiểu Stein . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức. 33 Kết. hình; - Mở rộng định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là định lý Hartogs cổ điển và mở rộng định lý Forelli cho ánh. cứu Mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. 4 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu định lý Hartogs cổ điển; - Nghiên cứu định lý Forelli cho hàm chỉnh hình; -