Các định lý hội tụ thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức zalcman yếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRẦN THỊ HUỆ CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ - THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC ZALCMAN YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRẦN THỊ HUỆ CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ - THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC ZALCMAN YẾU Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN HUỆ MINH Thái Nguyên - Năm 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Trần Huệ Minh Tôi không chép từ công trình khác Tôi kế thừa phát huy thành khoa học nhà khoa học với biết ơn chân thành Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Trần Thị Huệ Xác nhận Xác nhận Trưởng (phó) khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học TS Trần Huệ Minh i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Trần Huệ Minh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho nhận xét quý báu để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Trần Thị Huệ ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.2 Tô pô compact mở compact hóa điểm 1.2.1 Tô pô compact mở 1.2.2 Compact hóa điểm Đa tạp phức 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức 1.4 Không gian phức 1.5 Họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình 1.6 Phủ chỉnh hình 1.7 Giả khoảng cách Kobayashi 1.8 Không gian phức hyperbolic 1.3 iii 1.8.1 Không gian phức hyperbolic 1.8.2 Không gian phức hyperbolic đầy 1.8.3 Không gian phức nhúng hyperbolic 10 Miền taut 10 1.10 Hàm đa điều hòa 10 1.9 Các định lý hội tụ - thác triển ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu 12 2.1 Không gian phức Zalcman 12 2.2 Tính taut miền không bị chặn không gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact 2.3 22 Tính lồi đĩa yếu định lý hội tụ - thác triển ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu 28 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iv Mở đầu Như biết, toán thác triển ánh xạ chỉnh hình toán quan trọng bậc giải tích phức nhiều biến, định lý hội tụ - thác triển kiểu Noguchi có liên quan tới nhiều vấn đề giải tích phức hyperbolic lý thuyết đa vị Trong [11], tác giả đưa khái niệm lớp không gian phức gọi không gian phức Zalcman, từ xây dựng khái niệm không gian phức Zalcman yếu số định lý hội tụ - thác triển kiểu Noguchi ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu không gian phức Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu không gian phức Zalcman định lý hội tụ - thác triển ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu, em chọn đề tài luận văn " Các định lý hội tụ thác triển ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu" Luận văn phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo gồm hai chương nội dung Chương trình bày tổng quan số kiến thức ánh xạ chỉnh hình, tôpô compact mở compact hóa điểm, đa tạp phức, không gian phức, họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình, phủ chỉnh hình, giả khoảng cách Kobayashi, không gian phức hyperbolic, miền taut, hàm đa điều hòa Chương hai trình bày định lý hội tụ - thác triển ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu Phần đầu chương trình bày vài lớp không gian Zalcman quan trọng tính chất không gian Zalcman Phần thứ hai trình bày điều kiện đủ tính taut miền không gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact theo cách tiếp cận từ không gian phức Zalcman có điểm biên đọng quỹ đạo Phần cuối chương dành cho việc nghiên cứu mối quan hệ tính hyperbolic Brody yếu, tính ∆∗ − thác triển, tính Zalcman yếu tính lồi đĩa yếu không gian phức Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Trần Huệ Minh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung trình bày chương chủ yếu đưa vào từ tài liệu [1], [4], [5] 1.1 Ánh xạ chỉnh hình Giả sử X tập mở Cn f : X → C hàm số Hàm f gọi khả vi phức x0 ∈ X tồn ánh xạ tuyến tính λ : Cn → C cho |f (x0 + h) − f (x0 ) − λ (h)| = 0, |h|→0 |h| lim h = (h1 , , hn ) ∈ Cn |h| = n 1/2 |hi | i=1 Hàm f gọi chỉnh hình x0 ∈ X f khả vi phức lân cận x0 gọi chỉnh hình X f chỉnh hình điểm thuộc X Một ánh xạ f : X → Cm viết dạng f = (f1 , , fm ), fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, , m hàm tọa độ Khi f gọi chỉnh hình X fi chỉnh hình X với i = 1, , m Ánh xạ f : X → f (X) ⊂ Cn gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh hình f −1 ánh xạ chỉnh hình 1.2 1.2.1 Tô pô compact mở compact hóa điểm Tô pô compact mở Giả sử X , Y không gian tô pô Gọi F họ ánh xạ X vào Y + Với tập K không gian X với tập U không gian Y , ta định nghĩa W (K, U ) = {f |f (K) ⊂ U } Họ tất tập W (K, U ), K tập compact X U tập mở Y , tiền sở tô pô compact mở C F Do họ tất giao hữu hạn tập hợp dạng W (K, U ), K U tập hợp trên, lập thành sở tô pô compact mở F Một phần tử tùy ý sở có dạng {W (Ki , Ui ) |i = 1, , n} Ki tập copmact X Ui tập mở Y + Giả sử {fn } dãy F Ta nói dãy {fn } hội tụ tới f ∈ F tập compact X (hay hội tụ theo tô pô compact mở) với tập compact K X tập mở U Y thỏa mãn f (K) ⊂ U , tồn n0 > cho với n ≥ n0 ta có fn (K) ⊂ U 1.2.2 Compact hóa điểm Giả sử X không gian tô pô không compact Cặp (Y, ϕ), Y không gian compact, ϕ : X → Y phép nhúng đồng phôi X vào Y cho ϕ (X) trù mật Y , gọi compact hóa X Ta xét compact hóa điểm không gian không compact Giả sử Y không gian tô pô không compact ∞ điểm không cho    infz∈M ∩∂U ϕ(z) = −c ,   supz∈M ∩∂V ϕ(z) = −c Khi hàm ϕ˜ xác định M bởi:     ϕ(z) = ϕ(z) z ∈ M ∩ U,     (c + c ) ϕ(z) = sup(ϕ(z), − ) z ∈ M ∩ (V \U ),     (c + c )   ϕ(z) = − z ∈ M \V, hàm đa điều hòa peak toàn cục ξ0 Giả sử f : ∆N → M ánh xạ chỉnh hình Giả sử α số âm tùy ý cho (ϕ ◦ f )(0) > α Ký hiệu mes (Eα ) độ đo tập hợp Eα = θ = (θ1 , θ2 , , θN ) ∈ [0, 2π]N | (ϕ ◦ f ) eiθ1 , eiθ2 , , eiθN ≥ 2α Vì hàm ϕ ◦ f điều hòa nên từ bất đẳng thức giá trị trung bình kéo theo α < (ϕ ◦ f ) (0) ≤ (ϕ ◦ f ) eiθ1 , eiθ2 , , eiθN dθ1 dθ2 dθN N (2π) N [0,2π] ≤ = 2α N (2π) mes([0, 2π]N \Eα ) 2α N (2π) (2π)N − mes (Eα ) (2π)N Vậy mes (Eα ) > Lấy ε > đủ nhỏ cho    infM ∩∂U (ϕ + εψ) (z) = −c1 < 0,   supM ∩∂V (ϕ + εψ) (z) = −c2 < −c1 24 (2.1) Hàm ρ xác định M     ρ(z) = (ϕ + εψ)(z) z ∈ M ∩ U,     (c1 + c2 ) ρ(z) = sup((ϕ + εψ)(z), − ) z ∈ M ∩ (V \U ),     (c + c2 )   ρ(z) = − z ∈ M \V, hàm đa điều hòa âm liên tục M thỏa mãn ρ−1 (−∞) = {ξ0 } Giả sử g : ∆ → M ánh xạ chỉnh hình Sử dụng tích phân Poisson, với điểm λ ∆1/2 , ta có 2π (ρ ◦ f ) (λ) ≤ 2π eiθ + λ Re( iθ ) (ρ ◦ f ) eiθ dθ e −λ (2.2) eiθ + λ Do đó, ta có Re( iθ )= e −λ λ∈∆1/2 2π Vì (ρ ◦ g) (λ) ≤ 6π (ρ ◦ g) eiθ dθ, với λ ∈ ∆1/2 Giả sử f : ∆N → M ánh xạ chỉnh hình Khi đó, với λ = (λ1 , λ2 , , λn ) ∈ ∆N 1/2 , ta có 2π (ρ ◦ f ) (λ1 , λ2 , , λN ) ≤ 6π (ρ ◦ f ) (eiθ1 , λ2 , , λN )dθ1 ≤ (ρ ◦ f ) eiθ1 , eiθ2 , , eiθN dθ1 dθ2 dθN N (6π) (2.3) N [0,2π] Vì ϕ hàm peak ξ0 ρ thỏa mãn ρ(ξ) = −∞, nên với n ≥ tồn số âm αn cho với điểm z ∈ M bất đẳng thức 25 ϕ(z) ≥ 2αn kéo theo ρ(z) < −n ∞ Do ρ (−∞) = {ξ0 } nên họ Un = z ∈ M : ρ(z) < − N n 2.3 n=1 sở lân cận ξ0 M Cho Un lân cận ξ0 M −1 xác định Un = z ∈ M : ϕ(z) > αn Giả sử f : ∆N → M ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn f (0) ∈ Un Khi (2π)N ϕ(f (0)) > αn Theo (2.1) ta có mes (Eαn ) > Sử dụng (2.2) ρ hàm âm ta suy với λ = (λ1 , λ2 , , λN ) ∈ ∆N 1/2 , (ρ ◦ f ) (λ1 , λ2 , , λN ) ≤ (ρ ◦ f ) eiθ1 , eiθ2 , , eiθN dθ1 dθ2 dθN N (6π) Eαn (ρ ◦ f ) eiθ1 , eiθ2 , , eiθN dθ1 dθ2 dθN + N [0,2π] \Eαn ≤ (6π)N (−n)dθ1 dθN = − Eαn (6π)N n.mes (Eαn ) (2π)N = − {ρj } → 0+ cho gj (ξ) = fj (pj + ρj ξ), ξ ∈ C hội tụ tập compact C đến ánh xạ chỉnh hình khác g : C → U Điều mâu thuẫn, Y không chứa đường thẳng phức Vì F chuẩn tắc Do {fn } hội tụ tập compact ∆ đến g Hol(∆, Y ) Ta có định lý hội tụ - thác triển ánh xạ chỉnh hình vào 31 không gian phức Zalcman yếu Định lý 2.3.3 [11] Cho X không gian phức không gian phức hyperbolic Brody Y cho X không gian Zalcman yếu Y có tính ∆∗ − EP Y Giả sử A siêu mặt giải tích không kỳ dị đa tạp phức M Giả sử {fj : M \A → X}∞ j=1 dãy ánh xạ chỉnh hình hội tụ tập compact M \A tới ánh xạ chỉnh hình f : M \A → X Khi tồn thác triển chỉnh hình f j : M → Y f : M → Y fj f lên M , f j ∞ j=1 hội tụ tập compact M tới f Chứng minh Theo định lý 2.3.2, X lồi đĩa yếu Y (i) Ta chứng minh ánh xạ chỉnh hình f : M \A → X thác triển đến ánh xạ chỉnh hình f : M → Y Bằng cách xét địa phương, ta giả sử M = ∆m = ∆m−1 × ∆ A = ∆m−1 × {0} Với z ∈ ∆m−1 , xét ánh xạ chỉnh hình fz : ∆∗ → X cho fz (z) = f (z , z), với z ∈ ∆∗ Do giả thiết ta suy tồn thác triển chỉnh hình f z : ∆ → Y fz với z ∈ ∆m−1 Xác định ánh xạ f : ∆m−1 × ∆ → Y f (z , z) = f z (z) với {(z , z)} ∈ ∆m−1 × ∆ Ta cần chứng minh f liên tục (z0 , 0) ∈ ∆m−1 × ∆ Thật vậy, giả sử {(z k , zk )} ∈ ∆m−1 × ∆ cho {(z k , zk )} → (z , 0) Đặt σk = f z k , với k ≥ σ0 = f¯z Khi dãy {σk |∆∗ } hội tụ tới ánh xạ {σ0 |∆∗ } Hol(∆∗ , X) Do X lồi đĩa yếu Y nên dãy {σk } hội tụ tới ánh xạ σ0 Hol(∆, Y ) Khi đó, σk (zk ) = f (z k , zk ) → σ0 (0) = f (z0 , 0) f liên tục (z , 0) 32 (ii) Giả sử {fk } ⊂ Hol(M \A, X) cho {fk } → f0 Hol(M \A, X) Ta chứng minh f k → f Hol(M, Y ) Bằng cách xét địa phương, ta giả sử M = ∆m = ∆m−1 × ∆ A = ∆m−1 × {0} Giả sử {(z k , zk )} ⊂ ∆m−1 × ∆ dãy hội tụ đến (z , z0 ) ⊂ ∆m−1 × ∆ Ta chứng minh dãy f k (z k , zk ) hội tụ đến f (z , z0 ) Thật vậy, với k ≥ xét ánh xạ chỉnh hình ϕk : ∆ → X cho ϕk (z) = f k (zk , z), với z ∈ ∆ Khi {ϕk |∆∗ } → ϕ0 |∆∗ Hol(∆∗ , X) Do X lồi đĩa yếu Y nên ta có {ϕk } → ϕ0 Hol(∆, Y ) Vì ϕk (zk ) = f k (z k , zk ) → ϕ0 (z0 ) = f (z0 , z0 ) Nhận xét 2.3.1 Sử dụng kết trên, ta có : Giả sử X không gian phức không gian phức hyperbolic Brody yếu Y cho X lồi đĩa yếu Y Giả sử A siêu mặt giải tích không kỳ dị đa tạp phức M Cho {fj : M \A → X}∞ j=1 dãy ánh xạ chỉnh hình hội tụ tập compact M \A tới ánh xạ chỉnh hình f : M \A → X Khi tồn thác triển chỉnh hình f j : M → Y f : M → Y fj f lên M , f j ∞ j=1 hội tụ tập compact M tới f Định lý 2.3.4 [11] Giả sử X không gian phức không gian phức hyperbolic Brody Y cho X Zalcman yếu Y có tính ∆∗ −EP Y Cho M đa tạp phức m chiều, cho A tập không đâu trù mật đa tạp phức không kỳ dị B ⊂ M có chiều ≤ m − Cho {fj : M \A → X}∞ j=1 dãy ánh xạ chỉnh hình hội tụ tập compact M \A tới ánh xạ chỉnh hình f : M \A → X Khi tồn thác triển chỉnh hình f j : M → Y f : M → Y 33 fj f lên M , f j ∞ j=1 hội tụ tập compact M tới ánh xạ f Chứng minh Theo định lý 2.3.2, X lồi đĩa yếu Y (i) Ta chứng minh ánh xạ chỉnh hình f : M \A → X thác triển đến ánh xạ chỉnh hình f : M → Y Lấy điểm tùy ý a ∈ A, cách xét địa phương ánh xạ f , ta giả sử M = ∆m = ∆m−1 × ∆ A = A × {0}, A tập không đâu trù mật ∆m−1 , a = (t0 , 0) ∈ A × {0} Với điểm z ∈ ∆m , ký hiệu z = (t, u) với t ∈ ∆m−1 u ∈ ∆ Giả sử dãy {aj = (tj , uj )} ⊂ ∆m−1 \A × ∆ hội tụ đến điểm a Xét ánh xạ chỉnh hình fj : ∆ → X, u → fj (u) = f (tj , u) với j ≥ 1, ft0 : ∆∗ → X, u → ft0 (u) = f (t0 , u) Dễ thấy {fj |∆∗ } → ft0 Hol(∆∗ , X) Do X lồi đĩa yếu Y nên dãy {fj } hội tụ đến ánh xạ chỉnh hình g ∈ Hol(∆, Y ), g |∆∗ = ft0 Đặt g(0) = p ∈ X Khi {fj (uj )} → g(0), tức {f (aj )} → p Do đó, dãy {f (aj )} hội tụ tới p với dãy {aj } ⊂ ∆m−1 \A × ∆ hội tụ đến a (∗ ) Chọn lân cận compact tương đối Vp p Y cho V p chứa lân cận tọa độ địa phương chỉnh hình p Y Do (∗ ) nên tồn lân cận mở T0 ×U0 a = (t0 , 0) ∆m−1 ×∆ cho f ((T0 \A ) × U0 ) ⊂ Vp Với điểm u ∈ U0 \ {0}, xét ánh xạ chỉnh hình fu : ∆m−1 → X, t → fu (t) = f (t, u) Vì fu (T0 \A ) ⊂ Vp nên ta suy fu (T0 \A ) = fu (T0 ) ⊂ V p Do f (T0 × (U0 \ {0})) ⊂ V p Theo định lý thác triển Riemann, ánh xạ 34 f thác triển chỉnh hình tới T0 × U0 (ii) Lặp lại lý luận chứng minh định lý 2.3.1, ta dãy {fk } ⊂ Hol(M \A, X) hội tụ địa phương đến ánh xạ f0 Hol(M \A, X), dãy f k hội tụ, địa phương tới f Hol(M, Y ) Hệ 2.3.1 Cho X không gian phức Zalcman yếu cho X có tính ∆∗ −EP Y Cho M đa tạp phức m chiều, giả sử A tập không đâu trù mật không gian phức B ⊂ M có chiều ≤ m−1 Giả sử {fj : M \A → X}∞ j=1 dãy ánh xạ chỉnh hình hội tụ tập compact M \A tới ánh xạ chỉnh hình f : M \A → X Khi tồn thác triển chỉnh hình f j : M → Y f : M → Y fj f lên M , f j ∞ j=1 hội tụ tập compact M tới ánh xạ f 35 Kết luận Luận văn " Các định lý hội tụ - thác triển ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu" trình bày kết sau: • Trình bày vài lớp không gian Zalcman quan trọng tính chất không gian Zalcman • Điều kiện cần đủ tính taut miền không bị chặn không gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact • Mối quan hệ tính hyperbolic Brody yếu, tính ∆∗ - thác triển, tính Zalcman yếu không gian phức • Định lý hội tụ - thác triển ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức Hyperbolic, NXB Đại Học Sư Phạm Tiếng Anh [2] Duc P V (2003), "On weakly hyperbolic spaces and a convergencevvextension theorem in weakly hyperbolic spaces",Internat J Math 14(10), 1015 - 1024 [3] Gaussier H (1999), "Tautness and complete hyperbolicity of domains in Cn ", Proc Amer Math.Soc 127, 105-116 [4] Kobayashi S (1998), "Hyperbolic Complex Spaces", Springer-Verlag, Grundlehren der Math Wissenchaften, 318 [5] Lang S (1987), "Introduction to Complex Hyperbolic Spaces", Springer Verlag [6] Noguchi J and Ochiai T (1990), "Geometric Function Theory in Several Complex Variables", Transl Math Monogr, Amer Math Soc 80 [7] Thai D D (1991), "On the D∗ − extension and the Hartogs extension", Ann della Scuo Nor Super.di Pisa, Sci Fisi e Mate., Ser A 18, 1338 37 [8] Thai D D, Mai N T T and Son N T (2003), "Noguchi-type convergence - extension theorems for (n,d)-sets", Ann Pol Math 82, 189-201 [9] Thai D D and Mai P.N (2003), "Convergence and extension theorems in geometric function theory", Kodai Math Jour 26,179-198 [10] Thai D D, Trang P N T and Huong P D (2003), "Families of normal maps in several complex variables and hyperbolicity of complex spaces", Complex Variables 48, 469-482 [11] Trao N V and Trang P N T (2007), "On Zalcman complex spaces and Noguchi - type convergence - extension theorems for holomorphic mappings into weakly Zalcman complex spaces", Act Mathematica VietNamtica,Volume 32, Number 1, 83 - 97 38 ... cứu không gian phức Zalcman định lý hội tụ - thác triển ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu, em chọn đề tài luận văn " Các định lý hội tụ thác triển ánh xạ chỉnh hình vào không gian. .. không gian phức Zalcman, từ xây dựng khái niệm không gian phức Zalcman yếu số định lý hội tụ - thác triển kiểu Noguchi ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu không gian phức Với mong... gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact Cuối cùng, trình bày tính lồi đĩa yếu định lý hội tụ - thác triển ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu 2.1 Không gian phức Zalcman Định nghĩa