Mối liên hệ đại số của các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức. Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI Lấ NGC QUNH MI LIấN H I S CA CC NH X PHN HèNH VO KHễNG GIAN X NH PHC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc v Tụpụ Mó s: 62.46.01.05 LUN N TIN S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TSKH S C QUANG H NI, 2016 i LI CAM OAN Tụi xin cam oan rng õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca tụi Cỏc kt qu c trỡnh by lun ỏn l hon ton trung thc, c ng tỏc gi cho phộp s dng v cha tng c cụng b bt k cụng trỡnh no khỏc Nghiờn cu sinh Lờ Ngc Qunh ii LI CM N Lun ỏn c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn tn tỡnh, chu ỏo ca PGS TSKH S c Quang Li u tiờn, tỏc gi xin by t s tri õn v lũng bit n sõu sc n ngi Thy ó ht lũng dy d, giỳp , ng viờn cng nh to mi iu kin thun li sut quỏ trỡnh tỏc gi hc v nghiờn cu Tỏc gi xin gi li cm n n GS TSKH c Thỏi vỡ s giỳp v nhng li khuyờn quý bỏu ca Giỏo s quỏ trỡnh hon thnh lun ỏn Tỏc gi cng xin gi li cm n chõn thnh n cỏc thnh viờn seminar hỡnh hc phc ca B mụn Hỡnh hc, Khoa Toỏn - Tin, c bit l TS H Hng Giang vỡ s quan tõm v giỳp tn tỡnh sut thi gian tỏc gi hc v nghiờn cu ti H Ni Tỏc gi xin gi li cm n n Ban giỏm hiu, Ban ch nhim khoa Toỏn - Tin, phũng Sau i hc v cỏc phũng ban chc nng ca trng i hc S phm H Ni vỡ nhng s giỳp m tỏc gi ó nhn c sut quỏ trỡnh hc ti trng Tỏc gi cng xin gi li cm n chõn thnh n y ban nhõn dõn tnh An Giang, Ban giỏm hiu trng i hc An Giang, Ban ch nhim khoa S phm, Ban ch nhim b mụn Toỏn cựng cỏc phũng ban chc nng ca trng i hc An Giang v anh ch, bn bố ng nghip ó giỳp , to mi iu kin thun li cho tỏc gi hon thnh nhim v Nghiờn cu sinh Tỏc gi xin chõn thnh cm n quý Thy, Cụ phn bin ó dnh thi gian c v úng gúp nhng ý kin quý bỏu cho lun ỏn ny Li cui cựng, tỏc gi xin gi li tri õn sõu sc n gia ỡnh, nhng ngi thõn luụn tin tng, thng yờu, ng viờn v giỳp tỏc gi vt qua mi khú khn sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ỏn ny Tỏc gi iii MC LC LI CAM OAN ii LI CM N iii MT S QUY C V K HIU v M U 1 TNG QUAN 1.1 S ph thuc ta phõn tuyn tớnh ca hai hm phõn hỡnh cú chung nh ngc i vi cỏc cp hm nh 1.2 S ph thuc i s ca ba ỏnh x phõn hỡnh trựng trờn nh ngc ca h siờu phng c nh vi bi b ngt 1.3 Tớnh suy bin i s ca cp ỏnh x phõn hỡnh cú chung nh ngc i vi h siờu phng di ng vi bi b ngt 1.4 11 S ph thuc i s ca cỏc ỏnh x phõn hỡnh trựng trờn nh ngc ca h siờu phng di ng khụng tớnh bi 12 S PH THUC TA PHN TUYN TNH CA HAI HM PHN HèNH Cể CHUNG NH NGC I VI CC CP HM NH 16 2.1 Lý thuyt Nevanlinna cho hm phõn hỡnh trờn mt phng phc 17 2.2 Hai hm phõn hỡnh cú chung nh ngc i vi cỏc cp hm nh 19 iv S PH THUC I S CA BA NH X PHN HèNH TRNG NHAU TRấN NH NGC CA H SIấU PHNG C NH VI BI B NGT 35 3.1 Lý thuyt Nevanlinna cho ỏnh x phõn hỡnh vo khụng gian x nh phc 36 3.2 S ph thuc i s ca ba ỏnh x phõn hỡnh 42 TNH SUY BIN I S CA CP NH X PHN HèNH Cể CHUNG NH NGC I VI H SIấU PHNG DI NG VI BI B NGT 55 4.1 Mt s khỏi nim v kt qu b tr 56 4.2 Tớnh suy bin i s ca cp ỏnh x phõn hỡnh 60 S PH THUC I S CA CC NH X PHN HèNH TRNG NHAU TRấN NH NGC CA H SIấU PHNG DI NG KHễNG TNH BI 71 5.1 Mt s khỏi nim v kt qu b tr 72 5.2 S ph thuc i s ca cỏc ỏnh x phõn hỡnh 74 KT LUN V KIN NGH 85 NHNG CễNG TRèNH CễNG B LIấN QUAN N LUN N 86 TI LIU THAM KHO 87 v MT S QUY C V K HIU Trong ton b lun ỏn, ta thng nht mt s kớ hiu nh sau PN (C): khụng gian x nh phc N chiu z = |z1 |2 + ã ã ã + |zn |2 1/2 vi z = (z1 , , zn ) Cn B(r) := {z Cn : z < r} l hỡnh cu m bỏn kớnh r Cn S(r) := {z Cn : z = r} l mt cu bỏn kớnh r Cn c d = + , d := ( ): cỏc toỏn t vi phõn vn1 := (ddc z )n1 , n := dc log z (ddc log z )n1 : cỏc dng vi phõn O(1): i lng b chn O(r): i lng vụ cựng cựng bc vi r r + o(r): vụ cựng bc cao hn r r + log+ r = max{log r, 0}, r || P : cú ngha l mnh P ỳng vi mi r [0, +) nm ngoi mt Borel E ca [0, +) tho E dr < + S: lc lng ca hp S Rf : Trng tt c cỏc hm phõn hỡnh nh (tng ng vi hm phõn hỡnh f ) trờn C R{ai }qi=1 : Trng nh nht ca M (trng tt c cỏc hm phõn hỡnh trờn Cn ) cha C v tt c aik /ail vi ail = ú = (ai0 : ã ã ã : aiN ) (1 i q) l cỏc ỏnh x phõn hỡnh t Cn vo PN (C) vi M U Lý chn ti Lý thuyt Nevanlinna, hay thng c gi l Lý thuyt phõn b giỏ tr, c xõy dng u tiờn bi R Nevanlinna [19] vo nm 1926 cho trng hp hm phõn hỡnh mt bin phc Sau bi bỏo ca ụng c cụng b, lý thuyt ny ó c m rng v nghiờn cu sõu sc cho cỏc ỏnh x phõn hỡnh nhiu bin phc bi nhiu nh toỏn hc nh A Bloch, H Cartan, H J Weyles, L Ahlfors, W Stoll, J Noguchi v mt s tỏc gi khỏc Cho n nay, lý thuyt Nevanlinna ó tr thnh mt nhng lý thuyt quan trng ca toỏn hc v thu hỳt s quan tõm nghiờn cu ca nhiu nh toỏn hc trờn th gii vi nhiu kt qu p v sõu sc ó c cụng b Nhng kt qu ca lý thuyt Nevanlinna ó c ng dng vic nghiờn cu nhiu ca hỡnh hc phc v giỳp cho vic hỡnh thnh lờn nhiu hng nghiờn cu nh nghiờn cu v tớnh nht, tớnh hu hn, s ph thuc i s v tớnh suy bin i s ca cỏc ỏnh x phõn hỡnh c bit, nhng nm gn õy, H Fujimoto ([10], [11]), G Dethloff, c Thỏi, Trn Vn Tn, S c Quang ([6], [7], [15], [23], [24], [36], [37], [40]), Z Chen Q Yan [3] v nhiu tỏc gi khỏc ó thu c nhng kt qu quan trng v tớnh nht, hu hn v suy bin ca ỏnh x phõn hỡnh t Cn vo PN (C) vi iu kin v nh ngc ca h cỏc siờu phng Tuy nhiờn, cỏc kt qu trờn hu ht ch liờn quan n tớnh nht hay hu hn ca ỏnh x phõn hỡnh v cn ớt nht iu kin trờn 2N + siờu phng Vic nghiờn cu v mi liờn h gia cỏc ỏnh x phõn hỡnh cú chung nh ngc i vi cỏc siờu phng trng hp s siờu phng (c nh hoc di ng) ớt hn thỡ õy l mt cũn mi m, cú rt ớt kt qu c cụng b Vỡ nhng lớ nh trờn, chỳng tụi la chn ti Mi liờn h i s ca cỏc ỏnh x phõn hỡnh vo khụng gian x nh phc C th, chỳng tụi trung nghiờn cu mi quan h i s gia cỏc ỏnh x phõn hỡnh t Cn vo PN (C), ng thi chỳng tụi cng a kt qu v s suy bin i s ca ỏnh x tớch ca hai ỏnh x phõn hỡnh vo PN (C) Mc ớch v i tng nghiờn cu Mc ớch u tiờn ca lun ỏn l nghiờn cu v hm phõn hỡnh trờn mt phng phc C v a nh lý v s ph thuc ta phõn tuyn tớnh (ta Măobius) ca hai hm phõn hỡnh cú chung nh ngc i vi cỏc cp hm nh Tip theo chỳng tụi ỏp dng lý thuyt Nevanlinna nghiờn cu bi toỏn v s ph thuc i s ca cỏc ỏnh x phõn hỡnh nhiu bin vo khụng gian x nh phc da trờn cỏc iu kin t trờn nh ngc ca h cỏc siờu phng c nh hoc di ng cho trc i tng nghiờn cu ca chỳng tụi l cỏc hm phõn hỡnh trờn C v cỏc ỏnh x phõn hỡnh nhiu bin t Cn vo khụng gian x nh PN (C) Phng phỏp nghiờn cu Da trờn c s cỏc phng phỏp nghiờn cu cng nh nhng k thut truyn thng ca hỡnh hc phc v lý thuyt phõn b giỏ tr, chỳng tụi s c gng xut nhng k thut mi nhm gii quyt nhng t lun ỏn í ngha khoa hc v thc tin Lun ỏn gúp phn lm phong phỳ thờm cỏc kt qu v s hiu bit v mi liờn h i s ca cỏc ỏnh x phõn hỡnh vo a x nh phc ng thi, lun ỏn l mt nhng ti liu tham kho cho sinh viờn, hc viờn cao hc v nghiờn cu sinh theo hng nghiờn cu ny Cu trỳc lun ỏn Ngoi phn m u, phn kt lun v kin ngh, danh mc cụng trỡnh khoa hc ca nghiờn cu sinh liờn quan n lun ỏn v ti liu tham kho, lun ỏn bao gm nm chng: Chng I Tng quan Chng II S ph thuc ta phõn tuyn tớnh ca hai hm phõn hỡnh cú chung nh ngc i vi cỏc cp hm nh Chng III S ph thuc i s ca ba ỏnh x phõn hỡnh trựng trờn nh ngc ca h siờu phng c nh vi bi b ngt Chng IV Tớnh suy bin i s ca cp ỏnh x phõn hỡnh cú chung nh ngc i vi h siờu phng di ng vi bi b ngt Chng V S ph thuc i s ca cỏc ỏnh x phõn hỡnh trựng trờn nh ngc ca h siờu phng di ng khụng tớnh bi Lun ỏn c vit da trờn bi bỏo, ú cú bi cụng b trờn cỏc International Journal of Mathematics, Kodai Mathematical Journal, Complex Variable and Elliptic Equation v bi cũn li ang gi ng Chng TNG QUAN Nm 1926, R Nevanlinna ó ch rng hai hm phõn hỡnh phõn bit khỏc hng f v g mt phng phc C thỡ khụng th cú cựng nh ngc i vi nm giỏ tr phõn bit Ngoi ra, hm g s l mt bin i phõn tuyn tớnh (tc l bin i Măobius) ca f nu chỳng cú cựng nh ngc tớnh c bi i vi bn giỏ tr phõn bit Hai kt qu trờn c gi l nh lý nm im v bn im ca Nevanlinna T ú, vic tng quỏt v m rng cỏc kt qu núi trờn cho trng hp hm phõn hỡnh trờn C v ỏnh x phõn hỡnh nhiu bin t Cn vo PN (C) ó thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc trờn th gii vi nhiu kt qu p v sõu sc c cụng b 1.1 S ph thuc ta phõn tuyn tớnh ca hai hm phõn hỡnh cú chung nh ngc i vi cỏc cp hm nh Mc ớch u tiờn ca lun ỏn l nghiờn cu v hm phõn hỡnh trờn mt phng phc C T vic nghiờn cu hai hm phõn hỡnh cú chung nh ngc i vi cỏc giỏ tr hay cỏc cp giỏ tr, cỏc tỏc gi ó m rng thnh hai hm phõn hỡnh cú chung nh ngc i vi cỏc hm nh hay cỏc cp hm nh Trong chng ny, chỳng tụi quan tõm nghiờn cu trng hp hai hm phõn hỡnh cú chung nh ngc i vi cỏc cp hm phõn hỡnh nh v vi mi dóy tng i1 < ã ã ã < il , ta cú fi1 (z0 ) ã ã ã fil (z0 ) = Theo nh lý c bn th hai cho v trớ tng quỏt, ta cú àf1 ãããf (z0 ) (l 1) Do ú q1 q1 min{1, (f (z0 )} i ,gj ),kj min{1, (f (z0 )} i ,gj ) j=0 j=0 d Nu z0 T [N +1,q] {z|g(1) (z) d àf ãããf (z0 ) l+1 ã ã ã g(N +1) (z) = 0}, thỡ ta cú q1 q1 min{1, (f (z0 )} i ,gj ),kj min{1, (f (z0 )} i ,gj ) j=0 j=0 q àg(1) ãããg(N +1) (z0 ) T [N +1,q] Vy, vi mi z A i=1 I(fi ), ta cú q1 min{1, (f (z)} i ,gj ),kj j=0 d àf ãããf (z) l+1 +q àg(1) ãããg(N +1) (z) T [N +1,q] Nh vy Mnh 5.2.4 ó c chng minh T Mnh 5.2.4, ta suy q1 N [1] (r, (f ) i ,gj )kj || j=0 d Nf ãããf (r) + q l+1 d l+1 = Ng(1) ãããg(N +1) (r) T [N +1,q] N +1 T (r, fi ) + q i=1 T (r, g(i) ) T [N +1,q] i=1 d T (r) + o( max T (r, fi )) 1i l+1 76 i=1 ú T (r) = T (r, fi ) Do ú, ta cú: d T (r) || l+1 q1 q1 N [1] (r, (f ) + o(T (r)) i ,gj )kj i=1 j=0 kj + [1] N (r, (f ) T (r, fi ) + o(T (r)) i ,gj ) kj kj i=1 j=0 q1 q1 N [1] ) (r, (f i ,gj ) j=0 i=1 j=0 i=1 = q T (r, fi ) N (N + 2) q N (N + 2) q1 j=0 q1 j=0 T (r) + o(T (r)) kj T (r) + o(T (r)) kj T (r) + o(T (r)) kj Cho r +, ta c q1 j=0 d q kj N (N + 2) l + iu ny mõu thun Vy, h {f1 , ã ã ã , f } l ph thuc i s trờn C, tc l, f1 ã ã ãf = nh lý ó c chng minh nh lý 5.2.5 Gi s f1 , ã ã ã , f : Cn PN (C) l cỏc ỏnh x phõn hỡnh khỏc hng v N {gj }q1 j=0 l cỏc siờu phng di ng P (C) v trớ tng quỏt tha T (r, gj ) = o(max1i T (r, fi )) (0 j q 1) Cho kj (0 j q 1) l cỏc s nguyờn dng hay + Gi s rng (fi , gj ) vi i , j q 1, v cỏc iu kin sau c tha 0 i) min{1, (f } = ã ã ã = min{1, (f } vi mi j q 1, ,gj )kj ,gj )kj ii) dim f1 (gj1 ) f1 (gj2 ) n vi mi j1 < j2 q 1, iii) tn ti mt s nguyờn l, l , cho vi bt k dóy tng i1 < ã ã ã < il , fi1 (z) ã ã ã fil (z) = vi mi im z q1 j=0 (f1 , gj )1 (0) Gi s rng rank R{gj } f1 = ã ã ã = rank R{gj } f = m + 1, vi m l s nguyờn dng Nu q q < (), thỡ f1 ã ã ã f m(2N m + 2) q( l + 1) + (m 1) j=0 kj + m q1 77 Nhn xột: (2N m m2 + m + 1) l+1 (N + N + 1) Ta thy rng bt ng thc trờn tha vi q > vỡ v phi ca bt l+1 ng thc t cc i ti m = N Do ú, trng hp d = v k0 = ã ã ã = kq1 = i) Vi k0 = ã ã ã = kq1 = + thỡ iu kin (*) tr thnh q > + thỡ kt qu ca nh lý 5.2.5 tt hn kt qu ca nh lý 5.2.1 ii) Vi = l = v k0 = ã ã ã = kq1 = +, ta ch rng vi f1 , f2 tha cỏc iu kin (i) (iii) ca nh lý 5.2.5 v q > N (N + 2) thỡ rank R{gj } f1 = rank R{gj } f2 Tht vy, gi s cú a0 , ã ã ã , aN Rgj khụng ng thi bng khụng v tha f1i 0iN f2i thỡ P trờn 1jq1 (f1 , gj )1 {0}, vỡ nu P thỡ t P = 0iN q1 Tf2 (r) N (r, P0 ) N [1] (r, (f ) + o(Tf2 (r)) ,gj ) + o(Tf2 (r)) j=0 q1 N [1] (r, (f ) + o(Tf2 (r)) ,gj ) = j=0 q Tf (r) + o(Tf2 (r)) N (N + 2) Cho r +, ta c q N (N + 2) (mõu thun) Vy P 0, ú rank R{gj } f1 rank R{gj } f2 Tng t, ta cng cú rank R{gj } f1 rank R{gj } f2 Do ú rank R{gj } f1 = rank R{gj } f2 T nh lý 5.2.5 v cỏc nhn xột trờn, ta cú nh lý nht nh sau H qu 5.2.6 Gi s f1 , f2 : Cn PN (C) l cỏc ỏnh x phõn hỡnh khỏc hng v N {gj }q1 j=0 l cỏc siờu phng di ng P (C) v trớ tng quỏt tha T (r, gj ) = o(max1i2 T (r, fi )) (0 j q1) Gi s rng (fi , gj ) vi i 2, j q1, v cỏc iu kin sau c tha 0 i) min{1, (f } = min{1, (f } vi mi j q 1, ,gj ) ,gj ) ii) dim f1 (gj1 ) f1 (gj2 ) n vi mi j1 < j2 q 1, iii) f1 = f2 trờn q1 j=0 Supp (f ,gj ) 78 Nu q > 2N + 2N + 2, thỡ f1 f2 Chng minh nh lý 5.2.5 Ta ch cn chng minh cho trng hp N + Tng t [8], ta cú khng nh sau Mnh 5.2.7 Cho hi : Cn PN (C) (1 i p N + 1) l cỏc ỏnh x phõn hỡnh cú biu din rỳt gn hi := (hi0 : ã ã ã : hiN ) Cho : Cn PN (C) (1 i N + 1) l cỏc siờu phng di ng cú biu din rỳt gn := (ai0 : ã ã ã : aiN ) t i := ((hi , a1 ) : ã ã ã : (hi , aN +1 )) Gi s rng a1 , ã ã ã , aN +1 v trớ tng quỏt cho h (hi , aj ) (1 i p, j N + 1) Cho S l gii tớch thun tỳy (n 1) chiu ca Cn cho S (a1 ã ã ã aN +1 )1 {0} Thỡ h1 ã ã ã hp = trờn S nu v ã ã ã h p = trờn S ch nu h Chng minh ã ã ã h p } trờn S, thỡ tn ti z0 S cho h (z0 )ã ã ã h p (z0 ) = () Gi s rng {h (z0 ), ã ã ã , h p (z0 )} l c lp tuyn tớnh trờn C, tc l ma iu ny cú ngha l h {h trn sau s cú hng l p A= = a10 (z0 ) ããã (h1 , a1 )(z0 ) (h1 , aN +1 )(z0 ) ã ã ã ããã aN +10 (z0 ) ã ã ã (hp , a1 )(z0 ) (hp , aN +1 )(z0 ) a1N (z0 ) aN +1N (z0 ) ã h10 (z0 ) ã ã ã h1N (z0 ) ã ã ã hp0 (z0 ) hpN (z0 ) Do ú ma trn h (z ) ã ã ã 10 h1N (z0 ) ã ã ã hp0 (z0 ) hpN (z0 ) cú hng l p, tc l, h1 (z0 ) ã ã ã hp (z0 ) = T ú suy h1 ã ã ã hp trờn S iu ny mõu thun 79 () Ta thy rng ma trn sau cú hng p vi mi z S (h1 , a1 )(z) ã ã ã (hp , a1 )(z) A= (h1 , aN +1 )(z) ã ã ã (hp , aN +1 )(z) Mt khỏc, ta cú A= a10 (z) ããã aN +10 (z) ã ã ã a1N (z) aN +1N (z) ã h10 (z) ã ã ã h1N (z) ã ã ã hp0 (z) hpN (z) Do h {ai } v trớ tng quỏt v S (a1 ã ã ã aN +1 )1 {0}, nờn suy ma trn h (z) ã ã ã hp0 (z) 10 h1N (z) ã ã ã hpN (z) cú hng p vi mi z S, tc l h1 ã ã ã hp trờn S Mnh 5.2.7 ó c chng minh Ta tip tc chng minh nh lý 5.2.5 Gi s rng f1 ã ã ã f Vi ch s = j0 < j1 < ã ã ã < j1 N cho ma (f1 , gj0 ) ã ã ã (f , gj0 ) (f1 , gj1 ) ã ã ã (f , gj1 ) khụng suy bin trn (f1 , gj1 ) ã ã ã (f , gj1 ) t J = {j0 , ã ã ã , j1 }, J c = {0, , q 1} \ J v (f1 , gj0 ) ã ã ã (f , gj0 ) (f1 , gj1 ) ã ã ã (f , gj1 ) BJ = (f1 , gj1 ) ã ã ã (f , gj1 ) Ta chng minh mnh sau 80 Mnh 5.2.8 Nu BJ l khụng suy bin, tc l det BJ thỡ 0 ( {(f } min{1, (f }) ,gj ),kj i ,gj ),kj jJ 1i q1 ( l + 1) min{1, (f } àf1 ãããf ,gj ),kj + j=0 trờn Cn \ (A (fi , gj1 )) v A = i=1 I(fi ) (gj0 ã ã ã gj1 )1 (0)), ú fi := ((fi , gj0 ) : ã ã ã : 0i[...]... đây, ánh xạ f × g từ Cn vào PN (C) × PN (C) xác định bởi (f × g)(z) = (f (z), g(z)) ∈ PN (C) × PN (C), ∀z ∈ If ∪ Ig Ta nói rằng một ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh là suy biến đại số nếu ảnh của nó nằm trong một tập con đại số thực sự của đa tạp đó Ngược lại nó sẽ được nói là không suy biến đại số Khi đó các câu hỏi sau được đặt ra một cách tự nhiên: Có kết quả tương tự nào như kết quả trên của. .. trong các kết quả đó các tác giả đều giả thiết rằng f và g bằng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng Đây là một điều kiện mạnh và khó kiểm tra 1.4 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng di động không tính bội Tiếp tục hướng nghiên cứu trong trường hợp siêu phẳng di động, chúng tôi tìm hiểu về sự phụ thuộc đại số của họ các ánh xạ phân hình trong chương... thuộc đại số của ánh xạ phân hình nhiều biến vào đa tạp xạ ảnh phức với siêu phẳng cố định được đưa ra bởi W Stoll [35] Sau đó, M Ru [30] đã tổng quát kết quả của W Stoll cho đường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức với siêu phẳng di động 12 Gần đây, P D Thoan, P V Duc và S D Quang [8] [39] đã cải thiện các kết quả của W Stoll và M Ru Mục đích của chúng tôi trong chương 5 này là tổng quát và cải... không? b) Có bất kì mối quan hệ nào giữa các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược của một số siêu phẳng không kể bội và chỉ đòi hỏi trùng nhau trên một số ít các siêu phẳng trong đó hay không? Trong chương 3, chúng tôi sẽ chỉ ra các ánh xạ trong các trường hợp trên là phụ thuộc đại số với nhau Kết quả của chương 3 được chúng tôi viết dựa trên bài báo [2] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến... hợp ánh xạ phân hình nhiều 7 biến từ Cn vào PN (C) cũng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới với nhiều kết quả đẹp đẽ được công bố Đặc biệt về bài toán nghiên cứu tính hữu hạn và phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình Cụ thể, năm 1975, H Fujimoto [9] đã chứng minh rằng với hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính f và g từ Cn vào PN (C), nếu chúng có cùng ảnh ngược kể... ≡ 0 10 1.3 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt Khi nghiên cứu bài toán về tính hữu hạn và phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình, ba đối tượng thường được quan tâm là số siêu phẳng tham gia, mức độ được ngắt của bội giao và các siêu phẳng tham gia là cố định hay di động Sau khi tìm cách giảm được số siêu phẳng cố định trong... q ≥ 2N + 2 và N ≥ 2 thì F {Hi }qi=1 , f, 1) chứa nhiều nhất hai ánh xạ Chúng ta cần chú ý rằng, tất cả các kết quả về vấn đề hữu hạn của các ánh xạ phân hình đều đòi hỏi ít nhất là có 2N + 2 siêu phẳng tham gia Do vậy các câu hỏi sau đây nảy sinh một cách rất tự nhiên a) Có mối quan hệ nào giữa các ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của q siêu phẳng không kể bội với q < 2N + 2 hay không? b)... duy nhất trong trường hợp hai ánh xạ phân hình chia sẻ 2N + 3 siêu phẳng với bội bị ngắt bởi N Gần đây, kết quả tốt nhất về tính duy nhất và hữu hạn của ánh xạ phân hình vào PN (C) trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng được đưa ra bởi Chen - Yan [3] và Quang [24] Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi nhắc lại các khái niệm sau Cho f là ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) với biểu diễn rút... chưa đưa đến được ánh giá tối ưu nhất Mong muốn của chúng tôi khi nghiên cứu trường hợp hai hàm phân hình có chung ảnh ngược không tính bội đối với các cặp hàm phân hình nhỏ là có thể giảm được số cặp hàm nhỏ trong kết quả của Quang Hơn thế nữa, chúng tôi sẽ không tính đến các không điểm chung của các cặp hàm (f − ai ) và (g − bi ) có bội lớn hơn một hằng số nào đó trở đi và các hằng số này có thể khác... cả các hàm phân hình trên Cn và R{ai }qi=1 là trường con nhỏ nhất của M chứa C và tất cả aik /ail with ail ≡ 0 Kết quả của Fujimoto được chúng tôi mở rộng và tổng quát như sau: Định lý 4.2.1 Giả sử f và g là hai ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) và a1 , , a2N +2 là các siêu phẳng di động chậm (tương ứng với f ) trong PN (C) ở vị trí tổng quát Khi đó tồn tại số nguyên dương l0 (không phụ thuộc vào