Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình và họ siêu mặt di động

Lời giới thiệu Lý thuyết phân bố giá trị hàm phân hình đánh giá thành tựu đẹp đẽ sâu sắc toán học Lý thuyết hình thành từ năm đầu kỉ hai mươi nhà toán học R Nevanlinna Chính vậy, lý thuyết gọi lý thuyết Nevanlinna Lý thuyết phân bố giá trị cổ điển tổng quát hóa định lý đại số, xác hơn, lý thuyết nghiên cứu phân bố giá trị hàm phân hình từ C → C ∪ {∞} Mục đích lý thuyết phân bố giá trị thiết lập định lý thứ định lý thứ hai ánh xạ phân hình Định lý thứ cách viết khác công thức PoissonJensen, định lý nói hàm đặc trưng T (r, a, f ) không phụ thuộc vào a sai khác đại lượng bị chặn, a số phức tùy ý Định lý thứ hai thể kết đẹp nhất, sâu sắc lý thuyết phân bố giá trị, định lý đưa mối quan hệ hàm đặc trưng hàm xấp xỉ Năm 2011, Gerd Dethloff Trần Văn Tấn [Houston J Math] thiết lập Định lý thứ hai Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ không gian phức vào không gian xạ ảnh phức giao siêu mặt di động Với mục đích tìm hiểu sâu lý thuyêt phân bố giá trị cho trường hợp mục tiêu di động, chọn đề tài :" Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình họ siêu mặt di động" Chúng tập trung vào việc tìm hiểu kết Gerd Dethloff Trần Văn Tấn [Houston J Math] Cấu trúc luận văn gồm chương : Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình họ siêu mặt di động Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Trần Văn Tấn, Thầy tận tình giảng dạy, hướng dẫn để hoàn thành luận văn Đồng thời, xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô phản biện giành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, Thầy, Cô giáo Bộ môn Hình học-tôpô thuộc Khoa Toán- tin Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, bạn học viên người thân giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp trường Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 04 năm 2017 Học viên Trần Thị Mãi Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm đếm 1.2 Divisor không 1.3 Hàm đặc trưng 1.4 Công thức Jensen điểm Định lý thứ hai cho ánh 2.1 Định lý 2.2 Một số hệ 2.2.1 Hệ 1.1 2.2.2 Mệnh đề 1.2 2.3 Một vài bổ đề 2.3.1 Mệnh đề 2.1 2.3.2 Bổ đề 2.2 2.3.3 Định nghĩa 2.3 2.3.4 Bổ đề 2.4 2.3.5 Bổ đề 2.5 2.3.6 Bổ đề 2.6 2.3.7 Bổ đề 2.7 2.3.8 Mệnh đề 2.8 2.4 Dãy Chính quy 2.4.1 Bổ đề 3.1 2.4.2 Mệnh đề 3.2 2.4.3 Mệnh đề 3.3 2.5 Chứng minh định lý xạ phân hình họ siêu mặt di động 4 5 7 7 9 11 12 12 12 12 13 13 13 14 15 16 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức sở sử dụng chương sau Cho z = (z1 , z2 , , zm ) ∈ Cm m Đặt z = ( |z|2 )1/2 định nghĩa: j=1 B(r) = {z ∈ Cm : z = r} , S(r) = {z ∈ Cm : z = r} , √ −1 c (∂ − ∂), υ = (ddc z )m−1 , σ = dc log z ∧ (ddc z )m−1 d = 4π 1.1 Hàm đếm Với L số nguyên dương +∞ υ divisor Cm Đặt |υ| = z : υ(z) = Ta định nghĩa hàm đếm υ: n (L) Nv (r) := n(L) (t) dt (1 < r < +∞) t2m−1 đó: n(L) (t) = {v, L}.υ với m ≥ |v|∩B(t) n(L) (t) = {v(z), L} với m = |z|≤t 1.2 Divisor không điểm Cho F hàm phân hình khác Cm Với tập α = (α1 , ., αm ) không âm, ta ∂ |α| đặt |α| := α1 + + αm Dα F := α1 Ta định nghĩa divisor không ∂ z1 .∂ αm zm điểm υF F : υF (z) = max{p : Dα F (z) = 0∀|α| < p} Giả sử ϕ hàm phân hình khác Cm Divisor không điểm υϕ ϕ định nghĩa sau: Với a ∈ Cm , ta chọn hàm chỉnh hình F G khác lân cận U a cho F U dim(F −1 (0) ∩ G−1 (0)) ≤ m − Khi ta đặt υϕ (a) := υF (a) ϕ= G (L) (L) Đặt Nϕ (r) := Nυϕ (r) Cho ngắn gọn, ta bỏ dấu (L) hàm đếm L = +∞ 1.3 Hàm đặc trưng Cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào CPn Với tọa độ tùy ý cố định (ω0 : : ωn ) CPn , ta đưa biểu diễn (f0 : : fn ), có nghĩa fi hàm chỉnh hình Cm f (z) = (f0 (z) : fn (z)) bên tập giải tích {z : f0 (z) = = fn (z) = 0} đối chiều lớn Đặt f = max{|f0 |, |fn |} Hàm đặc trưng f định nghĩa bởi: log f σ − Tf (r) := S(r) log f σ, < r < +∞ S(1) Với hàm phân hình ϕ Cm , hàm đặc trưng Tf (r) định nghĩa ánh xạ phân hình ϕ từ Cm vào CP 1.4 Công thức Jensen log|f |σ − Nϕ (r) − N (r) = ϕ S(r) log|f |σ S(1) Cho f ánh xạ phân hình khác từ Cm vào CPn Ta nói hàm phân hình ϕ Cm "nhỏ" với f Tϕ (r) = o(Tf (r)) r → ∞ Kí hiệu Kf tập hàm phân hình "nhỏ" Cm Bởi định lý 5.2.29 hệ 5.7 [11], ta thấy biểu thức hữu tỉ hàm số Kf "nhỏ", đặc biệt Kf trường Với đa thức Q ∈ Kf [x0 , ., xn ], bậc d ≥ với Q(f0 , ., fn ) = 0, ta định nghĩa: (L) (L) Nf (r, Q) := (L) NQ(f0 , ,fn ) (r) Nf (r, Q) ) δf (Q) = lim inf(1 − r→∞ d.Tf (r) Kí hiệu Q(z) đa thức C thu đánh giá hệ số Q điểm z ∈ Cm hệ số Q hàm chỉnh hình Với số nguyên dương d, ta đặt: Γd := (i0 , ., in ) ∈ Nn+1 : i0 + + in = d ajI xI với (j = 1, ., q) đa thức Kf [x0 , ., xn ] Cho Qj = I∈Γdj với deg Qj = dj ≥ 1, xI = xi00 .xinn với x = (x0 , ., xn ) I = (i0 , ., in ) Kí hiệu K{Qj }qj=1 trường C gồm hàm phân hình Cm sinh {ajI : I ∈ Γdj , {j ∈ 1, ., q} Đây trường Kf Kí hiệu K{Q }q ⊂ K{Qj }qj=1 j j=1 ajI1 trường sinh thương: { : ajI2 = 0, I1 , I2 ∈ Γdj , {j ∈ 1, ., q}} Ta nói ajI2 f không suy biến K{Qj }qj=1 (tương ứng K{Qj }qj=1 ) đa thức Q ∈ K{Qj }qj=1 [x0 , ., xn ] (tương ứng Q ∈ K{Qj }qj=1 [x0 , ., xn ]) khác cho Q(f0 , ., fn ) = Ta nói {Qj }qj=1 (q ≥ n + 1) đa thức Kf [x0 , ., xn ] chấp nhận tồn z ∈ Cm mà hàm hệ số Qj , j ∈ 1, ., q chỉnh hình cho ≤ j0 < < jn ≤ q, hệ: Qji (z)(x0 , ., xn ) = 0≤i≤n (1.1) có nghiệm tầm thường (x0 , x1 , , xn ) = (0, 0, 0) Cn+1 Chú ý rằng, trường hợp với z ∈ Cm Ta dùng kí hiệu ||P để nói kết luận P với r ∈ [1; +∞) tập Borel E dr < +∞ E Chương Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình họ siêu mặt di động 2.1 Định lý Cho f ánh xạ phân hình khác từ Cm vào CPn Cho {Qj }qj=1 tập chấp nhận đa thức Kf [x0 , x1 , , xn ] với deg Qj = dj Giả sử f không suy biến tuyến tính K{Qj }qj=1 Khi đó, với ε > 0, tồn số nguyên dương Lj (j = 1, , q) phụ thuộc vào n, ε dj (j = 1, , q) cho: q ||(q − n − − ε)Tf (r) j=1 2.2 2.2.1 (Lj ) N (r, Qj ) dj f Một số hệ Hệ 1.1 Với điều kiện giống Định lý bản, ta có: q δf (Qj ) n+1 j=1 2.2.2 Mệnh đề 1.2 Với kí hiệu định lý bản, ta có: dj Lj n+N n d tpo+1 − dj +1 d bội chung nhỏ dj và: N = d.[2(n + 1)(2n − 1)(nd + 1)ε−1 + n + 1]    n+N n+N q  log   −  n n n  po =   ε  log +  2M N  n+N n tpo+1 <  q n  q  n     + 1     (n+N )2 (qn)−1 n  + po , kí hiệu [x] := max{k ∈ Z : k x} với số thực x Hơn nữa, trường hợp siêu mặt cố định (Qj ∈ C[x0 , ., xn ], j = 1, ., q), ta có = cho số nguyên dương p, vậy, ta có đánh giá tốt hơn: dj Lj 2.3 n+N n d − dj +1 Một vài bổ đề Đầu tiên ta nhớ lại số kết cổ điển: Cho {Qj }nj=1 đa thức bậc d Kf [x0 , , xn ] ajI xI , ajI ∈ Kf (j = 0, , n) Qj = I∈Γd Cho T = ( , tkI , ) (k ∈ {0, , n} , I ∈ Γd ) họ biến Đặt: tjI xI ∈ Z [T, x] , j = 0, , n Qj = I∈Γd Cho R ∈ Z [T ] kết thức Q0 , , Qn Đây đa thức với biến T = ( , tkI , ) (k ∈ {0, , n} , I ∈ Γd ) với hệ số nguyên, cho R (T ) = có nghiệm không tầm thường (x0 , , xn ) = (0, , 0) Cn+1 với hệ: Qj (T ) (x0 , , xn ) = 0 i n Từ phương trình (1.1) (2.1) ta thấy rằng: { Qj = Qj (ajI ) (x0 , , xn ) , j = 0, , n} (2.1) tập chấp nhận được, R := R ( , akI , ) = (2.2) Hơn nữa, akI ∈ Kf nên ta có R ∈ Kf 2.3.1 Mệnh đề 2.1 Tồn số nguyên dương s đa thức bij i,j n Z [T, x],(không tính tổng quát)là đa thức x với bậc s − d, cho: n xsi R = bij Qij với i ∈ {0, , n} j=0 Cho f ánh xạ phân hình khác từ Cm vào CPn Kí hiệu Cf tập tất hàm không âm h : Cm \A → [0, +∞] ⊂ R, từ |g1 | + + |gk | , |gk+1 | + + |gl | (2.3) k, l ∈ N, g1 , , gl ∈ Kf \ {0} A ⊂ Cm , phụ thuộc vào g1 , , gl , tập giải tích có đối chiều lớn Theo định lý thứ nhất, ta có: log |φ|σ = o (Tf (r)) r → ∞ S(r) với φ ∈ Kf \ {0} Do đó, với h ∈ Cf ,ta có: log hσ = o (Tf (r)) r → ∞ S(r) Ta thấy tổng, tích, thương hàm Cf thuộc Cf Khi thay trở lại hàm g1 , , gl ∈ Kf \ {0} từ (2.3) ta thấy định nghĩa không phụ thuộc vào phần tử đại diện( với giá trị [0, +∞)) tập giải tích A với đối chiều lớn 2, g1 , , gl có cực điểm chung divisor không điểm đối chiều 2.3.2 Bổ đề 2.2 Cho {Qj }nj=0 đa thức bậc d Kf [x0 , , xn ] Khi đó, tồn hàm h1 ∈ Cf cho, tập giải tích Cm với đối chiều lớn 2, max j∈{0, ,n} |Qj (f0 , , fn )| h1 f d Hơn nữa, tập đa thức chấp nhận được, tồn hàm = h2 ∈ Cf cho tập giải tích với đối chiều lớn 2, h2 f d max j∈{0, ,n} |Qj (f0 , , fn )| Chứng minh Giả sử rằng: ajI xI , ajI ∈ Kf (j = 0, , n) Qj = I∈Γd Ta có, tập giải tích Cm , ajI f I |Qj (f0 , , fn )| = |ajI | f I∈Γd Đặt: d (2.4) I∈Γd n |ajI | h1 := j=0 I∈Γd Khi đó, h1 ∈ Cf , ajI ∈ Kf (j ∈ {0, , n} , I ∈ Γd ) Bởi (2.4), ta có: |Qj (f0 , , fn )| h1 f d với j ∈ {0, , n} Vì vậy, ta có |Qj (f0 , , fn )| max j∈{0, ,n} h1 f d (2.5) Tất biểu diễn không phụ thuộc vào phần tử đại diện liên tục (hàm có giá trị [0, +∞]), tập giải tích có đối chiều lớn Vì f d hàm thực mà tập giải tích Cm với đối chiều lớn 2, điều tập giải tích Cm có đối chiều lớn Chứng minh bất đẳng thức thứ bổ đề 2.2, ta có: Z [T, x] Bởi Mệnh đề 2.1, ta có: tồn số nguyên dương s đa thức bij i,j n đa thức x với bậc s − d, cho: n xsi R = bij Qij vớii ∈ {0, , n} j=0 Hơn nữa, R = R( , akI , ) = Đặt bij = bij (( , akI , ), (f0 , , fn )) , i, j n Khi đó, ta có fis R = n bij Qj (f0 , , fn ) với i ∈ {0, , n} j=0 Vì vậy, tập giải tích Cm : n |fis R| = bij Qj (f0 , , fn ) j=0 n |bij | j=0 max k∈{0, ,n} |Qk (f0 , , fn )| (2.6) với i ∈ {0, , n} Ta viết: γIij f I , γIij ∈ Kf bij = I∈Γs−d Bởi (2.6), ta có: γIij |fis R| max s−d f k∈{0, ,n} |Qk (f0 , , fn )| , i ∈ {0, , n} j n I ∈ Γs−d Vì vậy, γIij R |fi |s f s−d max k∈{0, ,n} |Qk (f0 , , fn )| j n I ∈ Γs−d (2.7) với i ∈ {0, , n} Đặt: h2 = n i=0 γIij R j n I ∈ Γs−d Do h2 ∈ Cf , γIij , R ∈ Kf R = Bởi (2.3.2) f max, f = |fi | với i = 0, , n (có thể phụ thuộc vào z ∈ Cm , ta có: h2 f d max j∈{0, ,n} |Qj (f0 , , fn )| (2.8) Bởi (2.5) (2.8) với cách làm tương tự chứng minh bất đẳng thức thứ nhất, ta bổ đề 2.2 Xét hàm phân hình F0 , , Fn Cm đặt F = (F0 , , Fn ) Với a ∈ Cm ,ta kí hiệu Ma trường mầm hàm phân hình Cm a p = 1, 2, Kí hiệu F p Ma -không gian véc tơ Man+1 định nghĩa {Dα F := (Dα F0 , , Dα Fn ) : |α| p} Đặt lF (p) = dimMa F p , không phụ thuộc vào a ∈ Cm 2.3.3 Định nghĩa 2.3 Giả sử hàm phân hình F0 , , Fn Cm không suy biến tuyến tính C Cho (n+1) véc tơ αi = (αi1 , , αim ) (0 i n) gồm số nguyên không âm αij , ta gọi tập α = (α0 , , αn ) tập chấp nhận F := (F0 , , Fn ) l (p)−1 Dα , , Dα F F sở F p với p = 1, , p0 := min{p : lF (p ) = n + 1} Bởi định nghĩa, tập α = (α0 , , αn ) tập chấp nhận F = (F0 , , Fn ), ta có: n Wα (F0 , , Fn ) := det Dα , , Dα F = 10 Ta chọn N := d [2(n + 1)(2n − 1)(nd + 1)ε−1 + n + 1] Khi (2.23), ta có( không tính tổng quát ta giả sử ε < 1)   N +n  N  n MN  d −n−1 d  − n − N  n+1  dA d N d ( − n) n+1 d n n = d(n + 1).( i=1 N +1 n N +i − 1) < d(n + 1) ( ) −1 N − (n + − i)d N − nd nd + n ) −1 = d(n + 1) (1 + N − nd d(n + 1)(2n − 1) d (2(n + 1)(2n < d(n + 1)(2n − 1) (2.27) nd + N − nd nd + ε = −1 − 1)(nd + 1)ε + n) − nd Bởi (2.26) bổ đề 2.2 ta có q |Qj (f )| = log max log Qβ1 (f ) Qβq−n (f ) {β1 , ,βq−n }⊂{1, ,q} j=1 + J={j1 , ,jn }⊂{1, ,q} log |Qj1 (f ) Qjn (f )| M ψjJ (f ) log (q − n)d log f + J⊂{1, ,q} A j=1 −d.( MN − n) log f − log h dA M = (q − n − 1)d log f + −d ψjJ (f ) log J⊂{1, ,q} A j=1 MN − n − log f − log h dA đây, chọn số tối đa tương ứng mức tối thiểu phụ thuộc vào z, nhiên chọn h tích π(1 + hv ), hv chọn tùy ý, ta h ∈ Cf Hơn nữa, ta thấy số hạng số hạng cuối ta định nghĩa tập giải tích Cm với đối chiều lơn chọn max hữu hạn địa phương, đặc biệt kết hàm liên tục hàm giá trị [0, +∞] Vì vậy, bất đẳng thức nằm tập giải tích Cm với đối chiều lớn Bởi tích phân (2.27), tập giải tích Cm với đối chiều Cm ⊃ S(r) ta có q |Qj (f )| σ log S(r) (q − n − 1)d.Tf (r) + j=1 M A ψjJ (f ) σ log S(r) j=1 ε − Tf (r) − o(Tf (r)) 20 (2.28) Ta viết ψjJ = I∈TN cJjI xI ∈ VN , cJjI ∈ K{Qj }qj=1 với j = 1, , M, J ⊂ {1, , q} , #J = n Với j ∈ {1, , M } , J ⊂ {1, , q} , #J = n ta cố định số IiJ ∈ TN cho cJjI J = Định nghĩa i J ξjI = cJ jI cJ , j ∈ {1, , M } , J ⊂ {1, , q} , = J = n jI J i Tập ψjJ = J I ξjI x ∈ K{Qj }qj=1 [x0 , , xn ] I∈TN Với số nguyên dương p, ta kí hiệu L(p) không gian véc tơ C sinh  J J njI  (ξjI ) : nJjI ∈ N0 , nJjI = p  j M, I ∈ TN j M, I ∈ TN   J ⊂ {1, , q} , #J = n J ⊂ {1, , q} , #J = n      J Ta có L(p) ⊂ L(p+1) ⊂ K{Qj }qj=1 ( ý ξjI J = 1, j ∈ {1, , M } , J ⊂ {1, , q} , #J = j n) Cho b1 , , btp+1 thấy rằng:  tp+1    n+N n n+N n sở L(p + 1) cho b1 , , btp q n q n sở L(p) Ta   +p  <  −1 n+N n q n  +p n+N n 2    q n  −1 (2.29) với số nguyên dương p( ý #TN = J Vì ψ1J , , ψM n+N n = M ) sở VN ; b1 , , btp+1 f hàm không suy biến tuyến tính K{Qj }qj=1 ta thấy bk ψ1J (f ) (1 k tp+1 , j M ) độc lập tuyến tính C Ta thấy bl ψ1J (f ) (1 l , j M, J ⊂ {1, , q} , #J = n) tổ hợp tuyến tính bk f I (1 k tp+1 , I ∈ TN ) C Với J ⊂ {1, , q} , #J = n tồn AJ ∈ mat (tp+1 M × M, C) cho bl ψ1J (f ), l , j M = bk f I k tp+1 , I ∈ TN AJ (chú ý #T = M Vì bl ψ1J (f ), (1 l , j M ) độc lập tuyến tính C, ta có nhận xét AJ = M Lấy ma trận BJ ∈ mat (tp+1 M × (tp+1 − )M, C) , (J ⊂ {1, , q} , #J = n) cho 21 CJ := AJ ∪ BJ ∈ GL (tp+1 M, C) Ta viết bk f I , k tp+1 , I ∈ TN CJ = bl ψ1J (f ), l , M va hJuv , + j u tp+1 , v M (2.30) Vì b1 , , btp+1 sở L(p + 1) f không phụ thuộc tuyến tính K{Qj }qj=1 , ta có bk f I (1 k tp+1 , I ∈ TN ) độc lập tuyến tính C Bởi bổ đề 2.4 tồn tập α := α0 , , αtp+1 M tập chấp nhận với bk f I , k tp+1 , I ∈ TN Bởi (2.30) ta có α tập chấp nhận với bl ψ1J (f ), l , j M, hJuv , + u tp+1 , v M Đặt Wα := Wα bk f I , k tp+1 , I ∈ TN WαJ := Wα bl ψ1J (f ), l , j M, hJuv , + Ta có WαJ = det CJ Wα 22 u tp+1 , v M Bởi Bổ đề 2.2 ta có M ψjJ (f ) σ log J log J 1 S(r) M + J j=1 S(r) j=1 cJjI J bl ψ1J (f ) σ log j l M tp i σ M |bl | S(r) l=1 bl ψ1J (f ) σ − o(Tf (r)) log J 1  S(r) j l M  S(r)    log  J   1  S(r)    max log  J   + 1  − S(r) −    log  J   1 log f hJuv bl ψ1J (f ) j l M tp + 1 hJuv u v + M u v + M  N M (tp +1−tp ) (2.31)    − o(Tf (r))    hJuv bl ψ1J (f ) j l    σ   + 1 M u v + M    σ   σ−o(Tf (r)) S(r)  S(r)    log  J   1  bl ψ1J (f ) j l M hJuv + 1 u v + M    σ   −N M (tp + − ) Tf (r) − o(Tf (r)) lấy tất tập J ⊂ {1, , q} , #J = n Ta chọn số J 23 nguyên p cho:  p   p0 :=    n+N n q n n+N n − log log + tp+1 ε 1+ với p 2M N p0 Vì vậy, (2.29) ta có Thật vậy, giả sử ε 2M N ε log + 2M N log tp0 +1 < p0 q n ε 2M N 1+ 2 n+N n q n 2   + 1   ε tp+1 A.t −1 > tập giải tích với đối chiều ∩ υ  q Vì υ  q p p      Qj (f )   Q (f )       j  j=1       j=1               Wα    Wα  J          J lớn 2, số hạng bên phải (2.39) không âm, điều suy với J( tập giải tích với đối chiều lớn 2) n υ A.t p q  Qj (f ) j=1 Wα J Atp υQj (f ) , L + υ j=1 Khi đó, (2.38) ta có n υ A.t p q  Qj (f ) j=1 Wα Atp υQj (f ) , L + υ j=1         + (q − n)Atp υ + υ  RH  bH (f )   ij   i n H ⊂ { 1, , q} #H = n + j∈H (2.40) tập giải tích có đối chiều lớn Bởi công thức Jensen 31 ,(2.40) ta có A.tp q |Qj (f )| j=1 log σ |Wα | S(r) = N A.t p q  Qj (f ) j=1 Wα (r) − N       A.t p q j=1 Qj (f ) −1 (r) + O(1)     Wα q (L) Nf (r, Qj ) + Nυ (r) + O(1) Atp j=1         υ H1  +(q − n)Atp υRH + b (f )   ij  i n H ⊂ { 1, , q}  j∈H #H = n + q (L) Atp Nf (r, Qj ) + o(Tf (r)) j=1 (chú ý RH ∈ Kf , bH ij ∈ Kf [x0 , , xn ]) Kết hợp với(2.36), ta có q (q − n − − ε) Tf (r) j=1 (L) N (r, Qj ), d f (2.41) (chú ý A > 1) Bây ta chứng minh định lý cho trường hợp deg Qj = dj Kí hiệu d bội chung nhỏ d∗ d1 , , dq đặt d∗j := ddj Bởi (2.41) với siêu mặt di động Qj j (j ∈ {1, , q}) bậc chung d, ta có q (q − n − − ε) Tf (r) j=1 (L) d∗ Nf (r, Qj j ) d q j=1 q j=1 Lj := dj L d + Định lý chứng minh xong 32 d∗j N d f L +1 d∗ j (r, Qj ) (Lj ) N (r, Qj ), d f Tài liệu tham khảo [1] G Dethloff and T V Tan, The Shiffman conjecture for moving hypersurfaces, Preprint arXiv math CV/0703572( 20 March 2007) [2] T T H An and H T Phuong, An explicit estimate on multiplicity truncation in the Sec-ond Main Theorem for holomorphic curves encountering hypersurfaces in general position in projective space, Preprint arXiv 07080913 (07 August 2007), to appear in Houston J Mathematics [3] J Carlson and Ph Griffiths, A defect relation for equidimensional holomorphic mappings between algebraic varieties, Ann.of Math.95 (1972), 557-584 [4] M Ru and W Stoll, The second main theorem for moving targets, The Journal of Geo-metric Analysis (1991), 99-138 [5] M Ru, On a general form of the Second Main Theorem, Trans AMS 349 (1997), 5093-5105 [6] H Fujimoto, Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory H, Nayoya Math J.155 (1999),161-188 [7] T T H An and J T-Y Wang, An effective Schmidt’s subspace theorem for nonlinear forms over function fields, Journal of Number Theory, 125 (2007), 210-228 [8] H.Cartan,Sur les zéroes descombinaisons linéaries depfonctions holomorphes données, Mathematica (1993), 80-103 [9] P Corvaja and U Zannier On a general Thue’s equation, Amer J Math 126 (2004), 1033-1055 [10] A E Eremenko and M L Sodin,The value distribution of meromorphic functions and meromorphic curves from the point of view of potential theory, St.Petersburg Math J.3 (1992), 109-136 [11] R Hartshorne, Algebraic Geometry, Grad Texts in Math.vol 52, Springer- Verlag, New York, 1997 [12] J Noguchi, T.Ochiai, Geometric Function Theory in Several Complex Variables, Transl AMS 80 (1990) [13] M Ru, Holomorphic curves into algebraic varieties, to appear in Annals of Math 33 [14] B Shiffman, On holomorphic curves and meromorphic map in projective space, Indiana Univ Math J.28 (1979), 627-641 [15] M shirosaki, Another proof of the defect relation for moving targets, Tohoku Math J 43 (1991), 355-360 [16] W Stoll, An extension of the theorem of Steinmetz- Nevanlinna to holomorphic curves, Math Ann 282 (1988), 185-222 [17] Z-H Tu, Uniqueness problem of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Tohoku Math J.54 (2002, 567-579 [18] P Vojta, On Cartan’s theorem and Cartan’s conjecture, Amer J Math.119 (1977), 1-17 34 ... Borel E dr < +∞ E Chương Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình họ siêu mặt di động 2.1 Định lý Cho f ánh xạ phân hình khác từ Cm vào CPn Cho {Qj }qj=1 tập chấp nhận đa thức Kf [x0 , x1 , , xn... hàm phân hình ϕ Cm , hàm đặc trưng Tf (r) định nghĩa ánh xạ phân hình ϕ từ Cm vào CP 1.4 Công thức Jensen log|f |σ − Nϕ (r) − N (r) = ϕ S(r) log|f |σ S(1) Cho f ánh xạ phân hình khác từ Cm vào...Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm đếm 1.2 Divisor không 1.3 Hàm đặc trưng 1.4 Công thức Jensen điểm Định lý thứ hai cho ánh 2.1 Định lý 2.2 Một số