Định lý cơ bản thứ hai cho siêu mặt trên trường p adic

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI HONG KIM NGN NH Lí C BN TH HAI CHO SIấU MT TRấN TRNG p-ADIC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc v Tụpụ Mó s: 60.46.01.05 LUN VN THC S KHOA HC TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS TSKH S C QUANG H NI, 2017 LI CAM OAN Tụi xin cam oan bn lun ny l kt qu nghiờn cu ca cỏ nhõn tụi Cỏc s liu v ti liu c trớch dn lun l trung thc Kt qu nghiờn cu ny khụng trựng vi bt c cụng trỡnh no ó c cụng b trc ú Tụi chu trỏch nhim vi li cam oan ca mỡnh H Ni, 05 thỏng 03 nm 2017 Tỏc gi lun Hong Kim Ngõn LI CM N Lun c hon thnh di s hng dn ca PGS TSKH S c Quang Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti Thy, ngi ó tn tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny ng thi tụi xin chõn thnh cm n cỏc Thy, Cụ phn bin ó dnh thi gian c v gúp nhng ý kin quý bỏu cho bn lun Tụi xin gi li tri õn n tt c Thy, Cụ Khoa Toỏn - Tin Trng i hc S phm H Ni, c bit l cỏc Thy, Cụ B mụn Hỡnh hc, ó tn tỡnh dy d chỳng tụi sut thi gian hc Cao hc Tụi cng xin c phộp gi li cm n ti Ban Giỏm hiu, quý Thy, Cụ cụng tỏc ti phũng Sau i hc trng i hc S phm H Ni, Ban Giỏm hiu Trng Trung cp S phm Mu giỏo - Nh tr H Ni, cỏc ng nghip cựng gia ỡnh, bn bố, nhng ngi luụn quan tõm, ng viờn, giỳp v to mi iu kin tt nht cho tụi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu H Ni, 05 thỏng 03 nm 2017 Tỏc gi lun Hong Kim Ngõn MC LC LI CAM OAN LI CM N MC LC M U Trng cỏc s p-adic 1.1 Trng cỏc s hu t p-adic 1.2 Trng s phc p-adic 11 Lý thuyt Nevanlinna cho hm phõn hỡnh trờn trng p-adic 16 2.1 Hm chnh hỡnh v hm phõn hỡnh 16 2.2 nh lý chun b Weierstrass 20 2.3 Cỏc hm Nevanlinna v hai nh lý c bn 24 nh lý c bn th hai cho siờu mt trờn trng p-adic 26 3.1 Cỏc siờu mt p-adic 26 3.2 Cỏc hm c bn cho ỏnh x gii tớch vo Pn (Cp ) 27 3.3 nh lý c bn th hai cho h siờu mt v trớ tng quỏt 29 3.4 nh lý c bn th hai cho h siờu mt v trớ di tng quỏt 34 KT LUN 38 TI LIU THAM KHO 39 M U Lý thuyt Nevanlinna c in l cụng c quan trng dựng vic nghiờn cu s phõn b cỏc giỏ tr ca hm phõn hỡnh Lý thuyt ny cho chỳng ta mt s tng quỏt nh lng cho nh lý Picard v vic mt hm nguyờn khỏc hng ch khụng nhn nhiu nht mt giỏ tr phc Mc tiờu Lý thuyt Nevanlinna l vic thit lp hai nh lý c bn: nh lý c bn th nht v nh lý c bn th hai Trong ú nh lý c bn th nht l h qu c suy t cụng thc Jensen, v nh lý c bn th hai l mc tiờu chớnh ca lý thuyt ny Trong lý thuyt Nevanlinna cho ỏnh x nhiu bin phc, nh lý c bn th nht d dng c m rng thỡ vic thit lp nh lý c bn th hai cũn nhiu gi thuyt cha c chng minh Tng t lý thuyt trờn trng s phc, trờn trng p-adic cng cú phiờn bn tng t ca Lý thuyt Nevanlinna c xõy dng cho nhng hm phõn hỡnh p-adic trờn Cp , lm y ca bao úng i s ca trng cỏc s hu t p-adic Qp Tng quỏt hn, lý thuyt cú th c phỏt trin cho bt c trng úng i s K y i vi mt giỏ tr tuyt i phi Acsimet ó cú nhiu tỏc gi v ngoi nc nghiờn cu v ny, nh H Huy Khoỏi, T Th Hoi An, Julie Wang, William Cherry, Min Ru v nhiu tỏc gi khỏc Mc ớch ca chỳng tụi lun ny nhm tỡm hiu v Lý thuyt Nevanlinna trờn trng p-adic c bit, chỳng tụi s tỡm hiu kt qu ca Levin v nh lý c bn th hai i vi h siờu mt cú xuyờn ngang trờn trng p-adic v trớ tng quỏt bi bỏo On the p-adic second main theorem ca ụng ng trờn Procceding of American Mathematical Society, s 143 nm 2015 Hn na, chỳng tụi mong mun thit lp mt nh lý c bn th hai cho h cỏc siờu mt v trớ di tng quỏt trờn trng p-adic m quay v trng hp v trớ tng quỏt thỡ s nhn li c cỏc kt qu trc õy ca cỏc tỏc gi khỏc Lun gm cú ba chng Trong Chng 1, chỳng tụi trỡnh by s lc v trng cỏc s p-adic v xõy dng giỏ tr tuyt i trờn cỏc trng ú Chng dnh trỡnh by v Lý thuyt Nevanlinna cho cỏc hm phõn hỡnh p-adic Chng gm hai phn v l chng chớnh ca lun Trong phn th nht chỳng tụi trỡnh by v kt qu nghiờn cu gn õy ca Levin v nh lý c bn th hai cho siờu mt v trớ tng quỏt trờn trng p-adic Phn cui ca Chng nhm trỡnh by kt qu ca chỳng tụi v nh lý c bn th hai cho cỏc siờu mt v trớ di tng quỏt Chng Trng cỏc s p-adic 1.1 Trng cỏc s hu t p-adic Trong mc ny, chỳng tụi s trỡnh by phng thc xõy dng trng cỏc s hu t p-adic Nh ó bit, ta cú th m rng trng s hu t Q theo hng lm y nú i vi giỏ tr tuyt i Acsimet thụng thng thnh trng s thc Tuy nhiờn trờn trng cỏc s hu t Q chỳng ta cũn cú cỏc giỏ tr tuyt i p-adic Vy nu lm y Q tng ng i vi cỏc giỏ tr tuyt i ny thỡ ta s nhn c trng s mi, gi l trng cỏc s hu t p-adic, c ký hiu l Qp Trc tiờn ta cú khỏi nim v giỏ tr tuyt i trờn mt trng nh sau nh ngha 1.1.1 (Giỏ tr tuyt i) Cho K l mt trng Mt giỏ tr tuyt i trờn trng K l mt ỏnh x, kớ hiu , t K n cỏc s thc khụng õm cho vi mi x, y K ta cú: (i) x = x = 0, (ii) x.y = x y , (iii) x + y x + y Giỏ tr tuyt i nh trờn c gi l giỏ tr tuyt i khụng Acsimet trờn K nu thay iu kin (iii) bi iu kin (iii) nh sau: x + y max( x , y ) vi mi x, y K Giỏ tr tuyt i tha (iii) m khụng tha (iii) thỡ c gi l giỏ tr tuyt i Acsimet Mt mờtric d trờn K gi l mờtric phi Acsimet nu d(x, y) max(d(x, z), d(z, y)), vi mi x, y, z K Giỏ tr tuyt i c cho bi x = vi x = v x = vi x = c gi l giỏ tr tuyt i tm thng trờn K Ta thy rng mi giỏ tr tuyt i trờn K s sinh mt mờtric trờn K Khi ú K c xem nh mt khụng gian tụpụ vi tụpụ c cm sinh t mờtric ú Ta cú nh ngha sau nh ngha 1.1.2 (Giỏ tr tuyt i tng ng) Hai giỏ tr tuyt i v c gi l tng ng nu tụpụ ca chỳng sinh l trựng Mnh di õy s a cỏc tiờu chun cho tớnh tng ng ca hai tr tuyt i Mnh 1.1.3 Cho K l mt trng v cho , l hai giỏ tr tuyt i trờn K Khi ú cỏc mnh sau l tng ng: (a) Vi mi x K, x < v ch x < (b) Vi mi x K, x v ch x (c) Tn ti hng s c > 0, cho x (d) v c = x vi mi x K l tng ng Chng minh ((a) (b)) Cho x K tha x x Gi s phn chng rng x x > Khi ú x > iu mõu thun ny chng t rng iu gi s khụng th xy Núi cỏch khỏc ta phi cú x < T khng nh (a), ta suy rng Tng t nu ta cú x ((b) (c)) Nu x = x < Do vy ta cú thỡ ta cng s cú x Vy khng nh (b) l ỳng l giỏ tr tuyt i tm thng thỡ vi mi x K \ {0} ta cú = iu ny kộo theo x 1, cng l giỏ tr tuyt i tm thng v Bõy gi ta gi s 1 x Do ú ta cú x = Vy = khụng tm thng Nh vy tn ti x0 K \ {0} tha x0 = a = Khụng mt tng quỏt ta gi s rng a < Nh vy x0 x0 = thỡ x0 = v kộo theo x0 iu mõu thun Do ú ta phi cú x0 c = log Khi ú x0 iu ny chng t x0 < Ta t x0 = x0 c2 x0 > Nu 1, v õy l Vi x = tựy ý thuc trng K, ta s chng minh rng x nu x = thỡ theo chng minh trờn x rng x < (trng hp x cho x dng r = vy ta cú x x0 hay x = x0 m n xm xn x1 1 = x c2 D thy = Vy khụng mt tng quỏt ta gi s > thỡ ta xột x1 ) Nh vy tn ti s thc dng Ta s chng minh rng x = x Tht vy, ly s hu t ý vi (m, n) = v r > Khi ú ta cú iu ny kộo theo rng x Tng t ta cng chng minh c x xm xn x1 = x0 r < Do x0 r Ly r ta thu c x0 Vy ta cú x = x0 = x ((c) (d)) Khng nh (c) hin nhiờn kộo theo khng nh (d) ((d) (a)) Ta ly x = tha x < Ta ch cn chng minh rng x m > Khụng mt tng quỏt, ta gi s m = Ly n l s t nhiờn bt k Khi ú t = log2 > v ta cú khai trin n = a0 + a1 + a2 22 + ã ã ã + as 2s , {0, 1}, 2s n < 2s+1 Nh vy ta cú s n s i 2s i=0 vi C = i=0 2i 2s C n C, l hng s c nh Vy vi mi s t nhiờn k ta cú nk Cnk , hay n C 1/k n Cho k +, ta thu c n n ng thi vi s t nhiờn n [2s ; 2s+1 ) ta cú n 2s+1 2s+1 n 2(s+1) (2s+1 n) 2(s+1) vi C = 2 n C , Lp li lp lun trờn, chỳng ta thu c n n Do vy ta phi cú n = n Ar (K) Vi mi a K {}, ta nh ngha n r, f a f a n r, = nh sau: n(r, f ) = n r, f0 a= n r, f1 af0 a = nh ngha 2.3.2 (Hm m ca hm phõn hỡnh) N r, f a = N (r, f ) = N r, f0 a= N r, f1 af0 a = Hm xp x ca f trờn K[0; r] c nh ngha bi m(r, f ) = log+ à(r, f ) = max{0, log à(r, f )} nh ngha 2.3.3 (Hm c trng ca hm phõn hỡnh) Hm c trng ca hm phõn hỡnh f trờn K[0; r] c nh ngha bi T(r,f)=m(r,f)+N(r,f) (c) Vi cỏc kớ hiu phn (b), ta cú hai nh lý c bn sau tng t nh lý thuyt Nevanlinna nhng trng hp trng K l khụng Acsimet (Chng minh cú th xem [3]) nh lớ 2.3.4 (nh lý c bn th nht) Cho f l mt hm phõn hỡnh khỏc hng trờn K(0; ) Khi ú vi mi a K ta cú m r, f a +N r, f a = T (r, f ) + O(1), ú O(1) l i lng b chn r nh lớ 2.3.5 (nh lý c bn th hai) Cho f l mt hm phõn hỡnh khỏc hng trờn K(0; ) v cho a1 , , aq l cỏc s phõn bit K Khi ú vi mi a K ta cú q (q 1)T (r, f ) N (r, f ) + N j=1 r, f aj ú Sf l hng s ch ph thuc vo f v cỏc 25 log r + Sf , Chng nh lý c bn th hai cho siờu mt trờn trng p-adic 3.1 Cỏc siờu mt p-adic Ta kớ hiu Cm p l khụng gian vộc t xỏc nh bi Cm p = Cp ì ì Cp Ta gi Pn (Cp ) l khụng gian x nh liờn kt vi khụng gian vộc t Cn+1 Cỏc phn t p ca Pn (Cp ) c vit di dng [x0 : x1 : ã ã ã : xn ] nh ngha 3.1.1 (a thc thun nht bc d) Cho P (x1 , , xm ) l mt a thc khỏc khụng theo m bin vi h s Cp Khi ú a thc P (x1 , , xm ) c gi l a thc thun nht bc d nu P (x1 , , xm ) = d P (x1 , , xm ), xi Cp , Cp \ {0} iu ny tng ng vi P cú dng aI x I P (x1 , , xm ) = ITd vi Td = {(i1 , , im ) Nm | i1 + ã ã ã + im = d}, xI = x11 xmm vi mi I = (1 , , m ) v aI Cp Tp i s khụng gian x nh phc c nh ngha nh sau 26 nh ngha 3.1.2 (Tp i s) Cho P1 , , Pr Cp [x0 , , x1 ] l cỏc a thc thun nht Tp hp V (P1 , , Pr ) = {[x0 : x1 : : xn ] Pn (Cp )|Pi (x0 , x1 , , xn ) = 0, i = 1, , r} c gi l a i s xỏc nh bi P1 , , Pr nh ngha 3.1.3 (Siờu mt p-adic) Mt siờu mt p-adic Pn (Cp ) l mt a x nh xỏc nh bi mt a thc thun nht P nh sau V (P ) = {[x0 : x1 : : xn ] Pn (C)|P (x0 , x1 , , xn ) = 0, i = 1, , r} Bc ca siờu mt chớnh l bc ca a thc P Ta cú khỏi nim quan trng sau v h a thc chp nhn c v h siờu mt v trớ tng quỏt nh sau nh ngha 3.1.4 (H a thc chp nhn c) Mt h cỏc a thc n+1 bin Q1 , , Qq vi cỏc h s Cp (q n + 1) c gi l chp nhn c nu bt kỡ n + \ {0} a thc no h ny cng u khụng cú khụng im chung Cn+1 p nh ngha 3.1.5 (Siờu mt v trớ tng quỏt) Cho Xi l siờu mt Pn xỏc nh bi cỏc phng trỡnh Qi = 0, i = 1, , q, ú Qi l cỏc a thc thun nht bc di H siờu mt X1 , , Xq , q n + c gi l v trớ tng quỏt nu h cỏc a thc Q1 , , Qq l chp nhn c Chỳng ta cú khỏi nim sau v a hyperbolic nh ngha 3.1.6 Mt a X trờn K c gi l K hyperbolic nu mi ỏnh x gii tớch t K ti X l hng 3.2 Cỏc hm c bn cho ỏnh x gii tớch vo Pn(Cp) Trong phn ny, ta kớ hiu |.| l giỏ tr tuyt i p-adic trờn trng s phc p-adic Cp Cho hm nguyờn h(z) trờn Cp xỏc nh bi chui ly tha z i h(z) = i=0 27 Vi mi s thc r 0, ta nh ngha |h|r = sup |ai |ri = sup{|f (z)| |z K, |z| r} = sup{|f (z)| |z K, |z| = r} i Cho f : Cp Pn (Cp ) l mt ỏnh x gii tớch khỏc hng Khi ú ta cú th vit f = (f0 : ã ã ã : fn ), vi f0 , , fn l cỏc hm nguyờn khụng cú khụng im chung trờn Cp Khi ú (f0 : ã ã ã : fn ) c gi l mt biu din rỳt gn ca f Chỳng ta nh ngha hm c trng Tf (r) nh sau nh ngha 3.2.1 (Hm c trng) Cho f : Cp Pn (Cp ) l mt ỏnh x gii tớch khỏc hng cú biu din rỳt gn f = (f0 : ã ã ã : fn ) Hm c trng Tf (r) c nh ngha bi Tf (r) = f r := log max{|f0 |r , , |fn |r } Ta nhn xột rng nh ngha Tf (r) nh trờn l tha ỏng, c lp vi vic chn biu din rỳt gn ca hm f v sai khỏc mt hng s Cho D l mt siờu mt Pn (Cp ) c xỏc nh bi a thc thun nht Q K[x0 , , xN ] bc d Ta xột hm nguyờn Q(f ) = Q(f0 , , fn ) trờn K v gi s Q(f ) khụng ng nht trit tiờu, núi cỏch khỏc nh cu f khụng nm D Ta gi nf (r, D) l s khụng im ca tớnh c bi ca Q(f ) a úng Cp [0; r] Chỳ ý rng, nh ngha ny c lp vi vic chn a thc Q xỏc nh f v biu din rỳt gn ca f Cho r > 0, chỳng ta nh ngha hm m ca f tng ng vi D bi r Nf (r, D) = nf (t, D) nf (0, D) dt + nf (0, D) log r t Hm xp x ca f tng ng vi D c nh ngha bi mf (r, D) = log f dr |Q(f )|r Chỳ ý rng mf (r, D) ch ph thuc vo vic chn Q v tr thnh hm cng tớnh S khuyt f (D) ca f tng ng vi D c nh ngha bi f (D) = lim inf r mf (r, D) Nf (r, D) = lim sup r deg DTf (r) deg DTf (r) 28 nh ngha 3.2.2 (V trớ tng quỏt) Cho D1 , , Dq l cỏc siờu mt Pn (Cp ) trờn trng Cp Cho X l mt a x nh ca Pn (Cp ) cú chiu k n Chỳng ta núi rng D1 , , Dq v trớ tng quỏt tng ng vi X nu Di X k |I| dim iI vi mi I {1, , q} cú lc lng |I| k + ( õy ta quy c dim = 1) 3.3 nh lý c bn th hai cho h siờu mt v trớ tng quỏt Nm 2007, T Th Hoi An [1] ó thit lp nh lý c bn th hai cho siờu mt trờn trng p-adic nh sau nh lớ 3.3.1 (xem [1]) Cho X Pn (Cp ) l mt a x nh trờn Cp vi s chiu k Cho D1 , , Dq l cỏc siờu mt Pn (Cp ) v trớ tng quỏt tng ng vi X Cho f : Cp X l mt ỏnh x gii tớch khỏc hng cú nh khụng c cha trong bt kỡ siờu mt D1 , , Dq no Khi ú vi mi r ta cú q i=1 mf (r, Di ) nTf (r) + O(1) deg Di Nm 2014, Levin ó a mt ci tin cho nh lý trờn ca T T H An trng hp khụng cú siờu mt no l siờu phng v cỏc siờu mt xuyờn ngang vi Trong phn ny chỳng tụi s trỡnh by kt qu nghiờn cu ú ca Levin Trc tiờn, chỳng tụi nhc li khỏi nim sau Cho Y v Z l cỏc lc úng ca Pn (Cp ) vi cỏc bú ideal tng ng IY v IZ (khỏi nim lc úng cú th xem [7]) Chỳng ta nh ngha Y Z nu IZ IY Ta kớ hiu Y Z l lc úng ca Pn (Cp ) tng ng vi bú ideal IY + IZ Nu M l mt s nguyờn dng ta kớ hiu M Z l lc úng ca Pn (Cp ) tng ng vi bú ideal IZM Ta s dng kớ hiu SuppZ ch lc úng ca Pn (Cp ) vi cựng hp cỏc im c s nh Z v cú cu trỳc lc c rỳt gn bi cu trỳc lc ca Z Nh nh lý Hilberts Nullstellensatz, ta bit rng vi bt kỡ lc úng Z no thỡ u cú Z M SuppZ vi mt s nguyờn dng M no ú Tip theo, chỳng ta phỏt biu v chng minh nh lý c bn th hai sau 29 nh lớ 3.3.2 Cho X Pn (Cp ) l a x nh ca Pn (Cp ) cú s chiu k Cho D1 , , Dq l cỏc siờu mt Pn (Cp ) v trớ tng quỏt tng ng vi X Cho M nguyờn dng tha vi mi bt k I {1, , q} cú lc lng |I| = n thỡ Di X M Supp iI Di X , iI õy chỳng ta coi D1 , , Dq v X l cỏc lc úng ca Pn (Cp ) Cho f : Cp X l mt ỏnh x gii tớch khỏc hng cú nh khụng c cha bt kỡ siờu mt D1 , , Dq no Khi ú vi mi r 1, ta cú q i=1 mf (r, Di ) deg Di n + max i M deg Di Tf (r) + O(1) Chỳ ý: Nu giao gia cỏc siờu mt D1 , , Dq v X l xuyờn ngang thỡ ta cú th ly M = Chng minh Nu maxi M deg Di thỡ nh lý c suy t kt qu ca T Th Hoi An (nh lý 3.3.1) Do vy chỳng ta cú th gi s rng maxi M deg Di < C nh r Gi s f = (f0 : ã ã ã : fn ) vi f0 , , fn l cỏc hm nguyờn khụng cú khụng im chung Bng cỏch i ch s, ta cú th gi s rng mf (r, D1 ) mf (r, D2 ) mf (r, Dq ) Gi s D1 , , Dq c xỏc nh bi cỏc a thc thun nht Q1 , Qq K[x0 , , xn ] Trc tiờn, chỳng ta chng t rng cú mt hng s C ch ph thuc Q1 , Qq v X tha mf (r, Di ) C, i = k + 1, , q Tht vy, vỡ cỏc divisor Di v trớ tng quỏt tng ng vi X nờn ỏp dng nh lý Hilberts Nullstellensatz cho cỏc a thc Q1 , , Qk+1 v cỏc a thc xỏc nh ca X, ta cú k+1 m xj j = aij (x0 , , xn )Qi (x0 , , xn ) trờn X, j = 0, , n, i=1 vi mj l cỏc s nguyờn dng no ú v aij K[x0 , , xn ] l cỏc a thc thun nht cú bc deg aij = mj deg Di , i k + 1, j n Hp thnh hai v vi f , ta thu c j |fj |m r C max |f |rmj deg Di |Qi (f )|r , 1ik+1 30 j = 0, , n, ú C l cỏc giỏ tr ln nht cỏc giỏ tr tuyt i ca cỏc h s ca tt c cỏc a mj thc aij , i k + 1, j n Ta chn j cho |fj |r = |f |r ri gin c |fj |xr c hai v v thu c 1C |Qi (f )|r max 1ik+1 |f |rdeg Di C |Qk+1 (f )|r deg Dk+1 |f |r Do vy mf (r, Di ) log C vi mi i > k Tip theo chỳng ta s xem xột i lng mf (r, Dk ) Ta gi s (X D1 Dk )(K) = {P1 , , Pt } Ly H1 , , Ht l cỏc siờu phng tng ng cha P1 , , Pt , cho D1 , , Dk1 , H1 , , Ht v trớ tng quỏt i vi X v nh ca f khụng c cha bt kỡ siờu phng H1 , , Ht no Gi s Hi c xỏc nh bi mt dng tuyn tớnh Li K[x0 , , xN ], i = 1, , t Khi ú, vỡ X D1 Dk M Supp(X D1 Dk ), nờn ta cú k M (L1 Lt ) = bi Qi trờn X, i=1 vi bi K[x0 , , xn ] l cỏc a thc thun nht no ú m deg bi = M t deg Di vi mi i = 1, , k Do vy, tng t nh trờn, ta cú M M tdeg Di |L1 (f )|M |Qi (f )|r r |Lt (f )|r C max |f |r 1ik t C |f |M r |Qi (f )|r Dk |f |deg r t vi C l mt hng s no ú khụng ph thuc vo r Chia c hai v cho |f |M v ly r logarit, ta c t mf (r, Dk ) M mf (r, Hi ) + log C i=1 Vy nờn ta cú q i=1 mf (r, Di ) deg Di k1 i=1 mf (r, Di ) M + deg Di deg Dk t mf (r, Hi ) + O(1) i=1 Vỡ D1 , , Dk1 , H1 , , Ht v trớ tng quỏt tng ng vi X nờn bng lp lun tng t nh phn u thỡ s cú k hm s cỏc hm mf (r, D1 ), , mf (r, Dk1 ), mf (r, H1 ), , 31 mf (r, Ht ) b chn trờn bi mt hng s khụng ph thuc vo r Theo nh lý c bn th nht ta cú mf (r, Di ) Tf (r) + O(1) deg Di i = 1, , k 1, mf (r, Hi ) Tf (r) + O(1) i = 1, , t Vỡ chỳng ta gi s rng maxi q i=1 M deg Di < 1, nờn cỏc bt ng thc trờn kộo theo M mf (r, Di ) (k 1)Tf (r) + max Tf (r) + O(1) i deg Di deg Di nh lý c chng minh T nh lý trờn, chỳng ta thu c h qu sau v quan h s khuyt H qu 3.3.3 Vi cỏc gi thit nh nh lý 3.3.2, ta cú q f (r, Di ) k = dim X i=1 ng thi nh lý 3.3.2 cho chỳng ta h qu sau v tớnh hyperbolic ca a x nh X nh sau H qu 3.3.4 Cho X Pn (Cp ) l mt a x nh trờn Cp cú s chiu k Cho D1 , , Dk l cỏc siờu mt Pn (Cp ) cho X, D1 , , Dk giao xuyờn ngang Khi ú X\ k i=1 Di l Cp -hyperbolic nu deg Di vi mi i k Chng minh Gi s rng tn ti mt ỏnh x gii tớch khỏc hng f : Cp X \ Khi ú mf (r,Di ) deg Di k i=1 k i=1 Di = Tf (r) + O(1), i = 1, , k Theo nh lý 3.3.2 thỡ vi r ta cú mf (r, Di ) = kTf (r) + O(1) deg Di k + max i k deg Di Tf (r) + O(1) Tf (r) + O(1) Vỡ limr Tf (r) , nờn cho r ta thu c k k 12 õy l iu mõu thun Do vy khụng tn ti ỏnh x gii tớch khỏc hng f nh trờn Núi cỏch khỏc X \ k i=1 Di l Cp -hyperbolic Cui cựng chỳng tụi s trỡnh by mt cỏch xõy dng cỏc siờu mt chng t rng bt ng thc nh lý 3.3.2 l ti u 32 nh lớ 3.3.5 Cho n v d l cỏc s nguyờn dng Khi ú tn ti cỏc siờu mt khụng kỡ d D1 , , Dn Pn (Cp ) cú bc d xuyờn ngang vi v mt ỏnh x gii tớch khỏc hng f : Cp Pn (Cp ) vi nh khụng c cha trong bt kỡ siờu mt D1 , , Dn no cho vi mi r ta cú n i=1 mf (r, Di ) d n1+ d Tf (r) + O(1) Chng minh Trng hp n = l d thy Chỳng ta ch cn chng minh nh lý ny vi n Xột Pn (Cp ) vi cỏc ta thun nht (x0 : ã ã ã : xn ) Ly L l ng thng x nh Pn (Cp ) c cho bi x2 = x3 = ã ã ã = xn = Ly P l im (1 : : ã ã ã : 0) Gi s D1 , , Dn l cỏc siờu mt khụng kỡ d Pn (Cp ) cú bc d, xuyờn ngang vi v tha món: (1) P ni=1 Di , (2) L Di = P, i = 1, , n Ly f : Cp Pn (Cp ) xỏc nh bi f = (z : : : ã ã ã : 0) Khi ú, t nh ngha ta thy vi mi r ta cú Tf (r) = log r Gi s Di c xỏc nh bi cỏc a thc thun nht Qi Cp [x0 , , xn ] bc d vi mi i = 1, , n Vỡ LDi = {P }, i = 1, , n1, cho nờn Qi (f ) l hng vi mi i = 1, , n1 Khi ú vi r v i = 1, , n 1, ta cú f dr mf (r, Di ) = log = log r + O(1) d d |Qi (f )|r Vỡ D1 , , Dn xuyờn ngang vi ti P v L Di = {P } vi mi i = 1, , n 1, nờn L ct Dn vi bi mt ti P Do ú Qn (f ) l a thc bc d v vi r ta cú f dr log r mf (r, Dn ) = log = + O(1) d d |Qn of |r d Vỡ vy vi r ta cú n i=1 mf (r, Di ) = d n1+ õy l iu cn chng minh 33 d Tf (r) + O(1) 3.4 nh lý c bn th hai cho h siờu mt v trớ di tng quỏt Trong phn ny, chỳng tụi s tng quỏt nh lý 3.3.1 ca T Th Hoi An lờn cho trng hp cỏc siờu mt v trớ di tng quỏt Nh chỳng ta ó bit, lý thuyt Nevanlinna, v nguyờn tc cú c nh lý c bn th hai cho cỏc mc tiờu v trớ di tng quỏt thỡ cn n khỏi nim trng Nochka Tuy nhiờn hin i vi trng hp h cỏc siờu mt v trớ di tng quỏt (theo ngha thụng thng) thỡ cha h thit lp c h trng Nochka tng ng vi chỳng Gn õy, vt qua c khú khn ú, S c Quang [6] ó a k thut thay th siờu mt cho phộp cú th tng quỏt c cỏc kt qu v nh lý c bn th hai i vi cỏc siờu mt v trớ tng quỏt lờn trng hp v trớ di tng quỏt m khụng cn dựng n khỏi nim h trng Nochka Chỳng tụi s ỏp dng li k thut ny tng quỏt kt qu ca T Th Hoi An Trc tiờn, chỳng ta cú khỏi nim sau v h siờu mt v trớ di tng quỏt nh ngha 3.4.1 (V trớ di tng quỏt) Cho D1 , , Dq l cỏc siờu mt Pn (Cp ) trờn trng Cp Cho X l mt a x nh ca Pn (Cp ) cú chiu k n Chỳng ta núi rng D1 , , Dq v trớ N -di tng quỏt (N k) nu Di X N |I| dim iI vi mi I {1, , q} cú lc lng |I| N + 1, ú ta quy c dim = Vi P l mt a thc thun nht Cp [x0 , , xn ], chỳng ta s kớ hiu P l siờu mt Pn (Cp ) c xỏc nh bi a thc P Tng t nh B 3.1 [6], chỳng ta cú b sau B 3.4.2 Cho Q1 , , QN +1 l cỏc a thc thun nht Cp [x0 , , xn ] cú cựng bc d Gi s rng Q1 , , Qq v trớ N -di tng quỏt tng ng vi a x nh X Pn (Cp ) Khi ú tn ti k a thc thun nht P2 , , Pk+1 Cp [x0 , , xn ] cú dng N k+t ctj Qj , ctj Cp , t = 2, , k + 1, Pt = j=2 cho h {P1 , , Pk+1 } (vi P1 = Q1 ) l v trớ tng quỏt tng ng vi X 34 Chng minh Chỳng ta gi s rng Qi (1 i N + 1) cú dng ai,I xI Qi = ITd t P1 = Q1 Theo gi thit, ta cú t Qi dim X N t vi mi t = 1, , N + i=1 a thc thun nht P2 c xõy dng nh sau Vi mi thnh phn bt kh quy cú chiu k ca Q1 X, ta t N k+2 V1 = c = (c2 , , cN k+2 ) kn+1 CN p ; Qc , vi Qc = cj Qj j=2 k+1 Vy V1 l khụng gian vộc t ca CN Vỡ dim p N k+2 i=1 Qi X k nờn tn ti i {2, , N k + 2} tha Qi X iu ny kộo theo rng V1 l khụng gian vộc t thc s ca CpN k+1 Vỡ s cỏc thnh phn bt kh quy k chiu ca Q1 X l hu hn nờn k+1 CN \ p V1 = Do vy tn ti (c12 , , c1(N n+2) ) k+1 CN p tha P2 vi mi thnh phn bt kh quy cú chiu k ca Q1 X, ú P2 = N k+2 c1j Qj j=2 iu ny kộo theo rng dim (P1 P2 ) X k Tng t, vi mi thnh phn bt kh quy cú chiu k ca (P1 P2 ) X, ta t N k+3 V2 = {c = (c2 , , cN k+3 ) k N k+2 ; Qc , cj Qj } vi Qc = j=2 k+2 Do vy, V2 l khụng gian vộc t ca CN Vỡ dim p N k+3 i=1 Qi k nờn tn ti i, (2 i N k + 3) cho Qi X iu ny kộo theo rng V2 l khụng k+2 gian vộc t thc s ca CN Vỡ s cỏc thnh phn bt kh quy cú chiu k p ca (P1 P2 ) X l hu hn nờn k+2 CN \ p V2 = 35 Do vy tn ti (c22 , , c2(N n+3) ) CpN k+2 tha P3 vi mi thnh phn bt kh quy cú chiu k ca P1 P2 X, ú P3 = N k+3 c2j Qj j=2 iu ny li kộo theo rng dim (P1 P2 P3 ) X k Tip tc quỏ trỡnh trờn, sau bc th k ta s thu c cỏc a thc thun nht P2 , , Pk+1 tha t Pj k t, t k + dim j=1 c bit, k+1 j=1 Pj = nh lý c bn th hai cho siờu mt v trớ di tng quỏt khụng gian x nh phc p-adic c phỏt biu nh sau nh lớ 3.4.3 Cho X Pn (Cp ) l a x nh ca Pn (Cp ) cú s chiu k Cho D1 , , Dq l cỏc siờu mt Pn (Cp ) v trớ N -di tng quỏt tng ng vi X Cho f : Cp X l mt ỏnh x gii tớch khỏc hng cú nh khụng c cha bt kỡ siờu mt D1 , , Dq no Khi ú vi mi r 1, ta cú q i=1 mf (r, Di ) N Tf (r) + O(1), deg Di vi O(1) l hng s khụng ph thuc vo r Chng minh Vi i = 1, , q, ta ly Qi l cỏc a thc thun nht Cp [x1 , , xn ] xỏc nh Di cú bc di Gi m l bi chung nh nht ca d1 , , dq Bng cỏch xột a thc m/di Qi thay cho Qi nu cn thit, ta cú th gi s rng d1 = ã ã ã = dq = m Gi s f = (f0 : ã ã ã : fn ) vi f0 , , fn l cỏc hm nguyờn khụng cú khụng im chung C nh r > 0, bng cỏch i ch s, ta cú th gi s rng mf (r, D1 ) mf (r, D2 ) mf (r, Dq ) Ta gi P1 , , Pk+1 l k + a thc thun nht thu c B 3.4.2 tng ng vi cỏc a thc Q1 , , QN +1 Vỡ cỏc siờu mt Pi v trớ tng quỏt tng ng vi X nờn ỏp 36 dng nh lý Hilberts Nullstellensatz cho cỏc a thc P1 , , Pk+1 v cỏc a thc xỏc nh ca X, ta cú k+1 m xj j = aij (x0 , , xn )Pi (x0 , , xn ) trờn X, j = 0, , n, i=1 vi mj l cỏc s nguyờn dng no ú v aij Cp [x0 , , xn ] l cỏc a thc thun nht cú bc deg aij = mj m, i k + 1, j n Hp thnh hai v vi f , ta thu c j |fj |m r C max |f |rmj m |Pi (f )|r , 1ik+1 j = 0, , n, ú C l cỏc giỏ tr ln nht cỏc giỏ tr tuyt i ca cỏc h s ca tt c cỏc a mj thc aij , i k + 1, j n Ta chn j cho |fj |r = |f |r ri gin c |fj |xr c hai v v thu c 1C |QN +1 (f )|r |Pi (f )|r C m 1ik+1 |f |r |f |m r max Do vy mf (r, Di ) log C vi mi i > N Chỳ ý rng hng s C cú th c chn chung cho tt c r nờn nú khụng ph thuc vo r Vy nờn ta cú q N mf (r, Di ) m i=1 mf (r, Di ) + O(1) N Tf (r) + O(1) i=1 nh lý c chng minh T nh lý trờn, chỳng ta thu c cỏc h qu sau H qu 3.4.4 Cho X Pn (Cp ) l mt a x nh ca Pn (Cp ) Cho D1 , , Dq (q N + 1) l cỏc siờu mt Pn (Cp ) v trớ N di tng quỏt Khi ú q f (r, Di ) N i=1 H qu 3.4.5 Cho X Pn (Cp ) l mt a x nh ca Pn (Cp ) Cho D1 , , DN +1 l cỏc siờu mt Pn (Cp ) cho 1iN +1 hyperbolic 37 Di X = Khi ú X \ N +1 i=1 Di l Cp - KT LUN Lun ó trỡnh by nhng sau: (1) Cỏc kin thc c bn lý thuyt Nevanlinna trờn trng p-adic (2) Kt qu ca Levin v nh lý c bn th hai trờn trng p-adic cho h siờu mt xuyờn ngang v trớ tng quỏt (3) Thit lp mt nh lý c bn th hai trờn trng p-adic cho h siờu mt v trớ di tng quỏt 38 TI LIU THAM KHO [1] T T H An, A defect relation for non-Archimedean analytic curves in arbitrary projective varieties, Proc Amer Math Soc 135 (2007), 12551261 [2] W Cherry and Z Ye, Non-Acsimet Nevanlinna inverse problem, Trans Amer Math Soc 349 (1997), 50435071 [3] P C Hu and C C Yang, Meromorphic Functions over Non-Archimedean Fields, Kluwer Academic Publishers, 2000 [4] H H Khoai and M V Tu, p-adic Nevanlinna-Cartan theorem, Internat J Math (1995), 719731 [5] A Levin, On the p-adic second main theorem, Proc Amer Math Soc 143 (2015) 633-640 [6] S D Quang, Degreneracy second main theorems for meromorphic mappings into projective varieties with hypersurfaces, arXiv: 1610.03951 [math CV] [7] Hartshorne R, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, Berlin 1977 [8] Noguchi J and Ochiai T, Geometric function theory in several complex variables, Transl Math Monographs 80 Amer Math Soc., Providence, R.I 1990 39 ... tiêu Lý thuyết Nevanlinna việc thiết lập hai định lý bản: Định lý thứ Định lý thứ hai Trong Định lý thứ hệ suy từ công thức Jensen, Định lý thứ hai mục tiêu lý thuyết Trong lý thuyết Nevanlinna cho. .. Levin định lý thứ hai cho siêu mặt vị trí tổng quát trường p-adic Phần cuối Chương nhằm trình bày kết định lý thứ hai cho siêu mặt vị trí tổng quát Chương Trường số p-adic 1.1 Trường số hữu tỷ p-adic. .. dim ∅ = −1) 3.3 Định lý thứ hai cho họ siêu mặt vị trí tổng quát Năm 2007, Tạ Thị Hoài An [1] thiết lập định lý thứ hai cho siêu mặt trường p-adic sau Định lí 3.3.1 (xem [1]) Cho X ⊂ Pn (Cp )