Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 88 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
88
Dung lượng
713,29 KB
Nội dung
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thu Hà MỘT SỐ BIỂU DIỄN CUSPIDAL CỦA NHÓM GL2 TRÊN TRƯỜNG P − ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thu Hà MỘT SỐ BIỂU DIỄN CUSPIDAL CỦA NHÓM GL2 TRÊN TRƯỜNG P − ADIC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8460101.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐỖ VIỆT CƯỜNG Hà Nội - Năm 2019 Mục lục Giới thiệu Định giá trường địa phương Các - nhóm 15 Lý thuyết biểu diễn -nhóm 25 Độ đo Haar 35 Một vài tính chất nhóm GLr 43 Biểu diễn hạn chế biểu diễn cảm sinh 57 Biểu diễn cảm sinh parabolic môđun Jacquet 62 Các biểu diễn nhóm GL2 ♣Fp q 66 10 Các biểu diễn cuspidal độ sâu GL2 ♣Qp q 82 Lời cảm ơn Để hồn thành q trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn này, lời tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến TS Đỗ Việt Cường, cán khoa Toán - Cơ Tin Học – trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Thầy trực tiếp bảo hướng dẫn tác giả suốt trình nghiên cứu để tác giả hoàn thiện luận văn Ngoài tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, khoa Tốn-Cơ-Tin Học tạo điều kiện đóng góp ý kiến quý báu để tác giả hồn thành khóa học luận văn Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Giới thiệu Lý thuyết biểu diễn nhóm p-adic hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm Một lý thúc đẩy việc nghiên cứu biểu diễn nhóm p-adic xuất phát từ chương trình Langlands Người ta muốn xây dựng mối liên hệ dạng tự đẳng cấu biểu diễn nhóm adelic mà biểu diễn nhóm p-adic đóng vai trị thành phần địa phương chúng Một điều đặc biệt quan trọng nhóm p-adics (so với nhóm thực) tồn biểu diễn cuspidal Chúng ta thấy biểu diễn cuspidal có vai trị “viên gạch” dùng để xây dựng tất biểu diễn bất khả quy chấp nhận nhóm p-adic Bushnell Kutzko sách [BK93] xây dựng hết tất biểu diễn cuspidal GLr ♣F q (với F trường p-adic) Các biểu diễn cuspidal xây dựng cảm sinh từ biểu diễn hữu hạn chiều (đặc biệt đó) nhóm mở compact Mục tiêu viết mơ tả lại cách xây dựng cho trường hợp đơn giản Các biểu diễn cuspidal GL2 ♣Qp q xây dựng từ biểu diễn cuspidal GL2 ♣Fp q (được xem biểu diễn nhóm mở compact K0 :✏ GL2 ♣Zp q thơng qua phép chiếu tắc GL2 ♣Zp q Đ GL2♣Fpq) Những biểu diễn gọi biểu diễn cuspidal độ sâu GL2 ♣Qp q Các kết luận văn kết biết, đóng góp tác giả tổng hợp, trình bày lại kết chi tiết hóa chúng cho dễ tiếp cận logic Để luận văn có độ dài vừa phải, tác giả sử dụng cách tự kết lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn (như lý thuyết đặc trưng, ) mà không cần phải nhắc lại Luận văn trình bày sau: • Mục 2: Chúng ta nhắc lại khái niệm định giá trường địa phương Trong mục định nghĩa trường p- adic tính chất Đồng thời ta có cách biểu diễn phần tử trường p-adic • Mục 3: Chúng ta nhắc lại khái niệm - nhóm tổng quát Các nhóm GLr ♣F q mà quan tâm -nhóm • Mục 4: Do nhóm GLr ♣F q nhóm tơpơ nên ta cần nghiên cứu biểu diễn nhóm tương thích với cấu trúc tơpơ Trong mục nêu định nghĩa biểu diễn trơn, biểu diễn bất khả quy, biểu diễn chấp nhận được, bổ đề Schur, ngữ cảnh (so với khái niệm biểu diễn nhóm hữu hạn) • Mục 5: Được dùng để định nghĩa độ đo Haar, độ đo đặc biệt không gian compact địa phương Khái niệm nhóm đơn modular đặc trưng modular đề cập mục • Mục 6: Được dùng để nghiên cứu kĩ nhóm GLr ♣F q Trong mục nhắc đến phân tích phổ biến nhóm như: phân tích Bruhat, phân tích Iwasawa, phân tích Cartan Đồng thời mục ta nói rõ tơpơ • Mục 7: Được dùng để nhắc tới khái niệm biều diễn cảm sinh hạn chế biểu diễn trơn Trong mục đưa khái niệm biểu diễn cảm sinh biểu diễn cảm sinh compact (được chuẩn hóa) Được chuẩn hóa hiểu nhân thêm bậc hai đặc trưng modular Lý việc chuẩn hóa ta muốn biểu diễn cảm sinh biểu diễn unita biểu diễn unita (do đối tượng khơng liên quan đến khái niệm biểu diễn unita nên khái niệm không đề cập nội dung luận văn) • Mục 8: Một cách xây dựng biểu diễn nhóm p-adic cảm sinh từ biểu diễn nhóm đơn giản nhóm xuyến, hay nhóm parabolic Mục dành cho việc định nghĩa biểu diễn cảm sinh parabolic Những biểu diễn nhận biểu diễn biểu diễn cảm sinh từ nhóm parabolic gọi biểu diễn cuspidal Chúng đặc trưng việc có mơđun Jacquet khơng gian • Mục 9: Trong mục mô tả tất biểu diễn bất khả quy nhóm GL2 ♣Fp q • Mục 10: Biểu diễn bất khả quy cuspidal độ sâu GL2 ♣Qp q trình bày mục BẢNG THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU Q Trường số hữu tỷ R Trường số thực Fp Trường hữu hạn gồm p phần tử Qp Trường p-adic Đơn modular Unimodular Xuyến Torus Phiếm hàm Functional Hoàn toàn khơng liên thơng Totally disconnected Phần tử đơn trị hóa Uniformizer Phụ hợp Adjoint Môđun Jacquet Jacquet module Nâng lên Lifting GLr ♣F q Nhóm tuyến tính tổng qt ma trận cỡ r ✂ r Định giá trường địa phương Tài liệu tham khảo cho phần mục giảng biểu diễn nhóm p-adic reductive Murnaghan [FM09] Cho F trường không tầm thường (nghĩa F ✘ 0) Định nghĩa 2.1 Một định giá F ánh xạ chất với x, y F ⑤ ☎ ⑤ : F Đ R➙0 thỏa mãn tính ta có: (1) ⑤x⑤ ✏ x ✏ 0, (2) ⑤x.y ⑤ ✏ ⑤x⑤.⑤y ⑤, (3) ⑤x y ⑤ ↕ ⑤x⑤ ⑤y ⑤ Ví dụ 2.2 Giá trị tuyệt đối thông thường R định giá Nếu F trường hữu hạn, F có định giá định giá tầm thường Trường F hữu hạn nên có số phần tử pn với p số nguyên ✏ với x F ✂ Điều dẫn đến ⑤x⑤p ✏ ⑤1⑤ Mặt khác ta lại có ⑤1⑤ ✏ (do ⑤1⑤ ✏ ⑤1.1⑤ ✏ ⑤1⑤2 ✘ 0), nên ⑤x⑤ số thực dương của đơn vị Hay nói cách khác ⑤x⑤ ✏ tố n số nguyên dương Do xp n n Cho p số nguyên tố Với số hữu tỉ x Q✂ , ta viết x a dạng x ✏ pe ♣a, b Z, b ✘ 0; ♣a, pq ✏ ♣b, pq ✏ ♣a, bq ✏ 1q Ta định nghĩa ⑤x⑤p ✏ b p✁e (và ⑤0⑤p ✏ 0) Khi đó, ⑤ ☎ ⑤p định giá Q Thật vậy: (1) Từ định nghĩa ta có ⑤x⑤p (2) Xét x ✏ pe a y b ⑤x.y⑤p ✏ ✏ ô x ✏ ✶ ✏ pe✶ ab✶ ✞ ✞ ✞ e a e ✶ a✶ ✞ ✞p p ✞ ✞ b b✶ ✞ p ta có: ✏ ✞ ✞ ✞ e e✶ a.a✶ ✞ ✞p ✞ ✞ b.b✶ ✞ p ✏ p✁♣e e✶q ✏ p✁e.p✁e✶ ✏ ⑤x⑤p.⑤y⑤p (3) Khơng tính tổng quát, giả sử e → e✶ , đó: ⑤x y⑤p ✏ ✞ ✂ ✞ e✶ ✶ a ✞p pe✁e ✞ b Hơn nữa, ⑤x⑤p ✡✞ a✶ ✞✞ b✶ ✞p ↕ p✁e✶ ✏ max t⑤x⑤p, ⑤y⑤p✉ ↕ ⑤x⑤p ⑤y⑤p ✘ ⑤y⑤p, ⑤x y⑤p ✏ max t⑤x⑤p, ⑤y⑤p✉ Định giá gọi định giá p-adic Định nghĩa 2.3 Hai định giá ⑤ ☎ ⑤1 ⑤ ☎ ⑤2 F gọi tương đương với ⑤ ☎ ⑤1 = ⑤ ☎ ⑤c2, c số thực dương → thỏa mãn tính chất ✁ δ ➔ ⑤a⑤ ➔ δ kéo theo ⑤a⑤ ✏ Nói cách khác, định giá ⑤ ☎ ⑤ gọi rời rạc nhóm tlog♣⑤a⑤q⑤a F ✂ ✉ nhóm rời rạc nhóm ♣R, q Định nghĩa 2.4 Một định giá gọi rời rạc tồn δ Ví dụ 2.5 Giá trị tuyệt đối thơng thường trường số thực R định giá không rời rạc Ta có tlog♣⑤a⑤p q⑤a Q✂✉ ✔ Z nhóm rời rạc nhóm ♣R, q Định giá p-adic trường số hữu tỉ Q định giá rời rạc Định nghĩa 2.6 Một định giá ⑤ ☎ ⑤ gọi không acsimet (tương đương với) định giá thỏa mãn tính chất: ⑤x y⑤ ↕ max t⑤x⑤, ⑤y⑤✉ Ví dụ 2.7 Giá trị tuyệt đối thơng thường R định giá acsimet Định giá p-adic Q định giá không acsimet Bổ đề 2.8 Các điều kiện sau tương đương: (1) ⑤ ☎ ⑤ không acsimet (2) ⑤x⑤ ↕ với x thuộc vành F sinh (3) ⑤x⑤ bị chặn với x thuộc vành F sinh ñ ♣2q Do ⑤1⑤ ✏ ⑤1.1⑤ ✏ ⑤1⑤2 ✘ nên ⑤1⑤ ✏ Khi đó, ⑤ ✁ 1⑤2 ✏ ⑤♣✁1q2⑤ ✏ ⑤1⑤ ✏ nên ⑤ ✁ 1⑤ ✏ Chứng minh • ♣1q Xét x phần tử vành F sinh x có hai dạng sau: – Hoặc x ✏ ☎ ☎ ☎ Khi ta có: ⑤x⑤ ✏ ⑤1 ☎ ☎ ☎ 1⑤ ↕ max t⑤1⑤, ⑤1⑤, ☎ ☎ ☎ , ⑤1⑤✉ ✏ – Hoặc x ✏ ♣✁1q ♣✁1q ☎ ☎ ☎ ♣✁1q Khi ta có: ⑤x⑤ ✏ ⑤♣✁1q ♣✁1q ☎ ☎ ☎ ♣✁1q⑤ ↕ max t⑤ ✁ 1⑤, ☎ ☎ ☎ , ⑤ ✁ 1⑤✉ ✏ • ♣2q ñ ♣3q Hiển nhiên • ♣3q ñ ♣1q Giả sử ⑤x⑤ ↕ c với x thuộc vành F sinh Bằng cách đồng phần tử thuộc vành F sinh với số nguyên ta có: ⑤x y⑤n ✏ ⑤♣x yqn⑤ ✏ ↕ ✞ ✞ n ✞➳ ✞ ✞ k k n✁k ✞ Cn x y ✞ ✞ ✞ ✞ ✏ k n ➳ ✏ ✞ k k n✁k ✞ ✞ ✞C x y n k n ➳ ↕ c ✏ ✞ k n✁k ✞ ✞x y ✞ ↕ c k n ➳ n ➳ ✏ ⑤xk ⑤.⑤yn✁k ⑤ k ↕ c ♣max t⑤x⑤, ⑤y⑤✉qn ✏ c♣n 1q♣max t⑤x⑤, ⑤y⑤✉qn ✏ k Suy ⑤x y⑤ ↕ c ♣n 1q maxt⑤x⑤, ⑤y⑤✉ Cho n Ñ ✽, ta chứng minh lim ♣c ♣n 1q q ✏ nÑ ✽ ♣ q Thật vậy, lim ♣c ♣n 1q q ✏ lim ♣n 1q ✏ lim e nÑ ✽ nÑ ✽ nÑ ✽ ❄ ❄ ✁♣❄ n 1q2 ❄ Xét f ♣nq ✏ ln♣n 1q ✁ n, ta có f ✶ ♣nq ✏ ✁ ✏ n 1 n n♣n 1q n n n n n (2.1) n ln n n n Suy f ✶ ♣nq ➔ ❅n ➙ ñ f ♣nq ↕ f ♣0q ✏ ñ ln♣n 1q ➔ Lại có ln♣n 1q → n Đ ✽ nên ln♣n 1q n ❄ nñ ln♣n 1q n ➔ ❄1n → n1 ln♣n 1q ln♣n 1q ❄ ➔ ➔ , cho n Ñ ✽ ta có lim e n ✏ nĐ ✽ n n n Khi (2.1) đ ⑤x y ⑤ ↕ max t⑤x⑤, ⑤y ⑤✉ hay ⑤ ☎ ⑤ không acsimet Suy Một tôpô F cảm sinh định giá U ♣a, ⑤ ☎ ⑤ có sở tập mở có dạng: q ✏ tb F ⑤⑤b ✁ a⑤ ➔ ✉ a F, R Ví dụ 2.9 Cho F trường hữu hạn Tôpô cảm sinh từ định giá tầm thường F tơpơ rời rạc Bổ đề 2.10 Nếu hai định giá ⑤ ☎ ⑤1 ⑤ ☎ ⑤2 tương đương F sinh chúng tơpơ cảm Các kết bảng nhận phép tính trực tiếp từ kết nhận từ Mệnh đề 9.6 Để mơ tả cách tính, trình bày cách nhận kết tính tốn cho lớp khó lớp C3 ➳ χ♣g qχ♣g q g dạng C3 ➳ ➳ ✏ ♣ ✘ q λ1 λ2 g lớp rχ1♣λ1q.χ2♣λ2q χ1♣λ2q.χ2♣λ1qs ✂ λ1 0 λ2 ✠ ✂rχ1♣λ1q.χ2♣λ2q χ1♣λ2q.χ2♣λ1qs ♣p2 pqrχ1♣λ1q.χ2♣λ2q χ1♣λ2q.χ2♣λ1qs ✂ ➳ ✏ ✁ ♣ ✘ q λ1 λ2 ➳ ✏ ✂rχ1♣λ1q.χ2♣λ2q χ1♣λ2q.χ2♣λ1qs ♣p2 pqr⑤χ1♣λ1q⑤2.⑤χ2♣λ2q⑤2 ⑤χ1♣λ2q⑤2.⑤χ2♣λ1q⑤2s ♣ ✘ q λ1 λ2 ➳ λ1 λ2 F✂ p ✘ ♣p2 pqχ1♣λ1qχ1♣λ2qχ2♣λ2qχ2♣λ1q ✏ χ2 ta có χ1♣λ1qχ1♣λ2qχ2♣λ2qχ2♣λ1q ✏ Điều dẫn đến ➳ ♣p ✁ 1q♣p ✁ 2q ♣p2 pq♣p ✁ 1q♣p ✁ 2q χ♣g qχ♣g q ✏ 2♣p2 pq • Nếu χ1 g dạng C3 ✏ 2♣p2 pq♣p ✁ 1q♣p ✁ 2q ✘ χ2 • Nếu χ1 ➳ λ1 λ2 F ✂ p ✘ χ1 ♣λ1 qχ1 ♣λ2 qχ2 ♣λ2 qχ2 ♣λ1 q ta ln có λ1 F ✂ p χ1 χ2 ➦ Ñ x F✂ p µ♣xq ♣λ1q ✏ hay ✏ ➦ ➳ λF✂ p χ1 ♣λ1 qχ1 ♣λ2 qχ2 ♣λ2 qχ2 ♣λ1 q χ1 ♣λqχ1 ♣λqχ2 ♣λqχ2 ♣λq Thay vào công thức tính Sử dụng điều cho µ λ1 F ✂ p λ1 ,λ2 F✂ p λ1 ✘λ2 F✂ p λ1 ,λ2 F✂ p C✂ đồng cấu nhóm khơng tầm thường ➳ ➳ ➳ ✁ Giả sử µ : F✂ p ➦ ✏ ✏ χ1 χ2 ta thu χ1 ♣λ1 qχ2 ♣λ1 q ✏ Điều dẫn đến χ1 ♣λ1 qχ1 ♣λ2 qχ2 ♣λ2 qχ2 ♣λ1 q ✏ ➦ λ1 λ2 F✂ p ✘ χ1 ♣λ1 qχ1 ♣λ2 qχ2 ♣λ2 qχ2 ♣λ1 q ta thu χ1 ♣λ1 qχ1 ♣λ2 qχ2 ♣λ2 qχ2 ♣λ1 q ✏ ✁ 72 ➳ λF✂ p χ1 ♣λqχ1 ♣λqχ2 ♣λqχ2 ♣λq ✏ ✁♣p✁1q Vậy ➳ χ♣g qχ♣g q g dạng C3 ✏ 2♣p2 pq ♣p ✁ 1q♣2 p ✁ 2q ✁ ♣p2 pq♣p ✁ 1q ✏ ♣p2 pq♣p ✁ 1q♣p ✁ 3q Từ bảng trên, ta có: ➳ ♣χ, χq ✏ ⑤G⑤ χ♣g qχ♣g q ✏ g G ➳ ➳ ⑤G⑤ i✏1 glớp C χ♣g qχ♣g q ✏ i ✩ ✫1 ✪2 ✘ χ2 χ1 ✏ χ2 χ1 Sử dụng Mệnh đề 9.1(2), ta có IndG B ♣χ1 ❜ χ2 q bất khả quy χ1 ✘ χ2 ✔ IndGB ♣µ1 ❜ µ2q đặc trưng chúng phải Điều dẫn đến χ1 ♣αqχ2 ♣αq ✏ µ1 ♣αqµ2 ♣αq với α F✂ p Ta có IndG B ♣χ1 ❜ χ2 q χ1 ♣λ1 qχ2 ♣λ2 q χ1 ♣λ2 qχ2 ♣λ1 q ✏ µ1 ♣λ1 qµ2 ♣λ2 q µ1 ♣λ2 qµ2 ♣λ1 q với λ1 ✘ λ2 F✂p Lấy λ2 ✏ đẳng thức thứ hai dẫn đến χ1 ♣λ1 q χ2 ♣λ1 q ✏ µ1 ♣λ1 q µ2 ♣λ1 q, ✘ Vậy với λ1 ✘ ta có cặp χ1♣λ1q, χ2♣λ1q cặp µ1♣λ1q, µ2♣λ1q nghiệm phương trình bậc Do χ1 ♣λ1 q ✏ µ1 ♣λ1 q χ2 ♣λ1 q ✏ µ2 ♣λ1 q χ1 ♣λ1 q ✏ µ2 ♣λ1 q χ2 ♣λ1 q ✏ µ1 ♣λ1 q Hơn ta lại có F✂ p nhóm với λ1 xyclic, nên cần chọn λ1 phần tử sinh F✂ p , ta thu điều phải chứng minh Do ♣χIndGB ♣χ1 ❜χ1 q , χIndGB ♣χ1 ❜χ1 q q ✏ (theo chứng minh phía trên), nên biểu diễn ♣χ1 ❜ χ1q tổng trực tiếp hai biểu diễn bất khả quy Xét f : G Ñ C định nghĩa f ♣g q ✏ χ1 ♣det♣g qq dễ dàng kiểm tra f ♣bg q ✏ ♣χ1 ❜ χ1 q♣bqf ♣g q với b B g G Do f IndG B ♣χ1 ❜ χ1 q Hơn ta lại có, ♣g.f q♣xq ✏ f ♣xg q ✏ χ1 ♣det♣xq det♣g qq ✏ χ1 ♣det♣g qqf Do IndG B khơng gian chiều sinh f bất biến tác động nhóm G, hay biểu diễn chiều biểu diễn IndG B ♣χ1 ❜ χ1 q Vậy thành phần bất khả quy lại IndG B ♣χ1 ❜ χ1 q khơng gian có số chiều p Tổng kết kết nhận phía trên, ta xây dựng được: 73 ✌ ♣p ✁ 1q♣2 p ✁ 2q biểu diễn bất khả quy p chiều: IndGB χ1 ❜ χ2 với χ1, χ2 hai đặc trưng F✂ p ✌ p ✁ biểu diễn bất khả quy chiều πχ: G Ñ C✂ : g ÞÑ χ♣det♣gqq với χ đặc trưng F✂ p ✌ p ✁ biểu diễn bất khả quy p chiều phần bù πχ IndGB χ ❜ χ với χ đặc trưng F✂ p Vậy ta xây dựng tất ♣p ✁ 1q♣p ✁ 2q 2♣p ✁ 1q ✏ ♣p ✁ 1q♣p 2q biểu diễn 2 bất khả quy biểu diễn biểu diễn cảm sinh parabolic Những biểu diễn bất khả quy lại biểu diễn cuspidal Số lượng biểu diễn cuspidal bất khả quy G là: p2 ✁ ✁ ♣p ✁ 1q♣p 2q ✏ ♣p ✁ 1qp 2 biểu diễn Các biểu diễn bất khả quy cuspidal G Ta nhắc lại biểu diễn ♣π, V q gọi cuspidal với nhóm parabolic thực G, mơđun Jacquet Trong trường hợp điều tương đương với V ✏ V ♣N q Bổ đề 9.8 Cho v ➳ V Ta có v V ♣N q π ♣nqv ✏ n N V ♣N q, v biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính phần tử có dạng π ♣n✶ qvi ✁ vi , n✶ N v V Ta có: Chứng minh + Điều kiện cần: Cho v ➳ ➳ π ♣nq♣π ♣n✶ qv ✁ v q ✏ n N Như vậy, n N ➳ π ♣nqv n N V ➳ thỏa mãn π ♣nqv ✏ Khi đó: n N ➳ n N ô π ♣nn✶ qv ✁ n N ✏ + Điều kiện đủ: Cho v ➳ ♣π♣nn✶qv ✁ π♣nqvq ✏ ♣v π♣nqv ✁ vq ✏ ➳ n N v ✏ ô ⑤N ⑤.v ✏ ➳ ♣π♣nqv ✁ vq n N ➳ n N 74 ♣π♣nqv ✁ vq ➳ n N π ♣nqv ✏ ô v ✏ ⑤N1 ⑤ Từ hệ thức suy v ➳ ♣π♣nqv ✁ vq n N V ♣N q Xét nhóm Mirabolic G: ✏ M ★✄ a x ☛ ⑤ a F✝p , x Fp ✰ ⑨ M ⑤M ⑤ ✏ p♣p ✁ 1q Lấy θ : Fp Đ C✂ đặc trưng khơng tầm thường Fp Bằng việc đồng Ta có N nhóm lũy đơn N với Fp ta xem θ đặc trưng N Tất đặc trưng N có dạng Ñ C✂ đặc trưng không tầm thường Khi ta có Mệnh đề 9.9 Cho θ : Fp IndM N θ biểu diễn bất khả quy M Chứng minh Trước hết ta sử dụng Bổ đề 9.2 để tính đặc trưng χIndM biểu diễn Nθ cảm sinh χIndM Nθ ✌ Trường hợp 1: Với a ✘ det ✄ ✄ m a y ☛ không thuộc vào N với m M Do ta có: ✄ χIndM Nθ ✌ Trường hợp 2: Với m ✏ ✄ m Vì thế: ✄ χIndM Nθ + Nếu x ✏ 0, χIndM Nθ x 1 x ☛ ✄ 0 ☛ ☛ a y ✄ a x ☛ ☛ m✁1 ✏ ⑤N1 ⑤ M ta có ✄ ax ➳ aF✂ p ,y Fp 75 ✏ a ✘ nên m ✏ 0, ❅x Fp ✏ ✏ p ✁ m✁1 ☛ ☛ N θ♣axq ✏ ➳ aF✂ p θ♣axq ✄ a y ☛ m✁1 + Nếu x lại có θ ✘ 0, χInd ✄ M Nθ x ☛ ✏ ➦aF θ♣axq ✁ ✏ ➦aF θ♣aq ✁ Mặt khác ta p ✙ 1, nên ➦aF θ♣aq ✏ Vì χInd p p ✄ M Nθ x ☛ ✏ ✁1 với x ✘ 0 Sử dụng kết vừa tính được, ta có ♣χIndM , χIndM q Nθ Nθ ✏ Vậy IndMN θ biểu diễn bất khả quy Mệnh đề 9.10 Cho ♣ρ, V q biểu diễn bất khả quy cuspidal G Khi ln Đ C✂ khơng tầm thường cho ρ⑤M ✏ IndMN θ Đặc biệt, số chiều biểu diễn bất khả quy cuspidal p ✁ tồn đặc trưng θ : Fp Chứng minh Ta có ρ⑤N biểu diễn nhóm N nên tổng trực tiếp biểu diễn bất khả quy N Mặt khác, ta lại có N nhóm giao hốn, nên Theo Bổ đề Schur, biểu diễn bất khả quy N có chiều Điều dẫn đến ρ⑤N chứa đặc trưng θ N Hay nói cách khác ta có HomN ♣θ, ρ⑤N q ✘ Lấy φ HomN ♣1, V q với c C ta có: φ♣cq ✏ ρ⑤N ♣nq♣φ♣cqq ❅n N suy ➳ φ♣cq n N ➳ ✏ ρ⑤N ♣nq♣φ♣cqq Do V biểu diễn cuspidal nên V n N Điều dẫn đến χ♣cq V ♣N q, sử dụng Bổ đề 9.8 ta nhận ➳ n N ✏ V ♣N q ρ⑤N ♣nq♣φ♣cqq Điều kéo theo φ♣cq ✏ với c C hay HomN ♣1, V q ✏ t0✉ Do θ ✙ Sử dụng luật thuận nghịch Frobenius ta có HomM ♣IndM N θ, ρ⑤M q ✔ HomM ♣θ, ρ⑤N q ✘ Hơn theo mệnh đề 9.9 IndM N θ cịn biểu diễn bất khả quy, nên ρ⑤M chứa M IndM N θ Vì dim♣V q ➙ dim♣IndN θ q ✏ ⑤M ⑤④⑤N ⑤ ✏ p ✁ Gọi Vi với i chạy từ đến p♣p2✁1q tất biểu diễn bất khả quy cuspidal G Ta vừa chứng minh dim♣Vi q ➙ p ✁ với i Sử dụng mệnh đề 9.1(4) ta lại có ⑤G⑤ ✏ ♣✁q ➳ p p ✏ i dim♣Vi q2 ♣p 1q2♣p ✁ 2q♣p ✁ 1q ♣p ✁ 1q ♣p ✁ 1qp2 2 ➙ p♣p 2✁ 1q ♣p ✁ 1q2 ♣p 1q ♣p 2✁ 2q♣p ✁ 1q ♣p ✁ 1q ♣p ✁ 1qp2 ✏ ♣p2 ✁ 1q♣p2 ✁ pq ✏ ⑤G⑤ Dấu xảy dim♣Vi q ✏ p ✁ Do ρ⑤M 76 ✏ IndMN θ 2 Nhóm nhân tính F✂ p2 trường hữu hạn Fp nhóm xyclic cấp p ✁ 1, có p2 ✁ đặc trưng ν : F✂ p2 Ñ C✂ Định nghĩa 9.11 Một đặc trưng ν F✂ p2 gọi phân tích tồn đặc trưng θ F✂ p cho ν ♣αq ✏ θ♣NFp2 ④Fp ♣αqq Trong NFp2 ④Fp : Fp2 Đ Fp; α ÞĐ αp 1 ánh xạ chuẩn mở rộng Galois Fp ④Fp Bổ đề 9.12 Đặc trưng ν F✂ p2 phân tích ν ♣αq ✏ ν ♣αq Trong α ✏ αp liên hợp α • Do NFp2 ④Fp ♣αq Chứng minh ν ♣α q ✏ NF p2 ④Fp ♣αq, nên ν phân tích ν ♣αq ✏ ✏ ν ♣αq Ta có NF nhóm F✂ p Giả sử α E :✏ ker♣NF • Giả sử ngược lại ta có ν ♣αq ④Fp đồng cấu nhóm nhóm F✂ q, NFp2 ④Fp ♣αq ✏ 1, hay p2 p2 ④Fp p 1 α ✏ Nói cách khác α nghiệm đa thức xp 1 ✁ ✏ Mặt khác ta lại có xp p2 ✁ x ✏ có đủ p2 nghiệm Fp Do ⑤ker♣NF định lý đồng cấu nhóm, ta có ảnh NFp2 ④Fp Điều dẫn đến NFp2 ④Fp toàn cấu F✂p , NF ④F đẳng cấu nên tồn ④F ♣αq ✏ x Giả sử α α✶ hai phần tử thỏa mãn Với x NFp2 ④Fp q⑤ ✏ p Áp dụng có số phần tử pp ✁11 ✏ ♣p ✁ 1q p2 p2 p α Fp✂2 cho p NFp2 ④Fp ♣αq ✏ NFp2 ④Fp ♣α✶ q ✏ x E ✁1 Xét ánh xạ h : F✂ p Ñ E, λ ÞĐ λλ Ta có λ ker♣hq λ ✏ λ hay λ F✂ p Do ảnh h có ♣p ✁ 1q④♣p ✁ 1q ✏ p ✏ ⑤E ⑤ phần tử Vậy h ✁1 toàn ánh Do tồn λ cho α✶ α✁1 ✏ λλ Ta có Điều dẫn đến α✶ α✁1 ν ♣α✶ αq✁1 ✏ ν ♣λλ✁1q ✏ ν ♣αqν ♣αq✁1 ✏ Vậy ν ♣αq ✏ ν ♣α✶ q Ta định nghĩa θ♣xq ✏ ν ♣αq Khi θ đặc trưng F✂ p 77 Phần cuối mục tập trung vào việc xây dựng biểu diễn cuspidal bất khả quy nhóm G, cách liên kết đặc trưng không phân tích F✂ p2 với biểu diễn cuspidal Do số chiều biểu diễn cuspidal bất khả quy p ✁ 1, ta lấy khơng gian véc tơ p ✁ chiều Khơng gian cảm thấy thích hợp trường hợp không gian V hàm nhận giá trị phức F✂ p Hơn muốn hạn chế biểu diễn nhóm Mirabolic M phải IndM N θ với θ đặc trưng không tầm thường Fp Với đặc điểm đó, bắt đầu xây dựng biểu diễn πν ✄✓ πν a b ✛☛ ♣f q♣xq ✏ θ♣bxqf ♣axq Hơn nữa, mong muốn πν trùng với ν nhóm tâm hóa Z G: ✄✓ πν Do đó, ✄✓ πν d ✛☛ d a b ✛☛ c ♣f q♣xq ✏ ν ♣dqf ♣xq ♣f q♣xq ✏ ν ♣cqθ♣bc✁1xqf ♣ac✁1xq Bằng tính tốn trực tiếp, ta kiểm tra πν đồng cấu nhóm B Aut♣V q (nhóm tự đẳng cấu V ) Ta cần mở rộng đồng cấu cho tồn nhóm G Để thực điều ta cần phải viết lại nhóm G dạng phần tử sinh quan hệ Đặt w ✏ ✄ ☛ ✁1 u ✏ ✄ 1 ☛ Khi có quan hệ w phần tử B sau: ✄ w a 0 d ☛ ✏ ✄ d 0 a ☛ ✄ w, ✁1 w2 ✏ 0 ☛ ✁1 , ♣wuq3 ✏ ✄ 0 Mệnh đề 9.13 Nhóm G nhóm sinh B w˜ với quan hệ sau (1) ✄ w˜ ☛ α 0 δ w˜ ✁1 78 ✏ ✄ δ 0 α ☛ , ☛ (2) ✄ ✁1 w˜ ✏ ♣wu ˜ q3 ✏ , ✁1 (3) ☛ ✄ ☛ ˜ nhóm sinh B w˜ với quan hệ phía Khi Chứng minh Đặt G ˜ Ñ G cố định phần tử B biến w˜ thành w tồn toàn cấu θ : G Chúng ta cần chứng minh ker♣θq ✏ ˜ với b B ✁ T , tồn b1 , b2 Đầu tiên chứng minh G, cho wb ˜ w˜ ✁ b1 wb ˜ Thật vậy, β b✏ (3), ta có wu ˜ w˜ ✄ α β ☛ δ ✏ ✄ ✘ 0, ☛✄ 1 δβ ✁1 ☛✄ α 0 β ☛ B ✏ d✶ud✷; ✏ u✁1w˜✁1u✁1; (2) ta có: wu ˜ w˜ Điều dẫn đến wb ˜ w˜ ✏ u✁1 ✏ ♣wd ˜ ✶ w˜ ✁1 qu✁1 ✄ ☛ ✁1 ✁1 wu ˜ ✁1 Tiếp theo, ý d có wd ˜ w˜ ✏ ♣wd ˜ w˜ ✁1 qw˜ B ☛ ✁1 phần tử B (sử dụng (1)) Giả sử tồn ✘ g ✁1 ✏ ♣wd ˜ ✶ w˜ ✁1 qwu ˜ w˜ ♣w˜ ✁1 d✷ w˜ q ✏ b1 wb ˜ 2, b1 ✄ b2 ✏ u✁1♣w˜✁1d✷w˜q T , cách sử dụng (1) (2) ta ker♣θq Khi g ❘ B, cách sử dụng wb ˜ w˜ ✩ ✫ b✶ ✏✪ b T, b B ✁ T, b1 wb ˜ g viết lại sau g ✏ ✄ α✶ β ✶ ☛ ✄ α β ☛ w˜ δ✶ δ 79 α, α✶ , δ, δ ✶ ✘ ✄ Ảnh vế phải thông qua đồng cấu θ phần tử ✁α✶α ✁δ✶α α✶ δ ✁ β ✶ β ✁δ✶β ☛ Do δ ✶ α ✏ (mâu thuẫn) Để định nghĩa πν ♣wq, ta định nghĩa hàm số j : F✂ p j ♣ xq ✏ pN ➳ ④ ♣λq✏x Ñ C θ♣λ λqν ♣λq F Fp p Với định nghĩa này, ta định nghĩa πν ♣wq sau: πν ♣wq♣f q♣xq ✏ ➳ y F✂ p ν ♣y ✁1 qj ♣xy qf ♣y q Việc lại kiểm tra xem với πν ♣wq định nghĩa có bảo tồn quan hệ (1),(2) (3) mệnh đề 9.13 hay khơng Việc kiểm tra khơng khó, cần tính tốn tỉ mỉ có phần buồn tẻ nên bỏ qua (các chứng minh chi tiết tìm thấy [PS83, Chương 2, mục 13]) Định lý 9.14 (1) Với đặc trưng ν không phân tích F✂ p2 , biểu diễn πν xây dựng biểu diễn bất khả quy cuspidal ✘ ν ✶ hai đặc trưng khơng phân tích F✂p , πν với πν ✶ ν ♣αq ✏ ν ✶ ♣αq (2) Nếu ν Chứng minh (1) Từ cách xây dựng ta có resG M ♣πν q ✏ đẳng cấu M IndM N θ Do IndN θ bất khả quy nên πν biểu diễn bất khả quy Giả sử khơng phải biểu diễn cuspidal, biểu diễn biểu diễn cảm sinh parabolic Điều dẫn đến số chiều phải 1, p p (mâu thuẫn theo cách xây dựng biểu diễn πν có số chiều p ✁ 1) (2) Để đơn giản kí hiệu sử dụng N ♣λq thay cho NFp2 ④Fp ♣λq Tr♣λq ✏ λ λ ✏ πν , π✶ ✏ πν✶ đặt j ✏ jν , j ✶ ✏ jν✶ hàm số j tương ứng với ✶ ν ν ✶ Nếu ν ✏ ν, ta có: ν ✶ ♣αq ✏ ν ♣αq ❅α F✂ p Khi π ✏ π B Đặt π Hơn nữa, j ✶ ♣xq ✏ ✁1 p ✏ ✁p1 ➳ ♣ q✏x θ♣Tr♣λqqν ✶ ♣λq ✏ N λ ➳ ♣ q✏x ✁1 p θ♣Tr♣λqqν ♣λq ✏ j ♣xq N λ 80 ➳ ♣ q✏x N λ θ♣Tr♣λqν ♣λq Do π ✶ ♣w✶ q ✏ π ♣w✶ q Như ta có π ✏ π✶ Ngược lại, giả sử π ✶ đẳng cấu với π Khi đó, tồn tự đẳng cấu ϕ Aut♣V q cho π ✶ ♣sq ✆ ϕ ✏ ϕ ✆ π♣sq, ❅s G Mặt khác resGM ♣πq ✏ resGM ♣π✶q Từ Bổ đề Schur 4.19, θ phép vị tự Do đó, π ✶ ♣sq ✏ π ♣sq, ❅s G Đặc biệt, π π ✶ ✶ ✶ ✶ B Do đó, ν ♣αq ✏ ν ✶ ♣αq với α F✂ p Hơn nữa, π ♣w q ✏ π ♣w q nên ➳ y F✂ p ν ♣y ✁1 qj ♣xy qf ♣y q ✏ ➳ ν ✶ ♣y ✁1 qj ✶ ♣xy qf ♣y q, y F✂ p với x F✂ p f V (nhắc lại V không gian hàm f : F✂p Đ C) Từ suy j ♣αq ✏ j ✶ ♣αq với α Fp , nghĩa ➳ ♣ q✏α ➳ θ♣Tr♣λqqν ♣λq ✏ N λ ♣ q✏α θ♣Tr♣λqqν ✶ ♣λq N λ ✶ Với x F✂ p bất kì, ta có j ♣x αq ✏ j ♣x αq Rút gọn ν ♣xq hai vế ta thu ➳ ♣ q✏α ➳ θ♣xTr♣λqqν ♣λq ✏ N λ ♣ q✏α θ♣xTr♣λqqν ✶ ♣λq, N λ Chọn λ0 phần tử sinh nhóm xyclic Fp2 Với y cho Tr♣λq ❅α, x F✂p ✏ y N ♣λq ✏ N ♣λ0q (do Fp Fp bất kì, tồn λ Fp mở rộng (trường) bậc hai Fp ) Một nghiệm khác cho hai đẳng thức trên, hiển nhiên λ Đặt ✏ ν ♣λq ν ♣λq ✁ ν ✶♣λq ✁ ν ✶♣λq đặt θy đặc trưng F✂p định nghĩa θy ♣xq ✏ θ♣xy q Khi đó, ta có ay ➳ ay θy ✏ y Fp ✘ y✶, θy ✘ θy✶ , sử dụng bổ đề Artin tính độc lập tuyến đặc trưng phân biệt nhóm, ta có ay ✏ với y Fp Đặc Chú ý y biệt, ta cịn có: ν ♣λ0 q ν ♣λ0 q ✏ ν ✶ ♣λ0 q ν ✶ ♣λ0 q Kết hợp với ν ♣λ0 qν ♣λ0 q ✏ ν ♣N♣λ0 qq ✏ ν ✶ ♣N♣λ0 qq ✏ ν ✶ ♣λ0 qν ✶ ♣λ0 q, ta có ν ✶ ♣λ0 q ✏ ν ♣λ0 q ν ✶ ♣λ0 q ✏ ν ♣λ0 q Từ suy ν ✶ λ0 phần tử sinh F✂ p2 81 ✏ ν ν ✶ ✏ ν, Hệ 9.15 Chúng ta có ✁ biểu diễn π đôi không đẳng cấu với Đặc ν p2 p biệt tất biểu diễn cuspidal G xây dựng ✂ Chứng minh Gọi α phần tử sinh nhóm F✂ p2 , đặc trưng θ Fp2 xác định biết giá trị θ♣αq Giả sử θ♣αq ✏ e p2 ✁1 2kiπ Theo mệnh đề 9.12, ta có θ phân tích k chia hết cho p Ta có p ✁ giá trị k chia hết cho p nằm khoảng từ đến p2 ✁ Do có p ✁ đặc trưng phân tích Vậy có p2 ✁ p đặc trưng khơng phân tích Xét quan hệ tương đương đặc trưng không phân tích sau ν ✔ ν ✶ ν ♣αq ✏ ν ✶ ♣αq.Các lớp tương đương có phần tử, nên có số lớp tương đương ✁ biểu diễn π đôi không đẳng cấu với ν Hơn số lượng biểu diễn cuspidal G xác p 2✁p , nên cách xây dựng πν từ đặc trưng khơng phân tích F✂ p2 cho phép ta biết hết ✁ Áp dụng định lý 9.14 ta có p2 p p2 p biểu diễn cuspidal G 10 Các biểu diễn cuspidal độ sâu GL2♣Qpq Trong mục xây dựng lớp biểu diễn cuspidal nhóm GL2 ♣Qp q Các biểu diễn xây dựng cảm sinh từ biểu diễn cuspidal GL2 ♣Fp q xây dựng phía Các biểu diễn gọi biểu diễn cuspidal có độ sâu Định lý 10.1 Xét σ biểu diễn cuspidal bất khả quy GLr ♣Fp q Thông qua tồn cấu nhóm từ GLr ♣Zp q vào GLr ♣Fp q, ta xem σ biểu diễn ✂ GLr ♣Zp q Giả sử χ đặc trưng Q✂ p thỏa mãn hạn chế χ xuống Zp trùng với đặc trưng trung tâm σ, χ ☎ σ biểu diễn Q✂ p GLr ♣Zp q ♣ q Nếu gọi π biểu diễn cảm sinh compact indQ✂rGL p♣Z q ♣χ ☎ σ q π biểu diễn bất r p p khả quy cuspidal chấp nhận GLr ♣Qp q GL Q Trước hết, cần bổ đề tổng quát cho phép mô tả hạn chế biểu diễn cảm sinh (trong trường hợp đặc biệt mà quan tâm) Bổ đề 10.2 Cho H nhóm mở, compact modulo tâm hóa -nhóm đơn modular G Gọi ♣σ, W q biểu diễn trơn hữu hạn chiều H Gọi π ✏ indG H ♣σ q biểu diễn cảm sinh compact tương ứng Khi hạn chế π xuống H cho 82 π ⑤H ✏ rindGH ♣σqsH ✔ ③ ④ g H G H g IndH H ❳g ✁1 Hg ♣ σ ⑤H ❳g ✁1 Hg q, g σ biểu diễn g ✁1 Hg định nghĩa g σ ♣g ✁1 Hg q ✏ σ ♣hq với h H G, gọi Vg ✏ C ✽♣HgH, σq không gian hàm f trơn HgH thỏa mãn f ♣h1 gh2 q ✏ σ ♣h1 qf ♣gh2 q Vì HgH mở G compact modulo H nên ta có đơn cấu tắc Vg Đ indG H ♣σ q, định nghĩa cách mở rộng bên ngồi HgH Bây giờ, tập đơn ánh Vg Đ π cho ta ánh xạ Chứng minh Với g tắc Vg ③ ④ Ñ π g H G H Ta đẳng cấu H-môđun Thật vậy, cách xét giá hàm, dễ thấy ánh xạ đơn ánh Mặt khác, từ định nghĩa π ta có tính tồn ánh Chú ý H tác động lên Vg thông qua phép nhân bên Ñ π đồng cấu H-môđun g Tiếp theo ta kiểm tra tương ứng f ÞĐ f từ Vg vào IndH H ❳g ✁ Hg ♣ σ ⑤H ❳g ✁ Hg q phải H lên HgH, đồng thời ánh xạ Vg 1 định nghĩa tốt song ánh bảo toàn tác động H Ta có điều phải chứng minh Chứng minh cho định lý 10.1 Gọi H nhóm Q✂ p GLr ♣Zp q Rõ ràng H nhóm mở, đồng thời compact modulo tâm hóa G ✏ GLr ♣Qp q Để đơn giản, ta viết σ để biểu diễn χ ☎ σ H Ta chứng minh định lý 10.1 cách chứng minh tính bất khả quy, chấp nhận tính cuspidal π Tính bất khả quy: Ta có khẳng định sau đây: Với g HomH ❳g✁1 Hg ♣σ,g σ q ✏ t0✉ G ✁ H, ta ln có Tạm thời chấp nhận khẳng định này, theo bổ đề phía trước ta có σ xuất π với bội 1, hay nói cách khác dim HomH ♣σ, π ⑤H q ✏ Giả sử phản chứng π khơng bất khả quy Khi tồn dãy khớp ngắn G-module không tầm thường: ÝÑ π1 ÝÑ π ÝÑ π2 ÝÑ Chú ý H compact modulo tâm hóa nên biểu diễn (chẳng hạn σ, π1 , π2 π) mà Q✂ p tác động đặc trưng H-mơđun nửa đơn Vì π ✏ indGH ♣σq nên π nhúng vào IndGH ♣σq G-module Điều tương tự 83 cho π1 Sử dụng định lý thuận nghịch Frobenius 7.5 ta có HomH ♣π1 , σ q ✘ t0✉, nói cách khác σ xuất π1 Theo định lý thuật nghịch Frobenius 7.6 ta có HomG ♣indG H ♣σ q, π2 q ✏ HomH ♣σ, π2 q Do σ xuất π2 , nhiên điều mâu thuẫn với việc σ xuất với bội π Như ta cần phải chứng minh nhận xét nói Vì g G ✁ H nên cách sử dụng phân tích Cartan, ta giả sử mà khơng làm tính tổng qt q m1 ➙ ➙ mr✁1 ➙ Gọi k số thỏa mãn mk ➙ mk 1 ✏ Giả sử HomH ❳g✁ Hg ♣σ,g σ q ✘ t0✉ Khi ta có HomN ♣Oq❳g✁ N ♣Oqg ♣σ,g σ q ✘ ✉0✉, Nk lũy đơn nhóm parabolic ứng với phân hoạch r ✏ k ♣r ✁ k q r Ta có Nk ♣Oq ❳ gNk ♣Oqg ✁1 ⑨ Nk ♣B q, kí hiệu hiểu theo nghĩa hiển nhiên Vì σ nâng lên từ GLr ♣Fp q nên g σ tầm thường Nk ♣Oq❳ g ✁1 Nk ♣Oqg, tức HomN ♣Oq❳g✁ N ♣Oqg ♣σ, 1q ✘ t0✉ Điều mâu thuẫn với ♣σ, W q biểu diễn cuspidal GLr ♣Fp q g ✏ diag♣ m1 F , , mr✁1 ,1 F k k k k Tính chấp nhận được: Tiếp theo ta chứng minh π biểu diễn chấp nhận Dễ thấy ta cần chứng minh, với m ➙ πK m hữu hạn chiều Ở Km nhóm đồng dư bậc m Nhắc lại π Km không gian vector gồm hàm số địa phương f : G Ñ W thỏa mãn f ♣hgk q ✏ σ ♣hqf ♣g q, với h H, g G, k Km Sử dụng phân tích Cartan, ta chọn phần tử đại diện lớp kề kép H ③G④Km dạng g ✏ a ☎ k, a ✏ diag♣ Fm , , Fm q với ✏ m1 ↕ m2 ↕ ↕ mr k K ④Km Với a vậy, đặt t♣aq ✏ maxtmi 1 ✁ mi ⑤ ↕ i ↕ r ✁ 1✉ Chú ý t♣aq ✏ mj 1 ✁ mj ➙ m Uj ♣Oq ⑨ gKm g ✁1 ❳ H, Uj lũy đơn nhóm parabolic tối đại ứng với phân hoạch r ✏ j ♣r ✁ j q Như r ta có: σ ♣uq ☎ f ♣g q ✏ f ♣ug q ✏ f ♣g ☎ g ✁1 ug q ✏ f ♣g q, nói cách khác f ♣g q W vector cố định Uj ♣Oq Uj ♣Fp q Khi tính cuspidal ♣σ, W q cho ta f ♣g q ✏ Vậy ta chứng minh ✘ f HakKm với t♣aq πK m f có giá nằm lớp kề kép ➔ m Vì tập lớp kề hữu hạn nên ta có số chiều 84 π Km hữu hạn ✏ M ☎ N nhóm parabolic G Để chứng minh π cuspidal ta cần mơđun Jacquet πN ✏ Do ta cần chứng minh ♣πN q✝ ✏ Chú ý HomN ♣π, Cq ✔ ♣π ✝ qN không gian gồm vector (trong không gian đối ngẫu π ✝ π) cố định N Ta ♣π ✝ qN ✏ ✝ ✽ ✝ Vì π ✏ indG H ♣σ q nên ta đồng π với C ♣H ③G, σ q, không gian hàm số địa phương φ G với giá tập giá trị W ✝ thỏa mãn φ♣hg q ✏ σ ✝ ♣hqφ♣g q Tính cuspidal: Gọi P Ta kiểm tra phép đồng cách ý không gian đối ngẫu tổng trực tiếp không gian vector đẳng cấu với tích trực tiếp đối ngẫu Suy ♣π ✝ qN không gian gồm hàm số địa phương φ : G Ñ W✝ thỏa mãn φ♣hgnq ✏ σ ✝ ♣hqφ♣g q, với h H, g G, n N Tiếp theo, sử dụng phân tích Iwasawa ta chọn phần tử đại diện cho lớp kề kép H ③G④N cho chúng nằm M Với m M , ý N ♣Oq ✏ N ❳ H ✏ H ❳ mN m✁1 Do với h N ♣Oq, ta có σ ✝ ♣hqφ♣mq ✏ φ♣hmq ✏ φ♣m ☎ m✁1 hmq ✏ φ♣mq, tức φ♣mq W ✝ cố định N ♣Fp q Hơn ♣σ ✝ , W ✝ q biểu diễn cuspidal (do ♣σ, W q biểu diễn cuspid2al) nên φ♣mq ✏ Suy ♣π ✝ qN 85 ✏ Tài liệu [BH06] C J Bushnell, G Henniart, The local Langlands conjecture for GL2 , Grundlehren der Math Wiss 335, Springer, Berlin [BK93] C J Bushnell, P C Kutzko, The admissible dual of GL♣N q via compact open subgroups, Princeton University Press, Princeton (1993) [FM09] F Murnaghan, Representations of reductive p-adic groups, http://www.math.toronto.edu/murnaghan/course/mat1197/notes.pdf [PS83] I Piatetski-Shapiro, Complex representations of GL2 ♣K q for finite fields K, Contemporary mathematics (16) [PR07] D Prasad, A Raghuram, Representation theory of GLn over non-Archimedean local fields, http://www.math.tifr.res.in/ dprasad/ictp2.pdf [S71] J P Serre, Linear representations of finite groups, Graduate texts in Mathematics 42, Springer [RV18] R Vinroot, Topological groups, http://www.math.wm.edu/✒vinroot/PadicGroups/topgroups.pdf 86 ... dụ 4.11 • Mọi biểu diễn GLr ♣Fp q biểu diễn trơn • Biểu diễn con, biểu diễn thương biểu diễn thương biểu diễn trơn biểu diễn trơn Bổ đề 4.12 Nếu ♣π, V q biểu diễn G, V ✽ :✏ tv biểu diễn trơn V... nhóm p-adic cảm sinh từ biểu diễn nhóm đơn giản nhóm xuyến, hay nhóm parabolic Mục dành cho việc định nghĩa biểu diễn cảm sinh parabolic Những biểu diễn nhận biểu diễn biểu diễn cảm sinh từ nhóm. .. xây dựng từ biểu diễn cuspidal GL2 ♣Fp q (được xem biểu diễn nhóm mở compact K0 :✏ GL2 ♣Zp q thơng qua phép chiếu tắc GL2 ♣Zp q Đ GL2? ??Fpq) Những biểu diễn gọi biểu diễn cuspidal độ sâu GL2 ♣Qp q