Nguyên lý không chắc chắn donoho stark đối với một số biểu diễn thời gian tần số (LV01874)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LÝ NGUYÊN LÝ KHÔNG CHẮC CHẮN DONOHO-STARK ĐỐI VỚI MỘT SỐ BIỂU DIỄN THỜI GIAN - TẦN SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LÝ NGUYÊN LÝ KHÔNG CHẮC CHẮN DONOHO-STARK ĐỐI VỚI MỘT SỐ BIỂU DIỄN THỜI GIAN - TẦN SỐ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Bùi Kiên Cường HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn nhiệt tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy hướng dẫn truyền cho tác giả kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phòng Sau đại học, Khoa Toán Tổ Giải tích quý thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Lý i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Lý ii Mục lục Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 1.2 1.3 Không gian Lp , bất đẳng thức không gian Lp , công thức tích chập 1.1.2 Không gian hàm 1.1.3 Không gian hàm suy rộng D (Ω) 1.1.4 Không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) 1.1.5 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 1.1.6 Các toán tử 10 Biến đổi Fourier 11 1.2.1 Biến đổi Fourier hàm thuộc L1 (Rn ) S(Rn ) 11 1.2.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng 16 Biểu diễn thời gian - tần số 17 iii iv 1.4 1.3.1 Nguyên lý không chắn 17 1.3.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT 20 1.3.3 Ảnh phổ 27 1.3.4 Một số phân bố thời gian - tần số quan trọng 27 1.3.5 Lớp phân bố Cohen 31 Toán tử địa phương hóa thời gian - tần số 32 Nguyên lý không chắn Donoho-Stark số biểu diễn thời gian - tần số 2.1 34 Nguyên lý không chắn toán tử địa phương hóa 34 2.2 So sánh với nguyên lý không chắn Donoho-Stark 43 2.3 Nguyên lý không chắn Donoho-Stark nguyên lý không chắn địa phương 45 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Bảng kí hiệu viết tắt N : Tập hợp số tự nhiên N∗ : Tập hợp số nguyên dương |α| : Bậc đa số α, n αi , α = (α1 , , αn ) ∈ N∗ |α| = i=1 R : Tập hợp số thực Rn : Không gian Ơclit n chiều C : Tập hợp số phức z, |z| : Số phức liên hợp, mô đun số phức z Dα f : Đạo hàm cấp α f , Dα f = (−1)|α| ∂ α f ∂ α u : Đạo hàm riêng cấp α u, (∂ α u)(ϕ) = (−1)|α| u(∂ α ϕ) C ∞ : Không gian hàm khả vi vô hạn C0∞ (Ω) : Tập hợp hàm khả vi vô hạn giá compact C0 (Rn ) : Không gian hàm liên tục có giá compact D(Ω) : Không gian hàm S(Rn ) : Không gian hàm giảm nhanh v vi S (Rn ) : Không gian hàm tăng chậm Tx f : Phép tịnh tiến theo x hàm f , Tx f (t) = f (t − x) Mω f : Sự điều biến theo ω hàm f , Mω f (t) = e2πit.ω f (t) f ∗ : Phép đối hợp f , f ∗ (x) = f (−x) f : Phép đối xứng f , f (x) = f (−x) f ∗ g : Tích chập f g, (f ∗ g)(x) = f (y)g(y − x)dy Rn fˆ, F(f ) : Biến đổi Fourier hàm f F −1 (f ), fˇ : Biến đổi Fourier ngược hàm f F, fˆ : Liên hợp biến đổi Fourier f X a f (x) : Toán tử nhân, X a f (x) = xa f (x) span A : Bao tuyến tính tập A Ap : Hằng số Babenko-Beckner, Ap = 1/2 p1/p (p )1/p Vg f : Biến đổi Fourier thời gian ngắn hàm f hàm cửa sổ g, f (t)g(t − x)e−2πit.ω dt Vg f (x, ω) = Rn Lp : Không gian hàm đo Lebesgue, có chuẩn Lp hữu hạn f Lp (Ω) |f (x)|p dx = Ω p vii Tσ : Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ, Tσ ϕ(x) = (2π)−n/2 eix.ξ σ(x, ξ)ϕ(ξ)dξ, ˆ ϕ ∈ S(Rn ) Rn Tσ∗ : Liên hợp hình thức toán tử Tσ W ig(f ) : Phân bố Wigner hàm f W ig(f, g) : Phân bố Wigner chéo hàm f g Qσ f : Lớp phân bố Cohen SP ECg f, Spg f : Ảnh phổ hàm f hàm cửa sổ g qφ,ψ (f, g) : Ảnh phổ tổng quát hàm f, g hàm cửa sổ φ, ψ Tσ : Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ AF : Toán tử giả vi phân Kohn-Nirenberg với biểu trưng F W F : Toán tử Weyl với biểu trưng F LFφ,ψ : Toán tử địa phương hóa với biểu trưng F , LFφ,ψ f (x) = F (z)(f, φz )L2 ψz (x)dz, f ∈ S(Rn ) Rn χ[a,b] : Hàm đặc trưng [a, b] ϕa (x) : Là hàm Gauss với ϕa (x) = e− πx2 a Ta : Phép biến đổi tọa độ không đối xứng với Ta f (x, t) = f (t, t − x) Ts : Phép biến đổi tọa độ đối xứng với t t Ts f (x, t) = f x + , x − 2 viii f ⊗ g : Tích ten sơ hàm f g, (f ⊗ g)(x, t) = f (x)g(t) B(L2 (Rn )) : Là C ∗ - đại số tất toán tử bị chặn từ L2 (Rn ) vào L2 (Rn ) · ∗ : Chuẩn B(L2 (Rn )) |Ω| : Độ đo Lebesgue tập Ω ⊂ Rn ·, · : Tích "vô hướng" cặp đối ngẫu (·, ·) : Tích vô hướng không gian Hilbert 37 L1 f = LχΦT1 f = χT (x)VΦ1 f (x, ω)µω τx Φ1 dxdω (2.4) χΩ (ω)VΦ2 f (x, ω)µω τx Φ2 dxdω (2.5) R2n L2 f = LχΦΩ2 f = R2n hai toán tử địa phương hóa với biểu trưng χT , χΩ hàm cửa sổ Φ1 , Φ2 tương ứng Định lý 2.2 Với giả thiết cho trước T, Ω, L1 , L2 , giả sử εT , εΩ > 0, εT + εΩ ≤ 1, f ∈ L2 (Rn ) cho: L1 f 2 ≥ (1 − ε2T ) f 22 , L2 f 2 ≥ (1 − ε2Ω ) f 22 Khi r r−1 r |T | |Ω| ≥ sup (1 − εT − εΩ ) r∈[1,∞) (2.6) 2n(r−1) (2.7) Chứng minh Viết toán tử Lj , j = 1, xác định (2.4) (2.5) dạng toán tử Weyl, ta có L1 f = W F1 f, với F1 (x, ω) = (χT (x) ⊗ 1ω ) ∗ W ig(Φ1 )(x, ω) L2 f = W F2 f, với F2 (x, ω) = (1x ⊗ χΩ (ω)) ∗ W ig(Φ2 )(x, ω) Bằng việc tính toán chi tiết, ta có W ig(Φj )(x, ω) = c2j λj n 2 e−2πλj x e −π λ2 ω j , j = 1, Do đó, ta có F1 (x, ω) = c21 = c21 λ1 n 2 e−2πλ1 t χT (x − t)dt χT (x − t)e−2πλ1 t dt = c21 χT ∗ e−2πλ1 (·) (x) 2 e−π λ1 s ds 38 suy F1 phụ thuộc vào biến thời gian x Tương tự ta chứng minh F2 phụ thuộc vào biến tần số ω Cụ thể F2 (x, ω) = = c22 n 2 λ2 c22 λ2 n 2 n χΩ (ω − s)e−π λ2 s ds e−2πλ2 t dt (2λ2 )− (χΩ ∗ e−π λ2 (·) )(ω) 2 −π λ (·) = c22 λ−n )(ω) (χΩ ∗ e Từ suy L1 f = W F1 f = F1 f Nghĩa L1 toán tử nhân hàm F1 L2 f = W F2 f = F −1 F2 Ff, hay L2 nhân tử Fourier với biểu trưng F2 Bây giờ, với j = 1, Ta tính f 2 = (f − Lj f ) + Lj f 2 = ((f − Lj f ) + Lj f, (f − Lj f ) + Lj f ) = f − Lj f 2 + Lj f 2 + (f − Lj f, Lj f ) + (Lj f, f − Lj f ) (2.8) Ta thấy (f − Lj f, Lj f ) ≥ Φj chuẩn hóa L2 Thật vậy, với j = ta có: (f − L1 f, L1 f ) = (f, L1 f ) − (L1 f, L1 f ) = f F1 f − = (1 − F1 )F1 |f |2 ≥ 0, F f F1 f 39 F1 thực, không âm, F1 F1 ∞ ≤ ∞ = c21 χT ∗ e−2πλ1 t ≤ c21 χT ∞ e−2πλ1 t ∞ n = c21 (2λ1 )− = 1, n −1 với ý c1 = (2λ1 ) = φ1 Tương tự, j = 2, ta có: (f − L2 f, L2 f ) = (f, L2 f ) − (L2 f, L2 f ) = (f, F −1 F2 Ff ) − (F −1 F2 Ff, F −1 F2 Ff ) = (fˆ, F2 fˆ) − (F2 fˆ, F2 fˆ) = fˆF2 fˆ − F2 fˆF2 fˆ = (1 − F2 )F2 fˆ ≥ 0, F2 thực, không âm, F2 F2 ∞ ≤ bởi: ∞ = c22 λ2−n χΩ ∗ e−π λ2 s ≤ c22 λ−n χΩ = c22 λ−n ∞ ∞ −π λ2 s2 e − n2 λ2 = 1, n c2 = (2λ2 ) = φ2 −1 Từ (2.8), (f − Lj f, Lj f ) ≥ 0, suy f 2 = f − Lj f 2 + Lj f 2 + 2(f − Lj f, Lj f ) 40 2 f − Lj f ≤ f 2 − Lj f 22 (2.9) Từ giả thiết (2.9), ta thu 2 2 f − L1 f f − L2 f ≤ ε2T f 22 , 2 ≤ ε2Ω f Xét thành phần L1 L2 , ta có f − L2 L1 f ≤ f − L2 f + L2 f − L2 L1 f ≤ εΩ f + L2 f − L1 f ≤ εΩ f + 1.εT f 2 = (εΩ + εT ) f , Ở đó, Bổ đề 2.1 sử dụng với q = ∞ đánh giá chuẩn toán tử L2 B(L2 ) ≤ Φ2 2 χΩ L1 L2 f = Khi ∞ ≥ f − f − L2 L1 f ≥ f − (εΩ + εT ) f = (1 − εT − εΩ ) f , từ suy với r ∈ [1, ∞) − εΩ − εT ≤ L1 L2 f f 2 ≤ L1 L2 ≤ L1 ≤ χT L2 r χΩ r r 2n/r Φ1 1/r 1/r dt = T ds Ω 2 r Φ2 2 2n/r 41 Ở đó, ta lại áp dụng Bổ đề 2.1 với q = r < +∞ để có chuẩn liên quan tới tập đo T Ω Vì vậy, cuối ta có r |T | |Ω| ≥ sup (1 − εT − εΩ )r (r ) r 2n r∈[1,∞) Ở đây, 1/r + 1/r = Định lý chứng minh Chú ý 2.1 Từ (2.8), ta có số trường hợp đặc biệt sau (1) Khi r → 1+ |T | |Ω| ≥ − εT − εΩ ; (2) Khi r = |T | |Ω| ≥ (1 − εT − εΩ )2 4n ; (3) Có thể chứng minh rằng, với giá trị cố định tham số − εT − εΩ ∈ [0, 1), cận lấy r ∈ [1, ∞) vế phải (2.8) đạt Giá trị cực đại không biểu diễn dạng r hàm f (r) = (1 − εT − εΩ )r (r ) r 2n mang lại xấp xỉ phụ thuộc vào (1 − εT − εΩ ), điều cải thiện ước lượng (1) (2) (4) Trong trường hợp bất đẳng thức (2.7) chặt, phép chứng minh tương tự cho đánh giá (2.8) chặt Hệ 2.1 Cho T, Ω, L1 , L2 Định lí 2.2 giả sử tồn f ∈ L2 (Rn ) cho L1 f 2 = f 2 L2 f 2 = f 22 Khi |T | |Ω| ≥ e2n Chứng minh Chú ý với εT = εΩ = 0, giả thiết Định lí 2.2 trở thành L1 f = L2 f L1 = f B(L2 ) từ Bổ đề 2.1 ta có = L2 B(L2 ) = 42 Khi đó, khẳng định Hệ chứng minh cách lấy εT = εΩ = Định lí 2.2 ý sup r∈[1,∞) r−1 r r−1 r r−1 = lim r→+∞ r−1 = e Hệ chứng minh Với dạng ảnh phổ Spψ (f, g)(x, ω) = Vψ f (x, ω)Vψ g(x, ω) định (1) nghĩa Chương 1, ký hiệu Spψ (f, g)(x) = (2) Spψ (f, g)(ω) = Rn Rn Spψ (f, g)(x, ω)dω Spψ (f, g)(x, ω)dx phân bố biên Spψ (f, g)(x, ω) Khi đó, có nguyên lý không chắn liên quan tới phân phối biên sau: Hệ 2.2 Giả sử hàm f, g L2 (Rn ) có f T Ω (1) − ε2T ; (2) − ε2Ω SpΦ1 (f, g)(x)dx ≥ SpΦ2 (f, g)(ω)dω ≥ Khi r |T | |Ω| ≥ sup (1 − εT − εΩ ) r∈[1,∞) r r−1 = g = 2n(r−1) Chứng minh Sử dụng mối quan hệ toán tử địa phương ảnh phổ (Laψ f, g)L2 (Rn ) = (a, Spψ (g, f ))L2 (R2n ) , ta viết lại giả thiết L1 f 2 ≥ (1 − ε2T ) f 2 Định lí 2.2 sau − ε2T ≤ sup |(L1 f, g)| g =1 = sup |(χT , SpΦ1 (g, f ))| g =1 SpΦ1 (g, f )dxdω = sup g =1 T ×Rn (1) = sup g =1 T SpΦ1 (f, g)dx (2.10) 43 Tương tự với giả thiết L2 f 2 ≥ (1 − ε2Ω ) f 22 , ta có (2) − ε2Ω ≤ sup g =1 Ω SpΦ2 (f, g)dω (2.11) Từ (2.10) (2.11), ta có điều phải chứng minh 2.2 So sánh với nguyên lý không chắn Donoho-Stark Mệnh đề 2.1 Cho f ∈ L2 (Rn ), T, Ω ⊂ Rn , εΩ , εT > thỏa mãn giả thiết Định lí Donoho-Stark Khi r |T | |Ω| ≥ sup (1 − εT − εΩ ) r∈[1,∞) r r−1 2n(r−1) (2.12) Đặc biệt |T | |Ω| ≥ (1 − εT − εΩ )2 4n (2.13) Chứng minh Ký hiệu P f = χT f Qf = F −1 χΩ Ff , giả thiết nguyên lý không chắn Donoho-Stark viết lại sau Pf 2 ≥ (1 − ε2T ) f 22 , Qf 2 ≥ (1 − ε2Ω ) f 22 Từ điều kiện εT + εΩ < ta chọn νT > εT , νΩ > εΩ , thỏa mãn νT + νΩ < Với νT , νΩ bất đẳng thức chặt xảy Pf 2 > (1 − νT2 ) f 22 , Qf 2 > (1 − νΩ2 ) f 22 (2.14) Ta xét toán tử L1 , L2 định nghĩa (2.4) (2.5) tương ứng Nhắc lại Lj = W Fj , j = 1, toán tử Weyl với biểu trưng F1 = c21 (χT ∗ 2 −π λ (·) )(ω) Đặt ϕλ (x) = λn/2 e−πλx , e−π2λ1 (·) )(x) F2 = c22 λ−n (χΩ ∗ e ta có F1 = χT ∗ ϕ2λ1 F2 = χΩ ∗ ϕ λ2 Chú ý ϕ2λ1 2 = ϕ λ2 =1 ϕ2λ1 → δ với λ1 → +∞, ϕ λ2 → δ với λ2 → 0+ S (Rn ), ϕ2λ1 λ1 ∈R ϕ λ2 λ2 ∈R xấp xỉ đơn vị 44 Ta chứng minh rằng, với hàm f quy phù hợp (a) (χT ∗ϕ2λ1 )f −χT f → 0, nghĩa L1 f → P f ∈ L2 (Rn ) λ1 → +∞ (b) F −1 [(χΩ ∗ ϕ λ2 )fˆ] − F −1 [χΩ fˆ] → 0, nghĩa L2 f → Qf ∈ L2 (Rn ) + λ2 → Ta xét (a): (χT ∗ ϕ2λ1 )f − χT f = (χT ∗ ϕ2λ1 − χT )f ≤ χT ∗ ϕ2λ1 − χT f 2p 2p với p ∈ [1, ∞] Từ tính chất xấp xỉ đơn vị, chuẩn dòng cuối dần tới λ1 → ∞, p < ∞ số hạng thứ hai số f ∈ L2p (Rn ) Do (a) với f mà tồn p > cho f ∈ L2p (Rn ) Đặc biệt, điều cho tất hàm S(Rn ) Tương tự chứng minh (b) Cụ thể F −1 [(χΩ ∗ ϕ2/λ2 )fˆ] − F −1 [χΩ fˆ] = ((χΩ ∗ ϕ2/λ2 ) − χΩ )fˆ ≤ χΩ ∗ ϕ2/λ2 − χΩ 2p fˆ 2p với p < ∞ chuẩn dòng cuối dần tới λ2 → 0+ , chuẩn thứ hai số f ∈ S(Rn ) Giả sử f ∈ L2 (Rn ) thỏa mãn giả thiết Donoho-Stark lấy dãy fn ∈ S(Rn ) cho fn → f L2 (Rn ) Khi P fn → P f L2 (Rn ) P fn fn → Pf f Từ bất đẳng thức thứ (2.14), có (1 − νT2 )1/2 < Pf f tồn n1 cho ∀n > n1 ta có (1 − νT2 )1/2 < Mặt khác, Qfn → Qf L2 (Rn ) P fn fn Qfn fn → (2.15) Qf f Tương tự, từ bất đẳng thức thứ hai (2.14), có (1 − νΩ2 )1/2 < Qf f , 45 suy tồn n2 cho ∀n > n2 (1 − νΩ2 )1/2 < Với n > max n1 , n2 Qfn fn (2.16) (2.15) (2.16) xảy ra, tức giả thiết Donoho-Stark với fn Vì fn ∈ S(Rn ) nên suy L1 fn → P fn λ1 → +∞ L2 fn → Qfn λ2 → 0+ L2 (Rn ) Khi đó, với λ1 đủ lớn λ2 đủ nhỏ, từ (2.15) (2.16) ta có (1 − νT2 )1/2 < L1 fn L2 fn , (1 − νΩ2 )1/2 < , fn fn nghĩa fn thỏa mãn giả thiết Định lí 2.2 kết luận (2.7) với νT , νΩ thay cho εT , εΩ tương ứng, nghĩa r |T | |Ω| ≥ sup (1 − νT − νΩ ) r∈[1,∞) r r−1 2n(r−1) (2.17) Cuối suy kết luận Mệnh đề cách lấy cận trên tất νT > εT νΩ > εΩ 2.3 Nguyên lý không chắn Donoho-Stark nguyên lý không chắn địa phương Nguyên lý không chắn Donoho-Stark phát biểu có hạn chế lên dáng điệu hàm biến đổi Fourier nó, theo quan điểm địa phương Cũng có kết khác theo hướng trình bày, kết nguyên lý không chắn Price Trong mục này, trình bày số khảo sát liên hệ hai nguyên lý không chắn Trước hết, nhắc lại nguyên lý không chắn Price 46 Định lý 2.3 (Price) Cho tập đo Ω ⊂ Rn α > n Khi ∀f ∈ L2 (Rn ) ta có fˆ(ω) dω < K1 |Ω| f 2−n/α n/α , |t|α f (2.18) Ω K1 số phụ thuộc n α, cho K1 = K1 (n, α) −1 n π n/2 Γ = α n n Γ 1− Γ 2α 2α 2α −1 n n 2α n 1− 2α −1 (2.19) Γ hàm Gamma định nghĩa +∞ tx−1 e−t dt Γ(x) = Hơn nữa, K1 số tối ưu, dấu đẳng thức (2.18) không đạt Trước hết, ta thấy Định lí 2.3, chứng minh không gian L2 mở rộng dễ dàng sang không gian Lq , q ∈ (1, ∞] α > n q Thật vậy, ∀f ∈ Lq (Rn ), ta có fˆ ∞ ≤K f |t|α f 1−n/αq n/αq q , (2.20) n n 2π n/2 B , − K= Γ(n/2) αq αq q − αq q−1 q αq −1 n n/qq α n 1− αq −1/q (2.21) B(·, ·) hàm Beta, cho B(x, y) = x−1 (1 t − t)y−1 dt Khi đó, phép chứng minh tương tự Định lý 2.3 ta kết sau Định lý 2.4 Cho tập đo Ω ⊂ Rn , q ∈ (1, ∞] α > n/q Khi với f ∈ Lq (Rn ) ta có fˆ(ω) dω ≤ K(n, α, q) |Ω| f Ω 2−2n/αq q |t|α f 2n/αq q , (2.22) 47 K(n, α, q) = K , K cho (2.21) Chứng minh Ta cần chứng minh định lý vế phải (2.22) hữu hạn, trường hợp có f ∈ L1 (Rn ), fˆ hàm liên tục bị chặn, ta có fˆ(ω) dω ≤ |Ω| fˆ ∞, Ω kết luận định lý hệ (2.19) Định lý 2.5 Cho hai tập đo Ω, T ⊂ Rn , qj ∈ (1, ∞], αj > n/qj , j = 1, f ∈ L1 (Rn ), cho fˆ ∈ L1 (Rn ), f = Giả sử f εT − tập trung T fˆ εΩ − tập trung Ω, với ≤ εT , εΩ ≤ εT + εΩ ≤ Khi |T | |Ω| ≥ Cf (1 − εT − εΩ )2 , (2.23) Cf cận theo t, ω ∈ Rn , qj ∈ (1, ∞] αj > n/qj , j = 1, bất đẳng thức f K(n, α1 , q1 )K(n, α2 , q2 ) f 2 q2 fˆ fˆ 2n/(α1 q1 ) q1 q1 2n/(α2 q2 ) q2 α2 2n/(α q ) f q2 2 f t−t |ω − ω|α1 fˆ 2n/(α1 q1 ) q1 K(n, αj , qj ), j = 1, bất đẳng thức (2.22) Chứng minh Chúng ta tập trung vào hàm f mà Cf > Các giả thiết f, fˆ ∈ L1 (Rn ) suy f, fˆ ∈ L∞ (Rn ) f, fˆ ∈ Lq (Rn ), ∀q ∈ [1, ∞] Bây giờ, viết lại (2.22) với phép tịnh tiến t f ta vế trái không thay đổi phép tịnh tiến quay biến đổi Fourier biến điệu Hơn nữa, vế phải ta có số hạng bị ảnh hưởng phép tịnh tiến chuẩn cuối cùng, ta nhận đánh giá fˆ(ω) dω ≤ K(n, α, q) |Ω| f Ω 2−2n/αq q α t−t f 2n/αq q (2.24) , 48 Đổi vai trò f fˆ (2.24), ta |f (t)|2 dt ≤ K(n, α, q) |T | fˆ 2−2n/αq q |ω − ω|α fˆ 2n/αq q (2.25) T Để ý rằng, từ định nghĩa εT − tập trung f T , ta có |f (t)|2 dt = f 2 − Rn \T T |f (t)|2 dt ≥ (1 − ε2T ) f 22 (2.26) Tương tự, giả thiết fˆ εΩ − tập trung Ω viết |f (ω)|2 dω ≥ (1 − ε2Ω ) f 22 (2.27) Ω Kết hợp (2.26) (2.25) (với α1 q1 thay cho α q tương ứng) (2.27) (2.24) (với α2 q2 thay cho α q tương ứng), ta |T | ≥ (1 − ε2T ) |Ω| ≥ (1 − 2n/(α q ) f 22 fˆ q1 1 K(n, α1 , q1 ) fˆ 2q1 |ω − ω|α1 fˆ ε2Ω ) f K(n, α2 , q2 ) f 2 f q2 2n/(α2 q2 ) q2 α2 t−t f , (2.28) (2.29) 2n/(α1 q1 ) q1 2n/(α2 q2 ) q2 Nhân (2.28) với (2.29) ta bất đẳng thức |T | |Ω| ≥ (1 − ε2T )(1 − ε2Ω ) f K(n, α2 , q2 )K(n, α2 , q2 ) f 2 q2 fˆ fˆ 2n/(α1 q1 ) q1 q1 2n/(α2 q2 ) q2 α2 2n/(α q ) f q2 2 f t−t 2n/(α q ) |ω − ω|α1 fˆ q1 1 (2.30) Vì ≤ εT , εΩ ≤ εT + εΩ ≤ 1, có (1 − ε2T )(1 − ε2Ω ) ≥ (1 − εT − εΩ )2 Từ đó, cách lấy supremum theo t, ω ∈ Rn , qj ∈ (1, ∞] αj > n/qj , j = 1, vế phải bất đẳng thức (2.30), ta có điều phải chứng minh 49 Định lý 2.6 Cho f ∈ L2 (Rn ), α > n |suppf | |ω − ω|α fˆ t, ω ∈ Rn Ta có n/α > f K n/α , (2.31) n/α > f K n/α , (2.32) suppfˆ α t−t f K = K(n, α, 2) Chứng minh Ta cần chứng minh hàm f mà f fˆ có giá compact với độ đo hữu hạn Giả sử |suppf | hữu hạn Nhờ (2.25) với q = T = suppf , ta f 2 |f (t)|2 dt < K |suppf | f = 2−n/α |ω − ω|α fˆ n/α suppf Đây (2.31) Bất đẳng thức (2.32) chứng minh tương tự dùng (2.24) với Ω = suppfˆ q = Kết luận Qua thời gian học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường, luận văn hoàn thành đạt nội dung sau: Trình bày có hệ thống kiến thức chuẩn bị cho luận văn như: Lý thuyết hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier Một số không gian quan trọng: Không gian hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, phép biến đổi Weyl, toán tử địa phương hóa, nguyên lý không chắn giải tích thời gian - tần số Những nội dung trích dẫn từ tài liệu tham khảo số [1], [3], [4] [5] Trình bày tổng quan mở rộng nguyên lý không chắn Donoho-Stark lớp toán tử địa phương hóa dựa tài liệu tham khảo số [2] Với khả thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 50 Tài liệu tham khảo [1] K Grochening (2001), Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhauser, Boston [2] P Boggiatto, E Carypis, A Oliaro (2016), "Two aspects of the Donoho–Stark uncertainty principle", Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 434, pp 1489–1503 [3] Hans G Feichtinger, Thomas Strohmer (2003) Advances in Gabor Analysis, Springer Science + Business Media, LLC [4] L.Cohen (1995) "Time-Frequency Analysis", Prentice Hall Signal, Proc.series, New Jersey [5] M.W Wong (1998), Weyl Transforms, Springer-Verlag New York, Inc 51 [...]... lựa chọn đề tài: "Nguyên lý không chắc chắn Donoho- Stark đối với một số biểu diễn thời gian - tần số" để bước đầu thực hành nghiên cứu khoa học và làm luận văn tốt nghiệp 2 Mục đích nghiên cứu + Hệ thống hóa được những kiến thức cơ bản của giải tích thời gian - tần số + Trình bày các kết quả nghiên cứu gần đây về mở rộng nguyên lý không chắc chắn Donoho- Stark 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Làm một báo cáo tổng... nghiên cứu Báo cáo có thể là một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết biểu diễn thời gian - tần số, về mở rộng nguyên lý không chắc chắn Donoho- Stark 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Biểu diễn thời gian - tần số, nguyên lý không chắc chắn + Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến các đối tượng nghiên cứu 3 5 Phương... Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Nguyên lý không chắc chắn là một bất đẳng thức diễn tả sự hạn chế về việc "tập trung" đồng thời của hàm và biến đổi Fourier của nó Nói rõ hơn, là sự hạn chế về sự tập trung một biểu diễn thời gian - tần số đối với bất kỳ một tín hiệu nào Donoho và Stark đã đưa ra khái niệm ε− tập trung xác định bởi: Cho trước ε ≥ 0, một hàm f ∈ L2 (Rn ) được gọi là ε− tập trung trên một tập... các nguyên lý không chắc chắn là các bất đẳng thức liên quan đến cả f và fˆ Có rất nhiều nguyên lý không chắc chắn, chúng ta bắt đầu với nguyên lý không chắc chắn cổ điển với số chiều n = 1 mà thường gọi là bất đẳng thức Heisenberg-Pauli-Weyl Bổ đề 1.5 Cho A, B là hai toán tử tự liên hợp (có thể không bị chặn) trên không gian Hilbert H Khi đó: (A − a)f (B − b)f ≥ 1 2 [A, B]f, f với mọi a, b ∈ R và với. .. cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề + Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới 6 Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương, cụ thể gồm các chương như sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nguyên lý không chắc chắn Donoho- Stark đối với một số biểu diễn thời gian - tần số Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một. .. mật trong không gian S(Rn ) Định lý 1.9 Không gian S(Rn ) là đầy đủ 9 1.1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) Định nghĩa 1.9 Cho hàm suy rộng f ∈ D (Rn ) Hàm suy rộng f được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m và một số dương C sao cho: | f, ϕ | ≤ C sup { 1 + |x|2 m x∈Rn |Dα ϕ(x)|}, với mọi ϕ ∈ D(Rn ) |α|≤m Không gian các hàm suy rộng tăng chậm là không gian véctơ... tăng chậm thì với mọi đa chỉ số α ta có: (Dα u)∧ = xα uˆ, với xα uˆ là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi: (xα uˆ)(ϕ) = uˆ(xα ϕ), ϕ ∈ S(Rn ) Định lý 1.16 Với mọi u ∈ S (Rn ), α ∈ Nn và ϕ ∈ S(Rn ), chúng ta có: 1 F(xα u) = (−Dξ )α Fu n 2 F(ϕ ∗ u) = (2π) 2 (Fu)(Fϕ) −n 3 F(ϕu) = (2π) 2 (Fu) ∗ (Fϕ) (1.16) (1.17) (1.18) 17 1.3 1.3.1 Biểu diễn thời gian - tần số Nguyên lý không chắc chắn Trong toán... chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian Lp , các bất đẳng thức trong không gian Lp , công thức tích chập Định nghĩa 1.1 Cho không gian E và một độ đo µ trên một σ− đại số F các tập con của E Họ tất cả các hàm f có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < ∞) của modun khả tích trên E, có nghĩa là: |f |p dµ < ∞, E được gọi là không gian Lp (E, µ) Khi p = ∞, kí hiệu L∞ (E, µ) là không gian các hàm bị chặn cốt... 2 Với khái niệm này, thì nguyên lý không chắc chắn Donoho- Stark được biết đến là bất đẳng thức cho bởi định lý sau Định lý 0.1 (Donoho- Stark) Giả sử rằng f ∈ L2 (Rn ), f = 0 là εT − tập trung trên T ⊂ Rn và fˆ là εΩ − tập trung trên Ω ⊂ Rn với T, Ω là đo được trên trong Rn , và εT , εΩ ≥ 0, εT + εΩ < 1 Khi đó |T ||Ω| ≥ (1 − εT − εΩ )2 (1) Trong bài báo [2], các tác giả đã mở rộng sự ảnh hưởng của nguyên. .. , chúng ta thu hẹp f trên một đoạn và sau đó lấy biến đổi Fourier của thu hẹp này, ta được một biểu diễn thời gian - tần số gọi là biến đổi Fourier thời gian ngắn 21 Định nghĩa 1.18 Ta gọi hàm ϕ ∈ L2 (R) triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn là hàm cửa sổ Giả sử ϕ là một hàm cửa sổ nhận giá trị thực và f là một dấu hiệu Khi đó tích fb (x) = f (x)ϕ(x − b) chứa đựng những thông tin về f (x) gần x =