Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong Lp của ảnh phổ tổng quát

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng, ngưòi thay hưóng dan truyen đat cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc v nghiờn cỳu khoa hoc Thay luụn đng viên khích l¾ đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn q trình nghiên cúu viet lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Tốn q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình Cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin trân cám ơn Só Giáo duc Đào tao tính n Bái, trưòng Cao Sư pham n Bái, khoa Tn Nhiên Tác giá xin đưoc cám ơn gia đình, ban bè đong nghi¾p tao moi đieu ki¾n cho giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thành tot lu¾n văn tot nghiắp cna mỡnh H Nđi, ngy 30 thỏng 11 nm 2011 Tác giá Pham Th% Hang Thu LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng Trong q trình nghiên cúu, ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 30 tháng 11 năm 2011 Tác giá Pham Th% Hang Thu Mnc lnc Báng kí hi¾u viet tat v Má đau ix Kien thNc chuan b% 1.1 M®t so khơng gian hàm 1.1.1 1.2 Không gian Lp, bat thúc khơng gian Lp, cơng thúc tích ch¾p 1.1.2 Không gian hàm bán 1.1.3 Khơng gian hàm suy r®ng Dr(Ω) 1.1.4 Không gian hàm giám nhanh S (Rn) 1.1.5 Không gian hàm suy rđng tng chắm S r (Rn) 1.1.6 Cỏc toỏn tú bán Bien đoi Fourier 1.2.1 Bien đoi Fourier cna hàm thu®c Lp (Rn) S ( R n) 1.2.2 1.3 Bien đoi Fourier cna hàm suy r®ng 15 Giái tích thòi gian-tan so 16 1.3.1 Giái tích thòi gian-tan so 16 1.3.2 Nguyên lý không chac chan 18 1.3.3 Bien đoi Fourier thòi gian ngan 24 1.3.4 Ánh 30 1.4 1.3.5 M®t so phân bo thòi gian-tan so quan 30 1.3.6 Lóp phân bo Cohen 36 Toán tú giá vi phân .39 1.4.1 M®t so đ%nh nghĩa ví du 39 1.4.2 Tính b% ch¾n cna tốn tú giá vi phân 42 Nguyên lý không chac chan, tính dương b% ch¾n Lp cúa ánh tong quát 2.1 51 Toán tú đ%a phương hoá 51 2.1.1 Toán tú đ%a phương hố vói bieu trưng thu®c S R2n 51 2.1.2 Tốn tú đ%a phương hố vói bieu trưng thu®c Lp R2n., vói p ∈ [1, 2) 53 2.2 2.3 Dang toán tú cna ánh tong quát .55 2.2.1 Ánh tong quát .55 2.2.2 Toán tú cna ánh tong qt 58 Cơng thúc tích ch¾p cna ánh tong qt tính dương cna tốn tú đ%a phương hóa 63 2.4 Ánh tong quát nguyên lý không chac chan 67 2.5 Tính liên tuc khơng liên tuc cna tốn tú đ%a phương hóa 74 Ket lu¾n 82 Tài li¾u tham kháo 84 Báng kí hi¾u viet tat N: N∗ : |α| : T¾p hop so tn nhiên T¾p hop so nguyên dương B¾c cna đa chí so α, n |α| = αi, α = (α1, , αn) ∈ N∗ i=1 R: Rn : C: z, |z| : T¾p hop so thnc Khơng gian Ơclit n chieu T¾p hop so phúc So phúc liên hop, mô đun cna so phúc z Dαf :Đao hàm cap α cna f, Dαf = (−1)|α| ∂ αf ∂αu : Đao hàm riêng cap α cna u, (∂αu)(ϕ) = (−1)|α|u(∂αϕ) C∞ : Không gian hàm vi vô han (Ω) : T¾p hop hàm vi vơ han giá compact C∞ C0(Rn) : Khơng gian hàm liên tuc có giá compact D (Ω) : S (Rn) : Không gian hàm bán Không gian hàm giám nhanh S r (Rn) : Không gian hàm tăng ch¾m T xf : Phép t%nh tien theo x cna hàm f, Txf (t) = f (t − x) Mω f : Sn đieu bien theo ω cna hàm f, Mωf (t) = e2πit·ωf (t) f∗ : Phép đoi hop cna f, f ∗ (x) = f (−x) f˜ : Phép đoi xúng cna f, f (x) = f (−x) f ∗ g : Tích ch¾p cna f g, ¸ f (y)g(y − x)dy (f ∗ g)(x) Rn = fˆ, F (f ) : Bien đoi Fourier cna hàm f F −1 (f ) , fˇ : Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f F, fˆ : Liên hop cna bien đoi Fourier f X α f (x) : Toán tú nhân, X α f (x) = xαf (x) span{A} : Bao tuyen tính cna t¾p A Ap : Hang so Babenko-Beckner, Ap = 1/ 1/2 p p (pr)1/p r Vgf : Bien đoi Fourier thòi gian ngan cna hàm f đoi vói hàm cúa so g, ¸ Vgf (x, ω) = f (t) g (t − x)e−2πit·ωdt Rn F2 : Bien đoi Fourier cna hàm F theo bien thú 2, ¸ F (x, t)e−2πit·ωdt F2F (x, ω) = Rn vii Lp : Khơng gian hàm đo đưoc Lebesgue, có chuan Lp huu han "f"Lp (Ω) p  ¸ |f (x)| dx = p Ω Hs(Rn) : Không gian Sobolev cap s, s Hs(Rn) = {u ∈ Sr(Rn)| (ξ) Fu(ξ) ∈ L2(Rn)} Tσ : Tσϕ(x) Toán tú giá vi phân vói bieu trưng σ, ¸ −n/2 = (2π) eix·ξ σ(x, ξ)ϕˆ(ξ)dξ, ϕ ∈ S(Rn) R n T∗ o : Liên hop hình thúc cna tốn tú Tσ W ig (f ) : Phân bo Wigner cna hàm f W ig (f, g) : Phân bo Wigner chéo cna hàm f g Qσf : Lóp phân bo Cohen R (f ) : Bieu dien Rihaczek cna hàm f R (f, g) : Bieu dien Rihaczek cna hai hàm f , g R∗ (f, g) : Bieu dien Rihaczek liên hop cna hai hàm f , g SP ECg f, Sp gf : Ánh cna hàm f đoi vói hàm cúa so g qφ,ψ (f, g) : Ánh tong quát cna hàm f , g đoi vói hàm cúa so φ, ψ Tσ : Tốn tú giá vi phân vói bieu trưng σ AF : Tốn tú giá vi phân Kohn-Nirenberg vói bieu trưng F WF : Tốn tú Weyl vói bieu trưng F : Tốn tú đ%a phương hố vói bieu trưng F, ¸ F n f (x) = F (z) (f, φz ) ψz (x) dz, f ∈ S(R ) L L φ,ψ L φ,ψ F Rn X[a,b] : ϕa (x) : e− Ta : Hàm đ¾c trưng [a, b] Là hàm Gauss vói ϕa (x) = πx2 a Phép bien đoi toa đ® khơng đoi xúng vói Taf (x, t) = f (t, t − x) Ts : Phép bien đoi toa đ® đoi xúng x + , x t t vói Tsf (x, t) = −2 f f ⊗ g : Tích ten sơ cna hàm f g, (f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t) B(L2(Rn)) : "."∗ : Là C ∗ − đai so cna tat cá nhung toán tú b% ch¾n tù L2(Rn) vào L2(Rn) Chuan B(L (R )) n S hf : (Shf )(x) p 2n L (R ) : (R2n)} ∗ Toán tú Hilbert-Schmidt L2(Rn), ¸ = h(x, y)f (y)dy, x ∈ Rn, f ∈ L2(Rn) Rn vói Lp(R2n) = {σ ∈ Lp (R2n)"σˆ ∈ Lpr ∗ Má đau Lí chon đe tài Phép bieu dien thòi gian-tan so m®t dang tồn phương, úng vói moi tín hi¾u f trờn Rn l mđt hm hoắc mđt phõn bo Qf trờn mắt phang thũi gian-tan so Rn ì Rn Hàm Qf (x, w) bieu dien cho x w phân bo lưong cna tín hi¾u đoi vói bien thòi gian x bien tan so w, đieu nói lên rang tan so w có m¾t tín hi¾u f quanh thòi điem x Trong trưòng hop se sú dung thu¾t ngu khác "phép bieu dien" ho¾c "dang" Hàm Qf thưòng đòi hói phái đưoc thóa mãn vài đieu ki¾n, cu the là:(thố mãn tính dương) Qf “ vói moi x, w; (thố mãn tính khơng tràn) neu supp f ⊆ I vói khống I ⊆ R πx supp f ⊆ I (πx phép chieu trnc giao trờn mắt phang thũi gian-tan so Rn ì Rn ) tương tn supp fˆ ⊂ J kéo theo πw supp Qf ⊂ J ; ¸ x w (thố mãn đieu ki¾n le cúa hàm phân phoi) Qf (x, w)dx = fˆ(w).2 ¸ Qf (x, w)dw = Rn fˆ(x).2 Rn Ý nghĩa cna nhung u cau có the tìm thay cuon "Giái tích thòi gian-tan so" cna L Cohen (xem [10]) Tuy nhiên, theo nguyên lý không chac chan, đieu ki¾n khơng tương thích chúng chí có the đưoc thóa mãn vói m®t đ® gan Vì the nhieu phép bieu dien khác đưoc đ%nh nghĩa lý thuyet giái tích thòi gian-tan so vói sn co gang đe chúng gan tot phép ≤ q ≤ ∞ thóa mãn đieu ki¾n: q∈ tốn tú: φ,ψf 2p 2p , p+1 p− ¸ (t) = LF F (z) (f, φz )L2 ψz (t) dz R2n b% ch¾n, z = (x, ω) ∈ R2n, φz (t) = e2πiωtφ (t − x) Chúng minh Neu vói moi q p˜ thóa mãn đieu ki¾n (2p˜) ánh xa: Vφf Vψg : Lq (Rn) × r Lq (Rn) × r ≤ q ≤ 2p˜ (Rn ) × Lq (Rn) −→ Lp˜ R2n L qr (2.27) (φ, ψ, f, g) ›→ Vφf Vψg cho: b% ch¾n ket q cna Đ%nh lý 2.4.7 trưòng hop = p2 = q, viet p˜ thay cho p đe ti¾n cho vi¾c pr tính tốn dưói Ta có: φ,ψf, g = LF F, Vφf Vψ ; f, g, φ, ψ ∈ S (Rn) (2.28) Áp dung M¾nh đe 2.2.3 Vφf Vψg đóng vai trò cna σ (φ, ψ, g, f ); đóng vai trò cna TF,φ,ψ, E1 = E2 = E4 = (R ) , E = (R ) L φ,ψq n n FL L qr ˜ E = Lp r R2n Khi theo phan cna M¾nh đe 2.2.3 báo đám rang ánh xa: ˜r (F, φ, ψ) ∈ p R2n × Lq (Rn) × Lqr (Rn) ›→ ∈ B (Lq (Rn) , Lq n L LF φ, (R )) ψ liên tuc Trong trưòng hop riêng, viet p thay cho p˜r (đieu có nghĩa p˜ = pr ), có vói moi bieu trưng F ∈ Lp R2n vói moi hàm cúa so φ ∈ Lq (Rn) , ψ ∈ Lqr (Rn) tương úng vói tốn tú đ%a phương hóa LF q φ,ψ b% ch¾n r n r r (R ), vói đieu ki¾n (2p ) ≤ q ≤ 2p , túc là: L 2p p+1 ≤ ≤q 2p p− Đ%nh lý đưoc chúng minh V¾y tốn tú đ%a phương hóa có liên tuc moi trưòng hop khơng? Đe trá lòi đưoc câu hói trưóc het ta chúng minh m¾nh đe dưói M¾nh đe 2.5.2 Co đ%nh q, r, p˜ ∈ [1, ∞] thoá mãn neu q ≥ r ≤ ngưoc lai, neu q ≤ r ≥ Khi vói moi (φ, ψ, f, g) ∈ Lrr (Rn) × Lr (Rn) × Lqr (Rn) × Lq (Rn) có ánh xa: Vφf Vψg : (φ, ψ, f, g) ›→ Vφf Vψg, (2.29) Vφ f Vψ g ∈ Lp˜ R2n , khơng b% ch¾n vói moi r, q, p˜ thóa mãn: 1 + < (2.30) max {r, p˜ max {q, rr } qr } Chúng minh Giá sú co đ%nh moi x ∈ Rn 2 h (x) = e−πx , hλ (x) = e−πλx , cho s, s˜ ∈ [1, ∞] Khi ta có: n n n "Vh hλ"Ls˜ (sr) s2s (λ + 1)s n 1 = n "h"Lsr (λ + − s˜ ) 2sr 2( s nλ 1) "hλ"Ls s˜ s˜ (2.31) (2.32) Bây giò tìm dãy (φλ, ψλ, fλ, gλ) cho: "Vφ fλ Vψ gλ"Lp˜ "φλ"Lrr "ψλλ"Lr "fλ λ"Lqr "gλ"Lq khơng b% ch¾n Đau tiên xét trưòng hop q ≤ (kéo theo r ≥ 2), chon: (φλ, ψλ, fλ, gλ) = (h, hλ, hλ, h) , (2.33) h hλ đưoc xác đ%nh bói (2.32) Vì h hλ nh¾n giá tr% thnc, nên có: Vhλh (x, ω) = e− 2πixω e V hλ (−x, ω) = h −2πix ω Vhhλ (−x, ω) ; M¾t khác e−2πixω = 1, nên ta có: ||Vhhλ (x, ω) Vhλ h (x, ω) ||Lp˜ = ||Vhhλ (x, ω) Vhhλ (−x, ω) ||Lp˜ (2.34) Ta lai có: n Vhhλ (x, ω) = (λ + 1) xω hλ − e2πiλ+1 (x) g λ λ+1 (ω) ; λ+1 the ta có the thay the Vhhλ (−x, ω) (2.34) bói Vhhλ (x, ω), chuan khơng thay đoi Khi ta có: ||VhhλVhλ h||Lp˜ ||h||Lrr ||hλ||Lr ||hλ||Lqr ||h||Lq ||VhhλVhhλ||Lp˜ ||h||Lrr ||hλ||Lr ||hλ||Lqr ||h||Lq ||Vhhλ||L2p˜ ||Vhhλ||L2p˜ =||h|| rr ||h || r ||h || qr ||h|| q λ L λ L L Lnr r 2r nr n2q n (q r ) 2q 2r p (r ) r q (λ + n n 1+ 1 1) = n λ qr − p ) (λ + (2p˜) p (r n 1) = Bieu thúc cuoi tien tói +∞ λ −→ 0+, đieu ta có the suy tù (2.30) Khi ánh xa (2.29) khơng b% ch¾n Trong trưòng hop q ≥ (đieu kéo theo r ≤ 2) ta chúng minh tương tn bang cách chon dãy thóa mãn đieu ki¾n: (φλ, ψλ, fλ, gλ) = (hλ, h, h, hλ) Đ%nh lý đưoc chúng minh Đ%nh lí 2.5.3 (Tính khơng liên tuc cna tốn tú đ%a phương hóa ) Chúng ta xét tốn tú đ%a phương hóa LF 2p φ, ψ cho p, q ∈ [1, ∞] cho: 2p q< ho¾c q p+1 > p− (2.35) Khi ton tai m®t bieu trưng F ∈ Lp R2n hai cúa so φ ∈ Lrr (Rn), ψ ∈ Lr (Rn), vói:  2pr < r= cho neu q  r r (2p ) > LF ∈/ φ, ψ neu q 2p , p+ 2p (2.36) p− B (Lq (R )) , (2.37) n ta có the viet B (Lq (Rn)) thay cho B (Lq (Rn) , Lq (Rn)) Chúng minh Đau tiên sú dung ket tong quát cna M¾nh đe 2.4.7 giong phan chúng minh cna Đ%nh lý 2.5.1: so sánh giua (2.28) (2.16) chúng tó rang đưoc sú dung ket q cna M¾nh đe 2.4.7 trưòng hop đ¾c bi¾t: o (φ, ψ, g, f ) = Vφf Vψg TF,φ,ψ φ,= LF ψ Khi ket q khơng dương cna M¾nh đe 2.5.2, vói phan p˜ cna M¾nh đe 2.4.7, đưoc áp dung vói E φ,ψ = L r (R12n), E = E = ánh xa: Lq (Rn ), E3 = Lr(Rn), E4 = Lrr (Rn), đám báo rang (F, φ, ψ) ∈ p n ˜ (R ) r L × Lr (Rn) × Lrr (Rn) −→ LF ∈ B(Lq (Rn)) φ, ψ khơng liên tuc vói moi p˜, q r thoá mãn: + max {r, rr } 1 < , max {q, q r } p˜ r q giá sú thoá mãn giá thiet cna M¾nh đe 2.5.2 Chúng ta viet p đơn gián thay cho p˜r (đieu kéo theo p˜ = pr ) co đ%nh r cho: max {r, rr} = 2pr (2.38) (chú ý rang (2.38) tương đương vói (2.36) giá thiet cna M¾nh đe 2.5.2; có ánh xa: (F, φ, ψ) ∈ Lp(Rn) × Lrr (Rn) × Lr(Rn) ›→ ∈ B(Lq (Rn)) φ, LF ψ (2.39) khơng liên tuc vói moi p q thoá mãn: 1 < max {q, qr} pr Chú ý rang đieu ki¾n cuoi tương đương vói (2.35), the có ánh xa (2.39) khơng liên tuc vói moi p q thố mãn (2.35) Bây giò ta muon chúng minh rang (2.39) th¾m chí khơng xác đ%nh hau khap nơi, nghĩa ton tai m®t bieu trưng F hai hàm cúa so φ ψ không gian tương úng cho toán tú đ%a phương hoá ) Trong chúng minh đn đe ket L φ,ψ khơng b% ch¾n (R n F q L lu¾n rang đo th% cna ánh xa (2.39) đóng đám báo rang theo Đ%nh lý Đo th% đóng, ánh xa lên khơng xác đ%nh hau khap nơi Chúng ta lay dãy: (Fj, φj, ψj ) ›→ (F, φ, ψ) Lp(Rn) × r Lr (Rn) × Lr(Rn) cho toán tú đ%a phương hoá tương úng là: F Lφj,ψj B(L ›→ A q (R )); n (2.40) j Chúng ta phái chúng minh rang: F A = φ,ψ L Chúng ta se chúng tó rang vói moi u, v ∈ S(Rn) ta có: (Au, v) = Lφ,F u, v (2.41) (2.42) ψ Bây giò, tù (2.40) nh¾n đưoc: ›→ (Au, v) F Lφj,ψj u, v j (2.43) M¾t khác tù tính liên tuc cna (2.27) trưòng hop q = rr p˜ = pr , đám báo rang: Vφj vVψj u ›→ VφvVψu pr L R2n , (2.44) r thố mãn (2.38); đó, tù (2.27), (2.44) tù Fj ›→ F Lp R2n nh¾n đưoc: F u, v F j ,Vφj vVψj Lφj,ψj F, ›→ VφvVψ L = j = F u, (2.45) φ, ψ v Bây giò, so sánh (2.43) vói (2.45) l¾p túc nh¾n đưoc (2.42) Khi (2.41) h¾ q cna (2.42) v l mắt đ tiờu chuan mau Vắy: Tự ket chúng minh cna Đ%nh lý 2.5.1 Đ%nh lý 2.5.3 2n p vói bieu trưng F ∈ L R vói vi¾c lna chon hàm cúa so khơng gian Lr (Rn) thích hop ta có toán tú đ%a phương hoá: Lφ,ψ F : Lq (R ) ›→ n Liên tuc chí khi: L q (R ) , p ≥ n 2p q∈ , p + p−1 2p Khơng liên tuc chí khi: 2p ho¾c q q< p+1 > 2p p−1 Ket lu¾n chương N®i dung cna chương trình bày đưoc nhung van đe sau: • Đ%nh nghĩa loai tốn tú: đ%a phương hoá, toán tú Weyl, toán tú giá vi phân Kohn-Nirenberg ; moi quan h¾ cna tốn tú đ%a phương hốn vói tốn tú Weyl; moi quan h¾ cna tốn tú vói phép bieu dien tương úng: ánh tong quát, phép bieu dien Rihaczek phép bieu dien Wigne • Đưa đ%nh nghĩa ánh tong quát chúng minh đưoc ánh tong qt tương úng vói tốn tú đ%a phương hố Tiep theo chúng minh rang, tương tn đoi vói ánh pho, ánh tong qt tích ch¾p cna bieu dien Wigner lóp ánh tong qt m®t lóp cna lóp Cohen, chúng minh đưoc rang phép bieu dien Rihaczek có the van đưoc xem m®t ánh tong qt vói hàm cúa so phù hop, Wigner khơng thuđc lúp ỏnh tong quỏt ó mú rđng sn đánh giá cna Lieb vói ánh tong quát chúng minh đưoc sn mó r®ng tn nhiên cna nguyên lý không chac chan Lieb cho ánh tong qt khơng gian Lp • Chúng minh đưoc rang tốn tú đ%a phương hóa LFφ, dương neu chí neu φ = Cψ • ψ Cuoi cùng, xét tính b% ch¾n cna tốn tú đ%a phương hóa bang vi¾c sú dung ánh tong quát tương úng, đong thòi chí tính khơng b% ch¾n cna tốn tú đ%a phương hóa m®t so trưòng hop đoi vúi p Ket luắn Nđi dung chớnh cna luắn văn trình bày tong quan ket q ve: • M®t so khơng gian hàm, bien đoi Fourier khơng gian hàm • Giái tích thòi gian-tan so bieu dien thòi gian-tan so • Đ%nh nghĩa loai toán tú: đ%a phương hoá, toán tú Weyl, toán tú giá vi phân Kohn-Nirenberg ; moi quan h¾ cna tốn tú đ%a phương hốn vói tốn tú Weyl; moi quan h¾ cna tốn tú vói phép bieu dien tương úng: ánh tong quát, phép bieu dien Rihaczek phép bieu dien Wigner • Đưa đ%nh nghĩa ánh tong quát chúng minh đưoc ánh tong qt tương úng vói tốn tú đ%a phương hoá Tiep theo chúng minh rang, tương tn đoi vói ánh pho, ánh tong quát tích ch¾p cna bieu dien Wigner lóp ánh tong qt m®t lóp cna lóp Cohen, chúng minh đưoc rang phép bieu dien Rihaczek có the van đưoc xem m®t ánh tong quát vói hàm cúa so phù hop, Wigner khụng thuđc lúp ỏnh tong quỏt ó mó r®ng sn đánh giá cna Lieb vói ánh tong qt chúng minh đưoc sn mó r®ng tn nhiên cna nguyên lý không chac chan Lieb cho ánh tong qt khơng gian Lp • Chúng minh đưoc rang tốn tú đ%a phương hóa LFφ, dương neu chí neu φ = Cψ • ψ Cuoi cùng, xét tính b% ch¾n cna tốn tú đ%a phương hóa bang vi¾c sú dung ánh tong qt tương úng, đong thòi chí tính khơng b% ch¾n cna tốn tú đ%a phương hóa m®t so trưòng hop đoi vói p Vói lnc han che thòi gian có han, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Kính mong q thay ban hoc góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Minh Chương (chn biên), Hà Tien Ngoan,Nguyen Minh Trí, Lê Quang Trung(2002), Phương trình đao hàm riêng, NXB Giáo duc, Hà N®i [2] Nguyen Manh Hùng(2006), Phương trình đao hàm riêng, Phan 2, NXB Đai hoc Sư pham, Hà N®i [3] Nguyen H®i Nghĩa(2004), Hàm suy r®ng, NXB Đai hoc quoc gia, Thành Ho Chí Minh [4] Hồng Tuy(2005), Hàm thnc giái tích hàm, NXB Đai hoc Quoc gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [5] Alip Mohammed, M W Wong(2007), "Rihaczek Transform and Pseudo-Differential Operators", Toronto, Canada [6] A Oliaro, M W Wong, P Boggiatto(2006), "Boundedness and Compactness of Localization Operator", J Math Anal Appl 322 pp 193–206 [7] A Oliaro, M W Wong, P Boggiatto(2007), "Uncertainty principle, positivity and Lp-boundedness for generalized spectrograms" Preprint, Dipartimento di Matematica di Torino, Italy [8] P Boggiatto, A Oliaro M W Wong(2006), "Lp boundedness and compactness of localization operators", Elsevier, journal of Mathematical Analysis and application, Canada [9] K Grochenig(2001), Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhauser, Boston [10] L Cohen(1995), Time-Frequency Analysis, Prentice Hall Signal Proc Series, New Jersey [11] M W Wong(2002), Wavelet Transforms and Localization Operators, Birkhauser-Verlag, Basel [12] M.W Wong(1999), An troduction to Pseudo-differential Operators, second editon, World Scientific, Singapore ... 1.4.1 M®t so đ%nh nghĩa ví du 39 1.4.2 Tính b% ch¾n cna tốn tú giá vi phân 42 Nguyên lý khơng chac chan, tính dương b% ch¾n Lp cúa ánh tong quát 2.1 51 Toán tú đ%a phương hoá 51... Dang tốn tú cna ánh tong quát Nguyên lý không chac chan cna ánh tong qt Xét tính dương cna tốn tú đ%a phương hố bang vi¾c sú dung ánh tong qt tương úng Tốn tú đ%a phương hóa Tính liên tuc khơng liên... đưoc ket ve tính b% chắn, tớnh compact cna mđt so lúp toỏn tỳ giá vi phân Lp Trong lu¾n văn này, tơi se t¾p trung chn yeu vào vi¾c nghiên cúu ket q đưoc cơng bo tài li¾u nêu Có the khái quát sơ lưoc