Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong Lp của ảnh phổ tổng quát

Trong các bài báo [6], [7], các tác giá đã nghiên cúu và công bonhung ket quá ve tính dương, tính b% ch¾n và tính compact cna m®t solóp bieu dien thòi gian tan so.. Đong thòi liên h¾ vói

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2 dưói sn hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng,ngưòi thay đã hưóng dan và truyen đat cho tác giá nhung kinh nghi¾mquý báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc Thay luôn đ®ng viên vàkhích l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăntrong quá trình nghiên cúu và viet lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng biet

ơn, lòng kính trong sâu sac nhat đoi vói thay

Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Toán và các quý thay cô đãtao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trìnhCao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p

Tác giá xin trân trong cám ơn Só Giáo duc và Đào tao tính Yên Bái,trưòng Cao đang Sư pham Yên Bái, khoa Tn Nhiên Tác giá cũng xinđưoc cám ơn gia đình, ban bè và đong nghi¾p đã tao moi đieu ki¾n chogiúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p và hoàn thành tot lu¾n văn tot nghi¾pcna mình

Hà N®i, ngày 30 tháng 11 năm 2011

Tác giá Pham Th% Hang Thu

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn này là công trình nghiên cúu cna riêngtôi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng

Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cnacác nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, ngày 30 tháng 11 năm 2011

Tác giáPham Th% Hang Thu

Mnc lnc

Báng kí hi¾u v à viet tat v

Má

1

Kien th Nc c huan b% 1

1.1

M®t so không gi an hàm 1

1.1.1 Không gian L p , các bat đang thúc trong không gian L p , công thúc tích ch¾p 1

1.1.2 Không gian hàm cơ bán 2

1.1.3 Không gian hàm suy r®ng D r (Ω) 3

1.1.4 Không gian các hàm giám nhanh ( R S n ) 6

1.1.5 Không gian các hàm s uy r®ng tăng ch¾m S r ( R n ) 7

1.1.6 Các toán tú cơ bán 9

1.2 Bien đoi F ourier 9

1.2.1 Bien đoi F ourier cna các hàm th u®c L p ( R n ) v à S ( R n ) 9

1.2.2 Bien đoi Fourier cna hàm suy r®ng 15

1.3 Giái tích thòi gian-tan so 16

1.3.1 Giái tích thòi gian-tan so 16

1.3.2 Nguyên lý không c hac c han 18

1.3.3 Bien đoi Fourier thòi gian n g an 24

1.3.4 Ánh pho 30

1.3.5 M®t so phân b o thòi gian-tan so quan trong 30

1.3.6 Lóp phân b o C o h e n 36 1.4 T oán tú giá vi phân 39

1.4.1 M®t so đ%nh nghĩa và ví du 39

1.4.2 Tính b% ch¾n cna toán tú giá vi phân 42

2 Nguyên lý không c hac c han, tính d ương và b% ch¾n trong L p cúa ánh pho tong quát 51 2.1 Toán tú đ%a phương hoá 51

2.1.1 T oán tú đ%a phương hoá vói bieu trưng th u®c S R 2 n .

51 2.1.2 Toán tú đ%a phư ơng hoá v ói bieu trưng th u®c L p R 2 , n v ói p ∈ [1 , 2) 53

2.2 Dang v à toán tú cna ánh pho tong quát 55

2.2.1 Ánh pho tong quát 55

2.2.2 T oán tú cna ánh pho tong quát 58

2.3 Công thúc tích ch¾p cna ánh pho tong quát v à tính dương cna toán tú đ%a phương hóa 63

2.4 Ánh pho tong quát và nguyên lý không c hac c han 67 2.5 Tính liên tuc và không liên tuc cna toán tú đ%a phư ơ n g h ó a 74

Ket

T

Báng kí hi¾u và viet tat

∂ α f

∂ α u : Đao hàm riêng cap α cna u,

(∂ α u)(ϕ) = (−1) |α| u(∂ α ϕ).

C ∞ : Không gian các hàm khá vi vô han

0 (Ω) : T¾p hop các hàm khá vi vô han giá compact

C0(Rn) : Không gian các hàm liên tuc có giá compact

D (Ω) : Không gian các hàm cơ bán.

S (R n) : Không gian các hàm giám nhanh

C ∞

S r (Rn) : Không gian các hàm tăng ch¾m.

T x f : Phép t%nh tien theo x cna hàm

fˆ, F (f ) : Bien đoi Fourier cna hàm f

F −1 (f ) , fˇ : Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f

F, fˆ : Liên hop cna bien đoi Fourier f

L p : Không gian các hàm đo đưoc Lebesgue,

có chuan L p huu han

H s(Rn) : Không gian Sobolev cap s,

o : Liên hop hình thúc cna toán tú T σ

W ig (f ) : Phân bo Wigner cna hàm f

W ig (f, g) : Phân bo Wigner chéo cna hàm f và g.

Q σ f : Lóp phân bo Cohen

R (f ) : Bieu dien Rihaczek cna hàm f

R (f, g) : Bieu dien Rihaczek cna hai hàm f , g.

R ∗ (f, g) : Bieu dien Rihaczek liên hop cna hai hàm f , g.

SP EC g f, Sp g f : Ánh pho cna hàm f đoi vói hàm cúa so g.

q φ,ψ (f, g) : Ánh pho tong quát cna hàm f , g đoi vói hàm cúa so φ, ψ.

T σ : Toán tú giá vi phân vói bieu trưng σ.

A F : Toán tú giá vi phân Kohn-Nirenberg vói bieu trưng F

W F : Toán tú Weyl vói bieu trưng F.

φ,ψ : Toán tú đ%a phương hoá vói bieu trưng F,

L p(R2n) : vói L p(R2n ) = {σ ∈ L p(R2n )"σˆ ∈ L pr (R2n )}.

−

2

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Phép bieu dien thòi gian-tan so là m®t dang toàn phương,

trong đó úng vói moi tín hi¾u f trên Rn là m®t hàm ho¾c m®t phân

bo Qf trên m¾t phang thòi gian-tan so R n × R n Hàm Qf (x, w) bieu

phân bo năng lưong cna tín hi¾u đoi vói bien thòi gian x và bien tan so

w, đieu đó nói lên rang tan so w nào có m¾t trong tín hi¾u f quanh thòi điem x Trong trưòng hop này chúng ta se sú dung các thu¾t ngu

khác

nhau là "phép bieu dien" ho¾c là "dang" Hàm Qf thưòng đòi hói phái đưoc thóa mãn vài đieu ki¾n, cu the là:(thoá mãn tính dương) Qf “0

vói moi x, w; (thoá mãn tính không tràn) neu supp f ⊆ I vói

khoáng

thòi gian-tan so Rn × R n ) và tương tn supp fˆ ⊂ J kéo theo π w

Ý nghĩa cna nhung yêu cau này có the tìm thay trong cuon

"Giái tích thòi gian-tan so" cna L Cohen (xem [10]) Tuy nhiên, theonguyên lý không chac chan, đieu ki¾n này là không tương thích và do

đó chúng chí có the đưoc thóa mãn vói m®t đ® gan đúng nào đó Vì the

nhieu phép bieu dien khác nhau đưoc đ%nh nghĩa trong lý thuyet giáitích thòi gian-tan so vói sn co gang đe chúng càng gan càng tot phép

bieu dien lý tưóng.

Ba trong so nhieu phép bieu dien thòi gian-tan so đưoc sú dungnhieu là ánh pho, phép bieu dien Rihaczek và bieu dien Wigner Vi¾cnghiên cúu các tính chat cna các bieu dien này đã đưoc trình bày trong[9] Tuy nhiên, dưói góc đ® cna nhung phép bien đoi, thì nhung tính chatcna ánh xa, chang han tính b% ch¾n, là chưa đưoc đe c¾p tói

M¾t khác giái tích thòi gian-tan so có nhieu moi liên h¾ vói lýthuyet toán tú giá vi phân Ví du như: phép bieu dien Wigner liên h¾vói toán tú Weyl, trong khi đó toán tú đ%a phương hóa lai đưoc quantâm đen như là b® loc cna tín hi¾u

Trong các bài báo [6], [7], các tác giá đã nghiên cúu và công bonhung ket quá ve tính dương, tính b% ch¾n và tính compact cna m®t solóp bieu dien thòi gian tan so Đong thòi liên h¾ vói các toán tú giá viphân tương úng đe thu đưoc các ket quá ve tính b% ch¾n, tính compact

cna m®t so lóp toán tú giá vi phân trong L p Trong lu¾n văn này, tôi set¾p trung chn yeu vào vi¾c nghiên cúu các ket quá đã đưoc công bo trongcác tài li¾u nêu trên Có the khái quát sơ lưoc nhung van đe nghiên cúunhư sau:

+ Đau tiên, các tác giá xây dnng ánh pho tong quát dna trên

hai-cúa so φ, ψ và chí ra rang, theo cách tương tn như phép bieu dien

cna Wigner cho lóp các toán tú Weyl, ánh pho tong quát tương úng lópcác toán tú đ%a phương hóa

+ Tiep theo, các tác giá chúng minh rang, cũng tương tn nhưđoi vói ánh pho, ánh pho tong quát là tích ch¾p cna các bieu dienWigner và do đó lóp ánh pho tong quát là m®t lóp con cna lópCohen, chúng minh đưoc rang phép bieu dien Rihaczek có the vanđưoc xem như m®t ánh pho tong quát vói hàm cúa so phù hop, trongkhi đó phép bieu dien Wigner không thu®c lóp ánh pho tong quát

+ Các tác giá đã mó r®ng đánh giá cna Lieb vói ánh pho tongquát và chúng minh đưoc sn mó r®ng tn nhiên cna nguyên lý không chac

chan Lieb cho ánh pho tong quát trong không gian L p

+ T¾p trung vào các toán tú tương úng, như m®t h¾ quá khác

cna công thúc tích ch¾p, các tác giá thu đưoc bieu trưng dương F và cho ket quá là các toán tú đ%a phương hóa L F dương neu và chí neu

φ =

Cψ + Cuoi cùng, xét tính b% ch¾n trong L p cna toán tú đ%a phươnghóa bang vi¾c sú dung ánh pho tong quát tương úng, đong thòi chí ratính không b% ch¾n cna toán tú đ%a phương hóa trong m®t so trưòng hop

"Nguyên lý không chac chan, tính dương và b% ch¾n trong L p

cía ánh pho tong quát"

2 Mnc đích nghiên cNu

Dang và toán tú cna ánh pho tong quát

Nguyên lý không chac chan cna ánh pho tong quát

Xét tính dương cna toán tú đ%a phương hoá bang vi¾c sú dungánh pho tong quát tương úng

Toán tú đ%a phương hóa Tính liên tuc và không liên tuc cna

toán tú đ%a phương hóa trong không gian L p

φ, ψ

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Vói muc đích đã nêu ó trên, nhung nhi¾m vu nghiên cúu cnalu¾n văn là:

+ Nghiên cúu dang, toán tú, nguyên lý không chac chan cnaánh pho tong quát, tính dương cna toán tú đ%a phương hoá

+ Nghiên cúu ve toán tú đ%a phương hóa Tính liên tuc vàkhông liên tuc cna m®t so lóp toán tú đ%a phương hóa trong không

gian L p

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu: Nguyên lý không chac chan, tính dương

và b% ch¾n trong L p cna ánh pho tong quát

Pham vi nghiên cúu: Các bài báo và các tài li¾u trong và ngoàinưóc liên quan đen nguyên lý không chac chan cna ánh pho tong quát,

tính dương và b% ch¾n trong L p cna toán tú đ%a phương hoá

5 Phương pháp nghiên cNu

Phương pháp nghiên cúu lý thuyet

Phương pháp phân tích, tong hop

6 DN kien ket quá nghiên cNu

Giói thi¾u tong quan ve giái tích thòi gian-tan so và các dangbieu dien cna các lóp thòi gian-tan so

Đi sâu nghiên cúu ve m®t so van đe liên quan đen ánh pho tongquát

Chương 1

Kien thNc chuan b%

N®i dung cna phan này đưoc tham kháo ó [1], [2], [3], [4]

1.1.1 Không gian L p , các bat đang thNc trong không gian L p,

công thNc tích ch¾p

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho không gian E và m®t đ® đo µ trên m®t σ-đai

∞) cna modun khá tích trên E, có nghĩa là:

¸

|f | p dµ < ∞,

E

đưoc goi là không gian L p (E, µ).

Đ%nh lí 1.1.1 L p (E, µ) là không gian Banach có chuan đưoc xác đ%nh bói:

H¾ quá 1.1.1 Neu m®t dãy {f n } h®i tn trong L p (E, µ) thì nó chúa m®t dãy con {f n k } h®i tn hau khap nơi.

1

Đ%nh lí 1.1.2 Neu µ(E) < ∞ và 1 ≤ p ≤ q < ∞ thì

1 1

"f" p ≤ "f" q (µ(E)) p − q và L q (E, µ) ⊂ L p (E, µ) ⊂ L1(E, µ).

H¾ quá 1.1.2 Không gian L p (E, µ) tách đưoc.

Đ%nh lí 1.1.3 (Bat đang thúc Ho¨lder) Giá sú (E, F, µ) là m®t

không gian đ® đo Neu f, g là nhung hàm đo đưoc xác đ%nh trên E và

Đ%nh lí 1.1.4 (Bat đang thúc Minkowski) Neu f, g là nhung hàm

đo đưoc xác đ%nh trên E và p là so thnc sao cho 1 ≤ p < ∞ thì:

Vói Ω là m®t t¾p con mó cna Rn chúng ta có:

Đ%nh nghĩa 1.1.3 Không gian các hàm cơ bán đưoc kí hi¾u là D(Ω),

là không gian gom tat cá các hàm ϕ ∈ C ∞ (Ω) V¾y D(Ω) = C ∞(Ω) Các

hàm thu®c D(Ω) đưoc goi là hàm thú (hay hàm cơ bán).

đen hàm ϕ ∈ D(Ω) neu thóa mãn hai đieu ki¾n sau:

1 Có m®t t¾p compact K ⊂ Ω mà supp ϕ j ⊂ K, j = 0, 1, 2,

2 lim sup |D α ϕ j (x) − D α ϕ(x)| = 0, vói moi α ∈ N n

Khi đó ta viet là ϕ j → ϕ khi j → ∞ trong D(Ω).

é đây vói moi đa chí so α = (α1, α2, , α n ) ∈

Đ%nh lí 1.1.6 Không gian D(Ω) là đay đú.

1.1.3 Không gian hàm suy r®ng D r(Ω)

Đ%nh nghĩa 1.1.5 Moi phiem hàm tuyen tính liên tuc trên D(Ω) đưoc

goi là m®t hàm suy r®ng trong Ω Không gian tat cá các hàm suy r®ngtrong Ω, đưoc kí hi¾u là D r(Ω) Hàm suy r®ng còn đưoc goi là phân bo

Hàm suy r®ng f ∈ D r (Ω) tác đ®ng lên moi ϕ ∈ D(Ω) đưoc viet là (f, ϕ).

Nh¾n xét 1.1.7 Tính liên tuc và tuyen tính cna hàm suy r®ng

1 Tính tuyen tính: vói moi ϕ, ψ ∈ D(Ω), vói moi λ, µ ∈ C ta có:

0

Ví dn 1.1.8 Cho f ∈ L1 (Ω) sao cho:

+ Ta thay ngay f là tuyen tính.

+ Ta có f liên tuc, vì ϕ ∈ D(Ω) do đó ϕ có giá là t¾p compact nam trong

Ω khi đó ton tai K j trong h¾ thong các t¾p compact sao cho supp ϕ ⊂ K j , ton tai C j > 0 và N = 0 sao cho:

¸

Tù đây ta suy ra đieu phái chúng minh

Ví dn 1.1.9 Chúng minh rang hàm Dirac

+ Ta có δ liên tuc, vì ϕ ∈ D(Ω) do đó ϕ có giá là t¾p compact nam trong

Ω khi đó ton tai K j trong h¾ thong các t¾p compact sao cho supp ϕ ⊂

K j , ton tai C j = 1 và N = 0 sao cho:

|δ(ϕ)| = |ϕ(0)| ≤ sup |ϕ(x)|

K j

= sup {|D α ϕ(x)| |α| = 0}

K j ,α

Tù đây suy ra ta có δ là hàm suy r®ng.

Đ%nh nghĩa 1.1.6 (Đao hàm cna hàm suy r®ng) Cho f ∈ D r (Ω),

α = (α1, α2, , α n ) ∈ N n Đao hàm cap α cna hàm suy r®ng f trong

1.1.4 Không gian các hàm giám nhanh S (R n)

Đ%nh nghĩa 1.1.8 Không gian các hàm giám nhanh, đưoc kí hi¾u

S (R n) là t¾p hop đưoc xác đ%nh bói:

S (R n) = .ϕ ∈ C ∞ (Rn) x α D β ϕ (x) ≤ c α,β , ∀x ∈ R n , ∀α, β ∈ Z n

+

.cùng vói khái ni¾m h®i tu đưoc đ%nh nghĩa như sau:

4 T¾p C ∞ (Rn ) trù m¾t trong không gian S (R n)

Đ%nh lí 1.1.13 Không gian S (R n ) là đay đú.

k=

1

+ +

+

0

+

1.1.5 Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m S r (Rn)

đưoc goi là hàm suy r®ng tăng ch¾m neu ton tai m®t so tn nhiên m và m®t so dương C sao cho:

Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m là không gian véctơ gom tat

cá các hàm suy r®ng tăng ch¾m, đưoc kí hi¾u là Sr (Rn)

Nh¾n xét 1.1.14 Không gian hàm suy r®ng tăng ch¾m Sr (Rn) là không gian các phiem hàm tuyen tính liên tuc trên S (R n)

Đ%nh nghĩa 1.1.10 Cho f k , f ∈ S r (Rn ) , k = 1, 2, Dãy

1. Có m®t so tn nhiên m và m®t so dương C sao cho:

0

k= 1

1

Trong đó p N (ϕ) = sup 1 + |x|2. |D α ϕ (x)|

Tù đó suy ra v liên tuc và ta có v là tuyen tính Do đó v ∈ S r(Rn)

Ví dn 1.1.16 Chúng minh rang hàm Dirac

2 M¾t khác ta de chúng minh đưoc D α δ là tuyen tính.

Do đó ta suy ra đieu phái chúng minh

Đ%nh nghĩa 1.1.11 Cho u là m®t hàm suy r®ng tăng ch¾m, vói moi

đa chí so α đao hàm cna u ký hi¾u ∂ α u đưoc xác đ%nh bói:

(∂ α u)(ϕ) = (−1) |α| u(∂ α ϕ), ϕ ∈ S(R n ).

Neu ϕ k ⊂ S(R n ) sao cho ϕ k → 0 trong S(R n) thì

∂ α ϕ k → 0 trong S(R n ) khi k → ∞

Do đó (∂ α u)(ϕ k ) → 0 khi k → ∞.

V¾y ∂ α u : S r(Rn ) → S r(Rn) là ánh xa tuyen tính liên tuc

Đ%nh lí 1.1.18 Không gian S r (Rn ) là đay đú.

Nh¾n xét 1.1.19 Chúng ta có

S(R n ) ⊂ L p(Rn ) ⊂ S r(Rn ), vói 1 ≤ p ≤ ∞.

N

2

1.1.6 Các toán tN cơ bán

Đ%nh nghĩa 1.1.12 Vói x, ω, y, t ∈ R n và f ∈ S (R n) ta đ%nh nghĩacác toán tú sau đây:

1 Phép t%nh tien theo x cna f , kí hi¾u T x f là m®t "sn d%ch chuyen

thòi gian" đưoc xác đ%nh bói:

N®i dung phan này chn yeu đưoc tham kháo tù [3], [9], [12]

1.2.1 Bien đoi Fourier cúa các hàm thu®c L p (Rn ) và S (R n)

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Bien đoi Fourier cna hàm f ∈ L1 (Rn), kí hi¾u là

fˆ ho¾c Ff , là m®t hàm đưoc xác đ%nh bói

¸

fˆ(ω) =

Rn

.f (ω).2dω là xác suat cna chat điem trong trang

ˆ

2

thái f có đ®ng lưong cna nó trong mien I ⊂ R n

Đ%nh nghĩa 1.2.2 Cho f ∈ L1 (Rn) Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm

và theo (1.6) ta

có

f (x) =

Rn fˆ(ω) e 2πix·ω dω , x ∈ R n

n ¸

I

Ff (ω) e ix·ω dω , x ∈ R n

nghĩa là F −1 và F là các toán tú ngưoc cúa nhau.

Bo đe 1.2.1 (Bo đe Riemann-Lebesgue) Neu f ∈ L1 (Rn ) thì fˆ liên tnc

Đ%nh lí 1.2.4 [12] Bien đoi Fourier là m®t ánh xa tuyen tính liên tnc

tù S(R n ) → S(R n ) và xác đ%nh vói moi f ∈ S(R n ), ξ ∈ R n vói moi đa chs so α, β ∈ N n

Khi đó, ta có the viet cu the hơn đang thúc trên bói:

D α f (ω) = (2πω) α f (ω), (1.9)ˆ

và

(−2πx) α f .ˆ(ω) = D α fˆ(ω). (1.10)Ho¾c viet dưói dang toán tú

Đ%nh nghĩa 1.2.3 Hàm Gauss chưa đưoc chuan hóa vói đ® r®ng a > 0

trên Rn , kí hi¾u là ϕ a (x) đưoc xác đ%nh bói:

a Đ¾c bi¾t là, vói a = 1 thì e −πx2 (ω) = e−πω2

Bo đe 1.2.3 (Tính trù m¾t) Vói moi a > 0, bao tuyen tính cúa t¾p

{T x M ω ϕ a : x, ω ∈ R n } sinh ra m®t không gian con trù m¾t cúa L2

(Rn ), nói cách khác

span {T x M ω ϕ a : x, ω ∈ R n } = L2 (Rn )

Áp dung các bo đe trên, sau đây ta đi chúng minh Đ%nh lý (1.2.5)

Áp dung Bo đe 1.2.3 vói a = 1 thì

và bói tính chat tuyen tính h¾ thúc trên đã mó r®ng lên toàn b® X Do

đó F là m®t phép đang cn trong X vói mien X trù m¾t trong L2 (Rn),

và vì the nó đưoc mó r®ng tói m®t toán tú unita trên L2 (Rn)

4) "f ∗ g" L1 ≤ "f" L1 "g" L1 , (f ∗

g)ˆ= fˆ.ˆ

Neu ta bó đi đieu ki¾n mà bien đoi Fourier đưoc xác đ%nh theo tùngđiem bói (1.5) chúng ta có the thác trien phép bien đoi Fourier ra không

gian tot hơn đó là không gian L2 Đ%nh lý sau đây đưoc goi là Đ%nh lý Plancherel cho phép thnc hi¾n phép bien đoi Fourier trong L2(Rn ).

"f" p "g" q , A p

là hang so Babenko - Beckner.

n

1.2.2 Bien đoi Fourier cúa hàm suy r®ng

Đ%nh nghĩa 1.2.4 Cho f ∈ S r (Rn), bien đoi Fourier cna hàm suy r®ng

vói Fϕ xác đinh theo (1.6). Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f , kí

hi¾u là F−1 f là hàm suy r®ng tăng ch¾m xác đ%nh bói

đoi Fourier cna hàm suy r®ng tăng ch¾m chúng ta có

(D α u)(ϕ) = (Dˆ α u)(ϕ) = (−1)ˆ |α| u(D αˆϕ).

Mà ϕ ∈ S(R n ) thì D α uˆ(ϕ) = ( ˆx) α ϕ vói moi đa chí so α, nên

N®i dung cna muc này đưoc tham kháo ó [5], [6],[7], [8],[9], [10]

1.3.1 Giái tích thài gian-tan so

Trong công ngh¾ và trong v¾t lý, f (x) đưoc coi như biên đ® cna sn dao đ®ng cna dau hi¾u f tai x, còn

fˆ(ω) đưoc coi như biên đ® cna tan so ω Cho nên trong giái tích tín hi¾u, chúng ta đi tìm nhung bieu dien ket hop nhung đ¾c trưng cna f và fˆ, đưoc goi là bieu dien

thòi gian - tan so Tù đ%nh nghĩa bien đoi Fourier (1.5), không làm mat

tính tong quát ta xét so chieu n = 1, chúng ta thay rang phép lay tích

phân không the thnc hi¾n đưoc trù khi chúng ta biet f (x) trên toàn b®

truc thnc (−∞, +∞) Đieu này do các hàm e iωx hay là cos (xω) và sin (xω) là các hàm toàn cuc Nghĩa là, m®t sn nhieu nhó cna hàm tai bat kì điem nào doc theo truc x đeu ánh hưóng đen moi điem trên truc ω và ngưoc lai Neu chúng ta tưóng tưong dau hi¾u f (x) như là hàm đieu bien cho e iωx , m®t sn nhieu tai bat kì điem nào trên truc x se lan truyen qua toàn b® truc ω M¾t khác chúng ta thnc hi¾n trên bien đoi

Fourier, ó m®t thòi điem tích phân chí có the đưoc đánh giá tai m®t tan

so M¾c dù có nhung thu¾t toán đe tính toán nhanh bien đoi Fourierbang kĩ thu¾t so, nhưng nó không the đưoc thnc hi¾n theo thòi gianthnc Tat cá du li¾u

can thiet phái đưoc lưu tru trong b® nhó trưóc khi ròi rac ho¾c bien đoi Fourier nhanh có the đưoc tính.

Như v¾y dù có sú dung phương pháp linh hoat nhat, giái tíchFourier cũng không đáp úng đn nhu cau thnc tien Nói cách khác,quang pho Fourier không cung cap bat cú mien thòi gian thông tin

ve dau hi¾u Đe khac phuc đieu này, chúng ta đưa ra m®t dang bienđoi Fourier thòi gian ngan, m®t loai bieu dien phu thu®c vào m®t cúa

so Trưóc khi nghiên cúu nó, chúng ta nghiên cúu ve hàm cúa so Đe

đơn gián, ta xét vói n = 1.

Đ%nh nghĩa 1.3.1 Ta goi hàm ϕ ∈ L2 (R) tri¾t tiêu bên ngoài m®t khoáng huu han là hàm cúa so

Giá sú ϕ là m®t hàm cúa so nh¾n giá tr% thnc và f là m®t dau hi¾u Khi đó tích f b (x) = f (x) ϕ (x − b) chúa đnng nhung thông tin ve f (x) gan x = b Đ¾c bi¾t neu ϕ (x) là hàm đ¾c trưng X [−τ,τ ] (x) thì

nhung khoáng thòi gian khác nhau

Hai tham so quan trong nhat cna hàm cúa so là tâm và đ® r®ng cna

nó, đ® r®ng thưòng gap đôi bán kính Vói m®t hàm cúa so tong quát

+∞

"ϕ"

−∞

và căn b¾c hai cna bán kính ∆ϕ

Hàm ϕ (x) đưoc mô tá như trên vói ∆ ϕ huu han đưoc goi là hàm cúa

so thòi gian Tương tn chúng ta có đưoc cúa so tan so ϕ (ω) vói tâm

1.3.2 Nguyên lý không chac chan

Trong toán hoc, theo nghĩa hep các nguyên lý không chac chan là các

bat đang thúc liên quan đen cá f và

fˆ Có rat nhieu nguyên lý không

chac chan, chúng ta bat đau vói nguyên lý không chac chan co đien vói

so chieu n = 1 mà thưòng goi là bat đang thúc Heisenberg-Pauli-Weyl.

Bo đe 1.3.1 Cho A, B là hai toán tú tn liên hop (có the không b%

ch¾n) trên không gian Hilbert H Khi đó:

Chúng minh Bang cách viet lai giao hoán tú và sú dung tính chat tn

1

1

ˆ

liên hop cna A và B, chúng ta có:

([A, B] f, f) = ({(A − a) (B − b) − (B − b) (A − a)} f, f)

và đang thúc trong (1.20) xáy ra khi và chí khi (A − a) f = λ (B − b) f,

λ ∈ C đieu này kéo theo λ = ic, c ∈ R.

Đ%nh lí 1.3.1 (Bat đang thúc Heisenberg-Pauli-Weyl) Neu f ∈ L2 (Rn)

Chúng minh Đ¾t Xf (x) = xf (x) và Pf (x)

=

1

2π i

Giá sú f nam trong mien xác đ%nh cna X, P, XP, P X, thì

[X, P ] f (x) = (XP ) f (x) − (P X) f (x)

= X (P (f (x))) − P (X (f (x)))

1

= X

2π i

Nghi¾m cna phương trình vi phân này là các hàm có dang T a M b ϕ1 M¾t

c khác, do f ∈ L2 (R) suy ra c > 0.

Đang thúc xáy ra khi và chs khi f (x) = ce −πx2 , c > 0.

vói a = b = 0, α = "Xf" L2 và β = "P f" L2 Đe có đang thúc xáy

ra ta can α = β hay "Xf" L2 = "P f" L2 , nghĩa là Pf = ±iXf Do

thì hau het năng lưong t¾p trung trên T và T thnc sn là

giá cot yeu cna f Neu ε = 0 thì T chính xác là giá cna f

1

2

2

Đ%nh lí 1.3.2 (Nguyên lý không chac chan cna Donoho và Stark) Giá

sú rang f ∈ L2 (Rn ) vói f ƒ= 0, là ε T -t¾p trung trên T ⊆ R n

và t¾p trung trên Ω ⊆ R n Khi đó:

|T | |Ω| ≥ (1 − ε T − εΩ)2.

fˆ là

εΩ

đ® đo huu han Đ¾t:

Cá hai toán tú này đeu là các phép chieu trnc giao trên L2 (Rn) Mien

giá tr% cna P T là L2 (T, dx), và mien giá tr% cna QΩ bao gom tat cá các hàm

trong L2 (Rn ) vói pho trong Ω, nghĩa là, f ∈ L2 (Rn ) sao cho supp fˆ