Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN TÙ VĂN KHANH NGUYÊN LÝ CUC TR± TRONG KHÔNG GIAN HUU HAN CHIEU KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chun ngành: GIÃI TÍCH Ngưèi hưéng dan khoa hoc ThS NGUYEN QUOC TUAN Hà N®i - 2013 LèI CÃM ƠN Lòi đau tiên, cho phép tơi đưoc bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay ThS Nguyen Quoc Tuan - ngưòi trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ tơi hồn thành khố lu¾n cúa Đong thòi, tơi xin chân thành cám ơn thay to Giái tích nói riêng, thay khoa Tốn - trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i nói chung, tao đieu ki¾n cho tơi suot q trình hoc t¾p nghiên cúu tai trưòng Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói gia đình tơi nhung ngưòi giúp đõ tơi, đng viờn tụi suot quỏ trỡnh hoc v hồn thành khóa lu¾n Cuoi cùng, khn kho cú han cỳa mđt bi khoỏ luắn, ieu kiắn thòi gian, trình đ® có han lan đau tiên tơi t¾p dưot nghiên cúu khoa hoc khơng tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, tơi kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa thay ban M®t lan nĐa tơi xin chân thành cám ơn! Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên TN Văn Khanh LèI CAM ĐOAN Dưói sn hưóng dan t¾n tình cúa thay giáo ThS Nguyen Quoc Tuan, khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc chun nghành Tốn giái tích vói đe tài "Ngun lý cNc tr% khơng gian hĐu han chieu" đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cúa bán thân tơi, khơng có sn trùng l¾p vói bat cú khóa lu¾n khác Trong q trình nghiên cúu hồn thành bán khố lu¾n, tơi ke thùa nhung thành tnu cúa nhà khoa hoc có sn tham kháo mđt so ti liắu oc ghi phan ti liắu tham kháo vói sn trân lòng biet ơn sâu sac Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên TN Văn Khanh Mnc lnc Mé đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Kien thúc bán ve không gian Rn 1.2 T¾p loi, nón loi, hàm loi .7 1.3 Hàm loi đ%a phương 1.4 Các đ%nh lý tách .10 1.5 Ánh xa đa tr% 11 Chương Pháp tuyen cúa t¾p hep 12 2.1 Đ%nh nghĩa tính chat bán 12 2.2 Phép tính pháp tuyen suy r®ng 29 Chương Nguyên lý cNc tr% .32 3.1 H¾ cnc tr% 32 3.2 Các nguyên lý cnc tr% 37 3.3 Nguyên lý cnc tr% khơng gian huu han chieu 40 Ket lu¾n .49 Tài li¾u tham kháo 50 Báng ký hi¾u nhĐng chÑ viet tat f :X ⇒Y ánh xa đơn tr% tù X vào Y dom f mien huu hi¾u cúa hàm so thnc f F :X ⇒Y ánh xa đa tr% tù X vào Y dom F mien huu hi¾u cúa F ref F mien ánh cúa F gph F đo th% cúa F N t¾p so tn nhiên R t¾p so thnc Rn khơng gian huu han chieu "x" chuan cúa véctơ x (x, y) tích vơ hưóng cúa véctơ x y "A" chuan cúa toán tú tuyen tính A [x, y] X B đoan thang noi hai điem x, y khơng gian hình cau đóng đơn v% khơng gian X Bε hình cau đóng đơn v% tâm bán kính ε int A phan cúa A x¯ bao đóng cúa x bd Ω bao đóng cúa Ω cone M Nˆε (x; Ω) hình nón sinh bói t¾p hop M Nˆ (x; Ω) N(x; Ω) nón pháp tuyen Fréchet nón pháp tuyen qua giói han t¾p ε−pháp tuyen cúa Ω tai điem x ∈ Ω LèI Me ĐAU Giái tích bien phân dna khái ni¾m bán nón pháp tuyen khơng loi, dưói vi phân khơng loi, đoi đao hàm qua giói han tác giá B S Mordukhovich đe xuat thu hút đưoc sn quan tâm đ¾c bi¾t cúa nhieu nhóm nghiên cúu the giói Phan só lý thuyet cúa Giái tích bien phân đưoc trình bày chương đau (T¾p 1), phan úng dnng đưoc trình bày chương cuoi (T¾p 2) cúa b® sách [5, 6] vói tong c®ng 1200 trang in Lý thuyet sn ket hop cúa Giái tích khơng trơn Giái tích đa tr% Các ngun lý cnc tr% sú dnng nón pháp tuyen khơng loi só đe xây dnng quy tac tính tốn đ%nh lý só cúa giái tích bien phân Theo [5, trang 249], nguyên lý cnc tr% cho trưòng hop khơng gian Euclide huu han chieu - dưói tên goi "phương trình Euler suy r®ng" đưoc Kruger Mordukhovich [2] đưa năm 1980 Ket q có nguon goc cơng trình đưoc cơng bo năm 1976 cúa Mordukhovich [3] Tên goi "nguyên lý cnc tr%" xuat hi¾n lan đau tiên vào năm 1994, cơng trình [4] Có the coi ngun lý cnc tr% theo nghĩa Mordukhovich đ %nh lý tách cho h¾ t¾p huu han (khơng nhat thiet phái t¾p loi) Cho Ω1 , , Ωn (n ≥ 2) t¾p khác rong cúa khơng gian huu han chieu Rn điem x ∈ Tn i=1 Ωi Ta nói x m®t điem cnc tr% đ%a phương (a local extremal point) cúa h¾ t¾p {Ω1 , , Ωn} neu ton tai dãy {aik} ⊂ Rn (i = 1, , n) cho aik → k → ∞ lân c¾n U cúa x thóa mãn đieu ki¾n n \ (Ωi − aik ) ∩ U = 0/ , i=1 vói moi so ngun dương k đú lón Khi đó, h¾ {Ω1 , , n, x} oc goi l mđt hắ cnc tr% (an extremal system) không gian huu han chieu Rn Nh vắy, hắ cnc tr% l mđt hắ huu han cỏc hop cựng vúi mđt iem x thu®c giao cúa chúng mà ta có the tách ròi đ%a phương t¾p (túc làm cho giao cỳa chỳng vúi mđt lõn cắn cho trúc cỳa x thành t¾p rong) bang cách làm nhieu kieu t%nh tien t¾p cho, vói phương t%nh tien nhung véctơ có chuan bé m®t so dương lay tùy ý Ta nói ngun lý cnc tr% xác (the exact extremal principle) nghi¾m cho khơng gian huu han chieu Rn neu vói moi h¾ cnc tr% {Ω1 , , Ωn, x}, vói Ω1 , , Ωn t¾p đóng Rn, có ton tai pháp tuyen x∗i ∈ N (xi; Ωi) , (i = 1, , n) cho ∗ ∗ ∗ x∗ + + xn = 0, "x1" + + "xn" = 1, ó N (x; Ωi) ký hi¾u nón pháp tuyen qua giói han (còn đưoc goi nón pháp tuyen Mordukhovich) cúa Ωi tai x Ngồi ngun lý cnc tr% xác, ngưòi ta xét ngun lý cnc tr% xap xí nguyên lý ε-cnc tr %, ó nón pháp tuyen Fréchet t¾p ε-pháp tuyen Fréchet đưoc sú dnng thay cho nón pháp tuyen qua giói han Là m®t sinh viên khoa Tốn, tơi mong muon tìm hieu sâu ve kien thúc Tốn hoc nói riêng lĩnh vnc khoa hoc khác cúa đòi song nói chung Vói mnc đích làm tăng thêm sn hieu biet ve nguyên lý cnc tr% khơng gian huu chieu, đe tích lũy kinh nghi¾m cho bán thân đe phnc cho cơng tác hoc t¾p, giáng day sau này, đong thòi giói thi¾u cho ban sinh viên có nhìn tong quan sâu sac ve nguyên lý cnc tr% khơng gian huu han chieu Vì nhung lý trên, vói sn góp ý, đ®ng viên, giúp đõ t¾n tình cúa thay cơ, đ¾c bi¾t thay ThS Nguyen Quoc Tuan c®ng thêm sn đam mê cúa bán thân, manh dan nghiên cúu đe tài "Nguyên lý cNc tr% không gian hĐu han chieu" Mnc đích cúa khóa lu¾n giói thi¾u ba ngun lý cnc tr% nói tìm hieu ve cách tính nón pháp tuyen cúa mđt hop (cú the l loi hoắc khơng loi) Khóa lu¾n bao gom lòi mó đau, ba chương, phan ket lu¾n, danh mnc tài li¾u tham kháo Chương Trình bày kien thúc bán (các kien thúc ve t¾p loi, hàm loi, ánh xa đa tr% ) Chương Trình bày khái ni¾m ε-pháp tuyen suy r®ng nón pháp tuyen qua giói han cúa t¾p hop bat kỳ (có the khơng loi) khơng gian Rn Chương Trình bày khái ni¾m ve h¾ cnc tr%, khái ni¾m tách t¾p hop (có the khơng loi) ba ngun lý cnc tr% (nguyên lý cnc tr% xác, nguyên lý cnc tr% xap xí, nguyên lý ε-cnc tr%) khơng gian Rn Tơi xin đưoc bày tó lòng biet ơn sâu sac tói ThS Nguyen Quoc Tuan - ngưòi t¾n tình hưóng dan, giúp tơi suot qua trình thnc hi¾n khóa lu¾n Đong thòi, tơi xin chân thành cám ơn thay to Giái tích, thay khoa Tốn, gia đình tơi nhung ngưòi giúp đõ, đ®ng viên tơi suot q trình hoc t¾p hồn thành khóa lu¾n Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên TN Văn Khanh Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Kien thNc bán ve không gian Rn Đ%nh nghĩa 1.1 (Đ%nh nghĩa không gian Rn) Ta goi không gian Rn tớch Descartes R ì R ì ã ã ã × R (gom n thành phan) moi m®t phan tú không gian Rn đưoc goi điem (véctơ) đưoc bieu dien bói m®t b® n so x = (x1, x2, , xn) , xi ∈ R, i = 1, , n So xi cách bieu dien cúa điem x đưoc goi toa đ® thú i cúa điem x Giá sú có hai điem không gian Rn a = (a1, a , , an) b = (b1, b , , bn) , ta đ%nh nghĩa tong cúa chúng, ký hiắu a + b, l mđt iem Rn vói toa đ® a + b = (a1 + b1, a2 + b , , an + bn) , n ∑ αk : = dist (x + aik; ≥ Ω) i=1 Neu αk := n ∑ dist Ω) i=1 (x + aik; = (3.21) (3.21) nghi¾m chí dist (xk + aik; Ωi) = 0, (i = 1, , m) , hay xk + aik ∈ Ωi, (i = 1, , m) xk ∈ Ωi − aik , (i = 1, , m) Tù suy Đieu mâu thuan vói (3.1) (mà ó ta lay U = Rn) M¾t khác, xk nghi¾m cúa toán (3.20) nên dk (xk) ≤ dk (x) Suy ≤ dk (xk) = αk + "xk −x ≤ dk (x) " = n ∑ "aik" 2 i=1 Vì aik → k → ∞, vói moi i = 1, , m, nên dk (x) ↓ Do ta có xk → x αk ↓ k → ∞ Lay bat kì ωik ∈ Π(xk + aik; Ωi) bat kì (ωik xap xí tot nhat cúa xk + aik t¾p đóng Ωi) Khi đó, tốn (3.20) tương đương vói tốn sau ρk (x) = n 2 ∑ "x + aik − ωik " + "x −x → min, x ∈ n " R (3.22) i=1 Do αk > theo chúng minh ó trên, ρk hàm mnc tiêu cúa (3.22) theo bien x áp dnng đ%nh lý Fermat ve đieu ki¾n can cnc tr% cúa tốn toi ưu khơng ràng bu®c, ta thu đưoc n ρk (xk) = x∗ i k vói x∗ ∑ ik + (xk − x) = (3.23) i = = (xk + aik − ωik ) /αk, i = 1, , m Vì ωik ∈ Π(xk + aik; Ωi) nên "xk − aik − ωik " = "dist (xk + aik; Ωi )" Ket hop đieu vói (3.21) ta có " x ∗ " n " = + + (3.24) "xnk Tù (3.24) suy x∗ ≤ 1, i = 1, , m Do tốn xét khơng gian huu han chieu nên hình cau đơn v% Rn t¾p compact, ta có the đong nhat khơng gian đoi ngau cúa khơng gian Rn Vì v¾y ta ln tìm đưoc x∗ ∈ Rn, i = 1, , m, cho x∗ i ik → x∗ k → ∞, i = 1, , m Lay giói i han k → ∞, tù (3.23) ta có x∗ 1+ ∗ + xn = (3.25) Trong khơng gian huu han chieu tính h®i tn yeu h®i tn manh trùng nhau, nên tù bieu thúc (3.24) ta thu đưoc "x∗" 2+ + "x ∗ = " n (3.26) n Tù (3.25) (3.26) suy rang véctơ xi ∗ (i = 1, , m) thóa mãn đieu ki¾n (3.12b) (3.12c) cúa đ%nh nghĩa 3.3 Lai có xk → x k → ∞ ωik ∈ Π(xk + aik; Ωi) , i = 1, , m Vì v¾y (xk + aik − ωik ) ∈ cone (xik + aik − Π(xk + aik, Ωi)) Do đó, theo cơng thúc (2.12) đ%nh lý 2.1, ta có x∗ ∈ N (x; Ωi) Đ i %nh lý đưoc chúng minh xong Ket hop đ%nh lý 3.1 vói m¾nh đe 3.5, ta có khang đ%nh sau: Neu xét tốn không gian huu han chieu Rn x điem biên cúa t¾p đóng Ω ∈ Rn N (x; Ω) phái chúa nhat m®t véctơ khác Nói cách khác, bang cách quan sát nón pháp tuyen qua giói han ta có the phân bi¾t đưoc điem biên điem cúa t¾p đóng H¾ q 3.1 Cho h¾ cnc tr% {Ω1, Ω2, x}, vói Ω1, Ω2 hai t¾p loi khơng gian huu han chieu Rn Khi Ω1 Ω2 tách đưoc theo nghĩa Giái tích loi Chúng minh Do {Ω1, Ω2, x} h¾ cnc tr% xét khơng gian huu han chieu Rn, áp dnng nguyên lý cnc tr% xác ta tìm đưoc x ∈ ∗ N (x; Ω1) , x2 ∈ N (x; Ω2) ∗ thóa đieu ki¾n x∗ ∗ + x2 = 0, "x1" + "x2" = Đ¾t x∗ = x∗ = −x∗, ta có x∗ ƒ= 0, x∗ ∈ N (x; Ω1) ∩ (−N (x; Ω2)) Vì Ω1, Ω2 t¾p loi, theo m¾nh đe 2.2 ta có N (x; Ω1) = {x∗ ∈ Rn | (x∗, x) ≤ (x∗, x) , ∀x ∈ Ω }, −N (x; Ω2) = {x∗ ∈ Rn | (x∗, x) ≥ (x∗, x) , ∀x ∈ Ω } Tù hai bieu thúc ta thu đưoc (x∗, u1) ≤ (x∗, x) ≤ (x∗, u ), ∀u1 ∈ Ω1, ∀u2 ∈ Ω2 V¾y t¾p Ω1, Ω2 tách đưoc bói siêu phang {x ∈ Rn | (x∗, x) = (x∗, x)} H¾ đưoc chúng minh Nh¾n xét 3.6 H¾ cho thay rang nguyên lý cnc tr% xác dang mó r®ng mang tính chat đ%a phương cúa khái ni¾m tách t¾p loi Giái tích loi cho h¾ đóng (có the khơng loi) M¾nh đe sau chí đieu kiắn can e mđt hắ cỏc siờu mắt huu han chieu cho bói hàm trơn vói m®t điem chung cúa chúng h¾ cnc tr% khơng gian M¾nh đe 3.6 Giá sú ψi : Rn → R, i = 1, , m, hàm vi liên tnc Đ¾t Ωi = {x ∈ Rn | ψi (x) = 0} , i = 1, , m, giá sú x i=1 ∈ Ωi Khi đó, Tm ta có khang đ%nh sau: (i) Neu {5ψ1 (x) , , 5m (x)} đc lắp tuyen tớnh thỡ {1 , , Ωm, x} khơng h¾ cnc tr% (ii) Sn phn thuđc tuyen tớnh cỳa hắ vộct {51 (x) , , 5ψm (x)} chí đieu ki¾n can, khơng phái đieu ki¾n đú đe {Ω1 , , Ωm, x} h¾ cnc tr% Chúng minh Chúng minh (i): Giá sú phán chúng rang {Ω1 , , Ωm, x} h¾ cnc tr% Theo đ%nh lý 3.1, ton tai x∗ ∈ N (x; Ωi) , i = 1, , m, thóa mãn đieu ki¾n (3.12b), (3.12c) M¾t khác, ta có ψi, i = 1, , m hàm trơn, x ∈ Tm i=1 Ωi ó Ωi = {x | ψi (x) = 0} = iψ−1 ({0}) , i = 1, , m Áp dnng đ%nh lý 2.3 cho vói f := ψi, ta có ∗ N x; ψ−1 ({0}) = 5ψi (x) N (0; {0}) , (i = 1, , m) i Do t¾p mđt iem {0} R l loi, ta cú N (0; {0}) = {x∗ ∈ R | (x∗, x − 0) ≤ 0, ∀x ∈ {0}} = R Vì v¾y, thúc thú (i) (3.27) tương đương vói ∗ N (x; Ωi) = 5ψi (x) (R) = R ψi (x) (3.27) Do x∗ ∈ N (x; Ωi), ton tai αi ∈ R cho x∗ = αi ψi (x) M¾t khác theo i (3.12b) (3.12c) ta có i m m xi∗ ∑ ∑ i=1 = αi i=1 ψi (x) = 0, (3.28) "x∗" + + "x∗ " = 1 (3.29) m Tù (3.29) suy xi ∗ khơng đong thòi bang khơng V¾y ton tai chí so i vói αi ƒ= 0, (3.28) kéo theo {5ψ1 (x) , , 5ψm (x)} phn thu®c tuyen tính, mâu thuan vói giá thiet V¾y (i) đưoc chúng minh Chúng minh (ii): Sn phn thu®c tuyen tính {5ψ1 (x) , , 5ψm (x)} chí đieu ki¾n can, khơng phái đieu ki¾n đú đe {Ω1 , , Ωm, x} h¾ cnc tr% Đe làm sáng tó đieu đó, lay m = đ¾t ψ1 : R → R, ψ (x, y) = y − x , ψ2 : R → R = ψ (x, y) = y + x Hien nhiên ta có ψ1 (x, y) , ψ2 (x, y) hàm trơn Đ¾t Ωi = (x, y) ∈ R | ψi (x, y) = (i = 1, 2) Ta có Ω1 ∩ Ω2 = {(0, 0)} Vì 5ψ1 (0, 0) = 5ψ2 (0, 0) = (0, 1), nên {5ψ1 (0, 0) , 5ψ2 (0, 0)} l phn thuđc tuyen tớnh Hắ {1 , , Ωm, x} , vói x = (0, 0), khơng h¾ cnc tr% Th¾t v¾y, giá sú phán chúng rang ton tai dãy ak = (αk, βk) ∈ R2, ak → k → ∞, lân c¾n mó U cúa x, thóa mãn đieu ki¾n (Ω1 − ak ) ∩ Ω2 ∩ U = vói k đú lón (3.30) 0/ Bien đoi tương đương phương trình − (x − ak ) = x − βk , ta thu đưoc 2 2x − 3x αk + 3xα = α + βk k k (3.31) Phương trình b¾c ba (3.31) ln có nghi¾m thnc Giỏ sỳ xk l mđt nghiắm thnc cỳa phng trình Hien nhiên ta có xk − αk , xk − βk ∈ Ω2 (3.32) Vì ak = (αk, βk) → k → ∞, nên αk → αk → k → ∞ Do đó, 2 lim 2x − 3x αk + 3xα = lim α + βk = k k→∞ k k→∞ Suy lim xk = 0, v¾y ta có lim (xk − αk ) = 0, lim x − βk = k→∞ k→∞ k→∞ k Tù suy rang, vói k đú lón ta có xk − αk , xk − βk ∈ U (3.33) M¾t khác, ta lai có Ω1 − ak = Do đó, ta có x − α k , x − βk | x ∈ R xk − αk , xk − βk ∈ Ω1 − ak (3.34) Ket hop (3.32), (3.33) (3.34) ta thu đưoc xk − αk , xk − βk ∈ (Ω1 − ak ) ∩ Ω2 ∩U vói k đú lón Tính chat cuoi mâu thuan vói (3.30) V¾y {Ω1, Ω2, x} khơng h¾ cnc tr% Áp dnng m¾nh đe 3.6(i), ta có the phân tích ví dn 3.1 theo cách đơn gián sau: Đ¾t ψ1 (x, y) = x −y ψ2 (x, y) = x + y vói x, y ∈ R Ta có Ω1 = {(x, y) | ψ1 (x, y) = 0} , Ω2 = {(x, y) | ψ2 (x, y) = 0} Vì 5ψ1 (0, 0) = (1, −1) 5ψ2 (0, 0) = (1, 1) nên h¾ {5ψ1 (0, 0) , 52 (0, 0)} l đc lắp tuyen tớnh Theo mắnh đe 3.6(i), {Ω1, Ω2, (0, 0)} khơng h¾ cnc tr% KET LU¾N Khóa lu¾n đưoc hồn thành yeu dna theo [11] v mđt so ti liắu khỏc Khúa luắn ó trỡnh by mđt so kien thỳc ve nón pháp tuyen nguyên lý cnc tr% khơng gian huu han chieu Cn the khóa lu¾n đã: 1) H¾ thong lai khái ni¾m bán tính chat liên quan đen khơng gian huu han chieu Rn, t¾p loi, ánh xa đa tr%, 2) Trỡnh by cỏc khỏi niắm -phỏp tuyen suy rđng, nón pháp tuyen qua giói han cúa t¾p hop bat kỳ (có the khơng loi) khơng gian Rn đưa ví dn minh hoa 3) Trình bày khái ni¾m ve h¾ cnc tr%, khái ni¾m tách t¾p hop (có the khơng loi) ba nguyên lý cnc tr% (nguyên lý cnc tr% xác, nguyên lý cnc tr% xap xí, nguyên lý ε-cnc tr%) khơng gian Rn M¾c dù có nhieu co gang, song nhieu han che ve thòi gian kien thúc nên khố lu¾n khơng tránh khói nhung thieu sót Tơi kính mong thay ban đoc đóng góp ý kien trao đoi đe khố lu¾n hồn thi¾n tot Tơi xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Anh [1] D Bartl (2008), A short algebraic proof of the Farkas’ lemma, SIAM Journal of Optimization, vol 19, 234-239 [2] A Y Kruger, B S Mordukhovich, Extremal points and the Euler equation in nonsmooth optimization, Dokl Akad Nauk BSSR Vol 24,684-687 [3] B S Mordukhovich (1976), Maximum principle in problems of time optimal control with nonsmooth constraints, Journal of Applied Math- ematics and Mechanins, Vol 40, 960-969 [4] B S Mordukhovich (1994), Generalized differential calculus for nonsmooth and set-valued mappings, Vol 183, 250-288 [5] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol 1: Basic Theory, Springer, New Your [6] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Dif- ferentiation, Vol 2: Basic Theory, Springer, New Your [7] B S Mordukhovich, N.M Nam, N.D Yen (2009), Subgradients of marginal function in parametric mathematical programming, Math- ematical Programming Vol 116, Ser B, 369-396 [B] Tài li¾u tieng Vi¾t [8] Nguyen Phn Hy (2005), Giái tích hàm, NXB Khoa hoc Ky thu¾t [9] Đo Văn Lưu - Phan Huy Khái (2000), Giái Tích Loi, NXB Khoa hoc Ky thu¾t Hà N®i [10] Nguyen Xn Liêm (1997), Giái tích hàm, NXB Giáo dnc [11] Nguyen Văn Manh (2009), Nón pháp tuyen khơng loi ngun lý cnc tr%, Lu¾n Văn Thac sĩ Tốn hoc, Vi¾n Tốn hoc - Vi¾n Khoa hoc Và Cơng ngh¾ Vi¾t Nam [12] Nguyen Đơng n (2007), Giáo trình giái tích đa tr%, NXB Khoa hoc Tn nhiờn V Cụng nghắ H Nđi ... the không loi) không gian Rn Chương Trình bày khái ni¾m ve h¾ cnc tr%, khái ni¾m tách t¾p hop (có the khơng loi) ba nguyên lý cnc tr% (nguyên lý cnc tr% xác, nguyên lý cnc tr% xap xí, nguyên lý. .. ta chúng minh đưoc rang khơng gian đoi ∗ ngau (Rn) cúa không gian Rn cau vói khơng gian Rn Vì v¾y, ta có the coi không gian đoi ngau (Rn) ∗ cúa không gian Rn khơng gian Rn 1.2 T¾p loi, nón loi,... A tù khơng gian Rn vào khơng gian Rm, tốn tú liên hop A∗ tù không gian Rm vào không gian Rn đưoc xác đ%nh bói cơng thúc (A∗y, x) = (y, Ax) , ∀y ∈ Rm, ∀x ∈ Rn Đ%nh nghĩa 1.9 (Không gian liên hop)