Luận văn sư phạm Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TỪ VĂN KHANH NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN QUỐC TUẤN Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, cho phép tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn - người trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành khố luận Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích nói riêng, thầy khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung, tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu trường Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình tơi người giúp đỡ tơi, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành khóa luận Cuối cùng, khn khổ có hạn khoá luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần tập dượt nghiên cứu khoa học khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, tơi kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Một lần xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Từ Văn Khanh LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn tận tình thầy giáo ThS Nguyễn Quốc Tuấn, khóa luận tốt nghiệp đại học chun nghành Tốn giải tích với đề tài "Ngun lý cực trị khơng gian hữu hạn chiều" hồn thành nhận thức thân tơi, khơng có trùng lặp với khóa luận khác Trong q trình nghiên cứu hồn thành khố luận, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo với trân trọng lòng biết ơn sâu sắc Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Từ Văn Khanh Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức không gian Rn 1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi 1.3 Hàm lồi địa phương 1.4 Các định lý tách 10 1.5 Ánh xạ đa trị 11 Chương Pháp tuyến tập hợp 12 2.1 Định nghĩa tính chất 12 2.2 Phép tính pháp tuyến suy rộng 29 Chương Nguyên lý cực trị 32 3.1 Hệ cực trị 32 3.2 Các nguyên lý cực trị 37 3.3 Nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều 40 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Bảng ký hiệu chữ viết tắt f :X ⇉Y ánh xạ đơn trị từ X vào Y dom f miền hữu hiệu hàm số thực f F :X ⇉Y ánh xạ đa trị từ X vào Y dom F miền hữu hiệu F ref F miền ảnh F gph F đồ thị F N tập số tự nhiên R tập số thực Rn không gian hữu hạn chiều x chuẩn véctơ x x, y tích vơ hướng véctơ x y A chuẩn tốn tử tuyến tính A [x, y] đoạn thẳng nối hai điểm x, y không gian X B hình cầu đóng đơn vị khơng gian X Bε hình cầu đóng đơn vị tâm bán kính ε int A phần A x¯ bao đóng x bd Ω bao đóng Ω cone M hình nón sinh tập hợp M Nε (x; Ω) tập ε−pháp tuyến Ω điểm x ∈ Ω N (x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet N (x; Ω) nón pháp tuyến qua giới hạn LỜI MỞ ĐẦU Giải tích biến phân dựa khái niệm nón pháp tuyến khơng lồi, vi phân khơng lồi, đối đạo hàm qua giới hạn tác giả B S Mordukhovich đề xuất thu hút quan tâm đặc biệt nhiều nhóm nghiên cứu giới Phần sở lý thuyết Giải tích biến phân trình bày chương đầu (Tập 1), phần ứng dụng trình bày chương cuối (Tập 2) sách [5, 6] với tổng cộng 1200 trang in Lý thuyết kết hợp Giải tích khơng trơn Giải tích đa trị Các nguyên lý cực trị sử dụng nón pháp tuyến khơng lồi sở để xây dựng quy tắc tính tốn định lý sở giải tích biến phân Theo [5, trang 249], nguyên lý cực trị cho trường hợp không gian Euclide hữu hạn chiều - tên gọi "phương trình Euler suy rộng" - Kruger Mordukhovich [2] đưa năm 1980 Kết có nguồn gốc cơng trình cơng bố năm 1976 Mordukhovich [3] Tên gọi "nguyên lý cực trị" xuất lần vào năm 1994, cơng trình [4] Có thể coi nguyên lý cực trị theo nghĩa Mordukhovich định lý tách cho hệ tập hữu hạn (không thiết phải tập lồi) Cho Ω1 , , Ωn (n ≥ 2) tập khác rỗng không gian hữu hạn chiều Rn điểm x ∈ n i=1 Ωi Ta nói x điểm cực trị địa phương (a local extremal point) hệ tập {Ω1 , , Ωn } tồn dãy {aik } ⊂ Rn (i = 1, , n) cho aik → k → ∞ lân cận U x thỏa mãn điều kiện n i=1 (Ωi − aik ) ∩U = 0, / với số nguyên dương k đủ lớn Khi đó, hệ {Ω1 , , Ωn , x} gọi hệ cực trị (an extremal system) không gian hữu hạn chiều Rn Như vậy, hệ cực trị hệ hữu hạn tập hợp với điểm x thuộc giao chúng mà ta tách rời địa phương tập (tức làm cho giao chúng với lân cận cho trước x thành tập rỗng) cách làm nhiễu kiểu tịnh tiến tập cho, với phương tịnh tiến véctơ có chuẩn bé số dương lấy tùy ý Ta nói ngun lý cực trị xác (the exact extremal principle) nghiệm cho không gian hữu hạn chiều Rn với hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x}, với Ω1 , , Ωn tập đóng Rn , có tồn pháp tuyến xi∗ ∈ N (xi ; Ωi ) , (i = 1, , n) cho x1∗ + + xn∗ = 0, x1∗ + + xn∗ = 1, N (x; Ωi ) ký hiệu nón pháp tuyến qua giới hạn (cịn gọi nón pháp tuyến Mordukhovich) Ωi x Ngoài nguyên lý cực trị xác, người ta cịn xét ngun lý cực trị xấp xỉ nguyên lý ε-cực trị, nón pháp tuyến Fréchet tập ε-pháp tuyến Fréchet sử dụng thay cho nón pháp tuyến qua giới hạn Là sinh viên khoa Tốn, tơi mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức Tốn học nói riêng lĩnh vực khoa học khác đời sống nói chung Với mục đích làm tăng thêm hiểu biết nguyên lý cực trị không gian hữu chiều, để tích lũy kinh nghiệm cho thân để phục vụ cho công tác học tập, giảng dạy sau này, đồng thời giới thiệu cho bạn sinh viên có nhìn tổng quan sâu sắc nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều Vì lý trên, với góp ý, động viên, giúp đỡ tận tình thầy cô, đặc biệt thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn cộng thêm đam mê thân, mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều" Mục đích khóa luận giới thiệu ba ngun lý cực trị nói tìm hiểu cách tính nón pháp tuyến tập hợp (có thể tập lồi tập khơng lồi) Khóa luận bao gồm lời mở đầu, ba chương, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Chương Trình bày kiến thức (các kiến thức tập lồi, hàm lồi, ánh xạ đa trị ) Chương Trình bày khái niệm ε-pháp tuyến suy rộng nón pháp tuyến qua giới hạn tập hợp (có thể khơng lồi) khơng gian Rn Chương Trình bày khái niệm hệ cực trị, khái niệm tách tập hợp (có thể không lồi) ba nguyên lý cực trị (nguyên lý cực trị xác, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý ε-cực trị) không gian Rn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Quốc Tuấn người tận tình hướng dẫn, giúp tơi suốt qua trình thực khóa luận Đồng thời, tơi xin chân thành cảm ơn thầy tổ Giải tích, thầy khoa Tốn, gia đình tơi người giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Từ Văn Khanh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức không gian Rn Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa không gian Rn ) Ta gọi không gian Rn tập tích Descartes R × R × · · · × R (gồm n thành phần) phần tử không gian Rn gọi điểm (véctơ) biểu diễn n số x = (x1 , x2 , , xn ) , xi ∈ R, i = 1, , n Số xi cách biểu diễn điểm x gọi tọa độ thứ i điểm x Giả sử có hai điểm khơng gian Rn a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) , ta định nghĩa tổng chúng, ký hiệu a + b, điểm Rn với tọa độ a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) , ta định nghĩa tích điểm a với số thực λ , ký hiệu λ a, điểm Rn với tọa độ λ a = (λ a1 , λ a2 , , λ an ) Quy ước: ký hiệu điểm có tất tọa độ gọi điểm gốc, − a điểm (−1)a (tức điểm có tọa độ ngược dấu với tọa độ điểm a) Định nghĩa 1.2 (Tích vơ hướng) Tích vơ hướng hai véctơ a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ), ký hiệu a, b số xác định a, b := a1 b1 + a2 b2 + an bn Định nghĩa 1.3 (Chuẩn véctơ) Chuẩn (hay độ dài) véctơ a, ký hiệu a , số xác định a = a21 + a22 + · · · + a2n Nhận xét 1.1 Tích vơ hướng định nghĩa 1.2 chuẩn định nghĩa 1.3 tương ứng gọi tích vơ hướng chuẩn Euclide Ngồi ra, Rn cịn trang bị nhiều tích vơ hướng chuẩn khác Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Đối với x ∈ Rn ta đặt x = x12 + x22 + · · · + xn2 x, x = Khi đó, với x, y ∈ Rn ta có bất đẳng thức Schwarz | x, y | ≤ x y , hay |x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn | ≤ x12 + x22 + · · · + xn2 y21 + y22 + · · · + y2n Mệnh đề 3.3 cho ta biết hệ cực trị tách hệ tập tách hệ cực trị Mệnh đề 3.3 Cho {Ω1 , , Ωm } , m ≥ 2, họ tập khơng gian Rn với điểm chung Khi đó: (i) Nếu hệ tập {Ω1 , , Ωm } tách với x ∈ m i=1 Ωi , hệ {Ω1 , , Ωn , x} hệ cực trị (ii) Điều ngược lại nghiệm Ωi , (i = 1, , m) tập lồi int Ωi = 0, / i = 1, , m − Đối với hệ tập lồi có điểm chung, tính tách tính cực trị địa phương tương đương Mệnh đề 3.4 (Điều kiện cần đủ để hệ tập lồi hệ cực trị) Cho Ωi , (i = 1, , m) tập không lồi Rn với điểm chung int Ωi = 0, / i = 1, , m − Khi đó, điều kiện (3.9) với U = Rn cần đủ để hệ {Ω1 , , Ωn , x}, với x ∈ m i=1 Ωi lấy bất kì, hệ cực trị 3.2 Các nguyên lý cực trị Mục trình bày ba nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều lý thuyết vi phân tác giả Mordukhovich cộng xây dựng: nguyên lý ε-cực trị, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý cực trị xác Định nghĩa 3.3 Cho {Ω1 , , Ωn , x} hệ cực trị khơng gian Rn Ta nói (i) Hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x} gọi thỏa mãn nguyên lý ε-cực trị 37 với ε > tồn xi ∈ Ωi ∩ (x + εB) xi∗ ∈ Rn , cho xi∗ ∈ Nε (xi ; Ωi ) , i = 1, , m, ∗ x1∗ + + xm =0 ∗ x1∗ + + xm = (3.12a) (3.12b) (3.12c) (ii) Hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x} gọi thỏa mãn nguyên lý cực trị xấp xỉ với ε > tồn xi ∈ Ωi ∩ (x + εB) xi∗ ∈ N (xi ; Ωi ) + εB, i = 1, , m, cho điều kiện (3.12b), (3.12c) thỏa mãn (iii) Hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x} gọi thỏa mãn nguyên lý cực trị xác, tồn véctơ pháp tuyến qua giới hạn xi∗ ∈ N (xi ; Ωi ) , i = 1, , m, thỏa mãn điều kiện (3.12b), (3.12c) Nguyên lý cực trị xác (nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý ε-cực trị) gọi nghiệm không gian Rn , với hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x} Rn , Ωi tập đóng địa phương xung quanh x Nhận xét 3.4 Kí hiệu ε định nghĩa nguyên lý ε-cực trị phần định nghĩa, khác với kí hiệu ε nguyên lý cực trị xấp xỉ Nhận xét 3.5 Vì N (xi ; Ω)+εB ⊂ Nε (x, Ω), nên hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x} thỏa mãn nguyên lý cực trị xấp xỉ thỏa mãn nguyên lý ε-cực trị Khẳng định sau cho ta biết tính chất tập ε-pháp tuyến, nón pháp tuyến Fréchet điểm tập Ω 38 Bổ đề 3.1 Nếu x ∈ int Ω, Nε (x; Ω) = {x∗ ∈ Rn | x∗ ≤ ε} , (3.13) N (x; Ω) = {x∗ ∈ Rn | x∗ = 0} (3.14) Chứng minh Đặt M = {x∗ ∈ R | x∗ ≤ ε} Trước hết ta chứng minh (3.15) Nε (x; Ω) ⊂ M Ta có tập ε-pháp tuyến Nε (x; Ω) := x∗ ∈ Rn | lim sup Ω u→x x∗ , u − x ≤ε u−x Cố định x ∈ int Ω ε ≥ 0, ta xét dãy ut = x + te, e ∈ Rn véctơ đơn vị Do x ∈ int Ω , ta có u0 + te ∈ Ω với t > đủ bé, từ suy ut → x t → Lấy x∗ ∈ Nε (x; Ω) bất kì, ta có x∗ , ut − x ε ≥ lim sup = x∗ , e ut − x t→0+ Do e véctơ đơn vị tùy ý, ta suy x∗ ≤ ε Vậy (3.15) nghiệm Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy tùy ý x∗ ∈ M Ta có x∗ ∈ Nε (x; Ω) Thật vậy, với u ∈ Rn \ {x}, Do u−x x∗ , u − x = x∗ , u−x u−x lim sup Ω u→x x∗ , u − x ≤ ε u−x 39 Vậy x∗ ∈ Nε (x; Ω) Ta chứng minh M ⊂ Nε (x; Ω) (3.16) Kết hợp (3.16) với (3.14), ta thu (3.13) Để thu (3.14), ta việc chọn ε = áp dụng (3.13) Mệnh đề 3.5 (Tính khơng tầm thường nón pháp tuyến qua giới hạn) Nếu nguyên lý cực trị xác cho khơng gian Rn , với tập đóng địa phương Ω ⊂ Rn với x ∈ Ω ta có N (x; Ω) = {0} ⇔ x ∈ bd Ω Chứng minh Điều kiện đủ Nếu x ∈ bd Ω, hệ {Ω, {x} , x} hệ cực trị Áp dụng nguyên lý cực trị xác cho hệ {Ω, {x} , x}, ta tìm véctơ x∗ ∈ N (x, Ω) \ {0} Điều kiện cần Nếu x ∈ int Ω hiển nhiên N (x, Ω) = {0} Do điều kiện N (x, Ω) = {0} kéo theo x ∈ bd Ω 3.3 Nguyên lý cực trị khơng gian hữu hạn chiều Mục trình bày cách chứng minh ngun lý cực trị xác khơng gian hữu hạn chiều Rn đưa điều kiện cần để hệ tập không gian hữu hạn chiều cực trị Bổ đề 3.2 Cho hệ cực trị {Ω1 , , Ωm , x} với Ωi , (i = 1, , m) tập đóng địa phương xung quanh x Khi đó, phép biến đổi tập Ωi , ta thay lân cận U định nghĩa 3.1 Rn mà khơng làm thay đổi tính chất cực trị hệ tập 40 Chứng minh Chọn lân cận U x dãy {aik } (i = 1, , m) thỏa mãn (3.1) Chọn ρ > cho B2ρ (x) ⊂ U aik ∈ Bρ (0) với i ∈ {1, , m} với k > k, k ∈ N Với k > k ta có m i=1 m Ωi ∩ Bρ (x) − aik ⊂ i=1 m = i=1 (Ωi − aik ) ∩U (3.17) [(Ωi − aik ) ∩U] = / Thật vậy, để ta thu (3.17) ta cần chứng tỏ Ωi ∩ Bρ (x) − aik ⊂ (Ωi − aik ) ∩U, ∀i = 1, , m (3.18) Với x ∈ Ωi ∩ Bρ (x) − aik tồn zi ∈ Ωi ∩ Bρ (x) cho x = zi − aik Do x ∈ Ωi − aik Mặt khác, zi ∈ Bρ (x) aik ≤ ρ nên x − x = zi − x − aik ≤ zi − x + aik ≤ 2ρ Từ ta suy x ∈ (Ωi − aik ) ∩ B2ρ (x) ⊂ (Ωi − aik ) ∩U Vậy (3.18) nghiệm Đặt Ω′i = Ωi ∩ Bρ (x) , (i = 1, , m) , ta thấy vế phải (3.17) tập rỗng; n i=1 Ω′i − aik = 0, / ∀k ≥ k Từ định nghĩa nón pháp tuyến qua giới hạn ta có N x; Ω′i = N (x; Ωi ) 41 (3.19) Mặt khác, ta lại có Ω′i , (i = 1, , m), tập đóng địa phương xung quanh x Vậy cách thay Ωi (i = 1, , m) Ω′i (i = 1, , m) giao Ωi với hình cầu đóng có tâm x bán kính dương, ta có (3.19), điều chứng tỏ {Ω′1 , , Ω′m , x} hệ cực trị lân cận U tương ứng lấy Rn Mệnh đề chứng minh Định lý 3.1 (Nguyên lý cực trị xác khơng gian hữu hạn chiều) Nguyên lý cực trị xác nghiệm cho không gian định chuẩn hữu hạn chiều Rn Chứng minh Cho {Ω1 , , Ωi , x} hệ cực trị không gian hữu hạn chiều Rn , với Ωi (i = 1, , m), tập đóng địa phương xung quanh x Do bổ đề 3.2, tồn {aik } ⊂ Rn , aik → k → ∞, cho (3.1) thỏa mãn với U = Rn Xét tốn tìm cực tiểu không ràng buộc n dk (x) := ∑ dist2 (x + aik ; Ω) i=1 + x−x → min, x ∈ Rn , (3.20) dist (x; Ω) kí hiệu hàm khoảng cách điểm x tới tập Ω Do dk (x) hàm liên tục, có tập mức bị chặn, nên theo định lý Wierstrass, tốn (3.20) có nghiệm tối ưu xk Mặt khác, {Ω1 , , Ωm , x} hệ cực trị nên n αk := ∑ dist2 (x + aik ; Ω) > i=1 Thật vậy, hiển nhiên ta có n αk := ∑ dist2 (x + aik ; Ω) ≥ i=1 Nếu n αk := ∑ dist2 (x + aik ; Ω) i=1 42 = (3.21) (3.21) nghiệm dist (xk + aik ; Ωi ) = 0, (i = 1, , m) , hay xk + aik ∈ Ωi , (i = 1, , m) Từ suy xk ∈ Ωi − aik , (i = 1, , m) Điều mâu thuẫn với (3.1) (mà ta lấy U = Rn ) Mặt khác, xk nghiệm tốn (3.20) nên dk (xk ) ≤ dk (x) Suy ≤ dk (xk ) = αk + xk − x n ≤ dk (x) = ∑ aik i=1 Vì aik → k → ∞, với i = 1, , m, nên dk (x) ↓ Do ta có xk → x αk ↓ k → ∞ Lấy ωik ∈ Π (xk + aik ; Ωi ) (ωik xấp xỉ tốt xk + aik tập đóng Ωi ) Khi đó, toán (3.20) tương đương với toán sau n ρk (x) = ∑ i=1 x + aik − ωik + x−x → min, x ∈ Rn (3.22) Do αk > theo chứng minh trên, ρk hàm mục tiêu (3.22) theo biến x áp dụng định lý Fermat điều kiện cần cực trị tốn tối ưu khơng ràng buộc, ta thu n ∗ + (xk − x) = ▽ ρk (xk ) = ∑ xik (3.23) i=1 ∗ = (x + a − ω ) /α , i = 1, , m Vì ω ∈ Π (x + a ; Ω ) nên với xik i ik k ik k ik k ik xk − aik − ωik = dist (xk + aik ; Ωi ) 43 Kết hợp điều với (3.21) ta có ∗ x1k ∗ + + xnk n = (3.24) ∗ ≤ 1, i = 1, , m Do tốn xét khơng gian hữu Từ (3.24) suy xik hạn chiều nên hình cầu đơn vị Rn tập compact, ta đồng không gian đối ngẫu không gian Rn Vì ta ln tìm ∗ → x∗ k → ∞, i = 1, , m Lấy giới xi∗ ∈ Rn , i = 1, , m, cho xik i hạn k → ∞, từ (3.23) ta có x1∗ + + xn∗ = (3.25) Trong khơng gian hữu hạn chiều tính hội tụ yếu hội tụ mạnh trùng nhau, nên từ biểu thức (3.24) ta thu x1∗ + + xn∗ n = (3.26) Từ (3.25) (3.26) suy véctơ xi∗ (i = 1, , m) thỏa mãn điều kiện (3.12b) (3.12c) định nghĩa 3.3 Lại có xk → x k → ∞ ωik ∈ Π (xk + aik ; Ωi ) , i = 1, , m Vì (xk + aik − ωik ) ∈ cone (xik + aik − Π (xk + aik , Ωi )) Do đó, theo cơng thức (2.12) định lý 2.1, ta có xi∗ ∈ N (x; Ωi ) Định lý chứng minh xong Kết hợp định lý 3.1 với mệnh đề 3.5, ta có khẳng định sau: Nếu xét tốn khơng gian hữu hạn chiều Rn x điểm biên tập đóng Ω ∈ Rn N (x; Ω) phải chứa véctơ khác Nói cách khác, cách quan sát nón pháp tuyến qua giới hạn ta phân biệt điểm biên điểm tập đóng 44 Hệ 3.1 Cho hệ cực trị {Ω1 , Ω2 , x}, với Ω1 , Ω2 hai tập lồi không gian hữu hạn chiều Rn Khi Ω1 Ω2 tách theo nghĩa Giải tích lồi Chứng minh Do {Ω1 , Ω2 , x} hệ cực trị xét không gian hữu hạn chiều Rn , áp dụng nguyên lý cực trị xác ta tìm x1∗ ∈ N (x; Ω1 ) , x2∗ ∈ N (x; Ω2 ) thỏa điều kiện x1∗ + x2∗ = 0, x1 + x2 = Đặt x∗ = x1∗ = −x2∗ , ta có x∗ = 0, x∗ ∈ N (x; Ω1 ) ∩ (−N (x; Ω2 )) Vì Ω1 , Ω2 tập lồi, theo mệnh đề 2.2 ta có N (x; Ω1 ) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x ≤ x∗ , x , ∀x ∈ Ω1 } , −N (x; Ω2 ) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x ≥ x∗ , x , ∀x ∈ Ω2 } Từ hai biểu thức ta thu x∗ , u1 ≤ x∗ , x ≤ x∗ , u2 , ∀u1 ∈ Ω1 , ∀u2 ∈ Ω2 Vậy tập Ω1 , Ω2 tách siêu phẳng {x ∈ Rn | x∗ , x = x∗ , x } Hệ chứng minh Nhận xét 3.6 Hệ cho thấy nguyên lý cực trị xác dạng mở rộng mang tính chất địa phương khái niệm tách tập lồi Giải tích lồi cho hệ đóng (có thể khơng lồi) 45 Mệnh đề sau điều kiện cần để hệ siêu mặt hữu hạn chiều cho hàm trơn với điểm chung chúng hệ cực trị không gian Mệnh đề 3.6 Giả sử ψi : Rn → R, i = 1, , m, hàm khả vi liên tục Đặt Ωi = {x ∈ Rn | ψi (x) = 0} , i = 1, , m, giả sử x ∈ m i=1 Ωi Khi đó, ta có khẳng định sau: (i) Nếu {▽ψ1 (x) , , ▽ψm (x)} độc lập tuyến tính {Ω1 , , Ωm , x} khơng hệ cực trị (ii) Sự phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ {▽ψ1 (x) , , ▽ψm (x)} điều kiện cần, điều kiện đủ để {Ω1 , , Ωm , x} hệ cực trị Chứng minh Chứng minh (i): Giả sử phản chứng {Ω1 , , Ωm , x} hệ cực trị Theo định lý 3.1, tồn x∗ ∈ N (x; Ωi ) , i = 1, , m, thỏa mãn điều kiện (3.12b), (3.12c) Mặt khác, ta có ψi , i = 1, , m hàm trơn, x ∈ m i=1 Ωi Ωi = {x | ψi (x) = 0} = ψi−1 ({0}) , i = 1, , m Áp dụng định lý 2.3 cho với f := ψi , ta có N x; ψi−1 ({0}) = ▽ψi (x)∗ N (0; {0}) , (i = 1, , m) (3.27) Do tập điểm {0} ⊂ R tập lồi, ta có N (0; {0}) = {x∗ ∈ R | x∗ , x − ≤ 0, ∀x ∈ {0}} = R Vì vậy, đẳng thức thứ (i) (3.27) tương đương với N (x; Ωi ) = ▽ψi (x)∗ (R) = R ▽ ψi (x) Do xi∗ ∈ N (x; Ωi ), tồn αi ∈ R cho xi∗ = αi ▽ ψi (x) Mặt khác theo (3.12b) (3.12c) ta có m m i=1 i=1 ∑ xi∗ = ∑ αi ▽ ψi (x) = 0, 46 (3.28) ∗ x1∗ + + xm = (3.29) Từ (3.29) suy xi∗ không đồng thời không Vậy tồn số i với αi = 0, (3.28) kéo theo {▽ψ1 (x) , , ▽ψm (x)} phụ thuộc tuyến tính, mâu thuẫn với giả thiết Vậy (i) chứng minh Chứng minh (ii): Sự phụ thuộc tuyến tính {▽ψ1 (x) , , ▽ψm (x)} điều kiện cần, điều kiện đủ để {Ω1 , , Ωm , x} hệ cực trị Để làm sáng tỏ điều đó, lấy m = đặt ψ1 : R2 → R, ψ (x, y) = y − x3 , ψ2 : R2 → R = ψ (x, y) = y + x3 Hiển nhiên ta có ψ1 (x, y) , ψ2 (x, y) hàm trơn Đặt Ωi = (x, y) ∈ R2 | ψi (x, y) = (i = 1, 2) Ta có Ω1 ∩ Ω2 = {(0, 0)} Vì ▽ψ1 (0, 0) = ▽ψ2 (0, 0) = (0, 1), nên {▽ψ1 (0, 0) , ▽ψ2 (0, 0)} phụ thuộc tuyến tính Hệ {Ω1 , , Ωm , x} , với x = (0, 0), không hệ cực trị Thật vậy, giả sử phản chứng tồn dãy ak = (αk , βk ) ∈ R2 , k → ∞, lân cận mở U x, thỏa mãn điều kiện (Ω1 − ak ) ∩ Ω2 ∩U = 0/ với k đủ lớn ak → (3.30) Biến đổi tương đương phương trình − (x − ak )3 = x3 − βk , ta thu 2x3 − 3x2 αk + 3xαk2 = αk3 + βk (3.31) Phương trình bậc ba (3.31) ln có nghiệm thực Giả sử xk nghiệm thực phương trình Hiển nhiên ta có xk − αk , xk3 − βk ∈ Ω2 47 (3.32) Vì ak = (αk , βk ) → k → ∞, nên αk → αk → k → ∞ Do đó, lim 2x3 − 3x2 αk + 3xαk2 = lim αk3 + βk = k→∞ k→∞ Suy lim xk = 0, ta có k→∞ lim (xk − αk ) = 0, lim xk3 − βk = k→∞ k→∞ Từ suy rằng, với k đủ lớn ta có xk − αk , xk3 − βk ∈ U (3.33) Mặt khác, ta lại có Ω1 − ak = x − αk , x3 − βk | x ∈ R Do đó, ta có xk − αk , xk3 − βk ∈ Ω1 − ak (3.34) Kết hợp (3.32), (3.33) (3.34) ta thu xk − αk , xk3 − βk ∈ (Ω1 − ak ) ∩ Ω2 ∩U với k đủ lớn Tính chất cuối mâu thuẫn với (3.30) Vậy {Ω1 , Ω2 , x} không hệ cực trị Áp dụng mệnh đề 3.6(i), ta phân tích ví dụ 3.1 theo cách đơn giản sau: Đặt ψ1 (x, y) = x − y ψ2 (x, y) = x + y với x, y ∈ R Ta có Ω1 = {(x, y) | ψ1 (x, y) = 0} , Ω2 = {(x, y) | ψ2 (x, y) = 0} Vì ▽ψ1 (0, 0) = (1, −1) ▽ψ2 (0, 0) = (1, 1) nên hệ {▽ψ1 (0, 0) , ▽ψ2 (0, 0)} độc lập tuyến tính Theo mệnh đề 3.6(i), {Ω1 , Ω2 , (0, 0)} không hệ cực trị 48 KẾT LUẬN Khóa luận hồn thành chủ yếu dựa theo [11] số tài liệu khác Khóa luận trình bày số kiến thức nón pháp tuyến nguyên lý cực trị khơng gian hữu hạn chiều Cụ thể khóa luận đã: 1) Hệ thống lại khái niệm tính chất liên quan đến khơng gian hữu hạn chiều Rn , tập lồi, ánh xạ đa trị, 2) Trình bày khái niệm ε-pháp tuyến suy rộng, nón pháp tuyến qua giới hạn tập hợp (có thể khơng lồi) khơng gian Rn đưa ví dụ minh họa 3) Trình bày khái niệm hệ cực trị, khái niệm tách tập hợp (có thể không lồi) ba nguyên lý cực trị (nguyên lý cực trị xác, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý ε-cực trị) không gian Rn Mặc dù có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong thầy bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khố luận hồn thiện tốt Tơi xin chân thành cảm ơn! 49 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Anh [1] D Bartl (2008), A short algebraic proof of the Farkas’ lemma, SIAM Journal of Optimization, vol 19, 234-239 [2] A Y Kruger, B S Mordukhovich, Extremal points and the Euler equation in nonsmooth optimization, Dokl Akad Nauk BSSR Vol 24,684-687 [3] B S Mordukhovich (1976), Maximum principle in problems of time optimal control with nonsmooth constraints, Journal of Applied Mathematics and Mechanins, Vol 40, 960-969 [4] B S Mordukhovich (1994), Generalized differential calculus for nonsmooth and set-valued mappings, Vol 183, 250-288 [5] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol 1: Basic Theory, Springer, New Your [6] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol 2: Basic Theory, Springer, New Your 50 [7] B S Mordukhovich, N.M Nam, N.D Yen (2009), Subgradients of marginal function in parametric mathematical programming, Mathematical Programming Vol 116, Ser B, 369-396 [B] Tài liệu tiếng Việt [8] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật [9] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải Tích Lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [10] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [11] Nguyễn Văn Mạnh (2009), Nón pháp tuyến khơng lồi ngun lý cực trị, Luận Văn Thạc sĩ Toán học, Viện Toán học - Viện Khoa học Và Công nghệ Việt Nam [12] Nguyến Đơng n (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Và Công nghệ Hà Nội 51 ... cực trị 3.2 Các nguyên lý cực trị Mục trình bày ba ngun lý cực trị khơng gian hữu hạn chiều lý thuyết vi phân tác giả Mordukhovich cộng xây dựng: nguyên lý ε -cực trị, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên. .. cực trị không gian hữu hạn chiều Mục trình bày cách chứng minh ngun lý cực trị xác khơng gian hữu hạn chiều Rn đưa điều kiện cần để hệ tập không gian hữu hạn chiều cực trị Bổ đề 3.2 Cho hệ cực trị. .. trị, khái niệm tách tập hợp (có thể khơng lồi) ba nguyên lý cực trị (nguyên lý cực trị xác, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý ε -cực trị) không gian Rn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới