Luận văn sư phạm Các phép đối xứng trong không gian

GVHD: inh V n Thu Tr L IC M ng i H c S Ph m Hà N i N Trong q trình hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy, Em nh n đ h ng d n, ch b o t n tình c a th y c s đ ng viên inh V n Thu , nh ng ý ki n đóng góp quý báu c a th y t Hình h c - Tr ng i h c S Ph m HƠ N i Qua đơy, Em xin g i l i c m n chơn thƠnh vƠ sơu s c nh t t i th y Thu – ng lu n i tr c ti p h inh V n ng d n vƠ ch b o em su t q trình lƠm khố ng th i em c ng xin bƠy t lòng bi t n chơn thƠnh t i th y t Hình h c giúp đ em hoƠn thƠnh khoá lu n HƠ N i, ngƠy 04 tháng n m 2008 Sinh viên th c hi n inh Th H i Y n SVTH: inh Th H i Y n -1- K30D - Toán GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i L i cam đoan Khoá lu n t t nghi p nƠy lƠ k t qu c a trình h c t p, nghiên c u c a tơi d i s ch b o, dìu d t c a th y cô giáo, đ c bi t lƠ s h ng d n nhi t tình c a th y inh V n Thu Tơi xin cam đoan khố lu n t t nghi p v i đ tƠi : “các phép đ i x ng khơng gian.” Khơng có s trùng l p v i khoá lu n khác SVTH: inh Th H i Y n -2- K30D - Toán GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i A–M đ u Lí ch n đ tƠi B mơn hình h c có m t v trí quan tr ng Toán h c, theo quan m c a Toán h c hi n đ i, hình h c lƠ m t môn khoa h c nghiên c u tính ch t c a hình b t bi n đ i v i nhóm phép bi n hình nƠo c a khơng gian hình h c Tuy v y, ch ng trình Tốn ph thơng, hình h c lƠ m t nh ng môn khoa h c khó Các khái ni m, đ nh ngh a, đ nh lí v phép bi n hình đ ch cđ c p ng trình sách giáo khoa l p 11 nh m cung c p cho h c sinh m t ph ng ti n đ gi i quy t m t l p bƠi tốn hình h c, nhiên vi c gi i tốn nh phép bi n hình ph thơng ch m i gi i h n m t ph ng ch a đ c m r ng không gian Trên th c t vi c v n d ng phép bi n hình gi i quy t bƠi tốn khơng gian nhi u đem l i hi u qu cao, giúp h c sinh tránh đ m t s sai l m, ng nh n gi i b ng ph cao n ng l c t ng qt hố, t ng pháp thơng th c ng, đ ng th i nơng ng t hoá cho h c sinh đem l i nhi u h ng thú h c t p, tìm tòi, nghiên c u khoa h c cho h c sinh lƠm sáng t thêm ph n nƠo v phép bi n hình ch ng trình Tốn ph thơng nên Tôi ch n đ tƠi : “ Các phép đ i x ng không gian.” M c đích nghiên c u Nghiên c u trình bƠy h th ng v phép đ i x ng qua m- ph ng không gian Euclid chi u.s d ng phép vi c gi i quy t tốn v hình h c không gian it - ng,ph m vi nghiên c u it ng nghiên c u: phép đ i x ng - Ph m vi nghiên c u: không gian Euclid chi u SVTH: inh Th H i Y n -3- K30D - Toán GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i Nhi m v nghiên c u - Trình bƠy c s lí thuy t - Nghiên c u ki n th c c b n v phép đ i x ng không gian - Xơy d ng h th ng ví d vƠ bƠi t p minh ho Ph ng pháp nghiên c u Ph ng pháp nghiên c u lí lu n, nghiên c u Sách giáo khoa, Sách tham kh o vƠ tƠi li u có liên quan đ n n i dung đ tƠi SVTH: inh Th H i Y n -4- K30D - Toán GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i B – N i dung Ch ng 1: C s lí lu n 1.Phép bi n hình nh ngh a phép bi n hình 1.1 G i P lƠ t p h p m không gian M t song ánh f: P  P t P vƠo đ c g i lƠ phép bi n hình c a t p h p P Nh v y cho m t phép bi n hình f: P  P lƠ cho m t quy t c đ v i b t kì m M  P , ta tìm đ c m t m M’ = f(M) hoƠn toƠn xác đ nh tho mãn hai u ki n: - N u M, N lƠ hai m phơn bi t c a P f(M), f(N) lƠ hai m phơn bi t c a P - V i m t m M’  P bao gi c ng có m t m M  P cho f(M) = M’ i m f(M) đ m M đ c g i lƠ nh c a m M qua phép bi n hình f Ng c g i lƠ t o nh c a m f(M) qua phép bi n hình f nói Ng cl i i ta nói phép bi n hình f bi n m M thƠnh m f(M) vƠ ta có : f(M) = M’ i mMđ c g i lƠ m b t đ ng c a phép bi n hình f n u f(M) = M Phép bi n hình f d c g i lƠ phép đ ng nh t n u m i m M  P đ u lƠ m b t đ ng c a f, kí hi u lƠ: e 1.2 Các ví d - Trong ch ng trình hình h c l p 11 ph thơng, đ ch cm t s phép bi n hình sau: + Ví d 1: Trong m t ph ng cho m O c đ nh Phép bi n hình bi n m i m O thƠnh nó, bi n m i m M khác O thƠnh m M’ cho O lƠ trung m c a đo n th ng MM’ đ c g i lƠ phép đ i x ng tơm O i mOđ c g i lƠ tơm c a phép đ i x ng đó, vƠ lƠ m b t đ ng nh t c a phép đ i x ng tơm O, kí hi u O SVTH: inh Th H i Y n -5- K30D - Toán GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i + Ví d 1.2: - Cho đ ng th ng   P Phép bi n hình bi n m i m M thu c  thƠnh nó, bi n m i M không thu c  thƠnh M’ cho  lƠ đ phép đ i x ng tr c, kí hi u lƠ ng trung tr c c a đo n th ng MM’ đ c g i lƠ  - Các m thu c  đ u lƠ m b t đ ng c a phép  + Ví d 1.3:  - Trong m t ph ng cho véct v c đ nh - Phép bi n hình bi n m i m M  P  thƠnh m M’ cho MM '  v g i lƠ phép t nh   ti n theo v Kí hi u lƠ T v   - N u v  phép T v khơng có m b t đ ng  - N u v = m i m M  P đ u bi n thƠnh nó, phép bi n hình f tr thƠnh phép đ ng nh t NgoƠi phép quay quanh m t m, phép v t m t ph ng đ u lƠ ví d v phép bi n hình Tích hai ( hay nhi u ) phép bi n hình Trong hình h c ta th N u ta th ng ph i th c hi n nhi u phép bi n hình liên ti p ng dùng m t phép bi n hình f: P  P đ bi n M  P thƠnh m M’  P, r i l i dùng ti p m t phép bi n hình th hai g: P  P đ bi n M’ thƠnh M” ta có: M’= f(M) vƠ M”= g(M’) Khi đó, phép bi n hình h = g.f bi n M thƠnh M” g i lƠ tích c a hai phép bi n hình f vƠ g Ta có: h(M) = (g.f)(M) = g[ f(M) ] = g(M’) = M” - Ta l u ý lƠ phép bi n hình h = g.f lƠ k t qu c a hai phép bi n hình liên ti p l y theo th t phép bi n hình f tr c vƠ phép bi n hình g sau - Nói chung tích ( f.g ) vƠ ( g.f ) lƠ hai phép bi n hình khác SVTH: inh Th H i Y n -6- K30D - Toán GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i + Ví d 2.1:   - Xét hai phép bi n hình T u T v m t ph ng Gi s M lƠ 1đi m b t kì c a m t ph ng   G i M’ = T u (M) vƠ M” = T v (M’) Theo đ nh ngh a c a phép t nh ti n ta có: MM '  u , M 'M"  v   MM "  MM  M 'M"  u  v   Nên tích T u T v lƠ phép t nh ti n theo véct u  v + Ví d 2.2: - Xét hai phép bi n hình: Phép đ i x ng tr c   vƠ phép t nh ti n T v Gi s N lƠ m b t kì c a m t ph ng  G i N’=  (N) vƠ N”= T v (N’)  Ta có: (T v  ) (N) = N”  G i N1 = T v (N) N2 =  (N1)  Ta có: (  T v ) (N’) = N2  Nói chung ta có N”  N2 nên T v     T v Nh v y tích phép bi n hình nói chung lƠ khơng có tính ch t giao hốn Phép bi n hình đ o ng c Cho phép bi n hình f: P  P M  f(M) = M’, M  P SVTH: inh Th H i Y n -7- K30D - Toán GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i Vì f lƠ m t song ánh nên v i m i m M’ thí có m t vƠ ch m t m M mƠ thôi, nên M = f-1(M’) c ng lƠ m t phép bi n hình vƠ g i lƠ phép bi n hình đ o c c a phép bi n hình f ng Rõ rƠng m i phép bi n hình f có nh t m t phép bi n hình đ o ng c f-1 ta có: (f.f-1) (M) = f.[ f-1(M’) ] = f(M) = M’  f.f-1 = e = f-1f + Ví d :  Phép t nh ti n T v có phép bi n hình đ o ng c lƠ phép t nh ti n  T-1 v = T  v  Th t v y: M  P , ta g i M’= T v Ta có MM '  v  M' M  v  T  v (M’) = M -1   T v = Tv Phép bi n hình có tính ch t đ i h p Cho m t phép bi n hình f bi n m M thƠnh M’, sau n u ta th c hi n ti p theo phép bi n hình f đ i v i m M’ vƠ gi s f(M’) = M” N u M”  M ta nói r ng phép bi n hình f có tính ch t đ i h p Ta có : f f M   M hay f  e + Ví d : Phép đ i x ng tr c, phép đ i x ng tơm lƠ phép bi n hình có tính ch t đ i h p SVTH: inh Th H i Y n -8- K30D - Toán GVHD: inh V n Thu Ch Tr ng i H c S Ph m Hà N i ng 2: phép đ i x ng không gian Bài 1: Phép đ i x ng qua tâm nh ngh a : c m t m O, v i m i m M  ta xác đ nh m M’ cho Cho tr   OM '  OM N u M  O M '  O Khi ta nói M’ lƠ nh c a M phép đ i x ng qua tơm O ( ho c đ i x ng tơm O ) vƠ đ đ c kí hi u lƠ : M  M ' i m O c g i lƠ tơm đ i x ng Cho m t hình  H  T p h p nh c a m i m thu c  H  phép bi n đ i l p thƠnh m t hình  H ' đ c g i lƠ nh c a  H  ho c hình đ i x ng v i  H  qua O N u  H   H ' trùng ta nói  H  lƠ hình có tơm đ i x ng Ta kí hi u : :  H    H ' Tính ch t :  Tính ch t 1: có m b t đ ng nh t lƠ m O  Tính ch t 2: lƠ phép bi n đ i - vƠ có phép bi n đ i ng đ i ng c lƠ c, phép bi n  Tính ch t 3: N u A’, B’ lƠ nh c a A, B phép bi n đ i 0,   A' B '   AB  Tính ch t 4: N u A, B, C, D lƠ m n m m t m t ph ng vƠ A’, B’, C’, D’ lƠ nh t ng ng c a m phép bi n đ i m A’, B’, C’, D’ n m m t ph ng * H qu Phép bi n đ i (d) bi n: i) M t ph ng (P) thƠnh m t ph ng (P’) vƠ  P  ฀  P ' ho c (P’) trùng v i (P) N u O thu c (P) O lƠ phép đ i x ng qua tơm O xác đ nh (P) SVTH: inh Th H i Y n -9- K30D - Toán GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i ii) N a m t ph ng (P) thƠnh n a m t ph ng (P’) vƠ  P ' ฀  P  ho c (P’) vƠ (P) l p thƠnh m t m t ph ng iii) Nh di n (P,Q) thƠnh nh di n (P’, Q’) vƠ s đo góc ph ng c a nh di n b ng iv) M t c u (I,R) thƠnh m t c u (I’,R); hình nón (N) thƠnh hình nón (N’) có bán kính đáy vƠ đ dƠi đ ng sinh b ng y u t t ng ng c a (N); hình tr (T) thƠnh hình tr (T’) có bán kính đáy vƠ đ dƠi đ sinh b ng y u t t ng ng ng c a (T) v) Tích c a phép đ i x ng qua tơm phơn bi t lƠ m t phép đ i x ng qua tâm Các ví d :  Ví d 1.1: Cho m t hình h p (H) Ch ng minh r ng giao m đ ng chéo c a (H) lƠ tơm đ i x ng c a L i gi i: Kí hi u ABCDA’B’C’D’ lƠ hình h p vƠ O lƠ giao đ Theo tính ch t c a hình h p ta có : ng chéo c a B A : A C ' B  D' C  A' D  B' A Vì v y, m t ABCD  m t A’B’C’D’ T ng t nh v y v i m t bên ABB’A’, BCC’B’… đ c chuy n thƠnh C’D’DC, A’ C A D A O B’D A D’ A D’A’AD … nh c a m t m thu c (H) s lƠ m thu c (H)  0: (H)  H SVTH: inh Th H i Y n Toán - 10 - K30D - C ’ ’ GVHD: inh V n Thu Ph Tr ng i H c S Ph m Hà N i ng trinh c a (P’) có d ng: Ax + By + Cz + D’ = v i D’ = D - 2aA - 2bB - 2cC * 1.12 - G i I lƠ trung m c a AC’  I  2; 1; 2  0: A C ' C  A' B  D' D  B'   D '  4; 5; 4  B '  3; 3; 4   + BC  AD   x; y  3; z   1  1;1;0  x  3   y  z   V y c   3; 4;0   A'   1; 6; 4  SVTH: inh Th H i Y n Toán - 40 - K30D - GVHD: inh V n Thu BàI 2: PHéP Tr ng i x ng qua đ i H c S Ph m Hà N i ng th ng * 2.1 T di n ABCD có AC = AD = BC = BD Nên theo ví d Ta có: MN lƠ tr c đ i x ng c a t di n ABCD (MN): A B CD K  K '  BD Ta có: AK = BK’ M t khác: MN c ng lƠ tr c đ i x ng c a m t ph ng qua m K, M, N nên không thu c m t ph ng V y K’ lƠ giao c a BD v i (KMN) hay K '  L V y KL  MN Hay t giác MKNL có hai đ ng chéo vng góc * 2.2 G i S lƠ đ nh c a hình chóp vƠ (d) lƠ tr c đ i x ng c a qua S N u (d) song song v i đáy hình chóp, nh c a đáy thu c m t m t ph ng song song v i đáy c a i u nƠy khơng th x y nh khơng thu c hình chóp B i v y, (d) ph i c t m t ph ng đáy Ta xét m t thi t di n b t kì c a hình chóp qua (d) Thi t di n lƠ m t tam giác có tr c đ i x ng, nên tam giác t i S V y (d) vng góc v i c nh đáy c a tam giác vƠ (d) vng góc v i đáy ng th ng (d) lƠ tr c đ i x ng c a đáy, nên giao m c a (d) v i đáy lƠ tơm đ i x ng c a đáy M t đa giác có tơm đ i x ng s c nh c a đa giác lƠ ch n V y m t hình chóp có tr c đ i x ng qua đ nh, đáy c a hình chóp lƠ m t đa giác có s ch n c nh * 2.3 Kí hi u ABCDA’B’C’D’ lƠ hình h p ch nh t  AA' ฀ BB ' ฀ CC ' ฀ DD ' (d) lƠ tr c đ i x ng c a SVTH: inh Th H i Y n Toán - 41 - K30D - GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i Hi n nhiên (d) không n m m t ph ng ch a m t hình h p, v y (d) c t m t ph ng song song c a hình h p khơng thu c c nh c a hình h p Ch ng h n, (d) c t (ABCD) t i I vƠ (A’B’C’D’) t i I’ lƠ m c a hình ch nh t ( N u I I’ trùng v i đ nh nƠo đó, II’ lƠ đ ng chéo hình h p, ch ng h n lƠ đ ng chéo ng chéo lƠ tr c đ i AC’ x ng c a t giác ABC’D’ AB’C’D i u nƠy không th x y ) Ta xét thi t di n t giác c a hình h p qua II’, thi t di n lƠ hình bình hƠnh có tr c đ i x ng, nên lƠ hình ch nh t Có nh t thi t di n khác nh th , nên  d    ABCD   d  ฀ BB ' Xét thi t di n qua BB’ II’ Vì nh n II’ lƠ tr c đ i x ng nên nh c a BB’ CC’ i u ch ng t (d) qua giao m đ ng chéo c a m t (ABCD) (A’B’C’D’) V y m t hình h p ch nh t có khơng q tr c đ i x ng * 2.4 T gi thi t ta có : NP ฀ MQ ฀ CD; NP ฀ MQ ฀ CD; M ' N ' ฀ P ' Q ' ฀ MN ฀ PQ ฀ AB Vì v y  MNPQ  ฀ AB  MNPQ  ฀ CD hay IK   MNPQ  G i E  BM  CD , AE qua N IE c t MN t i trung m c a MN vƠ đ ng trung bình c a hình vng MNPQ qua trung m MN c t IK T ng t , đ ng trung bình c a hình vng M’N’P’Q’ qua trung m c a c nh N’P’ c t IK Ta l i th y r ng đo n n i trung m c a c nh NP vƠ N’P’ vng góc v i m t ph ng (MNPQ), nên song song v i IK vƠ trung m c a SVTH: inh Th H i Y n Toán - 42 - K30D - GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i NP thu c m t ph ng (KAB) i u ch ng t trung m c a NP n m AK vƠ đ ng trung bình c a MNPQ qua trung m c a NP c t IK Các k t qu ch ng t tơm hình vng MNPQ thu c IK T ng t v i hình vng M’N’P’Q’ V y tơm c a hình vng MNPQ vƠ M’N’P’Q’ n m tr c đ i x ng c a t di n * 2.5 + Phân tích : Gi s d ng đ c u bƠi toán: c t di n ABCD tho mãn yêu ng th ng (d) qua trung m N, M c a hai c nh chéo lƠ AB vƠ CD Vì t di n ABCD lƠ t di n đ u nên (d) lƠ tr c đ i x ng c a t di n (d) : A B CD - Xét tam giác ABN có MN  AM - ABCD lƠ t di n đ u nên : AB = CD hay AM = BM = CN = DN + Cách d ng : - D ng B lƠ nh c a A qua phép đ i x ng (d) - G i M  AB   d  D ng N (d) cho MN  AM - D ng đ ng th ng (d’) qua N vƠ vng góc v i (d) - Trên (d’) d ng m C vƠ D cho CN = DN = AM Khi t di n ABCD lƠ t di n c n d ng + Ch ng minh : + Bi n lu n : BƠi tốn có m t nghi m hình * 2.6 G i I, J lƠ trung m c a AA’ vƠ giao đ ng chéo c a hình ch nh t BCC’B’ SVTH: inh Th H i Y n Toán - 43 - K30D - GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i Hi n nhiên IJ lƠ tr c đ i x ng c a AC vƠ A’B’ (IJ): A  A' C  B' V y M vƠ M’ c ng đ i x ng qua IJ V y t p h p trung m c a đo n MM’ thu c đo n IJ * 2.7 G i O  AC  BD Hình chóp SABCD có đáy lƠ hình bình hƠnh vƠ c nh bên SA = SC, SB = SD  SO lƠ tr c đ i x ng c a hình chóp (SO): B  D MN  SO lƠ tr c đ i x ng c a hai đo n BM DN Trên đo n BM vƠ DN có m t ng ng K vƠ H tho mãn: BK DH   HK ฀ BD BM DN Suy ra: H lƠ nh c a K qua phép đ i x ng (SO) V y t p h p trung m c a đo n KH thu c đo n OO’ V i O '  MN  SO  * 2.8 M t ph ng (P) có véc t pháp n n  A, B, C   Ta tìm nh c a véc t n qua phép bi n đ i D ng (Ox)  ON  A, B, C  , N  A, B, C  Kí hi u N’ lƠ nh c a N, suy N '  A,  B, C  SVTH: inh Th H i Y n Toán - 44 - K30D - GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i  V y vect n '  A,  B, C  lƠ vect pháp n c a (P’) Ta ch n M   D  , 0,   ( P ) (gi thi t A  0) Khi nh c a M có to đ  A   D    , 0,   ( P ')  A  V y ph ng trình c a (P’) đ i x ng v i (P) qua Ox lƠ: D  A x    By  Cz   Ax  By  Cz  D  A  T ng t ta có: - Ph ng trình c a (P”) đ i x ng v i (P) qua Oy lƠ: -Ax + By – Cz + D = - Ph ng trình c a (P”’) đ i x ng v i (P) qua Oz lƠ: -Ax - By + Cz + D = * 2.9 M t c u (W) có tơm O  x0 , y0 , z0  , bán kính R - Phép đ i x ng (Ox) bi n m t c u (W) thƠnh m t c u (W’) có tâm O '  x0 ,  y0 ,  z0  , bán kính R ng trình:  x  x0    y  y0    z  z0   R2 V y (W’) có ph - Phép đ i x ng (Oz) 2 bi n m t c u (W) thƠnh m t c u (W”) có tâm O "   x0 ,  y0 , z0  , bán kính R ng trình:  x  x0    y  y0    z  z0   R2 V y (W”) có ph 2 * 2.10 M t ph ng qua M vƠ vuông góc v i (d) có ph ng trình:  x  1   y     z     x y z3  Giao m H c a m t ph ng v i (d) có to đ  1, 1, 1 G i M’ lƠ nh c a M qua phép bi n đ i (d)  M '  3, 2,  SVTH: inh Th H i Y n Toán - 45 - K30D - GVHD: inh V n Thu Tr BàI 3: PHéP ng i H c S Ph m Hà N i i x ng qua m t m t ph ng * 3.1 N u M lƠ m thu c hình thang vƠ M’ lƠ nh c a M qua phép bi n đ i (p), MM’ m t đo n th ng vng góc v i (P) VƠ M’ thu c m t ph ng ch a hình thang i u ch ng t m t ph ng ch a hình thang vƠ m t ph ng đ i x ng (P) vng góc v i G i (x) lƠ giao n c a hai m t ph ng Hi n nhiên (x) c t vƠ vng góc v i MM’ Do (x) lƠ tr c đơí x ng bi n M thƠnh M’ ó lƠ u ph i ch ng minh * 3.2 G i (P) lƠ m t ph ng đ i x ng c a hình bình hƠnh Vì phép bi n đ i (P) bi n hình binh hƠnh thƠnh nó, nên m t ph ng hình bình hƠnh c ng bi n thƠnh Vì v y (P) c t vƠ vng góc v i m t ph ng hình bình hƠnh theo m t giao n (x), Giao n (x) c ng lƠ tr c đ i x ng c a hình bình hƠnh Vì hình bình hƠnh có hai c nh liên ti p khác nhau, nên đ ng chéo không th lƠ tr c đ i x ng c a Nh v y (x) vng góc v i c nh c a hình bình hành t * 3.3 = (P)  (Q)  (P) Ta c n ch ng minh r ng m t ph ng (R) lƠ m t ph ng b t đ ng c a V i M b t kì thu c (R) ta có: (P): M  M '  Q (Q): M M' (P): M'M SVTH: inh Th H i Y n Toán - 46 - K30D - GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i V y (R) lƠ m t ph ng b t đ ng c a phép bi n đ i V i M   R ta có: Nh v y ta th y: (P) (P): M  M1, MM1   P  t i I (Q): M1  M 2, M1M   Q  t i K (P): M  M ', M M '   P  t i H : M1  M M2  M ' Do đó: M1M  MM ' K  K ' lƠ trung m c a MM’ Vì K   Q  nên K '   R H n n a M1M   Q  , MM '   R Tóm l i (R) lƠ m t ph ng trung tr c c a MM’ vƠ (R) lƠ phép đ i x ng qua (R) * 3.4 G i (P) lƠ m t ph ng đ i x ng c a góc ฀yOz Vì (P) khơng ch a m t ph ng (xOy) nên  P    xOy Trên Oy Oz l y m B vƠ C cho OB = OC Hi n nhiên B đ i x ng v i C qua (P), BC   P  t i trung m c a BC L y Ox m A cho OA = OB kí hi u (Q) lƠ m t ph ng đ i x ng ฀ ,  Q   AB t i trung m c a AB V y (P), (Q) c t m t c a góc xOy ph ng theo giao n lƠ đ ng trung tr c c a c nh tam giác ABC Vì v y, giao n (d) c a (P) vƠ (Q) qua tơm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC vƠ vng góc v i (ABC) * 3.5 G i (P) lƠ m t ph ng đ i x ng c a góc ฀yOz Khi (P) qua phơn giác c a góc vƠ vng góc v i m t ph ng ch a góc Ta ch ng minh đ c : M t ph ng qua phơn giác c a góc ฀yOz vƠ tia Ox c ng vng góc v i m t ph ng ch a góc SVTH: inh Th H i Y n Toán - 47 - K30D - GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i Vì Ox khơng vng góc v i (yOz) vƠ tính nh t c a m t ph ng qua m tđ ng th ng vƠ vng góc v i m t m t ph ng, ta suy hai m t trùng * 3.6 + Ta xét phép bi n đ i Z = (P)  Ta th y  d    P  t i O nên : (d) (d) :O  O (P) : O  O V y O lƠ m b t đ ng qua phép bi n đ i Z (d) : M  M ' MM '   d  t i I (P) : M '  M " M ' M "   P  t i K V i M không trùng v i O Ta có : - N u M   P  I  O M '   P  Hi n nhiên M "  M ' V y M” đ i x ng v i M qua O - N u M không thu c (P) vƠ (d), MM ' ฀  P  M ' M '' ฀  d  Ta có : MO = IK = OM” V y Z lƠ phép đ i x ng qua O + Xét phép bi n đ i Z’ = Ch ng minh t (d)  (P) ng t ta có Z’ lƠ phép đ i x ng qua O * 3.7 G i S lƠ đ nh nón Ta ch ng minh r ng S bi n thành Kí hi u S’ lƠ nh c a S Vì S’ c ng thu c (N) nên S’ ho c n m m t đ ng sinh nƠo c a (N) ho c thu c đáy c a (N) N u S’ thu c m t đ ng sinh SA nƠo ( A thu c đáy c a (N)) S’ ph i trùng v i A, n u khơng nh c a A lƠ A’ thu c tia đ i c a tia SA i u ch ng t A’ khơng thu c (N) SVTH: inh Th H i Y n Toán - 48 - K30D - GVHD: inh V n Thu Tr V y (P) lƠ m t ph ng trung tr c c a đ ng i H c S Ph m Hà N i ng sinh SA vƠ (P) ph i c t m t ph ng đáy c a (N) Ta kí hi u (SAB) lƠ m t thi t di n qua tr c c a (N) Thi t di n nƠy vng góc v i (P), v y nh c a B qua phép đ i x ng qua (P) ph i thu c m t ph ng (SAB) M t khác l i thu c (N) Vì v y nh c a B lƠ m chung c a (N) vƠ (SAB) mƠ m chung lƠ A vƠ B Hi n nhiên A vƠ B không đ i x ng v i qua (P) Vì v y nh c a B lƠ B i m B thu c (P) G i (x) lƠ giao n c a (P) v i m t ph ng đáy (N), (x) lƠ ti p n c a đ ng tròn đáy (N) Ta xét m t đ CD ฀  P  G i C’, D’ l n l ng kính đáy lƠ CD song song v i (x), t lƠ m đ i x ng c a C, D qua (P), C ' D ' ฀ CD C ' D '  CD :  M t khác C’, D’ thu c m t xung quanh c a (N) ( đáy nón khơng n m (P)) vƠ C’D’ song song v i đáy c a (N) Ta xét đ ng sinh SC1 ch a C’ vƠ SD1 ch a D’, C1D1 dây cung c a đáy (N) vƠ C1D1  C ' D ' , suy C1D1  CD Mơu thu n ch ng t S ph i thu c (P) Hi n nhiên (P) không song song v i đáy c a (N), n u khơng nh c a m b t kì thu c đáy c a (N) khơng thu c (N) ( nh n m khác phía v i (N) đ i v i (P), nên không thu c (N)) Ta v n kí hi u (x) lƠ giao n c a (P) v i đáy (N) vƠ AB lƠ đ ng kính đáy vng góc v i (x) Thi t di n  SAB   P  , v y nh A v a thu c m t ph ng (SAB) v a thu c (N) Vì (P) khơng ch a SA, nên nh c a A ch có th lƠ B V y (x) qua tơm c a đáy (N), ngh a lƠ (P) qua tr c (N) Tr đ ng h p S’ lƠ m n m hình tròn đáy nón, ta c ng ch ng minh c (P) qua tr c (N) SVTH: inh Th H i Y n Toán - 49 - K30D - GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i  * 3.8 Gi s N  A, B, C  , ON  A, B, C  lƠ véct pháp n c a m t ph ng (P) ( O lƠ g c to đ ) Gi s A , m M   D  , 0,    P   A  Phép đ i x ng qua m t ph ng (Oxy) bi n N thƠnh N’ có to đ  A, B, C  , m M thƠnh M’ trùng v i M, m t ph ng (P) bi n thƠnh m t ph ng (P’) qua  M vƠ vng góc v i ON V y ph ng trình (P’) đ i x ng v i (P) qua m t ph ng (Oxy) có d ng : Ax + By - Cz + D = T ng t , ta có: -Ph ng trình (P’’) đ i x ng v i (P) qua m t ph ng (Oxz) có d ng : Ax - By + Cz + D = -Ph ng trình (P’’’) đ i x ng v i (P) qua m t ph ng (Oyz) có d ng : -Ax + By + Cz + D = * 3.9 M t c u (W) có tơm I  x0 , y0 , z0  có bán kính R - Phép đ i x ng qua m t ph ng (Oxy) bi n m t c u (W) thƠnh m t c u (W’) có tơm I '  x0' , y0' , z0'  lƠ nh c a I  x0 , y0 , z0  qua phép đ i x ng vƠ có bán kính b ng bán kính m t c u (W) Ta có : I '  x0 , y0 ,  z0  V y m t c u (W’) có ph  x  x0    y  y0    z  z0  T 2 ng trình:  R2 ng t ta có : - Ph ng trình m t c u (W’’) đ i x ng v i (W) qua m t ph ng (Oyz) lƠ:  x  x0    y  y0    z  z0  - Ph 2  R2 ng trình m t c u (W’’’) đ i x ng v i (W) qua m t ph ng (Oxz) lƠ:  x  x0    y  y0    z  z0  SVTH: inh Th H i Y n Toán - 50 -  R2 K30D - GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i * 3.10 Gi s m t ph ng (P) : x  y  z   G i N lƠ m thu c m t ph ng (P) cho ON   P   N 1,1,1 V y nh c a g c to đ O  0, 0,  phép đ i x ng qua m t ph ng (P) có to đ lƠ  2, 2,  * 3.11 G i A’ lƠ nh c a A qua phép đ i x ng qua m t ph ng (P) Khi giao m c a A’B vƠ m t ph ng (P) n u có lƠ m c n tìm Th t v y, v i M’ b t kì thu c (P), M’ khơng trùng M Ta có : M ' A M ' B  M ' A' M ' B  A' B  MA' MB * 3.12 G i (x’) lƠ nh c a (x) qua phép đ i x ng (P), :  x ' ฀  y  G i (z) lƠ giao n c a m t ph ng qua (x’) vƠ (y) v i (P) M i m M thu c (z) lƠ m c n tìm SVTH: inh Th H i Y n Toán - 51 - K30D - GVHD: inh V n Thu Tr SVTH: inh Th H i Y n Toán - 52 - ng i H c S Ph m Hà N i K30D - GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i Ph n 3: K t lu n Vi c đ a phép bi n hình vƠo ch ng trình tốn ph thơng, đ c bi t vi c đ a phép bi n hình vƠo hình h c khơng gian giúp h c sinh nh n bi t đ cm i quan h m i gi a hình h c ph thông ánh x - t p h p m khơng gian Nó cung c p m t công c h u hi u đ gi i l p bƠi tốn v hình h c không gian, phát tri n t hƠm cho h c sinh Lu n v n đ a h thơng lý thuy t, ví d minh ho vi c ng d ng phép đ i x ng, h th ng bƠi t p luy n t p b ph c đ u th hi n tính u vi t c a ng pháp bi n hình vi c gi i quy t bƠi tốn bi n hình khơng gian Nh v y đ tƠi: “ Các phép đ i x ng không gian ” hoƠn thƠnh n i dung vƠ đ t đ B c m c đích nghiên c u c đ u lƠm quen v i nghiên c u khoa h c, ch c ch n lu n v n không th tránh kh i nh ng thi u sót Tơi r t mong mu n th y cô, b n sinh viên, đ c gi đóng góp ý ki n, trao đ i đ lu n v n hoƠn thi n h n vƠ th c s s lƠ tƠi li u tham kh o b ích SVTH: inh Th H i Y n Toán - 53 - K30D - GVHD: inh V n Thu Tr ng i H c S Ph m Hà N i TÀI LI U THAM KH O Bùi V n Bình - Nguy n V n V n, Giáo trình hình h c s c p, HSP HƠ N i 1993 Bùi V n Bình, BƠi t p hình h c s c p, HSP HƠ N i 2, 1993 Thanh S n, Các phép bi n hình khơng gian, NXB Giáo d c, 2005 V n Nh C ng, Hình h c afin vƠ hình h c clit, NXB Giáo d c, 2000 Ph m Kh c Ban – Ph m Bình ơ, Hình h c afin vƠ hình h c clit nh ng ví d vƠ bƠi t p, NXB i h c s ph m 2004 Nguy n M ng Hy, Các phép bi n hình m t ph ng, NXB Giáo d c, 2000 T p chí tốn h c vƠ tu i tr SVTH: inh Th H i Y n Toán - 54 - K30D - ... nƠo v phép bi n hình ch ng trình Tốn ph thơng nên Tơi ch n đ tƠi : “ Các phép đ i x ng khơng gian. ” M c đích nghiên c u Nghiên c u trình bƠy h th ng v phép đ i x ng qua m- ph ng không gian Euclid... 1: C s lí lu n 1 .Phép bi n hình nh ngh a phép bi n hình 1.1 G i P lƠ t p h p m không gian M t song ánh f: P  P t P vƠo đ c g i lƠ phép bi n hình c a t p h p P Nh v y cho m t phép bi n hình f:... m t m, phép v t m t ph ng đ u lƠ ví d v phép bi n hình Tích hai ( hay nhi u ) phép bi n hình Trong hình h c ta th N u ta th ng ph i th c hi n nhi u phép bi n hình liên ti p ng dùng m t phép bi