Các phép đối xứng trong không gian

GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội LỜI CẢM ƠN Trong q trình hồn thành khóa luận này, Em nhận động viên hướng dẫn, bảo tận tình thầy Đinh Văn Thuỷ, ý kiến đóng góp quý báu thầy tổ Hình học - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Qua đây, Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thuỷ – người trực tiếp hướng dẫn bảo em suốt trình làm khoá luận Đồng thời em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy tổ Hình học giúp đỡ em hồn thành khố luận Hà Nội, ngày 04 tháng năm 2008 Sinh viên thực Đinh Thị Hải Yến SVTH: Đinh Thị Hải Yến -1- K30D - Toán GVHD: Đinh Văn Thuỷ SVTH: Đinh Thị Hải Yến Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội -2- K30D - Toán Lời cam đoan Khoá luận tốt nghiệp kết q trình học tập, nghiên cứu tơi bảo, dìu dắt thầy giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình thầy Đinh Văn Thuỷ Tơi xin cam đoan khố luận tốt nghiệp với đề tài : “các phép đối xứng không gian.” Khơng có trùng lặp với khố luận khác A – Mở đầu Lí chọn đề tài Bộ mơn hình học có vị trí quan trọng Toán học, theo quan điểm Toán học đại, hình học mơn khoa học nghiên cứu tính chất hình bất biến nhóm phép biến hình khơng gian hình học Tuy vậy, chương trình Tốn phổ thơng, hình học mơn khoa học khó Các khái niệm, định nghĩa, định lí phép biến hình đề cập chương trình sách giáo khoa lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh phương tiện để giải lớp tốn hình học, nhiên việc giải tốn nhờ phép biến hình phổ thơng giới hạn mặt phẳng chưa đươc mở rộng không gian Trên thực tế việc vận dụng phép biến hình giải tốn khơng gian nhiều đem lại hiệu cao, giúp học sinh tránh số sai lầm, ngộ nhận giải phương pháp thông thường, đồng thời nâng cao lực tổng quát hoá, tương tự hoá cho học sinh đem lại nhiều hứng thú học tập, tìm tòi, nghiên cứu khoa học cho học sinh Để làm sáng tỏ thêm phần phép biến hình chương trình Tốn phổ thông nên Tôi chọn đề tài : “ Các phép đối xứng không gian.” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu trình bày hệ thống phép đối xứng qua m- phẳng không gian Euclid chiều.sử dụng phép việc giải tốn hình học khơng gian Đối tương,phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: phép đối xứng - Phạm vi nghiên cứu: không gian Euclid chiều Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lí thuyết - Nghiên cứu kiến thức phép đối xứng khơng gian - Xây dựng hệ thống ví dụ tập minh hoạ Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận, nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách tham khảo tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài B – Nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận 1.Phép biến hình 1.1 Định nghĩa phép biến hình Gọi P tập hợp điểm không gian Một song ánh f: từ P vào P→ P gọi phép biến hình tập hợp P Như cho phép biến hình f: P → P cho quy tắc để với điểm M ∈ P , ta tìm điểm M’ = f(M) hoàn toàn xác định thoả mãn hai điều kiện: - Nếu M, N hai điểm phân biệt P f(M), f(N) hai điểm phân biệt P - Với điểm M’ ∈P có điểm M ∈ P cho f(M) = M’ Điểm f(M) gọi ảnh điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm M đươc gọi tạo ảnh điểm f(M) qua phép biến hình f nói Người ta nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm f(M) ta có : f(M) = M’ Điểm M gọi điểm bất động phép biến hình f f(M) = M Phép biến hình f dược gọi phép đồng điểm M ∈P điểm bất động f, kí hiệu là: e 1.2 Các ví dụ - Trong chương trình hình học lớp 11 phổ thông, học số phép biến hình sau: + Ví dụ1 1: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định Phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm đoạn thẳng MM’ gọi phép đối xứng tâm O Điểm O gọi tâm phép đối xứng đó, điểm bất động phép đối xứng tâm O, kí hiệu ĐO Ta chứng minh : Mặt phẳng qua phân giác góc yOz tia Ox vng góc với mặt phẳng chứa góc Vì Ox khơng vng góc với (yOz) tính mặt phẳng qua đường thẳng vng góc với mặt phẳng, ta suy hai mặt trùng * 3.6 + Ta xét phép biến đổi Z = Đ(P)  Đ(d) Ta thấy ( d ) ⊥ ( P) O nên : Đ(d) : O  O Đ(P) : O  O Vậy O điểm bất động qua phép biến đổi Z Với M khơng trùng với O Ta có : Đ(d) : M  M ' MM ' ⊥ ( d ) I M - Nếu ∈ ( P) I ≡ O Đ(P) : M '  M " M'M" ⊥ (P) K M '∈( P ) Hiển nhiên M " ≡ M ' Vậy M” đối xứng với M qua O - Nếu M khơng thuộc (P) (d), MM '  ( P ) Ta có : MO = IK = OM” M ' M ''  ( d ) Vậy Z phép đối xứng qua O + Xét phép biến đổi Z’ = Đ(d)  Đ(P) Chứng minh tương tự ta có Z’ phép đối xứng qua O * 3.7 Gọi S đỉnh nón Ta chứng minh S biến thành Kí hiệu S’ ảnh S Vì S’ thuộc (N) nên S’ nằm đường sinh (N) thuộc đáy (N) Nếu S’ thuộc đường sinh SA ( A thuộc đáy (N)) S’ phải trùng với A, khơng ảnh A A’ thuộc tia đối tia SA Điều chứng tỏ A’ khơng thuộc (N) Vậy (P) mặt phẳng trung trực đường sinh SA (P) phải cắt mặt phẳng đáy (N) Ta kí hiệu (SAB) thiết diện qua trục (N) Thiết diện vng góc với (P), ảnh B qua phép đối xứng qua (P) phải thuộc mặt phẳng (SAB) Mặt khác lại thuộc (N) Vì ảnh B điểm chung (N) (SAB) mà điểm chung A B Hiển nhiên A B không đối xứng với qua (P) Vì ảnh B B Điểm B thuộc (P) Gọi (x) giao tuyến (P) với mặt phẳng đáy (N), (x) tiếp tuyến đường tròn đáy (N) Ta xét đường kính đáy CD song song với (x), CD  ( P ) Gọi C’, D’ điểm đối xứng C, D qua (P), : C ' D '  CD  C ' D ' = CD Mặt khác C’, D’ thuộc mặt xung quanh (N) ( đáy nón khơng nằm (P)) C’D’ song song với đáy (N) Ta xét đường sinh SC1 chứa C’ SD1 chứa D’, C1D1 dây cung đáy (N) C1D1 > C ' D ' , suy C1D1 > CD Mâu thuẫn chứng tỏ S phải thuộc (P) Hiển nhiên (P) không song song với đáy (N), khơng ảnh điểm thuộc đáy (N) khơng thuộc (N) ( ảnh nằm khác phía với (N) (P), nên khơng thuộc (N)) Ta kí hiệu (x) giao tuyến (P) với đáy (N) AB đường kính đáy vng góc với (x) Thiết diện (SAB) ⊥ ( P ) , ảnh A vừa thuộc mặt phẳng (SAB) vừa thuộc (N) Vì (P) khơng chứa SA, nên ảnh A B Vậy (x) qua tâm đáy (N), nghĩa (P) qua trục (N) Trường hợp S’ điểm nằm hình tròn đáy nón, ta chứng minh (P) qua trục (N)  * 3.8 Giả sử N ( A, B, C ) , ON ( A, B,C véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P) ( O gốc toạ độ )  D  G iả M − , 0, ∈ ( P ) A sử ≠ , điểm   A   Phép đối xứng qua mặt phẳng (Oxy) biến N thành N’ có toạ độ ( A, B, −C ) , O điểm M thành M’ trùng với M, mặt phẳng (P) biến thành mặt phẳng (P’) qua M vng góc với  Vậy phương trình (P’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng (Oxy) có dạng : Ax + By - Cz + D = Tương tự, ta có: -Phương trình (P’’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng (Oxz) có dạng : Ax - By + Cz + D = -Phương trình (P’’’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng (Oyz) có dạng : -Ax + By + Cz + D = * 3.9 Mặt cầu (W) có tâm I ( x0 , y0 , z0 ) có bán kính R - Phép đối xứng qua mặt phẳng (Oxy) biến mặt cầu (W) thành mặt cầu (W’) ' I ' ( x , có tâm y ' , z ' ) ảnh I ( x0 ) qua phép đối xứng , y0 , có bán z0 0 )2 kính bán kính mặt cầu (W) ) + ( z− z = R 0 − x R2 2 ++ (( y z ( x ) ) )2 − x 2 = R2 + + + − z y ( y Phương trình mặt cầu (W’’) đối xứng với (W) qua mặt phẳng (Oyz) là: (x)(y + x − y + ( z + − y z Tương tự ta có : Phương trình mặt cầu (W’’’) đối xứng với (W) qua mặt phẳng (Oxz) là: Ta I ' x , y , −z0 có ( 0 : ) Vậy mặt cầu (W’) có phương trình: ( x ) ) )2 = 0 * 3.10 Giả sử mặt phẳng (P) : x + y + z =  Gọi N điểm thuộc mặt phẳng (P) cho ON ⊥ ( P ) → N (1,1,1) Vậy ảnh gốc toạ độ O (0, 0, phép đối xứng qua mặt phẳng (P) có 0) toạ độ (2, 2, ) * 3.11 Gọi A’ ảnh A qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P) Khi giao điểm A’B mặt phẳng (P) có điểm cần tìm Thật vậy, với M’ thuộc (P), M’ khơng trùng M Ta có : M ' A − M ' B = M ' A'− M ' B < A' B = MA'− MB * 3.12 Gọi (x’) ảnh (x) qua phép đối xứng Đ(P), : ( x ')  ( y ) Gọi (z) giao tuyến mặt phẳng qua (x’) (y) với (P) Mọi điểm M thuộc (z) điểm cần tìm Phần 3: Kết luận Việc đưa phép biến hình vào chương trình tốn phổ thơng, đặc biệt việc đưa phép biến hình vào hình học khơng gian giúp học sinh nhận biết mối quan hệ hình học phổ thơng ánh xạ - tập hợp điểm khơng gian Nó cung cấp công cụ hữu hiệu để giải lớp tốn hình học khơng gian, phát triển tư hàm cho học sinh Luận văn đưa hệ thơng lý thuyết, ví dụ minh hoạ việc ứng dụng phép đối xứng, hệ thống tập luyện tập bước đầu thể tính ưu việt phương pháp biến hình việc giải tốn biến hình khơng gian Như đề tài: “ Các phép đối xứng không gian ” hồn thành nội dung đạt mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi mong muốn thầy cơ, bạn sinh viên, độc giả đóng góp ý kiến, trao đổi để luận văn hoàn thiện thực tài liệu tham khảo bổ ích TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Văn Bình - Nguyễn Văn Vạn, Giáo trình hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội 1993 Bùi Văn Bình, Bài tập hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 Đỗ Thanh Sơn, Các phép biến hình khơng gian, NXB Giáo dục, 2005 Văn Như Cương, Hình học afin hình học Ơclit, NXB Giáo dục, 2000 Phạm Khắc Ban – Phạm Bình Đơ, Hình học afin hình học Ơclit ví dụ tập, NXB Đại học sư phạm 2004 Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục, 2000 Tạp chí tốn học tuổi trẻ ... + Ví dụ: f f (M hay f = e )= M Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm phép biến hình có tính chất đối hợp Chương 2: phép đối xứng không gian Bài 1: Phép đối xứng qua tâm Định nghĩa : Cho trước... phần phép biến hình chương trình Tốn phổ thơng nên Tơi chọn đề tài : “ Các phép đối xứng không gian. ” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu trình bày hệ thống phép đối xứng qua m- phẳng không gian Euclid... đối xứng với M qua (d) M’ ảnh M qua phép đối xứng kí hiệu Đ(d) : M  M ' Đường thẳng (d) gọi trục đối xứng Nếu quy tắc xác định cho điểm khơng gian, ta có phép đối xứng qua đường thẳng (d) không