Phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng trong không gian vectơ euclide hữu hạn chiều en

MUC LUC Phần 1 MỞ ĐẢU...---- 5222222 ere 5 §3 Phép biến đổi đối xứng Foe eeeceeccceecsseesssessseecseessneessnecsneeesecesseeeseeesneeess 14 §4 Một số phép biến đổi khác trong không gian

LOI CAM ON

Sau một thời gian thực hiện, khóa luận của em đã hoàn thành Đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường, người đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo và động viên em trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận này

Em xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu để khóa luận của em được hoàn thành

Vì thời gian thực hiện còn hạn chế, và đây cũng là lần đầu tiên làm

quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận này có thê còn những thiếu sót Em rất mong được nhận thêm những ý kiến đóng góp của các thầy

cô và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Người thực hiện

Vũ Thị Vân

LOI CAM DOAN

Khóa luận này là kết quá của sự dày công học tập, đúc rút và tổng kết Chắc chắn nó sẽ mang lại những giá trị nhất định

Em xin cam đoan khóa luận này là sản phẩm của riêng em , không trùng với kết quả của tác giả khác

Nếu sai em xin chịu trách nhiệm hoàn toàn

Hà Nội, tháng Š năm 2011 Người thực hiện

Vũ Thị Vân

MUC LUC Phần 1 MỞ ĐẢU 5222222 ere 5

§3 Phép biến đổi đối xứng Foe eeeceeccceecsseesssessseecseessneessnecsneeesecesseeeseeesneeess 14

§4 Một số phép biến đổi khác trong không gian vectơ euclide n chiều 41

KET LUAN oo ececccecccccccssscssscsssssessscssessvcssscsscsscssecssecssessnesseesseessesasessseeseessess 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO - ©2222 ©22222EE22EEEeSEEEEtEEEEerrrrkerrrreev 48

Phần 1: MỞ ĐẦU

I Ly do chon dé tai

Trong chương trình giáo trình Đại số tuyến tính chương trình không gian vectơ Eulide là một phần hình học trừu tượng, là yếu tố mở đầu cho mọi

vấn đề của hình học cao cấp Đặc biệt các phép biến đổi trong không gian

vectơ Euclide mà hai phép biến đổi chủ yếu là phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng là 2 phần quan trọng Hai phép biến đổi này được áp dụng rất nhiều vào các môn hình học cao cấp khác như hình học afin, hình học Euclide

Để hiểu rõ 2 phép biến đối này cùng với sự gợi ý của Thầy Phan Hồng

Trường em đã quyết định nghiên cứu đề tài :

* Pháp biến dỗi trực giao và phép biến dối đỗi xứng trong không gian vecto Euclide hữu hạn chiều E ”

H Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm củng cố kiến thức về các phép biến đổi trong không gian vecto euclide n chiều,

Ill Déi twong va pham vi nghién ctu

Phương pháp biến đổi trong không gian vectơ euclide n chiều

Chủ yếu là hai phép biến đổi trực giao và biến đổi đối xứng trong không gian vecto euclide n chiều

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

¢ Trinh bay co so ly thuyết

¢ Dé xuat phuong phap

¢ X4y dung hé théng dinh nghia, dinh lý

V Phương pháp nghiên cứu

s Thống kê

® Khái quát hóa, trừu tượng hóa

® Nghiên cứu tài liệu tham khảo, Sách Giáo Trình

VỊ Cấu trúc luận văn

§3 Biên đôi đôi ximg cua E

§4 Một số phép biến đổi khác trong không gian Euclide n chiều:

Phần 2: NỘI DUNG

§1 KHONG GIAN VECTO EUCLIDE N CHIEU

1.1 Định nghĩa

Cho V là không gian n chiều trên trường số thực R

a) Ta gọi một dạng song tuyến tính đối xứng rị trên V là một tích vô hướng trên V nếu dạng toàn phương ứng với nó là một dạng toàn phương xác định dương

b) Ta gọi không gian V cùng với một tích vô hướng xác định trên nó là một không gian vectơ Euclide n chiều Ta thường kí hiệu không

gian vectơ euclide n chiều là E"

1.2.3 Tính chất xác định

f aa =0>z=0 1.2.4 Tính chất dương

uu

f a,a 20 1.3 Dinh nghia

Cho E 1a mot khéng gian vecto euclide n chiêu với tích vô hướng của hai vecto œ„Ø và kí hiệu af Khi dé ta goi sé thuc không âm Jaa = Va? là chuẩn (hay độ đài) của vecto a và kí hiệu ||: Vectơ có độ

dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị

Đề ý rằng, nếu cho tích vô hướng thì ta có độ dài vectơ Ngược lại, khi có độ dài vectơ thì tích vô hướng cũng hoàn toàn được xác định Đó là vì

ta CÓ:

ab=> |a+al -lal -|A|

1.4 Dinh ly ( Bat dang thire Cauchy — Schwarz)

Vì le > 0nên về trái là một tam thức bậc 2 đối với t Nó không âm với mọi

giá trị của t nên

FƯ We Wie

`"

Từđó: œ/ <|ø||Z|

Khai căn hai về của bât đăng thức, ta nhận được af < |e\,4]

Trong ¡ ” với tích vô hướng chính tắc, bất đăng thức trên có dạng:

avis 5 [Se Pov Vx,.9,€7

i=l i=l

U,

Gia sử a B la hai vecto khac không của không gian vectơ E”.Ta gọi

là số đo góc giữa hai vecto a, B số thực kí hiệu ø a, B được xác định duy nhât bởi các điêu kiện sau:

Ta coi góc giữa vecto 0 và một vecto khác không là không xác định 1.5 Định nghĩa

ư Hai vectơ a, B EE được gọi là vuông góc ( hay trực giao) với nhau

Ư Ư2 Ư Ư¿ wep wu wpe wp Ww) wy) wy

lz+/||= 2+6 =lal +208+|p] sla] +2[/[4]+|4] wy, wy 2

Rõ ràng vectơ 0ceW' ->W! zØ Với mọi af EW mọi cặp số thực

k,l€j và mọi vectơ ye W tacó

ư ư uw 2 W2

Fl

ư fafa =aa=|f a

= ƒ là một toàn cấu tuyến tính

Vậy ƒ là một đẳng cấu tuyến tính

Ir*Š|-ly 7t fof, Beam rico

2.9 Định lý

Nếu V là một không gian vectơ con của E bắt biến đổi với biến đổi trực giao ƒ: E > E thi phan bù trực giao V` cũng là không gian vectơ con

bắt biến đi với ƒ

fv B=f vf œ =vø=0 Chứng tỏ ƒ 9 eV' Vậy ƒ V' CV" hay

VÌ là không gian con bắt biến đối với ƒ

> By, A By tA Bot owt A,B, =

2.11 Định lý ( liên hệ với giá trị riêng)

Nếu f Ee > E là một biến đổi trục giao thì mọi giá trị riêng ( nếu có) của ƒ đều bằng +# I Khi đó các không gian riêng ( nếu có)

h ƒ vàP, ƒ ứng với các giá trị riêng bằng I va - ] trực gaio với nhau Chứng mình

Gia sử a@ Ia vecto riêng ứng với giá trị riêng 4 của ƒ, nghĩa là

f a = Aa Tacé: f @ f a =aa chonén Aada=aa hay

Ma f2 ui

2? Jal) =a] Te 46 do @#0 nén A? =1, tức là A=+1

Giasi @eP f ,BEP, f

› U,

Gọi A là ma trận của ƒ trong một cơ sở trực chuân cua E thi A’ la

ma trận của ƒ” trong cơ sở đó

Vì ƒ là biên đôi trực giao của E_ <©> A là ma trận trực giao

©A.A=A.A =1,

Điều này tương đương với ƒ”.ƒ = ƒ.ƒ” =idy,

Ảnh xạ ƒ:E ->E được gọi là một phép biên đôi đôi xứng của

E nêu với mọi Vz,@eE_ ta đều có:

u

fa Baaf B 3.2 Dinh lý

Giasw €,,é,, ,€, amdtcoso tly ycua E

: u, UW, Lo ake ake uu wu,

Nêu ƒ:E ->E_ là một phép biên đôi đôi xtmg thi Va,8e EF taludénco:

=Yixy,f 4 = [Snes l$» al af B

wu wu, Điều này đúng với Vø,Øe E' Vậy ƒ là một phép biến đổi đối xứng

Vậy ƒ là một phép biên doi doi xing cua E

3.4 Dinh ly ( Lién hé voi ma tran)

Chứng mình

u, Ul, Lake ak Uw,

Cho ƒ:E ->E là một phép biên đôi đôi xứng của E và ,,P, là

hai không gian vecto riêng của ƒ ứng với hai giá trị riêng khác nhau 4,,/,

BeP,>f B=AB Arh,

Ta chứng minh: “ Mọi nghiệm (phúc) của đa thức đặc trưng của phép

biến đổi đối xứng ƒ đều là thực” Thật vậy:

Giả sử A= a, 1a ma tran cha f trong một cơ sở rực chuẩn nào đó

cua E va A la mot nghiém cua da thie dac trung cua no

Trên trường số phức C ta xét phương trình ma trận:

A-AI, x=0 (x: ma tran ct ) thì do det A—4!„ =0 nên tổn tại ít nhất

một nghiệm không tầm thường x = z

trực chuân ø,,e, e, của E là A

Giả sử 4, A là một nghiệm phức của đa thức đặc trưng D A-Â1

Khi đó vì D A-2„!/ =0 nên hệ phương trình A- 4, X=0 có nghiệm

ã

E là một cơ sở trực chuân gôm toàn

Xét ánh xạ ƒ:E ->E_ Giả sử

những vectơ riêng của ƒ thì ma trận A của ƒ trong cơ sở đó là một ma trận

chéo nên đối xứng Ví thế ƒ là phép biến đổi đối xứng

Giả sử ƒ là phép biến đổi đối xứng Sử dụng chứng minh bằng qui nạp theo

n=dim E có một cơ sở trực chuẩn của E” gồm toàn những vectơ riêng của

ƒ

1 1

® n =l điều đó hiển nhiên đúng vì khi đó với VxeE „ x0 đều là vecto riêng của ƒ

®- Giả sử quy nạp rằng mọi không gian vectơ Euclide có số chiều nhỏ hơn n

mà có một cơ sở trực chuẩn gồm toàn những vectơ riêng của ƒ thì ƒ là một

phép biến đối đối xứng

Theo định 3.6 tồn tại giá trị riêng 2,¢] cua f

Gọi é, là vectơ riêng có độ dài bằng 1 ứng với giá trị riêng 4> é, là không

là các giá trị riêng của A

Chứng mình

Ta chọn không gian vectơ Euclide E số chiều n chính là số hằng và

sô cột ma trận A

U, ưa 2

Xét ánh xạ ƒ:E ->E_ nhận A làm ma trận trong một cơ sở trực chuan nao

đó ¢,,¢,, ,.e, của E_ Do A là ma trận đôi xứng nên theo định lý 3.4 ƒ là on

một phép biến đối đối xứng

những vectơ riêng của ƒ Ma trận B của ƒ là cơ sở &,

chéo với các phân tử trên đường chéo đêu là những giá trị riêng của ƒ

Gọi C là ma trận chuyên từ cơ sở trực chuan @,,é), ,2, n sang co so trực

u

chuân &,,é,, ,€, Cla ma tran trực giao mà ta có:

B=C'.A.C là một ma trận chéo, trong đó các phần tử nằm trên đường chéo đều là các giá trị riêng của A

Ví dụ:

Cho hai dạng toàn phương sau trong KỶ:

H =8x; — 7x3 + 8x; + 8x,.x, — 2x,x, + 8x,x,

K =x) + 4x5 + 2x3 + 2x2,

Ta sẽ tìm một phép biến đổi tuyến tính không suy biến đưa về dạng

chuẩn tắc, đồng thời đưa dạng còn lại về đạng chính tắc

Ta sẽ tiến hành theo các bước chứng minh của hệ quả 3.10 Dùng phương pháp Lagrange đưa K về dạng chình tắc thấy K xác định dương, vì:

2

K =x) + 4x5 4+ 2x3 +2xx,= xt3, +4x54+x5

-1 4 8

Tiếp theo ta sẽ phái tìm một phép biến đổi tuyến tính không suy biến

để đưa H về dạng chính tắc nhưng không làm thay đổi dạng chuẩn tắc của K

Ta sé tim duoc một phép biến đối trực giao như thế bằng cách tìm một ma trận trực giao C sao cho C!AC = C”AC có dạng chéo như trong hệ quả 3.10

Xác định đa thực đặc trưng của ma trận A của dạng toàn phương H:

Đa thức đặc trưng có 3 nghiệm thực: 4, = 4; =9,A,=—9 (kế cả nghiệm bội )

° Voi 1, =A, =9 ta tìm cơ sở trực chuẩn của không gian riêng P,„ của

tự đồng cấu của R có ma trận A trong cơ sở chính tắc bằng cách giải hệ phương trình tuyên tính:

° Voi A, =—9 ta có P,_„ là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

17x+4y-z=0 4x+2y+4z=0

Xét ma trận trực giao với các cột theo thứ tự là các cột tọa độ cua

187.83

12 1 J2 3 32

J2 3 342

Thì C chính là ma trận của phép biến đối trực giao của R” biến cơ sở chính

tắc e,e,,e, thành cơsở #£,,#£,, #; Trong cở sở mới &,,é,, ,6, dang

K có ma trận là C”1,C= C'C= T,, con H là ma trận chéo, với các phần tử năm trên đường chéo chính là các giá trị riêng của A:

9 0 0 CAC=|0 9 0

0 0 -9 Nói một cách khác, sau phép biến đổi y= Cz hay z=C'y:

Đó là phép biến đổi tuyến tính không suy biến phải tìm

Ta nhận thấy phép biến đổi đối tuyến không suy biến trên không phải là đuy nhất vì có nhiều phép biến đối khác nhau đưa K về dạng chuẩn tắc, và cũng

có nhiều cách khác nhau để chọn cơ sở trực chuẩn của KỶ gồm toàn những vectơ riêng của ma tran A

3.12 Định lý

Cho feGL E_ Khi do ƒ được phân tích của một biến đôi đôi xứng

và một biến đổi trực giao hay tích của một biến đổi trực giao và một biến đổi

Tacó f'.f =/” ƒ'` =ƒ' Vậy ƒ ”.ƒ là một biến đổi đôi xứng của E

Nó không suy biến, do ƒ không suy biến

trong đó h 1a mot bién doi truc giao, con g la bién d6i doi xtmg cua E

Chứng minh tương tự, bằng cách xét tích ƒ.ƒ” ta nhận được kết quả còn lại định lý

§4 MOT SO PHEP BIEN DOI KHAC TRONG KHONG GIAN EUCLIDE N CHIEU

ƒ #8 @,=—-f € €& Vi, j=\,n Khi do, với:

4.2 PHEP BIEN DOI DONG DANG

Khido f=fy' y'=<kid,

Ta có ƒ'=7'.ƒ ở đây 7'= Rl là ánh xạ tuyến tính trực giao

Goi rz

vectơ nên nó là đông câu trực giao

Id, thi ƒ= ƒ+}' là đồng cấu bảo tồn chuẩn của moi

KET LUAN

Khóa luận này trình bày về một số phép biến đổi quan trong trong

không gian vecto Euclide htru han chiéu E Dé tai bao gom 3 phan:

§1 Khong gian vecto euclide n chiều

§2 Bién d6i truc giao cua E

§3 Bién doi doi xtmg cua E

§4 Mét sd phép bién d6i khac trong khéng gian Euclide n chiều:

1 Các tính Phép biên đôi phản đôi xứng cua E

2 Phép bién doi dong dang cua E

Tính chất của phép biến đổi , mối quan hệ giữa chúng và ma trận, các điều kiện tương đương và mối liên hệ nếu có giữa các phép biến đổi đó đã được nêu và chứng minh trong khóa luận

Do thời gian và năng lực của bản than còn hạn chế khi bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắc chắn khóa luận của em còn nhiều thiếu

sót Em rất mong được sự đóng góp, trao đổi của các thầy cô để khóa luận này

được hoàn trỉnh hơn

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Phan Hồng Trường đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khoa luận cùng các thầy cô trong khoa, các

thầy cô trong tổ hình đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Vũ Thị Vân