Phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng trong không gian vectơ euclide hữu hạn chiều en

Trang 1

LOI CAM ON

Sau một thời gian thực hiện, khóa luận của em đã hoàn thành Đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường, người đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo và động viên em trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận này

Em xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy cơ khoa Tốn trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu để khóa luận của em được hoàn thành

Vì thời gian thực hiện còn hạn chế, và đây cũng là lần đầu tiên làm

quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận này có thê còn những thiếu sót Em rất mong được nhận thêm những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Người thực hiện

Trang 2

LOI CAM DOAN

Khóa luận này là kết quá của sự dày công học tập, đúc rút và tổng kết Chắc chắn nó sẽ mang lại những giá trị nhất định

Em xin cam đoan khóa luận này là sản phẩm của riêng em , không trùng với kết quả của tác giả khác

Nếu sai em xin chịu trách nhiệm hoàn toàn

Hà Nội, tháng Š năm 2011 Người thực hiện

Trang 3

MUC LUC Phần 1 MỞ ĐẢU 5222222 ere 5 )71609/8)100 027 ‹-1 7 §1 Khơng gian vectơ eucliđe n chiều 2- ¿+ ©+e£++£xevtrxrerxerree 7 H 2 ư n §2 Bién d6i true giao cla EL oiececccccsessesssssesseeseesessessseessesessecsesssesseeseeseeseeseees 13 x 2 £ ư n

§3 Phép biến đổi đối xứng Foe eeeceeccceecsseesssessseecseessneessnecsneeesecesseeeseeesneeess 14

§4 Một số phép biến đổi khác trong không gian vectơ euclide n chiều 41

KET LUAN oo ececccecccccccssscssscsssssessscssessvcssscsscsscssecssecssessnesseesseessesasessseeseessess 47

Trang 4

Phần 1: MỞ ĐẦU

I Ly do chon dé tai

Trong chương trình giáo trình Đại số tuyến tính chương trình không gian vectơ Eulide là một phần hình học trừu tượng, là yếu tố mở đầu cho mọi

vấn đề của hình học cao cấp Đặc biệt các phép biến đổi trong không gian

vectơ Euclide mà hai phép biến đổi chủ yếu là phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng là 2 phần quan trọng Hai phép biến đổi này được áp dụng rất nhiều vào các môn hình học cao cấp khác như hình học afin, hình học Euclide

Để hiểu rõ 2 phép biến đối này cùng với sự gợi ý của Thầy Phan Hồng

Trường em đã quyết định nghiên cứu đề tài :

* Pháp biến dỗi trực giao và phép biến dối đỗi xứng trong không gian vecto Euclide hữu hạn chiều E ”

H Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm củng cố kiến thức về các phép biến đổi trong không gian vecto euclide n chiều,

Ill Déi twong va pham vi nghién ctu

Phương pháp biến đổi trong không gian vectơ euclide n chiều

Chủ yếu là hai phép biến đổi trực giao và biến đổi đối xứng trong không gian vecto euclide n chiều

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

¢ Trinh bay co so ly thuyết

¢ Dé xuat phuong phap

¢ X4y dung hé théng dinh nghia, dinh lý

V Phương pháp nghiên cứu

Trang 5

® Khái quát hóa, trừu tượng hóa

® Nghiên cứu tài liệu tham khảo, Sách Giáo Trình VỊ Cấu trúc luận văn Phan 1: Mé dau Phần 2: Nội dung §1 Khơng gian vectơ euclide n chiều z 2 ư n §2 Bién doi truc giao cua E z 2 Q ư n

§3 Biên đôi đôi ximg cua E

Trang 6

Phần 2: NỘI DUNG

§1 KHONG GIAN VECTO EUCLIDE N CHIEU

1.1 Định nghĩa

Cho V là không gian n chiều trên trường số thực R

a) Ta gọi một dạng song tuyến tính đối xứng rị trên V là một tích vô hướng trên V nếu dạng toàn phương ứng với nó là một dạng toàn phương xác định dương

b) Ta gọi không gian V cùng với một tích vô hướng xác định trên nó là một không gian vectơ Euclide n chiều Ta thường kí hiệu không

Trang 7

1.2.3 Tính chất xác định uu u f aa =0>z=0 1.2.4 Tính chất dương uu f a,a 20 1.3 Dinh nghia U, x

Cho E 1a mot khéng gian vecto euclide n chiêu với tích vô hướng của hai vecto œ„Ø và kí hiệu af Khi dé ta goi sé thuc không âm Jaa = Va? là chuẩn (hay độ đài) của vecto a và kí hiệu ||: Vectơ có độ

dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị

Đề ý rằng, nếu cho tích vô hướng thì ta có độ dài vectơ Ngược lại, khi có độ dài vectơ thì tích vô hướng cũng hoàn toàn được xác định Đó là vì ta CÓ:

wu ye wp we yw

ab=> |a+al -lal -|A|

1.4 Dinh ly ( Bat dang thire Cauchy — Schwarz) wu wu, uu u u Voimoia,BeE tacé lz.) < lz|i⁄l: Chứng mình u Ww wo cẠ Xét trường hợp #0 Ta có /Z+/ >0,V/e¡ Điêu đó tương tương voi: ta ưư ư le| r+2a,p r+|Ø[>0.Vre i u Q z

Vì le > 0nên về trái là một tam thức bậc 2 đối với t Nó không âm với mọi

giá trị của t nên

FƯ We Wie

Trang 8

uu 2 Ư, ,W,2

Từđó: œ/ <|ø||Z|

o£ } sờ uu u

Khai căn hai về của bât đăng thức, ta nhận được af < |e\,4]

Trong ¡ ” với tích vô hướng chính tắc, bất đăng thức trên có dạng:

avis 5 [Se Pov Vx,.9,€7

i=l i=l

U,

Gia sử a B la hai vecto khac không của không gian vectơ E”.Ta gọi là số đo góc giữa hai vecto a, B số thực kí hiệu ø a, B được xác định duy nhât bởi các điêu kiện sau:

Trang 9

Trang 10

Hy =e ut ur 8,” ul My =~ sary H, + 8; h up un ur II k-1 Ø8, ‘ul ME My ata 4ú Tố, i=l H, V6i moi k =2, ,n thi dé thay bang quy nap theo k( = 1, 2, , n) ` uy uu uu uu un uu un TANG /1,/;› ,'= £i,£,, ,6, Và „=0 với k #1 Vậy được một uu CƠ SỞ trực giao f,',f,', ,é4,' Bay gio chi can dat “, = tak thì được co lu: > un uu uu Sở trực chuân /4,/2;, ,//„ UU UU uu v Cơ sở trực giao /,,/,'`, ¿' có được bang cách trực giao hoa 3 um Ul uu ` > Gram— smit co so truc chuan 4, /4, ,44, có được băng cách trực chuân u hóa Gram—smit cosd é, ~ z > un uu uu uU, > Từ đó de thay cho hé true chuan 4,,/4,, ,44, trong E thì có thê , U, bô sung đê được một cơ sở trực chuân của F 1.9 Định nghĩa Giả sử W là một không gian vectơ con của của không gian vectơ U,, ư ư, | - , ou

Euclide E_ Vecto œeE_ gọi là trực giao với W nêu trực giao với mọi vectơ của W và khí hiệu là z.LW

w,

Trang 11

1.10 Dinh ly

Gia sw W là một không gian vecto con cua cua khéng gian vecto

U, › uw ou,w

Euclide E thi phan bu truc giao cuand: W= a@€ E ,a LW làm thành một không gian vecfơ con cua E thi E =WsW-,Wty =W

Chứng mình

Rõ ràng vectơ 0ceW' ->W! zØ Với mọi af EW mọi cặp số thực

Trang 13

ư n §2 BIEN DOI TRUC GIAO CUA E Dinh nghia 2.1 Định nghĩa , U, U, uk 2 Ưy ,

Ảnhxạ ƒ:E ->E được gọi một biên đôi trực giao của E nêu ƒ là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng, tức: wu wu, u u tu Ƒơ Ƒ 8 =ưj, Va,BeE 2.2 Định lý , h u, U, , ae ty

Trang 15

u u u u u 5 suy ra / = 0 hay ƒ kœ+lØ = œ +jƑ Ø Điêu này đúng cho uu wu, Va,BeE và Vk,IeR nên ƒ là ánh xạ tuyên tính Ngoài ra ư ư ư f: E' +E’ bao toan tich v6 hướng nên ƒ là biến đổi trực giao của E 2.4 Dinh ly ~ : 2 U, iy , Fi ‹ Môi biên đổi trực giao của E ” đều là dang cau tuyén tinh Chứng mình u, Uw, oe Gia su f:E — E là một biên đôi trực giao u uw, uw ư ư ur Nêu ƒ a =Othia =aa=fa.fa=0>a=0 1 z £ => Kerf = 0 > ƒ là đơn câu tuyên tính ưa Mat khac, do dim E = dimIm ƒ + dim Kerf ưz => dinE = dimlm ƒ

= ƒ là một toàn cấu tuyến tính

Vậy ƒ là một đẳng cấu tuyến tính 2.5 Định lý

› , uv, U, , ; ưa ñ

Trang 16

¬ u, WwW, , a 2

Trang 17

Ir*Š|-ly 7t fof, Beam rico U, z VậyO E `, với phép toán lây tích ánh xạ là một nhóm con của nhóm Uw, GL E 2.7 Định lý ( Các mỗi liên hệ với ma trận ) › r U, U, Cho A la ma trén cua tw dong cau f:E —E_ trong mot co sé truc ; U, h rò

chuẩn của E_ Khi đó, ƒ là một biên đổi trực giao khi và chỉ khi A'.A = l, (T„: là ma trận đơn vị cấp n), tức khi và chỉ khi A là ma trận trực giao Chứng mình - ưu uu uu 2 U, og Giả sử /,.; /, là một cơ sở trực chuân của E Voi moi ul H1 ur ; i=ln ƒ M, =2 ai, thì Á= a¿ là ma trận của ƒ trong cơ sở trực chuân jel un „ , uu uu , > i, f la bien doi truc giao Oo f “ f LL, =6, (f bién cơ sở trực chuân thành cơ sở trực chuẩn) » our\)/2 UU © bi) = 6; j=l El oS Ya, y= 6, @ A.A=I, y Tuc A 1a ma tran truc giao 2.8 Định nghĩa ( Ma trận trực giao)

Một ma tran Ae Mat nxn;R được gọi là ma trận trực giao nếu A.A=E, hay nói cách khác nếu hệ vectơ cột của A là một hệ trực chuẩn trong #" với tích vô hướng chính tắc

Trang 18

Nếu V là một không gian vectơ con của E bắt biến đổi với biến đổi trực giao ƒ: E > E thi phan bù trực giao V` cũng là không gian vectơ con

bắt biến đi với ƒ Chứng mình Gia su Vc E'la không gian vectơ con bat biến đối với biến đối trực uu, Ư, Cg giao ƒ:E ->E thì ta cũng có fly: V —>V là một biên đôi trực giao Vậy với ul ~ uw u > u môi đeV luôn dzeV dé f a =P 1 „ r re | ⁄ Lúc đó, với yeVˆ ta có: u 1 1 u 1U 1

fv B=f vf œ =vø=0 Chứng tỏ ƒ 9 eV' Vậy ƒ V' CV" hay

Trang 19

uu UUI uu , „ UU UUI uu © Ø,.8, /8, độc lập tuyên tính (với „,z,, ,z,„ là hệ con của hệ UM UUI uu uu ULL uu un uu uu Hy, Ay, ;; /8, là hệ con củahệ /,Ø, /Ø, ) Thật vậy: uu UUU uu „ Giả sử ø,,œ,,, +, độc lập tuyên tính và:

Bat Ay Boat ot A,B =0 ur ur a ur

Trang 21

wo wl =>Vecto , _x Ø, phải trực giao W” Nói riêng nó phải trực giao với i=l chính nó tức là ta có: U + tHỀ wo om Tr UP 2 UU L0) =0=>,~Ð_x,8=0= 8,=Ð_,x,/, i=l i=l i=l Ur r ul r ul uu Tid6: f a, =Yixf a, ==> x8 =B, i=l isl

2.11 Định lý ( liên hệ với giá trị riêng)

Nếu f Ee > E là một biến đổi trục giao thì mọi giá trị riêng ( nếu có) của ƒ đều bằng +# I Khi đó các không gian riêng ( nếu có)

h ƒ vàP, ƒ ứng với các giá trị riêng bằng I va - ] trực gaio với nhau Chứng mình Gia sử a@ Ia vecto riêng ứng với giá trị riêng 4 của ƒ, nghĩa là u u uu wiu uu f a = Aa Tacé: f @ f a =aa chonén Aada=aa hay Ma f2 ui

Trang 22

› U,

Gọi A là ma trận của ƒ trong một cơ sở trực chuân cua E thi A’ la

ma trận của ƒ” trong cơ sở đó

Vì ƒ là biên đôi trực giao của E_ <©> A là ma trận trực giao ©A.A=A.A =1,

Trang 23

ư n §3 PHEP BIEN DOI DOI XUNG CUA E Dinh nghia 3.1 Định nghĩa F u, Un a 2 ake

Ảnh xạ ƒ:E ->E được gọi là một phép biên đôi đôi xứng của

uu, , unr ow, `

E nêu với mọi Vz,@eE_ ta đều có: u fa Baaf B 3.2 Dinh lý u uu UL U, „ > Cho &,,, ,€, n là một cơ sở tùy ý của E_ Khi đó phép biên đôi u, UW, Fi bat Ƒ:E —>E làmội phép biên đôi đôi xứng ki và chỉ khi: u ub u ul f &, €,=éf £, i,j=ln Chứng mình u uu t1 U,

Giasw €,,é,, ,€, amdtcoso tly ycua E

: u, UW, Lo ake ake uu wu,

Trang 24

=Yixy,f 4 = [Snes l$» al af B wu wu, Điều này đúng với Vø,Øe E' Vậy ƒ là một phép biến đổi đối xứng 3.3 Định lý fg U, U, z uw U, Nêu ánh xạ ƒ:E >E có tính chất vư/eE" đều có uu ow u „ „ > f a B=a.f PB thì ƒlà ánh xạ tuyển tính và do đó nó là một phép biên đôi : Uw, doi xung cua E Chứng mình wuu W, Nêu ƒ có tính chât đã nêu thì với Vø,œ;,ØeE_ và Va,,a,e€ R ta có: ul ul ou ub uui u f aa,+aa, P= aataa, f 8 ul u uu u =aa@,.f B +a,a,.f B uu im u =a,.f ơi /+a,.ƒ ở, Uur wE tr = a a taf a, | r ul uur UL uur ư => faataa, —af a -af a, |A=0 U, uu uu ưu uu 1 ư Diéu nay ding voi VBE E nén f aa,+a,a, -af a, —af a, =0 uw ưu un uu , Suy ra: ƒ a4@,+a,@, =af a +a,f a, dodo f la anh xa tuyén tinh ok Ae Ke U,

Trang 25

ưa U, Cho A la ma trén cua dnhxa f:E —E_ trong mét khong gian truc 2 wu, ( 2 ak chuan nao do cua E Luc đó, ƒ là một phép biên doi doi xứng khi và chỉ khi A=A' tức là A là ma trận đối xứng Chứng mình u uu uu 2 U, Xe Giả sử /,./2„ „ là một cơ sở trực chuân của E_ Với môi ¿= l,n wm os uw / „AM tf & = 3 dua, thi A= a, là ma trận của ƒ trong cơ sở trực chuân /, jl Ta co, voi i, j=1,n: uur "U1 UE ch; n Ul ur n Hf Hy = DH Ay Hl; = ya, H iI KI = À_duổ, —đy m ur ull 2 Ut ur n ur ur n iS Hị = Dae = ya Hi = À duổ,, = Gi = K=I kl Do vậy ƒ đối xứng : un uu up uu SM.ƒ Hy = H4 âđa;=a,<â A= A' 3.5 Dinh ly Những không gian con riêng ứng với những giá trị riêng khác nhau u, U, của một ánh xạ ƒ:E —> E đôi một trực giao với nhau Chứng mình

u, Ul, Lake ak Uw,

Cho ƒ:E ->E là một phép biên đôi đôi xứng của E và ,,P, là

hai không gian vecto riêng của ƒ ứng với hai giá trị riêng khác nhau 4,,/,

u u u

Giast a@eRof a =Aa

Trang 26

u ⁄ u u u Doƒ đôi xứng nên ƒ # B=af B u u u u uu uu uu >aAp=aha Bro, ap =1,afB > A,-A, af =0 ưư ư ư =#z8=04,#4,=œưL8=>P, LP, 3.6 Định lý Coke at Wn, Mọi phép biên doi doi xing E déu co vecta riéng Chứng mình

Ta chứng minh: “ Mọi nghiệm (phúc) của đa thức đặc trưng của phép

biến đổi đối xứng ƒ đều là thực” Thật vậy:

Giả sử A= a, 1a ma tran cha f trong một cơ sở rực chuẩn nào đó

U,

cua E va A la mot nghiém cua da thie dac trung cua no Trên trường số phức C ta xét phương trình ma trận:

A-AI, x=0 (x: ma tran ct ) thì do det A—4!„ =0 nên tổn tại ít nhất

một nghiệm không tầm thường x = z T1; T; z#0 mà Az=2z>z.A.z=4.z.z (1) Lấy chuyền vị và phức liên hợp cả hai về, — Tf, —T; A =A=ADZz.AZ=4A.2 22% (2) 1, <I, 1, > x Từ (1) và (2) S Az z=Az.z ma z.z>O0SDA=A tite vecto 4 là sô thực Lake ak wn, Từ đó suy ra: “ Mọi phép biên đôi đôi xứng # đêu có vectơ riêng” 3.7 Định lý : U, Ô : : Néu V la mot khéng gian vecto con cua E bat bién doi voi phép { ¬- u, U, :

biển đổi đối xứng ƒ:E ->E thì phần bù trực giao V` cũng là không gian con bất biến đối với f

Trang 27

Với VưeV' và V/V Ta có: uu sow u s ae ake fa Br=af Bp (do ƒ là phép biên đôi đôi xừng ) u u p=a.f B =0 (doaeV- va f B eV) Qe f » 1 Dodo f a eV’ = ƒ V' CV" hay VẢ cũng là không gian vectơ con bắt biến đối với ƒ 3.8 Dinh ly Mọi nhiệm đặc trưng của phép biến đổi đối xứng đều là ngiém thực Chứng minh cự 2 ag My U, Lege Gia sử phép biên đôi đôi xứng ƒ:E —> E có ma trận đôi với cơ sở > uu u U,

trực chuân ø,,e, e, của E là A

Giả sử 4, A là một nghiệm phức của đa thức đặc trưng D A-Â1

Trang 29

un u u u B=te the t +t,e nhn và us u u “ 8, = kịe + ke, + + k„€ non? Ta có (4) © ƒ 8, =vổ+u, S)o f 8 =uf,-vf, Vi ƒ là biến đổi đối xứng nên: ƯU UU UU UU #8 8,.=8.ƒ 8, ul Ul ul UW ul ul ul Ul >u 8.8, Ty 8,.8, =v 8.8 Tu 1:2 Ul UW 2 ul ul ©v 8,8 + BB, =0 Vì „= 44,52, ,z„ #0 nên LỆ 0 hay 8, 0 nên thừ đó suy ra v = 0 =4,<R Vậy với mọi nghiệm đặc trưng của ƒ đều là số thực 3.9 Dinh ly u, WwW, : a

Cho anh xa f:E > E Luc do, f la mét phép biên doi doi xứng khi và chỉ khi có một cơ sở trực chuẩn gầm toàn những vectơ riêng của ƒ Chứng mình

ư "

E là một cơ sở trực chn gơm tồn

u, w,

Xét ánh xạ ƒ:E ->E_ Giả sử

những vectơ riêng của ƒ thì ma trận A của ƒ trong cơ sở đó là một ma trận

chéo nên đối xứng Ví thế ƒ là phép biến đổi đối xứng

Giả sử ƒ là phép biến đổi đối xứng Sử dụng chứng minh bằng qui nạp theo

n=dim E có một cơ sở trực chuẩn của E” gồm toàn những vectơ riêng của

Trang 30

1 1

® n =l điều đó hiển nhiên đúng vì khi đó với VxeE „ x0 đều là vecto riêng của ƒ

®- Giả sử quy nạp rằng mọi không gian vectơ Euclide có số chiều nhỏ hơn n mà có một cơ sở trực chuẩn gồm toàn những vectơ riêng của ƒ thì ƒ là một

phép biến đối đối xứng

Theo định 3.6 tồn tại giá trị riêng 2,¢] cua f

Gọi é, là vectơ riêng có độ dài bằng 1 ứng với giá trị riêng 4> é, là không wi gian vectơ con bât biên đôi với ƒ Theo dinh ly 3.7 tacé e, cũng bât biên đối với ƒ Uwe tạ Mat khac: dim e, =dimE -l=n—l<n , > uu u wii, Theo giả thiết qui nạp, có một cơ sở trực chuân ¢,,¢,, e, cla e, gom uu u > toàn những vecto riéng cua f: Khi dé ¢,,e,, ,e, là cơ sở trực chuân của U, x tA ” E cũng gơm tồn những vectơ riêng của ƒ 3.10 Hệ quả

Mọi ma trận thực, đối xứng đều chéo hóa được nhờ các ma trận trực giao Cụ thể: Nếu A là ma trận thực, đối xứng thì ma trận trực giao C để cho CAC là một ma trận chéo, trong đó các phần tử nằm trên đường chéo đều là các giá trị riêng của A

Chứng mình

Trang 31

U, ưa 2

Xét ánh xạ ƒ:E ->E_ nhận A làm ma trận trong một cơ sở trực chuan nao

uu u ưạ ;

đó ¢,,¢,, ,.e, của E_ Do A là ma trận đôi xứng nên theo định lý 3.4 ƒ là on

một phép biến đối đối xứng usu uu 2 U, x Theo dinh ly 3.8 thi #,,£; £, là cơ sở rực chuân của E gdm toan uu uu £ gore, é lama tran u

những vectơ riêng của ƒ Ma trận B của ƒ là cơ sở &,

chéo với các phân tử trên đường chéo đêu là những giá trị riêng của ƒ

> > uu u

Gọi C là ma trận chuyên từ cơ sở trực chuan @,,é), ,2, n sang co so trực

u

chuân &,,é,, ,€, Cla ma tran trực giao mà ta có:

B=C'.A.C là một ma trận chéo, trong đó các phần tử nằm trên đường chéo đều là các giá trị riêng của A 3.11 Hệ quả Giả sử + là một dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian vectơ U, ; My „, Euclde E_ Khi đó, tôn tại một cơ sở trực chuẩn của E_ đồng thời là cơ sở 4 trực giao Chứng mình Gọi A là ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng IÐ trong có sở un uu uu ư ; n trực chuân @,,@,, @, naoddcua E n uu uu ư 23*ee, uu 2 n `

Trang 32

ưa E thtacó B=C'AC=C'AC Theo hệ quả 3.9 thì B là một ma trận chéo dạng: A, 0 0 A, trong đó 4,,A,, ,4, là cac gia tri riéng cla A uu uu uu Rõ ràng cơ sở /j,/Ø, /Ø,„ còn là một cơ sở trực H trực giao của ưa E Ý nghĩa hệ quả:

Ta có thế đưa đồng thời hai đạng toàn phương trong đó có một đạng toàn phương xác định dương về dạng chéo trong cùng một cơ sở của không glan vectơ Ví dụ: Cho hai dạng toàn phương sau trong KỶ: H =8x; — 7x3 + 8x; + 8x,.x, — 2x,x, + 8x,x, K =x) + 4x5 + 2x3 + 2x2,

Ta sẽ tìm một phép biến đổi tuyến tính không suy biến đưa về dạng

chuẩn tắc, đồng thời đưa dạng còn lại về đạng chính tắc

Ta sẽ tiến hành theo các bước chứng minh của hệ quả 3.10 Dùng phương pháp Lagrange đưa K về dạng chình tắc thấy K xác định dương, vì:

2

Trang 33

y, =X, + x; Dùng phép bién ddi: 4 y, = 2x, 3 — x; Ta có: H =8x; — 7x5 + 8x; + 8x,.x, — 2x,x, + 8x,x, K=yi+y;+y) Ma trận của H trong cơ sở mới ứng với các biên y,, y›, y; là: 8 4 -I A=|4 -7 4 -1 4 8

Tiếp theo ta sẽ phái tìm một phép biến đổi tuyến tính không suy biến để đưa H về dạng chính tắc nhưng không làm thay đổi dạng chuẩn tắc của K Ta sé tim duoc một phép biến đối trực giao như thế bằng cách tìm một ma trận trực giao C sao cho C!AC = C”AC có dạng chéo như trong hệ quả 3.10

Xác định đa thực đặc trưng của ma trận A của dạng toàn phương H:

8-A 4 -1

det A-AI =det) 4 -7-A 4 |=- Â-9 2+9

-1 4 8-24

Đa thức đặc trưng có 3 nghiệm thực: 4, = 4; =9,A,=—9 (kế cả nghiệm bội )

° Voi 1, =A, =9 ta tìm cơ sở trực chuẩn của không gian riêng P,„ của

Trang 34

Trực giao hóa hệ gồm hai vecto nối trên: uu é, =a, vow wu e, =a, + re, Với ^ được xác định duy nhất bởi điiều kiện ¢, 1 e, UW 9, A=— Bie -_ 4-2 e, ey 2 U UU e=@= 1,0,-1 ape 2U bễ , x =4Ư ưu iw Chuan hda e,,e, bang cach dat: €,=@,+2e= 2,12 s=[ Lo! (Ta? > u um > v2 v2 ta được #,,#, là cở sở trực chuân của P, 212 13) ° Voi A, =—9 ta có P,_„ là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: 17x+4y-z=0 4x+2y+4z=0 —=x+4y+17z=0

Trang 35

Xét ma trận trực giao với các cột theo thứ tự là các cột tọa độ cua 187.83 12 1 J2 3 32 ca| g 1-32 3.3 _L 2 17 J2 3 342

Thì C chính là ma trận của phép biến đối trực giao của R” biến cơ sở chính

, uuu u uu ưu u uu ưu

tắc e,e,,e, thành cơsở #£,,#£,, #; Trong cở sở mới &,,é,, ,6, dang

Trang 36

a= ya" 2 2 4 Z,= 7x, +—x,+-x, 3 3 3 1 4/2 X,+ 33 2 33h 37 2

Đó là phép biến đổi tuyến tính không suy biến phải tìm

Trang 37

3.12 Định lý

U, 7 2 2

Cho feGL E_ Khi do ƒ được phân tích của một biến đôi đôi xứng và một biến đổi trực giao hay tích của một biến đổi trực giao và một biến đổi h ư„ doi xung cua E Chứng mình + * _ tạ tra Gọi ƒ” là ánh xạ lien hợp của ƒ Xét tích ƒ`.ƒ:E OE * * te ak U,

Tacó f'.f =/” ƒ'` =ƒ' Vậy ƒ ”.ƒ là một biến đổi đôi xứng của E

Trang 38

a ak ; U, „ Thì g là một phép biên đôi đôi xứng, không suy biên của E_ Dê thử B.B=A * nên g.g=f'.f.Taciing cd g! labién déi déiximgtic gi! =" Xét ánh xạ h= ƒ.g ' thì hh= fe! fg'= g' ff fg! eg! f f g'=g' @.8 8 ' = idy, : 2 Uw, Ta có h là một biên đôi trực giao của E_ Cuôi cùng, ta có ƒ = h.g , ag LÔ a ak U,

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	4,49 MB