Phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng trong không gian vectơ euclide hữu hạn chiều en

Đặc biệt các phép biến đổi trong không gian vectơ Euclide mà hai phép biến đổi chủ yếu là phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng là 2 phần quan trọng.. Hai phép biến đổi này đ

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian thực hiện, khóa luận của em đã hoàn thành Đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường, người đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo và động viên em trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận này

Em xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu để khóa luận của em được hoàn thành

Vì thời gian thực hiện còn hạn chế, và đây cũng là lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận này có thể còn những thiếu sót Em rất mong được nhận thêm những ý kiến đóng góp của các thầy

cô và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Người thực hiện

Vũ Thị Vân

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của sự dày công học tập, đúc rút và tổng kết Chắc chắn nó sẽ mang lại những giá trị nhất định

Em xin cam đoan khóa luận này là sản phẩm của riêng em , không trùng với kết quả của tác giả khác

Nếu sai em xin chịu trách nhiệm hoàn toàn

Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Người thực hiện

Vũ Thị Vân

MỤC LỤC

Phần 1 MỞ ĐẦU 5

Phần 2 NỘI DUNG 7

§1 Không gian vectơ euclide n chiều 7

§2 Biến đổi trực giao của E urn 13

§3 Phép biến đổi đối xứng n E ur 14

§4 Một số phép biến đổi khác trong không gian vectơ euclide n chiều 41

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

Phần 1: MỞ ĐẦU

Trong chương trình giáo trình Đại số tuyến tính chương trình không gian vectơ Eulide là một phần hình học trừu tượng, là yếu tố mở đầu cho mọi vấn đề của hình học cao cấp Đặc biệt các phép biến đổi trong không gian vectơ Euclide mà hai phép biến đổi chủ yếu là phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng là 2 phần quan trọng Hai phép biến đổi này được áp dụng rất nhiều vào các môn hình học cao cấp khác như hình học afin, hình học Euclide…

Để hiểu rõ 2 phép biến đổi này cùng với sự gợi ý của Thầy Phan Hồng

Trường em đã quyết định nghiên cứu đề tài :

“ Phép biến đổi trực giao và phép biến đổi đối xứng trong không gian vecto Euclide hữu hạn chiều Eurn ”

II Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm củng cố kiến thức về các phép biến đổi trong không gian vectơ euclide n chiều,

Phương pháp biến đổi trong không gian vectơ euclide n chiều

Chủ yếu là hai phép biến đổi trực giao và biến đổi đối xứng trong không gian vectơ euclide n chiều

Trình bày cơ sở lý thuyết

Đề xuất phương pháp

Xây dựng hệ thống định nghĩa, định lý

Thống kê

Khái quát hóa, trừu tượng hóa

Nghiên cứu tài liệu tham khảo, Sách Giáo Trình

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

§1 Không gian vectơ euclide n chiều

§2 Biến đổi trực giao của urE n

§3 Biến đổi đối xứng của urE n

§4 Một số phép biến đổi khác trong không gian Euclide n chiều:

1 Các tính Phép biến đổi phản đối xứng của Eurn

2 Phép biến đổi đồng dạng của Eurn

Phần 2: NỘI DUNG

§1 KHÔNG GIAN VECTO EUCLIDE N CHIỀU

1.1 Định nghĩa

Cho V là không gian n chiều trên trường số thực R

a) Ta gọi một dạng song tuyến tính đối xứng η trên V là một tích vô hướng trên V nếu dạng toàn phương ứng với nó là một dạng toàn phương xác định dương

b) Ta gọi không gian V cùng với một tích vô hướng xác định trên nó là một không gian vectơ Euclide n chiều Ta thường kí hiệu không gian vectơ euclide n chiều là E n

Từ đó: ur ur 2 ur ur 2

Khai căn hai vế của bất đẳng thức, ta nhận được ur ur ur ur

Trong ¡ với tích vô hướng chính tắc, bất đẳng thức trên có dạng: n

là số đo góc giữa hai vecto ,ur ur số thực kí hiệu ur ur, được xác định duy nhất bởi các điều kiện sau:

1' 1

uur ur

' '

2 1

' 1

.'

uuruuruur

uur

' 1

2 ' 1

uuruur

uurVới mọi k =2,……,n thì dễ thấy bằng quy nạp theo k( = 1, 2,… , n) rằng uur uur1', 2', ,uurk' = ur uur1, 2, ,uurk và k' i' 0

uur uur

với k ≠ i Vậy được một

cơ sở trực giao uur uur1', 2', ,uurn' Bây giờ chỉ cần đặt

' '

k k k

uuruuruur thì được cơ

sở trực chuẩn uur uur1, 2, ,uurn

Cơ sở trực giao uur uur1', 2', ,uurn' có được bằng cách trực giao hóa

Gram smit cơ sở trực chuẩn uur uur1, 2, ,uurn có được bằng cách trực chuẩn

hóa Gram smit cơ sở uri

Từ đó dễ thấy cho hệ trực chuẩn uur uur1, 2, ,uurn trong urE n thì có thể

bổ sung để được một cơ sở trực chuẩn của urE n

Giả sử W là một không gian vectơ con của của không gian vectơ Euclide Eurn Vecto ur Eurn gọi là trực giao với W nếu ur trực giao với mọi vectơ của W và khí hiệu là ur W

Hai không gian vectơ con W, Z của Eurn gọi là trực giao nếu mọi vectơ của không gian này trực giao với mọi vectơ của không gian kia và ký hiệu

W Z

Vậy W là một không gian vectơ con

Lấy một cơ sở trực chuẩn uur uur1, 2, ,uurm của W, bổ sung để được

cơ sở trực chuẩn của urE n là uur uur1, 2, ,uurn thì rõ ràng urm 1,urm 2, ,urn là một hệ độc lập tuyến tính của W

Mặt khác với mọi vectơ

1

n

j j j

Là một đẳng cấu ( giữa không gian vectơ thực)

Do tính chất xác định của tích vô hướng nên ur 0.r

Vì dimEurn dimHom E Rurn, n nên f là đẳng cấu

§2 BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO CỦA

Vậy f bảo toàn độ dài của vecto

Ngược lại, giả sử ánh xạ tuyến tính :f Eurn Eurnbảo toàn độ dài của vectơ, tức

Vậy ánh xạ tuyến tính :f Eurn urE nbảo toàn tích vô hướng Do đó, f

là biến đổi trực giao củaEurn

Như thế ur trực giao với mọi vectơ có dạng f r , do đó ur trực giao

với mọi tổ hợp tuyến tính của các vectơ dạng f r Nói riêng ur ur Từ đó

suy ra ur = 0 hay f kur lur kf ur lf ur Điều này đúng cho

Kerf r f là đơn cấu tuyến tính

Mặt khác, do dimEurn= dimIm f + dimKerf

dimEurn= dimIm f

f là một toàn cấu tuyến tính

Vậy f là một đẳng cấu tuyến tính

2.5 Định lý

Tự đồng cấu : f Eurn Eurn là một biến đổi trực giao của Eurn khi nó biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn

Chứng minh

Giả sử :f Eurn urE n là một biến đổi trực giao của urE n và e eur ur1, , ,2 eurn

là một cơ sở trực chuẩn trong urE n

Ta có: f euri f eurj e eur uri j ij f eur1 , f eur2 , f eurn là cơ sở trực chuẩn trong Eurn

Ngược lại, nếu tự đồng cấu :f Eurn Eurn biến một cở sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn thì rõ ràng nó bảo toàn độ dài của mọi vectơ nên

f là biến đổi trực giao của Eurn

GL Eur

2.7 Định lý ( Các mối liên hệ với ma trận )

Cho A là ma trận của tự đồng cấu : f Eurn Eurn trong một cơ sở trực chuẩn của urE n Khi đó, f là một biến đối trực giao khi và chỉ khi A A t I n ( I : là ma trận đơn vị cấp n), tức khi và chỉ khi A là ma trận trực giao n

A A E hay nói cách khác nếu hệ vectơ cột của A là một hệ trực chuẩn

trong R với tích vô hướng chính tắc n

Nếu V là một không gian vectơ con của Eurn bất biến đối với biến đổi trực giao : f Eurn urE n thì phần bù trực giao V cũng là không gian vectơ con bất biến đối với f

uur uur uur uur

Ta chứng minh số vectơ độc lập tuyến tính trong mỗi hệ uur uur1, 2, ,uurm và

1, 2, m

uur uur uur

là như nhau và uur uuri1, i2, ,uurir độc lập tuyến tính

1, 2,

uur uur uur

độc lập tuyến tính ( với uur uuri1, i2, ,uurir là hệ con của hệ

1, 2, , m

uur uur uur

, uur uuri1, i2, uurir là hệ con của hệ uur uur1, 2, uurm )

uur uur uur uur

ij 1

uur

trực giao với uurik với k 1,2, ,r nên trực giao với

không gian con r chiều sinh bới uur uuri1, i2, ,uurir Vậy nó phải trực giao với chính nó nên

Điều ngược lại chứng minh tương tự

Bây giờ giả sử uur uur1, 2, ,uurm là hệ độc lập tuyến tính tối đại của hệ

là các cơ sở trực chuẩn của

W và W' Khi đó có ánh xạ tuyến tính f E:urn Eurn sao cho

, 1,

f uur uuri r và f e j e j'j, r 1,n

urur

i x

x uur uurk

2.11 Định lý ( liên hệ với giá trị riêng)

Nếu f E:urn Eurn là một biến đổi trực giao thì mọi giá trị riêng ( nếu có) của f đều bằng 1 Khi đó các không gian riêng ( nếu có)

1

P f và P1 f ứng với các giá trị riêng bằng 1 và - 1 trực gaio với nhau

Chứng minh

Giả sử ur là vectơ riêng ứng với giá trị riêng của f , nghĩa là

f ur ur Ta có: f ur f ur ur ur cho nên uur ur ur ur hay

Gọi A là ma trận của f trong một cơ sở trực chuẩn của urE n thì A là t

ma trận của f trong cơ sở đó

Vì f là biến đổi trực giao của urE n A là ma trận trực giao

§3 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI XỨNG CỦA

uurur

là một phép biến đổi đối xứng thì uurur, Eurn ta luôn có :

f a uur a uur a f uur a f uur ur

Điều này đúng với ur urE nnên f a1uur1 a2uur2 a f1 uur1 a f2 uur2 0r Suy ra: f a1uur1 a2uur2 a f1 uur1 a f2 uur2 do đó f là ánh xạ tuyến tính

Vậy f là một phép biến đổi đối xứng của urE n

3.4 Định lý ( Liên hệ với ma trận)

Cho A là ma trận của ánh xạ f E:urn Eurn trong một không gian trực chuẩn nào đó của Eurn Lúc đó, f là một phép biến đổi đối xứng khi và chỉ khi

uurur

là một phép biến đổi đối xứng của Eurnvà

1, 2

P P là hai không gian vecto riêng của f ứng với hai giá trị riêng khác nhau 1, 2 Giả sử

Chưng minh

Giả sử 0 A là một nghiệm phức của đa thức đặc trưng D A I

Khi đó vì D A 0I 0 nên hệ phương trình A 0I X 0 có nghiệm không tầm thường u z z1, 2, ,z n C n

n

z z U z

thỏa mãn AU 0.U (1)

Vì u z z1, , ,2 z n 0 nên uur1 0 hay uur2 0 nên thừ đó suy ra v = 0

uurur

Lúc đó, f là một phép biến đổi đối xứng

khi và chỉ khi có một cơ sở trực chuẩn gồm toàn những vectơ riêng của f

Chứng minh

Xét ánh xạ :f Eurn urE n Giả sử urE n là một cơ sở trực chuẩn gồm toàn những vectơ riêng của f thì ma trận A của f trong cơ sở đó là một ma trận chéo nên đối xứng Ví thế f là phép biến đổi đối xứng

Giả sử f là phép biến đổi đối xứng Sử dụng chứng minh bằng qui nạp theo

dim n

n Eur có một cơ sở trực chuẩn của urE ngồm toàn những vectơ riêng của

n =1 điều đó hiển nhiên đúng vì khi đó với xr urE , rx 0r đều là vecto riêng của f

Giả sử quy nạp rằng mọi không gian vectơ Euclide có số chiều nhỏ hơn n

mà có một cơ sở trực chuẩn gồm toàn những vectơ riêng của f thì f là một phép biến đổi đối xứng

Theo định 3.6 tồn tại giá trị riêng 1 ¡ của f

Gọi eur1 là vectơ riêng có độ dài bằng 1 ứng với giá trị riêng 1 eur1 là không gian vectơ con bất biến đối với f Theo định lý 3.7 ta có eur1 cũng bất biến đối với f

C AC là một ma trận chéo, trong đó các phần tử nằm trên đường chéo đều

là các giá trị riêng của A

Chứng minh

Ta chọn không gian vectơ Euclide Eurn số chiều n chính là số hằng và

số cột ma trận A

Xét ánh xạ :f Eurn Eurn nhận A làm ma trận trong một cơ sở trực chuẩn nào

đó e eur ur1, , ,2 eurn của Eurn Do A là ma trận đối xứng nên theo định lý 3.4 f là một phép biến đổi đối xứng

Theo định lý 3.8 thì ur uur1, 2, ,uurn là cơ sở rực chuẩn của Eurn gồm toàn những vectơ riêng của f Ma trận B của f là cơ sở ur uur1, 2, ,uurn là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo đều là những giá trị riêng của f

Gọi C là ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn e eur ur1, , ,2 eurn sang cơ sở trực chuẩn ur uur1, 2, ,uurn C là ma trận trực giao mà ta có:

Chứng minh

Gọi A là ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng trong có sở trực chuẩn uur uur1, 2, ,uurn nào đó của urE n

Goi uur uur1, 2, uurm là một cơ sở trực chuẩn của Eurn gồm toàn những vecto

riêng của A, C là ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn

1, 2, , n

uur uur uur

sang cơ sở trực chuẩn uur uur1, 2, uurm thì C là ma trận trực giao

Gọi B là ma trận của trong cơ sở trực chuẩn uur uur1, 2, uurm của

B

trong đó 1, 2, , n là các giả trị riêng của A

Rõ ràng cơ sở uur uur1, 2, uurm còn là một cơ sở trực trực giao của

Tiếp theo ta sẽ phải tìm một phép biến đổi tuyến tính không suy biến

để đưa H về dạng chính tắc nhưng không làm thay đổi dạng chuẩn tắc của K

Ta sễ tìm được một phép biến đổi trực giao như thế bằng cách tìm một ma trận trực giao C sao cho t 1

C AC C AC có dạng chéo như trong hệ quả 3.10 Xác định đa thực đặc trưng của ma trận A của dạng toàn phương H:

Đa thức đặc trưng có 3 nghiệm thực: 1 2 9, 3 9 (kể cả nghiệm bội )

Với 1 2 9 ta tìm cơ sở trực chuẩn của không gian riêng P 9 của

2

1,0, 10,1, 4

1 2

22

e

e e

uruur

3 3 3

ur

uur ta được ur uur1, 2 là cở sở trực chuẩn của P 9

Với 3 9 ta có P 9 là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

Xét ma trận trực giao với các cột theo thứ tự là các cột tọa độ của

Thì C chính là ma trận của phép biến đổi trực giao của R biến cơ sở chính 3

tắc e e eur ur ur1, ,2 3 thành cơ sở ur uur1, 2, ,uur3 Trong cở sở mới ur uur1, 2, ,uur3 dạng

1 1

12

Đó là phép biến đổi tuyến tính không suy biến phải tìm

Ta nhận thấy phép biến đổi đối tuyến không suy biến trên không phải là duy nhất vì có nhiều phép biến đổi khác nhau đưa K về dạng chuẩn tắc, và cũng

có nhiều cách khác nhau để chọn cơ sở trực chuẩn của 3

R gồm toàn những

vectơ riêng của ma trận A

3.12 Định lý

Cho f GL Eurn Khi đó f được phân tích của một biến đổi đổi xứng

và một biến đổi trực giao hay tích của một biến đổi trực giao và một biến đổi đối xứng của Eurn

Chứng minh

Gọi f là ánh xạ lien hợp của f Xét tích f :f Eurn Eurn

Ta có f f f f f Vậy f f là một biến đổi đối xứng của urE n

Nó không suy biến, do f không suy biến

Lấy e eur ur1, , ,2 eurn là một cơ sở trực chuẩn của urE n sao cho đối với cơ

Thì g là một phép biến đổi đối xứng, không suy biến của Eurn Dễ thử B B A

nên g g f f Ta cũng có g là biến đổi đối xứng tức 1 g 1 g 1

Ta có h là một biến đổi trực giao của urE n Cuối cùng, ta có f h g

trong đó h là một biến đổi trực giao, còn g là biến đổi đối xứng của Eurn

Chứng minh tương tự, bằng cách xét tích *

f f ta nhận được kết

quả còn lại định lý

§4 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE N CHIỀU

4.1 PHÉP BIẾN ĐỔI PHẢN ĐỐI XỨNG CỦA

, E n

ur ur ur

thì f ur ur f ur ur Lấy ur ur f ur ur ur.f ur f ur ur 0

Vậy ánh xạ :f Eurn Eurngọi là một phép biến đổi phản đối xứng của

Vậy f ur uuri j f uur urj i i j, 1,n

Ngược lại, giả sử ánh xạ :f Eurn Eurn thỏa mãn:

Tương tự ta có uuri.f uurj aij

Theo định lý 4.1.3 f là phép biến đổi phản đối xứng khi và chỉ khi:

được gọi là phép biến đổi đồng dạng nếu có

4.2.3 Định lý

:

n n

uurur

, f f trong đó là phép vị tự tuyến tính của Eurn tức có dạng Id còn v f là đẳng cấu trực giao hoặc có thể viết dưới dạng f ' 'f trong đó ' là phép vị tự tuyến tính của

uurur

uurur

mà có số 0 sao cho

f ur k ur với mọi ur urE n là một phép biến đổi đồng dạng

bảo tồn tính trực giao của các vectơ ( tức là nếu ur ur thì f ur f ur ) là phép biến đổi đồng dạng

Chứng minh

Giả sử e e eur ur ur1, ,2 3 là cơ sở trực chuẩn của urE n

Từ giả thiết của bài toán ta suy ra hệ uuri f euri là hệ trực giao

KẾT LUẬN

Khóa luận này trình bày về một số phép biến đổi quan trong trong không gian vectơ Euclide hữu hạn chiều Eurn Đề tài bao gồm 3 phần:

§1 Không gian vectơ euclide n chiều

§2 Biến đổi trực giao của urE n

§3 Biến đổi đối xứng của urE n

§4 Một số phép biến đổi khác trong không gian Euclide n chiều:

1 Các tính Phép biến đổi phản đối xứng của Eurn

2 Phép biến đổi đồng dạng của Eurn

Tính chất của phép biến đổi , mối quan hệ giữa chúng và ma trận, các điều kiện tương đương và mối liên hệ nếu có giữa các phép biến đổi đó đã được nêu và chứng minh trong khóa luận

Do thời gian và năng lực của bản than còn hạn chế khi bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắc chắn khóa luận của em còn nhiều thiếu sót Em rất mong được sự đóng góp, trao đổi của các thầy cô để khóa luận này được hoàn trỉnh hơn

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Phan Hồng Trường đã trực

tiếp hướng dẫn em hoàn thành khoa luận cùng các thầy cô trong khoa, các thầy cô trong tổ hình đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Vũ Thị Vân