Tập hợp mat (n, k) trong cấu trúc nhóm vành và không gian vectơ

M U Lý chn ti Chỳng ta ó bit, cỏc lnh vc khoa hc t nhiờn, Toỏn hc l mụn khoa hc lõu i v cú tớnh thc tin cao sut quỏ trỡnh tn ti v phỏt trin ca loi ngi th k XXI, cựng vi s phỏt trin nh v bóo ca khoa hc v k thut thỡ Toỏn hc cng khụng ngng i mi theo chiu hng ngy cng hon thin nõng cao giỏ tr thc tin Mt nhng ngnh Toỏn hc úng gúp cụng ln s phỏt trin ca Toỏn hc l i s tuyn tớnh Vi mong mun c nghiờn cu sõu hn v i s tuyn tớnh v tỡm hiu sõu sc hn na v ma trn, em ó chn ti: Tp hp Mat (n, k ) vi cu trỳc nhúm, vnh v khụng gian vect lm khúa lun tt nghip Mc ớch, nhim v nghiờn cu Tỡm hiu v cu trỳc khụng gian vect, cu trỳc nhúm, vnh trờn cỏc ma trn vuụng cp n Mat n, k v mi quan h ca chỳng vi vnh cỏc t ng cu tuyn tớnh ca mt khụng gian vect n chiu End V Phng phỏp nghiờn cu Phõn tớch cỏc ti liu liờn quan Tham kho ý kin ca thy cụ v bn bố Cu trỳc khúa lun Ni dung ca khúa lun c chia lm hai phn: Chng 1: Mt s kin thc chun b Chng 2: Tp hp Mat n, k vi cu trỳc nhúm, vnh v khụng gian vect NI DUNG CHNG 1: MT S KIN THC CHUN B 1.1 Nhúm, vnh 1.1.1 nh ngha Cho X l mt tựy ý Ta gi l mt phộp toỏn hai ngụi xỏc nh trờn hp X , mi ỏnh x i t X :X X X n X Ký hiu phộp toỏn hai ngụi l X , ( x, y ) a x y thỡ x y c gi l tớch ( hay hp thnh ) ca x v y Phộp toỏn * c gi l cú lut kt hp nu: x y z cho mi phn t x, y, z x y z X Phộp toỏn * c gi l cú lut giao hoỏn nu: x y cho mi phn t x, y y x X Mt phn t e X c gi l phn t n v ca phộp toỏn * nu: x e e x x cho mi phn t x X 1.1.2 nh ngha Gi s phộp toỏn * cú phn t n v e Mt phn t y X c gi l phn t nghch o ca mt phn t x X nu: x y y x e Do tớnh i xng ca x v y nh ngha trờn nờn nu y l phn t nghch o ca x thỡ x cng l phn t nghch o ca y 1.1.3 nh ngha Ta gi l na nhúm mt hp X cựng vi mt phộp toỏn hai ngụi kt hp ó cho X Mt na nhúm cú phn t n v gi l mt v nhúm Mt na nhúm l giao hoỏn nu phộp toỏn ca nú l giao hoỏn Vớ d: Tp hp cỏc s t nhiờn Ơ vi mt cỏc phộp toỏn hai ngụi sau õy: Phộp cng, phộp nhõn, phộp ly c chung ln nht, phộp ly Bi chung nh nht l mt na nhúm giao hoỏn 1.1.4 nh ngha Mt hp X c gi l mt nhúm vi phộp toỏn * nu X tha nhng iu kin sau: i) Phộp toỏn * cú tớnh cht kt hp, ii) Phộp toỏn * cú phn t n v, iii) Mi phn t ca X u cú phn t nghch o Nu phộp toỏn * cú thờm lut giao hoỏn thỡ X c gi l mt nhúm giao hoỏn hay l mt nhúm Abel Vớ d: Cỏc hp s  , Ô , Ă l cỏc nhúm giao hoỏn vi phộp cng nhng khụng phi l cỏc nhúm vi phộp nhõn vỡ khụng cú phn t nghch o Tp hp cỏc ỏnh x t X n X khụng phi l mt nhúm nhng hp cỏc song ỏnh t X n X l mt nhúm vi phộp ly tớch hai ỏnh x Nhúm ny núi chung khụng phi l mt nhúm giao hoỏn 1.1.5 nh ngha Gi s X ,Y l nhng nhúm m cỏc phộp toỏn ký hiu theo li nhõn Ta gi ỏnh x :X x y Nu X Y l mt ng cu nhúm nu: x y Y thỡ ng cu x, y X gi l mt t ng cu ca X Mt ng cu nhúm ng thi l mt n ỏnh thỡ gi l mt n cu nhúm Mt ng cu nhúm ng thi l mt ton ỏnh c gi l mt ton cu nhúm, mt ng cu nhúm ng thi l mt song ỏnh c gi l mt ng cu nhúm Nu cú mt ng cu nhúm t X vo Y thỡ ta núi nhúm X ng cu vi nhúm Y v vit X Y 1.1.6 nh ngha Gi s X l mt hp khỏc rng m trờn nú ó c trang b hai phộp toỏn hai ngụi gm: : X Phộp cng X :X Phộp nhõn X, X x, y a x X, y x, y a x y Tp hp X vi hai phộp toỏn trờn c gi l mt vnh nu X l mt nhúm Abel i vi phộp cng, cũn phộp toỏn nhõn cú tớnh cht kt hp v phộp nhõn phõn phi v hai phớa i vi phộp cng, ngha l: a) x y z x b) X x X :0 x c) x X, x d) x y y e) xy z f) x y z x x yz xy y z x, y, z x x; x x 0; X :x x x, y X; X; x, y, z X; yz; y z x yx zx Nu phộp nhõn cú tớnh cht giao hoỏn: xy x, y, z X yx thỡ vnh X c gi l vnh giao hoỏn Nu phộp nhõn cú phn t n v 1, tc l cú X cho: 1.x x.1 x, x X thỡ X c gi l vnh cú n v, gi l n v ca vnh Nu phộp nhõn cú tớnh cht giao hoỏn v cú phn t n v thỡ X gi l vnh giao hoỏn cú n v Vớ d: Cỏc hp s  , Ô l cỏc vnh giao hoỏn cú n v vi phộp cng v nhõn thụng thng 1.1.7 nh ngha Gi s X ,Y l nhng vnh Ta gi ỏnh x : X Y l mt ng cu vnh nu: x y x y x x y y , vi x, y X Cỏc khỏi nim n cu vnh, ton cu vnh, ng cu vnh c nh ngha tng t nh i vi trng hp nhúm 1.1.8 nh ngha Mt phn t a ca mt vnh X gi l mt c ca khụng nu v ch nu tn ti mt phn t b ca X cho ab 1.2 Khụng gian vect 1.2.1 nh ngha Cho V l mt khỏc rng m cỏc phn t ký hiu l: l mt trng Gi s V c trang b hai phộp toỏn, gm: a) Phộp cng: : V V V r r r , a b) r , Phộp nhõn: :k V V r r , a tha nhng iu kin ( hoc cỏc tiờn ) sau õy: r r r , , , v k r r 1) 2) r r r r V :0 r r 3) r r 4) r 5) r 6) V: r r , r r r r 7) 8) r , r r r r r , , V , r r , r r V r r r r , V r r , , k, V r r r , k, , V r r r r r r V, r , , k, r V V Khi ú V cựng vi hai phộp toỏn ó cho c gi l mt khụng gian vect trờn trng k hay k _Khụng gian vect ( gi tt l khụng gian vect ) Cỏc phn t ca V gi l cỏc vect, cỏc phn t ca k gi l cỏc vụ hng Phộp cng + gi l phộp cng vect, phộp nhõn gi l phộp nhõn vect vi vụ hng Khi k Ă thỡ V c gi l khụng gian vect thc Khi k Ê thỡ V c gi l khụng gian vect phc Vớ d: k l mt khụng gian vect vỡ phộp cng v phộp nhõn vect ca mt trng tha h tiờn ca khụng gian vect, ú vect khụng l phn t v a l vect i ca mi phn t a thuc k k n l mt khụng gian vect vi phộp cng v nhõn vụ hng: x1 , , xn y1, , yn x1 y1, , xn yn x1 , , xn x1 , , xn r ú vect l ( 0, ,0), vect i ca x1 , , xn l x1 , , xn Do cỏc phộp tớnh ny c thc hin theo tng ta nờn ta ch cn kim tra h tiờn ca khụng gian vect cú i vi tng ta mt, cú ngha l i vi k Cỏc tiờn ny l hin nhiờn k l mt khụng gian vect 1.2.2 nh ngha r a) Mt t hp tuyn tớnh ca cỏc vect r n i r i 1 , , r n V l mt biu thc dng: r n n i ú b) Vi r r r k n r V , nu tớnh qua h vect , , , , r n r n n thỡ ta núi vect r c biu th tuyn 1.2.3 nh ngha Trong khụng gian vect V r r a) H vect , , n c gi l c lp tuyn tớnh nu h thc: r r r n n 1 ch xy b) H vect r n , , r n c gi l ph thuc tuyn tớnh nu nú khụng c lp tuyn tớnh r r Vớ d: Mt h ch gm mt vect x khỏc bao gi cng l c lp r r tuyn tớnh vỡ nu x thỡ r Mi vect cha u ph thuc tuyn tớnh 1.2.4 nh ngha a) Mt h vect ca V c gi l mt h sinh ca V nu mi vect ca V u biu th tuyn tớnh qua h ú b) Mt h vect ca V c gi l mt c s ca V nu mi vect ca V u biờu th tuyn tớnh nht qua h ny 1.2.5 nh lý Cho h hu hn vect r , , r n ca khụng gian vect V Khi ú cỏc mnh sau õy l tng ng: r r i) , , n l c s ca V r r ii) , , n l mt h sinh c lp tuyn tớnh ca V r r iii) l mt h vect c lp tuyn tớnh ti i ca V , , n 1.2.6 nh ngha a) V S vect mi c s ca k _Khụng gian vect hu hn sinh r c gi l s chiu ca V trờn trng k v ký hiu l dim V hay rừ hn dimk V r Nu V , ta quy c dimV b) Nu V khụng cú c s no gm hu hn phn t thỡ nú c gi l khụng gian vect vụ hn chiu 1.2.7 nh ngha Gi s V l k _Khụng gian vect v W l mt ca V Ta bo V l n nh ( hay úng kớn ) i vi phộp toỏn trờn V nu: r r r r , W W r r W k, W Ta bo W l mt khụng gian vect ca V nu W n nh vi hai phộp toỏn trờn V v cựng vi hai phộp toỏn ca V hn ch trờn nú, W cng l mt khụng gian vect trờn trng k 1.2.8 nh lý Gi s W l mt ca k _Khụng gian vect V Th thỡ W l mt khụng gian vect ca V v ch W hai phộp toỏn ca V v W n nh i vi 1.2.9 nh ngha Khụng gian vect W1 W2 Wm c gi l tng ca cỏc khụng gian W1 ,W2 , Wm v cũn c ký hiu l m Wi i r r Nu mi vect W1 W2 Wm u vit c nht di dng r r r r vi i Wi i 1,2, , m thỡ tng W1 W2 Wm m c gi l tng trc tip ca cỏc khụng gian W1 ,W2 , ,Wm v c ký hiu l W1 W2 Wm 1.2.10 nh lý Tng W1 W2 Wm vi m l tng trc tip ca W1 ,W2 , ,Wm v ch mt hai iu kin sau c tha món: i) Wi r Wj vi i 1,2, , m i j ii) W j r Wj vi i 1,2, , m j i 1.3 nh x tuyn tớnh 1.3.1 nh ngha Cho V , W l hai khụng gian vect trờn trng k nh x f : V W c gi l mt ỏnh x tuyn tớnh nu: r r r r f f f r f vi mi r , r f r V v mi k nh x tuyn tớnh cng cũn c gi l ng cu tuyn tớnh, hay mt cỏch tt l ng cu Vớ d: 1) nh x ng nht idV : V V maf idV r r , r V l mt ỏnh x tuyn tớnh 2) Cho W1 , W2 l hai khụng gian vect ca V Khi ú ta cú ỏnh x: : W1 r W2 r W1 W2 r r a , 2 l mt ỏnh x tuyn tớnh 3) nh x nghch o ca mt song ỏnh tuyn tớnh l mt ỏnh x tuyn tớnh 1.3.2 nh ngha nh x tuyn tớnh f : V W c gi l: a) Mt n cu nu f l n ỏnh b) Mt ton cu nu f l ton ỏnh c) Mt ng cu nu f l song ỏnh 1.3.3 nh ngha Ta gi mi ỏnh x tuyn tớnh t khụng gian vect V vo chớnh nú l mt t ng cu ca V Mt t ng cu ca V ng thi l mt ng cu c gi l mt t ng cu ca V Khụng gian vect tt c cỏc t ng cu ca V c kớ hiu l End V Tp hp tt c cỏc t ng cu ca V c ký hiu l GL V 10 Li cú phộp nhõn cỏc ma trn vuụng Mat n, k cú tớnh cht kt hp phộp nhõn cỏc ma trn vuụng GL n, k cng cú tớnh cht kt hp Phn t n v i vi phộp nhõn Mat n, k chớnh l phn t n v I n GL n, k Theo nh ngha ca GL n, k , mi ma trn ú u cú nghch o Suy nghch o A ca mi ma trn A GL n, k cng l phn t ca GL n, k Vy GL n, k lp thnh mt nhúm i vi phộp nhõn cỏc ma trn 2.2.7 Mnh A l ma trn kh nghch v ch ma trn chuyn v At kh nghch v At t A1 Chng minh det At det A A l ma trn kh nghch At kh nghch Mt khỏc, A l ma trn kh nghch B : AB BA I n Ta i chng minh AB t AB t BA t I nt Bt At Tht vy, ta cú: AB Bt At AB aij b jk t t n n b jk aij t n t n t t aijb jk n cik j t cki n n n n bkj n a ji bkj a ji n t Bt At Do vy t AB Bt At At Bt cki j I nt 22 n n BA t I nt ta cú: At l ma trn kh nghch v At Bt t A1 2.2.8 nh ngha Ta gi l tõm ca vnh Mat n, k hp C Mat n, k cỏc ma trn A ca Mat n, k m AB gm tt c BA vi mi B Mat n, k 2.2.9 Mnh aI n | a k Do ú C Mat n, k C Mat n, k l mt vnh giao hoỏn cú n v ca vnh Mat n, k Chng minh: Nu A aI n thỡ rừ rng A giao hoỏn vi mi ma trn vuụng cựng cp Ngc li, gi s A Vi i0 aij n j0 , ta chng minh j giao hoỏn vi mi ma trn vuụng cp n Mun vy chn B 0 bij n ú bij cũn cỏc phn t khỏc u bng khụng Phn t dũng i0 ct j0 ca ma trn AB bng j , cũn cỏc phn t dũng i0 ct j0 ca BA l 0 Theo gi thit: AB BA o A Cho ma trn B Nh vy A cú dng: j bij n a1 K K O K K an ú bij vi mi i, j Khi ú phn t dũng i ct j ca ma trn AB l a i , cũn phn t dũng i ct j ca ma trn BA l a j m AB BA Vy C Mat n, k aj A aI n vi a k aI n | a k 23 2.3 T ng cu tuyn tớnh v ma trn 2.3.1 nh ngha Cho V l k -khụng gian vect n chiu v e ca V Khi ú mi t ng cu f : V vect r r e1 , , en l mt c s V c xỏc nh nht bi h r r r r f e1 , f e2 , , f en Cỏc vect f e j li biu th tuyn tớnh mt cỏch nht qua c s e : r f ej n r aij e j j 1, , n i Thnh th f c xỏc nh mt cỏch nht bi ma trn A aij n a11 a12 a21 a22 K K an1 an K K K K a1n a2 n K ann Ma trn A c gi l ma trn ca t ng cu f c s e ca V 2.3.2 nh lý nh x t tng ng mi f End V vi ma trn A M f mt c s c nh no ú ó chn ca V l mt ng cu t khụng gian vect End V lờn khụng gian vect Mat n, k Do ú dim End V n2 Chng minh: Chn e r r e1 , , en l mt c s ca V Gi s f , g End V cú cỏc ma trn tng ng M g M f B A bij aij n n ngha l ta cú: 24 r f ej n r aij ei , j 1, , n i r g ej n r bij ei , j 1, , n i Khi ú r g ej f n aij r bij ei , j 1, , n i f r ej r aij e j , n j 1, , n k i Nh vy, i vi cp c s e ó cho, ma trn ca f ma trn ca f l g l A B , A Núi mt cỏch khỏc: M f g M M f f M g M f iu ny chng t ỏnh x M : End V Mat n, k f a M f l mt ỏnh x tuyn tớnh r M g tc A B thỡ f e j D thy, nu M f nờn f r g ej , j 1, , n g tc M l mt n ỏnh, ú nú l mt n cu Mt khỏc, nu A aij End V xỏc nh bi Mat n, k thỡ ly f n iu kin r f ej n r aij ei , j 1, , n i ta cú, theo nh ngha M f A Vy M l mt ton ỏnh, ú, nú l mt ton cu Vy M l mt ng cu tuyn tớnh T ú dim End V dim Mat n, k 25 n2 2.3.3 nh lý Tp End V cựng vi hai phộp toỏn cng hai t ng cu v phộp hp thnh (nhõn) cỏc t ng cu lm thnh mt vnh cú n v gi l vnh cỏc t ng cu ca khụng gian vect V Chng minh: r x V ta cú: Vi mi f , g , h End V v f r h x g r g x f r f x r g x r h x r f x r h x r f x f f f r Xột O End V m O x O g f f r x r O x r O x Tng t Vy f g f r x r ta cú: r r f x r f x r f x r O x O End V , xột f r x g Vy Vi f r h x r g h x g h Vy f g h f g h r r r r r g x f x g x g x f x Vy f r g x f f r f x r f x O r r f x f f f r x End V m f r r r r f x f x O x f f r x f f r x r f x ta cú r O x f O Nh vy, ta cú End V vi phộp toỏn cng cỏc t ng cu ca V l mt nhúm abel iu ny cú vỡ End V l mt khụng gian vect D kim tra: tớch ca t ng cu ca V li l mt t ng cu ca V 26 Tớnh cht kt hp ca phộp toỏn nhõn cỏc t ng cu ca V suy t tớnh cht kt hp ca phộp toỏn nhõn cỏc ỏnh x nh x ng nht idV l phn t n v ca phộp nhõn Cui cựng d th tớnh cht phõn phi v phớa ca phộp nhõn vi phộp r cng Tht vy, vi f , g , h End V v x V ta cú: r g oh x f r g h x f r = f oh x ho f g r x f g oh h f r x ho f g r g oh x r g h x r f oh g oh x f oh g oh r g x ho f r f h x r h f x r h og x ho f r g x ho f r h f x r h g x r h og x h og Vy End V l mt vnh cú n v Nhn xột: Khi n , End V l mt vnh giao hoỏn Khi n , cng ging nh vnh Mat n, k ta cú End V l mt vnh khụng giao hoỏn 2.3.4 nh lý r r Cho e e1 , , en l mt c s ca k - khụng gian vect V Khi ú nh x t tng ng mi f a) End V vi ma trn M f c s e l mt ng cu vnh t vnh End V ca nú vo vnh Mat n, k b) f End V l mt t ng cu ca V v ch M f ma trn kh nghch 27 l mt Chng minh: a) Theo nh lý 2.3.2, ỏnh x M : End V ng cu t nhúm abel End V , nờn M l mt Mat n, k lờn nhúm abel Mat n, k , Vy, chng minh M l mt ng cu t vnh End V vo vnh Mat n, k ta cn chng minh rng M bo ton phộp toỏn nhõn, tc l vi f ,g End V ta cú: M gof M g M f Tht vy, gi s : M f A aij M g B bij M gof tc l r f ej n C r aij ei , n n cij n j 1, , n i r g ej n r bij ei , j 1, , n i gof r ej n r cij ei , j 1, , n (1) i thỡ ta cú: gof r ej r g f ej r akj ek n g n k n = n akj k r bik ei i r akj g ek k n n i k r bik akj ei (2) n T (1) v (2) suy cij bik akj , i, j 1, , n k iu ny núi lờn rng C b) BA hay M g o f f l mt t ng cu ca V cú g 28 M g M f End V cho f og idv Do gof Mat n, k l mt ng cu nờn M : End V iu ny tng ng vi: M f og M gof M idv M f M g M g M f In l ma trn kh nghch ( vi ma trn nghch o l M g ) M f 2.3.5 nh lý Nhúm GL V ng cu vi nhúm GL n, k gm cỏc ma trn kh nghch Mat n, k Chng minh: Suy trc tip t nh lý 2.3.4 bng cỏch xột ỏnh x thu hp ca M lờn cỏc nhúm GL V v GL n, k : M : GL V GL n, k f a M f Khng nh b) ca nh lý 2.3.4 cho thy cú ỏnh x thu hp ny 2.3.6 Mnh Cho W1 , W2 l hai khụng gian vect ca k - khụng gian vect n chiu V W1 m n dimW1 dimW2 Khi ú tn ti Im ,W2 End V Ker Chng minh: Gi r r e1 , , ek l c s ca W1 W2 r r r r e1 , , ek , w1 , , w p l c s ca W1 r r r r e1 , , ek , z1 , , zq l c s ca W2 Vỡ dimV dimW1 dimW2 2k p q r r r r r r r r nờn cú th chn c e1 , , ek , z1, , z q, a1, , ak, w 1, ,w 29 p l c s ca V m r r r r Gi f : a1 , , ak , w1 , , w p W1 l ng cu xỏc nh bi: r f r r r e1 , i 1, , k ; f w j w j , j 1, , p r r r r l phộp chiu V a1 , , ak ,w1 , ,w p tha món: r r ai , i r r w j w j, r r ei 0, i r r zi 0, i h l phộp nhỳng W1 1, , k j 1, , p 1, , k 1, , q r r V :x a x t h o f o Khi ú d thy Im W1 r r Mt khỏc Kerh , Kerf nờn: Ker r r r r e1 , , ek , z1, , zq Ker W2 Ta cú iu phi chng minh 2.3.7 nh lý End V l mt c ca khụng ca vnh End V v ch v det Chng minh: Trc ht ta chng minh b sau: B : A Mat n, k l mt c ca khụng ca vnh Mat n, k v ch A v det A Tht vy: Nu A l c ca khụng ca vnh Mat n, k , theo nh ngha 1.1.8 thỡ A v B Mat n, k , B cho AB Ta cú det A vỡ nu trỏi li det A thỡ A kh nghch v ta cú : B AA B A AB A 1.0 mõu thun vi gi thit B 30 Ngc li, nu A Mat n, k , A v det A thỡ h phng trỡnh tuyn tớnh thun nht Ax cú nghim khụng tm thng x0 x10 , x20 , , xn0 Lỳc by gi xột ma trn x10 x20 K K xn0 B K K K K 0 K Mat n, k thỡ rừ rng l B v AB Vy A l mt c ca khụng B c chng minh chng minh nh lý 2.3.8 ta ly V mt c s e gi A l ma trn ca Theo nh lý 2.3.4, c s ny M : End V a M l mt End V ng cu A M r r e1 , , en v vnh Do Mat n, k A ú l c ca l c ca khụng Mat n, k det A 0 v det 31 khụng A v KT LUN Trờn õy l bi khúa lun ca em v : Tp hp Mat n, k vi cu trỳc nhúm, vnh v khụng gian vect Phn ni dung chớnh ca khúa lun ny trỡnh by v cu trỳc khụng gian vect, cu trỳc vnh trờn cỏc ma trn vuụng cp n Mat n, k v mi quan h ca chỳng vi vnh cỏc t ng cu tuyn tớnh ca mt khụng gian vect n chiu End V Mt ln na em xin cm n s hng dn, giỳp tn tỡnh ca cỏc thy cụ t Hỡnh, cỏc thy cụ khoa Toỏn, cỏc thy cụ Trng i hc S phm H Ni 2, c bit l thy Phan Hng Trng em hon thnh tt bi khúa lun ny Do ln u tiờn lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc Mc dự ó cú nhiu c gng song khụng trỏnh nhng thiu sút Vỡ vy em rt mong nhn c ý kin úng gúp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v cỏc bn sinh viờn cho bi khúa lun ca em Em xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn Nguyn Th Hng 32 TI LIU THAM KHO Nguyn Hu Vit Hng, Giỏo trỡnh i s tuyn tớnh, NXB i hc Quc Gia H Ni 2001 Phan Huy Phỳ Nguyn Doón Tun, Bi i s tuyn tớnh, NXB i hc Quc Gia H Ni 2001 Ngụ Vit Trung, Giỏo trỡnh i s tuyn tớnh, NXB Giỏo dc 2001 on Qunh (ch biờn) Nguyn Doón Tun Khu Quc Anh Mõn T Nguyn Anh, i s tuyn tớnh v hỡnh hc gii tớch, NXB i hc Quc Gia H Ni 1998 33 LI CM N Em xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo t Hỡnh hc Trng i hc S phm H Ni ó to iu kin giỳp em hon thnh ti khúa lun tt nghip ca mỡnh Em xin c t lũng bit n sõu sc ti thy giỏo Phan Hng Trng, ngi ó tn tỡnh ch bo v truyn t kinh nghim cho em sut quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin ti khúa lun Do iu kin thi gian cú hn v kinh nghim ca bn thõn em cũn nhiu hn ch nờn khúa lun khụng trỏnh nhng thiu sút Vỡ th, em rt mong nhn c s ch bo, úng gúp ý kin nhn xột ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn c ti ny c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn Nguyn Th Hng 34 LI CAM OAN Khúa lun c hon thnh vi s ch bo ca cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn trng i hc S phm H Ni 2, c bit l s hng dn tn tỡnh ca thy Phan Hng Trng Trong khúa lun cú tham kho cỏc kt qu nghiờn cu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n Em xin khng nh kt qu ca ti ny khụng cú s trựng lp vi kt qu ca cỏc ti khỏc Nu sai em xin chu hon ton trỏch nhim H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn Nguyn Th Hng 35 MC LC M u Ni dung Chng 1: Mt s kin thc chun b 1.1 Nhúm, vnh 1.2 Khụng gian vect .5 1.3 nh x tuyn tớnh .9 Chng 2: Tp hp Mat n, k vi cu trỳc nhúm, vnh v khụng gian vect 11 2.1 Khụng gian vect Mat (n, k ) 11 2.2 Vnh cỏc ma trn vuụng cp n Mat (n, k ) 18 2.3 T ng cu tuyn tớnh v ma trn 24 Kt lun 32 Ti liu tham kho 33 36 [...]... End V đẳng cấu A M r r e1 , , en và vành Do Mat n, k A đó là ước của là ước của không trong Mat n, k det A 0 0 và det 0 31 không trong A 0 và KẾT LUẬN Trên đây là bài khóa luận của em về vấn đề: Tập hợp Mat n, k với cấu trúc nhóm, vành và không gian vectơ Phần nội dung chính của khóa luận này trình bày về cấu trúc không gian vectơ, cấu trúc vành trên tập các ma trận vuông cấp n Mat n, k và mối quan... Chƣơng 1: Một số kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Nhóm, vành 2 1.2 Không gian vectơ .5 1.3 Ánh xạ tuyến tính .9 Chƣơng 2: Tập hợp Mat n, k với cấu trúc nhóm, vành và không gian vectơ 11 2.1 Không gian vectơ Mat (n, k ) 11 2.2 Vành các ma trận vuông cấp n Mat (n, k ) 18 2.3 Tự đồng cấu tuyến tính và ma trận 24 Kết luận 32 Tài... - không gian vectơ V Khi đó Ánh xạ đặt tương ứng mỗi f a) End V với ma trận M f trong cơ sở e là một đẳng cấu vành từ vành End V của nó vào vành Mat n, k b) f End V là một tự đẳng cấu của V khi và chỉ khi M f ma trận khả nghịch 27 là một Chứng minh: a) Theo định lý 2.3.2, ánh xạ M : End V đẳng cấu từ nhóm abel End V , nên M là một Mat n, k lên nhóm abel Mat n, k , Vậy, để chứng minh M là một đẳng cấu. .. lý End V là một ước của không của vành End V khi và chỉ khi 0 và det 0 Chứng minh: Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: A Mat n, k là một ước của không của vành Mat n, k khi và chỉ khi A 0 và det A 0 Thật vậy: Nếu A là ước của không của vành Mat n, k , theo định nghĩa 1.1.8 thì A 0 và B Mat n, k , B 0 sao cho AB 0 Ta có det A 0 vì nếu trái lại det A 0 thì A khả nghịch và ta có : B AA 1 B A 1...CHƢƠNG 2 : TẬP HỢP Mat n, k VỚI CẤU TRÚC NHÓM, VÀNH VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ 2.1 Không gian vectơ Mat n, k 2.1.1 Định nghĩa Cho k là một trường tuỳ ý Một bảng gồm m n phần tử aij thuộc trường k có dạng: a11 K M O am1 L a1n M amn được gọi là ma trận kiểu m, n Mỗi aij được gọi là một thành phần của ma trận Vectơ dòng Vectơ cột a1 j a2 j K amj ai1 ai 2 K ain được gọi... Mat n, k có số chiều hữu hạn là n 2 nên đơn cấu t cũng là toàn cấu và do đó t là đẳng cấu 2.1.6 Mệnh đề Tập S n A là một không gian vectơ con của A Mat n, k | t A n n 1 2 Mat n, k có số chiều là : Ta gọi nó là không gian các ma trận đối xứng cấp n Chứng minh: Trước hết ta chứng minh S n là một không gian con của Mat n, k Hiển nhiên S n Với 0 Mat n, k Mat n, k : t 0 n A aij n , B t A B t A bij n... Vậy hệ e1 là một cơ sở của S n Suy ra dim S n n n 1 2 2.1.7 Mệnh đề Tập A n A là một không gian vectơ con của A Mat n, k | t A n n 1 2 Mat n, k có số chiều là: Ta gọi nó là không gian các ma trận phản đối xứng cấp n Chứng minh: Ta chứng minh A n là một không gian vectơ con của không gian Mat n, k Hiển nhiên A n Với 0 Mat n, k Mat n, k : t 0 n 0 A aij n , B t A B t A t A t A bij n A n A n t B 0 n... AB Bt At At Bt cki j 1 I nt 22 n n BA t I nt ta có: At là ma trận khả nghịch và At 1 Bt t A1 2.2.8 Định nghĩa Ta gọi là tâm của vành Mat n, k tập hợp C Mat n, k các ma trận A của Mat n, k mà AB gồm tất cả BA với mọi B Mat n, k 2.2.9 Mệnh đề aI n | a k Do đó C Mat n, k C Mat n, k là một vành con giao hoán có đơn vị của vành Mat n, k Chứng minh: Nếu A aI n thì rõ ràng A giao hoán với mọi ma trận vuông... trận này là: A B 9 2 3 34 7 2 2 4 5 và 2 B 6 2 2 62 4 4 2 8 6 2.1.3 Định lý Tập hợp Mat n, k cùng với phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một vô hướng lập thành một không gian vectơ trên trường k có số chiều là n 2 Chứng minh: Trước hết ta đi chứng minh Mat n, k là một không gian vectơ trên trường k Thật vậy: Với A aij n , B bij n , C cij n 12 Mat n, k và , k ta có: a A B ( aij bij aij bij... toàn cấu Vậy M là một đẳng cấu tuyến tính Từ đó dim End V dim Mat n, k 25 n2 2.3.3 Định lý Tập End V cùng với hai phép toán cộng hai tự đồng cấu và phép hợp thành (nhân) các tự đồng cấu làm thành một vành có đơn vị gọi là vành các tự đồng cấu của không gian vectơ V Chứng minh: r x V ta có: Với mọi f , g , h End V và f r h x g r g x f r f x r g x r h x r f x r h x r f x f f f r Xét O End V mà O x O g ... khụng gian vect ca A Mat n, k | t A n n Mat n, k cú s chiu l : Ta gi nú l khụng gian cỏc ma trn i xng cp n Chng minh: Trc ht ta chng minh S n l mt khụng gian ca Mat n, k Hin nhiờn S n Vi Mat. .. l mt khụng gian vect ca A Mat n, k | t A n n Mat n, k cú s chiu l: Ta gi nú l khụng gian cỏc ma trn phn i xng cp n Chng minh: Ta chng minh A n l mt khụng gian vect ca khụng gian Mat n, k Hin... l tõm ca vnh Mat n, k hp C Mat n, k cỏc ma trn A ca Mat n, k m AB gm tt c BA vi mi B Mat n, k 2.2.9 Mnh aI n | a k Do ú C Mat n, k C Mat n, k l mt vnh giao hoỏn cú n v ca vnh Mat n, k Chng