Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Hà Đức Vượng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùng với các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011 Tác giả Đỗ Đức Anh 2 LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Hà ĐứcVượng. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011 Tác giả Đỗ Đức Anh Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.1. Không gian tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. Không gian Banach lồi đều 30 2.1. Tính lồi của hình cầu đơn vị trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Modul lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach . . . . 34 Chương 3. Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach 42 3.1. Cấu trúc chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach . 46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 BẢNG KÍ HIỆU N Tập số tự nhiên N ∗ Tập số tự nhiên khác không Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực Z Tập số nguyên C Tập số phức R k Không gian thực k chiều C [a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b] . Chuẩn ∅ Tập hợp rỗng  Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1936 Clarkson đã đặt nền móng cho một hướng nghiên cứu rất quan trọng trong Giải tích toán học đó là "Hình học các không gian Banach". Đây là công cụ quan trọng để giải quyết nhiều vấn đề trong khoa học kỹ thuật. Đặc biệt là công cụ không thể thiếu trong lĩnh vực nghiên cứu về điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn. Năm 1948, Brodskii và Milman đã đưa ra các khái niệm điểm đường kính (diametral point) và xây dựng khái niệm tập hợp có cấu trúc chuẩn tắc (normal structure). Các khái niệm modul lồi (modulus of convexity), đặc trưng lồi (Characteristic of convexity) được xuất hiện, đã thu hút nhiều nhà toán học nghiên cứu về quan hệ giữa modul lồi, đặc trưng lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach như: Bynum, Day, James, Goebel, Kirk . . . Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa modul lồi, đặc trưng lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach, được sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Hà Đức Vượng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu : “Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng một bài tổng quan về modul lồi, đặc trưng lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach. Công trình nghiên cứu dựa trên kết quả của 2 chương: 2 Chương 5: "Scaling the convexity of the unit ball"; Chương 6: "The modulus of convexity and normal structure" trong cuốn sách “Topics in metric fixed point theory” của tác giả K. Goebel và W. A. Kirk xuất bản tại Mỹ năm 1990. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu là: - Nghiên cứu tính lồi của hình cầu đơn vị trong không gian Banach. - Nghiên cứu mối quan hệ giữa modul lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach. - Nghiên cứu cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach. - Nghiên cứu mối quan hệ giữa modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là modul lồi, đặc trưng lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach. 5. Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 3 6. Đóng góp mới Đây là bài tổng quan về modul lồi, đặc trưng lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach. Giúp người đọc hiểu được mối quan hệ giữa modul lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach, mối quan hệ giữa modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Không gian metric, không gian Banach và không gian Hilbert là các không gian quan trọng trong Giải tích hàm. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian Banach, không gian Hilbert, một số tính chất quan trọng và các ví dụ minh họa về các không gian này. 1.1. Không gian Banach 1.1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. [4] Không gian metric là một tập hợp X = ∅ cùng với một ánh xạ d từ X vào tập số thực R, thỏa mãn các điều kiện sau đây: 1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, với ∀x, y ∈ X; 2) d(x, y) = d(y, x), với ∀x, y ∈ X; 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với ∀x, y, z ∈ X. Ánh xạ d được gọi là metric trên X. Không gian metric được ký hiệu là (X, d). Ví dụ 1.1.1. Với hai véctơ bất kỳ x = (x 1 , x 2 , , x k ), y = (y 1 , y 2 , , y k ) thuộc không gian véctơ thực k chiều R k (k là số nguyên dương nào đó) 5 đặt: d(x, y) =     k  j=1 (x j − y j ) 2 . (1.1) Ta có (R k , d) là một không gian metric. Thật vậy: Ta có  k  j=1 (x j − y j ) 2 ≥ 0, với mọi x, y ∈ R. Suy ra d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R. Mặt khác ta có: d(x, y) = 0 ⇔     k  j=1 (x j − y j ) 2 = 0. Ta có (x j − y j ) 2 = 0, ∀j = 1, 2, , k. Hay x j = y j , ∀j = 1, 2, , k. Suy ra x = y. Vậy d(x, y) = 0 ⇔ x = y. Để kiểm tra hệ thức (1.1) thỏa mãn điều kiện 3 của Định nghĩa 1.1.1, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopski: Với 2k số thực a j , b j , (j = 1, 2, , k) ta có:      k  j=1 a j b j      ≤     k  j=i a 2 j .     k  j=i b 2 j . (1.2) Thật vậy 0 ≤ k  i=1  k  j=1 (a i b j − a j b i ) 2  6 = k  i=1 k  j=1 a 2 i b 2 j − 2 k  i=1 k  j=1 a i b i a j b j + k  i=1 k  j=1 a 2 j b 2 i = 2  k  j=1 a 2 j  k  j=1 b 2 j  − 2  k  j=1 a j b j  2 . Do đó ta có  k  j=1 a 2 j  k  j=1 b 2 j  −  k  j=1 a j b j  2 ≥ 0. Từ đó suy ra      k  j=1 a j b j      ≤  k  j=i a 2 j  k  j=i b 2 j . Với ba véc tơ bất kỳ x = (x 1 , x 2 , , x k ), y = (y 1 , y 2 , , y k ), z = (z 1 , z 2 , , z k ) thuộc R k ta có: d 2 (x, y) = k  j=1 (x j − y j ) 2 = k  j=1 [(x j − z j ) + (z j − y j )] 2 = k  j=1 (x j − z j ) 2 + 2 k  j=1 (x j − z j )(z j − y j ) + k  j=1 (z j − y j ) 2 ≤ k  j=1 (x j − z j ) 2 + 2     k  j=1 (x j − z j ) 2     k  j=1 (z j − y j ) 2 + k  j=1 (z j − y j ) 2 = d 2 (x, z) + 2d(x, z)d(y, z) + d 2 (z, y) = [d(x, z) + d(y, z)] 2 . Từ đó suy ra: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ R. Do đó hệ thức (1.1) thỏa mãn điều kiện 3 của Định nghĩa 1.1.1. Vậy hệ thức (1.1) là một metric trên R k . Ta có (R k , d) là một không gian metric. [...]... nhưng không là không gian Hilbert vì thiếu tính đẩy đủ Sau đây chúng tôi sẽ tìm hiểu về không gian Banach lồi đều, và các tính chất của chúng Chương 2 Không gian Banach lồi đều Trong chương này chúng tôi sẽ xét về tính lồi của hình cầu đơn vị trong không gian Banach Sau đó chúng tôi xét modul lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach cùng với các ví dụ minh họa 2.1 Tính lồi của hình cầu đơn vị trong không. .. Hàm f (x) không liên tục trên [0; 1] và do đó không thuộc C[0;1] Vì thế dãy {fn } không hội tụ trong C[0;1] Do đó C[0;1] với tích vô hướng nói trên không là không gian Hilbert Trên đây chúng tôi đã tìm hiểu về không gian Banach và không gian Hilberl Đây là các không gian đầy đủ Chúng tôi đã đưa ra những ví dụ để làm rõ có không gian định chuẩn nhưng không là không gian Banach, có không gian tích... 1] và do đó không thuộc C[0;1] Vì thế dãy{gn } không hội tụ trong C[0;1] Do đó E không là không gian Banach Định lý 1.1.2 [5] Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi trong không gian X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ Chứng minh Giả sử {xn } là một dãy Cauchy gồm những phần tử của X Khi đó, với mỗi số tự nhiên n, tồn tại một số tự nhiên kn sao cho với mọi l ≥ kn và với mọi... lại có x0 = 2 > 0, ∀t ∈ R1 nên x0 ∈ X / t +1 Vậy (X, d) là một không gian metric nhưng không đầy đủ 1.1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.5 [1] Ta gọi không gian tuyến tính định chuẩn (hay không gian định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên trường K(thực hoặc phức) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau: 1) x = 0 ⇔ x = θ (θ là phần... x(t) liên tục trên [a; b] Vậy x(t) ∈ C[a;b] Do đó C[a;b] là một không gian Banach Nhận xét 1.1.5 Định nghĩa 1.1.9 có thể phát biểu như sau: Không gian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach Ví dụ 1.1.8 Giả sử E = C[0;1] là không gian định chuẩn các hàm liên tục trên [0; 1] với chuẩn 1 f 1 |f (x)| dx = 0 Khi đó E không là không gian Banach Thật vậy ta xét hàm:  1     gn (x) = αn x + βn   ... vị của không x+y gian Banach X, điểm phải có khoảng cách dương đến biên của 2 hình cầu đó Khoảng cách này chỉ phụ thuộc vào khoảng cách của x và y, chứ không phụ thuộc vào vị trí của chúng (tính đều) Khái niệm này 31 được Clarkson đề sướng năm 1936 Từ định nghĩa 2.1.2 ta có x+y ε ≤d 1−δ 2 d ||x|| ≤ d, ||y|| ≤ d, ||x − y|| ≥ ε ⇒ Nhận xét 2.1.2 1) Các không gian lồi đều là lồi chặt 2) Trong không gian. .. 2 0 Vậy C[0;1] với 0 là không gian không lồi chặt 0 = y 0 =1 b) Với mỗi x ∈ C[0;1] , µ > 0:  x µ = x 0 1 2 1 x2 (t)dt + µ 0 Khi đó C[0,1] , là không gian lồi chặt, nhưng không lồi đều µ Thật vậy, tính lồi chặt là hiển nhiên Ta chỉ ra C[0;1] với chuẩn không gian không lồi đều Với ε ∈ (0; 2), tồn tại các hàm số x, y ∈ C[0;1] thỏa mãn: x µ = y µ = 1, x − y µ =ε µ là 32 và ta có: x+y 2 ≤ (1 + µ)... tới y trong không gian định chuẩn X, dãy số {αn } hội tụ tới số α, thì: xn + yn → x + y khi n → ∞, αn xn → αx khi n → ∞ Định nghĩa 1.1.7 [1] Dãy {xn } của không gian định chuẩn X gọi là dãy Cauchy, nếu lim m,n→∞ xm − xn = 0 Định nghĩa 1.1.8 [3] Giả sử X là một không gian tuyến tính, 2 1 và là hai chuẩn xác định trên X, τ1 và τ2 là các tô pô trên X gây nên bởi các chuẩn a) Chuẩn 1 1 và 2 được... điểm trong của A đối với τ1 Hay A là tập mở đối với τ1 (do Suy ra B1 x0 ; x0 là điểm bất kỳ của A) Vậy τ2 ≤ τ1 Nhận xét 1.1.4 1 và 2 tương đương khi và chỉ khi tồn tại 0 < α ≤ β sao cho: α 1 ≤ 2 ≤β 1 19 1.1.3 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.9 [1] Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm trong X Ví dụ 1.1.7 C[a;b] , không gian các... hạn chiều hai khái niệm lồi đều và lồi chặt là tương đương Ví dụ 2.1.1 Không gian C[0;1] là không gian các hàm số thực liên tục trên [0; 1].Ta xác định các chuẩn trên C[0;1] như sau: a) Với mỗi x ∈ C[0;1] , x 0 = sup {x(t) : t ∈ [a; b]} (gọi là chuẩn suppremum thông thường) Khi đó C[0;1] , là không gian không lồi chặt 0 Thật vậy Hiển nhiên tồn tại x, y ∈ C[0;1] thỏa mãn x x+y và x − y 0 = 0, nhưng . hệ giữa modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là modul lồi, đặc trưng lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach. 5 . . . . . . . 30 2.2. Modul lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach . . . . 34 Chương 3. Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach 42 3.1. Cấu trúc chuẩn tắc . . . . . . . . về modul lồi, đặc trưng lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach. Giúp người đọc hiểu được mối quan hệ giữa modul lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach, mối quan hệ giữa modul lồi và