Modul lồi và cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành dưói sn hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Hà Đúc Vưong, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m q báu hoc v nghiờn cỳu khoa hoc Thay luụn đng viên khích l¾ đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn q trình hồn thành lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Tốn To Giái tích vói q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao đieu ki¾n đe tác giá hồn thành lu¾n văn Hà N®i, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giá Đo Đúc Anh LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna Tien sĩ Hà ĐúcVưong Trong q trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành q khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giá Đo Đúc Anh Mnc lnc Má đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian metric 4 1.1.2 Không gian đ%nh chuan 14 1.1.3 Không gian Banach 19 1.2 Không gian Hilbert 23 1.2.1 Khơng gian tích vơ hưóng 23 1.2.2 Không gian Hilbert 26 Chương Không gian Banach loi đeu 30 2.1 Tính loi cna hình cau đơn v% không gian Banach 30 2.2 Modul loi đ¾c trưng loi cna không gian Banach .34 Chương Modul loi cau trúc chuan tac cúa không gian Banach 42 3.1 Cau trúc chuan tac 42 3.2 Modul loi cau trúc chuan tac cna không gian Banach 46 Ket lu¾n 51 Tài li¾u tham kháo 52 BÁNG KÍ HIfiU N N∗ T¾p so tn nhiên T¾p so tn nhiên khác khơng Q T¾p so huu tý R T¾p so thnc Z T¾p so nguyên C T¾p so phúc Rk Khơng gian thnc k chieu C[a;b] T¾p tat cá hàm so thnc liên tuc [a, b] "." Chuan ∅ Q T¾p hop rong Ket thúc chúng minh Mé ĐAU Lý chon đe tài Năm 1936 Clarkson ó nen múng cho mđt húng nghiờn cỳu rat quan trong Giái tích tốn hoc "Hình hoc khơng gian Banach" Đây cơng cu quan đe giái quyet nhieu van đe khoa hoc ky thu¾t Đ¾c bi¾t cơng cu khơng the thieu lĩnh vnc nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna lóp ánh xa khơng giãn Năm 1948, Brodskii Milman đưa khái ni¾m điem đưòng kính (diametral point) xây dnng khái ni¾m t¾p hop có cau trúc chuan tac (normal structure) Các khái ni¾m modul loi (modulus of convexity), đ¾c trưng loi (Characteristic of convexity) đưoc xuat hi¾n, thu hút nhieu nhà tốn hoc nghiên cúu ve quan h¾ giua modul loi, đ¾c trưng loi cau trúc chuan tac cna không gian Banach như: Bynum, Day, James, Goebel, Kirk Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu ve moi quan h¾ giua modul loi, đ¾c trưng loi cau trúc chuan tac cna không gian Banach, đưoc sn giúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Hà Đúc Vưong manh dan chon đe tài nghiên cúu : “Modul loi cau trúc chuan tac cúa không gian Banach” Mnc đích nghiên cNu Muc đích nghiên cúu cna đe tài xây dnng m®t tong quan ve modul loi, đ¾c trưng loi cau trúc chuan tac cna khơng gian Banach Cơng trình nghiên cúu dna ket cna chương: Chương 5: "Scaling the convexity of the unit ball"; Chương 6: "The modulus of convexity and normal structure" cuon sách “Topics in metric fixed point theory” cna tác giá K Goebel W A Kirk xuat bán tai My năm 1990 Nhi¾m nghiên cNu Vói muc đích ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu là: - Nghiên cúu tính loi cna hình cau đơn v% khơng gian Banach - Nghiên cúu moi quan h¾ giua modul loi đ¾c trưng loi cna không gian Banach - Nghiên cúu cau trúc chuan tac cna không gian Banach - Nghiên cúu moi quan h¾ giua modul loi cau trúc chuan tac cna không gian Banach Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu modul loi, đ¾c trưng loi cau trúc chuan tac cna không gian Banach Phương pháp nghiên cNu - D%ch, đoc, nghiên cúu tài li¾u - Phân tích, tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu Đóng góp mái Đây tong quan ve modul loi, đ¾c trưng loi cau trúc chuan tac cna khơng gian Banach Giúp ngưòi đoc hieu đưoc moi quan h¾ giua modul loi đ¾c trưng loi cna khơng gian Banach, moi quan h¾ giua modul loi cau trúc chuan tac cna không gian Banach Chương Kien thNc chuan b% Không gian metric, không gian Banach không gian Hilbert không gian quan trong Giái tích hàm Trong chương chúng tơi se trình by mđt so khỏi niắm c bỏn ve khụng gian metric, khơng gian Banach, khơng gian Hilbert, m®t so tính chat quan ví du minh hoa ve không gian 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian metric Đ%nh nghĩa 1.1.1 [4] Không gian metric mđt hop X = cựng vúi mđt ỏnh xa d tù X vào t¾p so thnc R, thóa mãn đieu ki¾n sau đây: 1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y, vói ∀x, y ∈ X; 2) d(x, y) = d(y, x), vói ∀x, y ∈ X; 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), vói ∀x, y, z ∈ X Ánh xa d đưoc goi metric X Không gian metric đưoc ký hi¾u (X, d) Ví dn 1.1.1 Vói hai véctơ bat kỳ x = (x1, x2, , xk), y = (y1, y2, , yk) thu®c khơng gian véctơ thnc k chieu Rk (k so nguyên dương đó) đ¾t: ‚ k , (xj − d(x, y) = (1.1) yj )2 j=1 Ta cú (Rk, d) l mđt khụng gian metric Thắt vắy: Ta có k (xj − yj )2 ≥ 0, vói moi x, y ∈ R j=1 Suy d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R M¾t khác ta có: ‚ k d(x, y) = , ⇔ (xj = − yj )2 Ta có j=1 (xj − yj )2 = 0, ∀j = 1, 2, , k Hay xj = yj , ∀j = 1, 2, Suy , k x = y V¾y d(x, y) = ⇔ x = y Đe kiem tra h¾ thúc (1.1) thóa mãn đieu ki¾n cna Đ%nh nghĩa 1.1.1, trưóc het ta chúng minh bat thúc Cauchy – Bunhiacopski: Vói 2k so thnc aj , bj , (j = 1, 2, , k) ta có: ‚ ‚ k k k a j bj ≤ aj j= bj , j= , i i j=1 Th¾t v¾y k k 0≤ (aibj − aj bi)2 i=1 j=1 (1.2) j i = k k j= i=1 k 2 a i bj − i= k j= k a ib i a j bj + i= k k = 2a j b −2 j= a2b2 k j=1 k a j bj j=1 j j=1 Do ta có k j=1 k a2j bj − Tù suy aj bj ≤ j=1 k k a2 j=i j ≥ aj bj j=1 k k j=i j=1 b2 j Vói ba véc tơ bat kỳ x = (x1, x2, , xk), y = (y1, y2, , yk), z = (z1, z2, , zk) thu®c Rk ta có: k d (x, y) = (xj − yj )2 j= = k [(xj − zj ) + (zj − yj )] j=1 k k k = (xj − zj ) + (xj − zj )(zj − yj ) + (zj − yj ) j=1 j=1 j=1 ‚ k k ≤ (xj − zj ) + (xj j=1 , − zj ) j=1 ‚ k k (z − y + (z − y j j j j , )2 ) j=1 = d2(x, z) + 2d(x, z)d(y, z) + d2(z, y) = [d(x, z) + d(y, z)] Tù suy ra: j=1 43 2) Neu H = D: r(D) = inf {ru(D) : u ∈ D} đưoc goi bán kính Chebyshev cna D C(D) = {u ∈ D : ru(D) = r(D)} đưoc goi tâm Chebyshev cna D 3) Hien nhiên ta có r(D) ≤ ru(D) ≤ diamD Đ%nh nghĩa 3.1.2 [12] Cho X khơng gian Banach, D t¾p X Điem u ∈ D đưoc goi điem đưòng kính (diametral) neu ru(D) = diamD Điem u ∈ D đưoc goi điem khơng đưòng kính (nondiametral) neu ru(D) < diamD Ví dn 3.1.1 Cho C[0;1] không gian hàm so thnc, liên tuc [0; 1] vói chuan sup thơng thưòng: ||x|| = sup {x(t) : t ∈ [0; 1]} M t¾p cna C[0;1], đưoc xác đ%nh sau: M = {x = {x(t) : = x(0) ≤ x(t) ≤ x(1) = 1}} Ta xét vói hai chuan khác C[0;1] sau: Vói moi x ∈ C[0;1]: ||x||0 = max {x(t)} , 0≤ t≤ 1  2 ¸ ||x||1 = ||x||0 +  (x(t)) dt 44 Khi vói "."0 ta có: r(M ) = diamM = V¾y M t¾p điem đưòng kính Ta có C(M ) = M Vói "."1 ta có: diamM = 2; r(M ) = Do r(M ) < diamM khơng có điem cna M điem đưòng kính Ta có C(M ) = ∅ Đ%nh nghĩa 3.1.3 [12] Cho X khơng gian Banach K t¾p loi cúa X, goi có cau trúc chuan tac (normal structure) neu vói moi t¾p loi, b% ch¾n S cúa K vói diamS > S có điem khơng đưòng kính Đ%nh nghĩa 3.1.4 Cho X khơng gian Banach Dãy {xn} X đưoc goi dãy đưòng kính (diametral sequence) neu khơng có hang so chung cu®c(eventually constant) lim n→∞ dist (xn+1, conv {x1, x2, , xn}) = diam {x1, x2, , } Đ%nh lý 3.1.1 [12] Cho K t¾p loi, b% ch¾n cúa khơng gian Banach X, có cau trúc chuan tac chs khơng chúa m®t dãy đưòng kính Chúng minh Trưóc het ta thay neu K chúa m®t dãy đưòng kính {xn} S = conv {x1, x2, , } l mđt iem ũng kớnh Ta chúng minh đ%nh lý bang phán chúng Giá sú K l mđt cú cau trỳc chuan tac v chỳa mđt dóy ũng kớnh {xn} 45 d = diamS, d > chon ε ∈ (0; d) Bat đau vói x1 ∈ S, ta xây dnng đưoc dãy {xn} thóa mãn: ε ||yn−1 − xn+1|| > d − vói n2 , n xi yn−1 = n i=1 Lay x ∈ S, ta có : x = n n j=1 j=1 αj xj , vói α ≥ αj = 1, S t¾p loi .n} Neu α = αp = max {α1, α2, , n α x α − j xj + yn−1 = nα n j=1 é ta có n nα + nα n d− n2 xn+1|| n j =1 nα xj − nα ≥ < ||yn−1 − ≤ + nα ||x − xn+1|| nα + jƒ= p α n j − ||xj − xn+1|| nα ≤ Vì v¾y ta có − j=1 Do ta có ε α ||x − xn+1|| 1− d d nα ε 46 ||x − xn+1|| > αε nα − =d− n2 nα n Đieu mau thuan x ∈ S ε nhó tùy ý V¾y K khơng chúa dãy đưòng kính 46 Đ%nh nghĩa 3.1.5 [12] Giá sú X khơng gian Banach Đ¾t r(K) N (X) = : K ⊂ X, loi b% ch¾n, diam(K)>0 sup diam(K ) Khi N (X) đưoc goi hang so cau trúc chuan tac Nh¾n xét 3.1.2 1) X không giam Banach, K t¾p loi, b% ch¾n vói diam(K) > ta có: r(K) ≤ N (X)diam(K) Rõ ràng N (X) ≤ Neu N (X) < X đưoc goi khơng gian có cau trúc chuan tac đeu (space with uniformly normal structure) 2) Hien nhiên khơng gian có cau trúc chuan tac đeu có cau trúc chuan tac Ngồi ngưòi ta chúng minh đưoc khơng gian có cau trúc chuan tac đeu phán xa 3.2 Modul loi cau trúc chuan tac cúa không gian Banach Đ%nh lý 3.2.1 [12] Neu modul loi δ cúa m®t khơng gian Banach X thóa mãn δ(1) > 0, X có cau trúc chuan tac Chúng minh Giá sú K ⊂ X loi đóng vói diam(K) = d > Lay µ > cho d − µ > ε0(X)d, chon u, v ∈ K cho "u − v" ≥ d − µ đ¾t z = (u + v) Khi vói moi x ∈ K : "x − u" ≤ d, "x − v" ≤ d, "u − v" ≥ d − µ Ta có − z" > 0, ta suy Vì " d − µ δ ≤ x d 47 1− δ d −µ "x − z" ≤ d − dδ d d − µ d d < d = diam(K) (3.1) 47 V¾y z điem khơng đưòng kính cna K Suy X có cau trúc chuan tac Đ%nh lý 3.2.2 [12] Neu modul loi δ cúa m®t khơng gian Banach X thóa mãn δ(1) > 0, X có cau trúc chuan tac đeu (uniformly normal structure) N (X) ≤ − δ(1) Đ%nh lý đưoc suy trnc tiep tù Đ%nh lý 3.2.1 Nh¾n xột 3.2.1 Tõm Chebyshev cna mđt loi b% ch¾n khơng gian loi đeu t¾p chí gom mđt iem Thắt vắy: Vúi K l loi b% ch¾n cna X, ta ln có: r(K) ≤ (1 − δ(1)) diam(K) (3.2) Vói µ > chon u, v ∈ C(K), vói C(K) tâm Chebyshep cna t¾p K cho "u − v" ≥ (1 − z = Khi ú: à)diamC(K) (u + v) chon x ∈ K cho "z − x" ≥ (1 − µ)r(K) "x − u" ≤ r(K), "x − v" ≤ r(K) Như v¾y ta có (1 − µ)r(K) ≤ "z − x" (1 − ≤ 1−δ µ)diamC (K) r(K) Cho µ → 0+ ta đưoc δ diamC(K) r(K) ≤ 0, túc r(K) 48 diamC(K) ≤ ε0(X)r(K) 48 Theo (3.2) ta suy diamC(K) ≤ ε0(X)(1 − δ(1))diamK (3.3) V¾y ta có: diamC(K) = Chúng tó C(K) t¾p chí gom điem √ Ví dn 3.2.1 Cho m®t khơng gian Hilbert H Khi N (H) ≤ Th¾t v¾y ta có: ε2 − δ(ε) = − Mà N (H) ≤ − δ(1) Ta suy N (H) ≤ − √ N (H) ≤ Ví dn 3.2.2 Xét khơng gian co đien lp = lp(N) vói l ≤ p ≤ +∞ Hay bao gom dãy x = {xn} thoá mãn "x"p = ∞ < +∞ p p "xn" n=1 Moi phan tú x ∈ lp có the bieu dien x = x+ − x−, tương úng vói thành phan thú i cna x+ x− đưoc cho bói: x+ i = max {xi, 0} = xi + | x i| ; x| − x− xi i = max {0, −xi}i = | Giá sú p, q ∈ [1, +∞) tùy ý, vói x ∈ lp ta đ¾t q q q + − "x"p,q = x + x p ; p 49 + − "x"p,∞ = max || ||p, ||x ||p x Như v¾y ta xác đ%nh cho lp m®t ho chuan tương đương, không gian sinh se đưoc kí hi¾u lp,q 49 Các khơng gian lp,q loi đeu neu p, q ∈ (1, ∞) ε0(lp,q) = ε0 (lp,1 ) = p Khơng gian lp,∞ khơng có cau trúc chuan tac M¾t khác, khơng gian lp,1 có cau trúc chuan tac Hơn nua, không gian lp,∞ lp,1 khơng gian đoi ngau vói Đ%nh lý 3.2.3 [12] Giá sú X m®t khơng gian Banach giá sú X1 = (X, ||.||1) X2 = (X, ||.||2), vói ||.||1 ||.||2 hai chuan tương đương X thố mãn vói < α < β α||x||1 ≤ ||x||2 ≤ β||x||1, x ∈ X Neu k = β th α ì k N (X1) ≤ N (X2) ≤ kN (X1) (3.4) Chúng minh Hien nhiên ta có bat thúc đưoc suy trnc tiep tù đ%nh nghĩa Nh¾n xét 3.2.2 Theo giá thiet cna Đ%nh lí (3.2.3) ta có the xác đ%nh moi quan h¾ giua modul loi δ1 = δX1 δ2 = δX2 Ta có úng dung sau vói x, y ∈ X ε > mà: ||x||2 ≤ 1, ||y||2 ≤ 1, ||x − y||2 ≥ ε, suy ||x||1 ≤ α−1, ||y||1 ≤ α−1, ||x − y||1 ≥ εβ−1 Tù ruy − δ1 εk−1 α−1 x+y 1≤ 50 Suy Tù dan tói x+y − δ1 εk−1 k 2≤ δ2(ε) ≥ − k − δ1 εk−1 V¾y ta xác đ%nh đưoc moi quan h¾ giua δ1 δ2 Trong chương trình bày ve cau trúc chuan tac moi quan h¾ giua modul loi cau trúc chuan tac Qua chúng tơi thay: M®t khơng gian Banach có cau trúc chuan tac đeu hien nhiên có cau trúc chuan tac Neu modul loi cna không gian Banach X thóa mãn δ(1) > X có cau trúc chuan tac đeu KET LU¾N Đe tài “Modul loi, đ¾c trưng loi cau trúc chuan tac cna khơng gian Banach” trình bày tong quan ve modul loi, đ¾c trưng loi cau trúc chuan tac cna khơng gian Banach Đong thòi chí moi quan h¾ giua modul loi, đ¾c trưng loi cau trúc chuan tac khơng gian Banach vói m®t so ví du minh hoa Cu the sau: Chương 1: Trình by hắ thong mđt so kien thỳc ve khụng gian metric, không gian đ%nh chuan, không gian Banach không gian Hilbert Chương 2: Trình bày ve tính loi cna hình cau đơn v% khơng gian Banach, modul loi đ¾c trưng loi cna khơng gian Banach Đong thòi trình bày ve moi quan h¾ giua modul loi đ¾c trưng loi cna khơng gian Banach Chương 3: Trình bày ve cau trúc chuan tac, moi quan h¾ giua modul loi cau trúc chuan tac cna không gian Banach Vói pham vi thòi gian kien thúc có han, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Mong q thay cơ, ban góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác giá xin chân thành cám ơn! Hà N®i, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giá Đo Đúc Anh Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phu Hy (2006), Giái tích hàm, Nxb Khoa hoc ky thu¾t [2] Nguyen Văn Khuê, Lê M¾u Hái (2004), Bài t¾p giái tích hàm, Nxb Đai hoc Quoc Gia Hà N®i [3] Đo Văn Lưu(1999), Giái tích hàm, Nxb Khoa hoc ky thuắt H Nđi [4] o Vn Lu (1998), Tụpụ cng, Nxb Khoa hoc Ky thuắt, H Nđi [5] Nguyen Xuân Liêm (2002), Giái tích hàm, Nxb Giáo duc [6] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nxb hoc Quoc Gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [7] Bynum, W.L (1972), A Class of Banach spaces lacking normal structure, Compositio Math, (25),233-236 [8] Bynum, W.L (1980), Normal structure coefficients for Banach spaces, Pacific J Math, (86), 427- 436 [9] Clarkson, J.A (1936),Uniformly convex spaces, Trans Amer Soc, (40), 396 - 414 [10] Day, M M, James, R C and Swaminathan, S (1971),Normed linear spaces that are uniformly convex in every direction, Can J Math, (23), 1051- 1059 53 [11] Dvoretsky, A (1961),Some results on convex bodies and Banach spaces, Poc Int Symp linear Spaces, Jerusalem, 1960, Jerusalem Academic Press, Jerusalem; pp.123-160 [12] Goebel, K and Kirk, W A (1990), Topics in metric fixed point theory, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press, Cambridge [13] Enflo, P (1972),Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm, Israel J Math, (13), 281-288 [14] James R C (1964)Umiformly non-square Banach spaces, Ann Math, (80), 542 - 550 [15] Đo Hong Tan and Ha Duc Vuong (2002),On eventually and asymptotically Lipschitzian mappings, Vietnam Journal of Mat., 30 (1), 31 - 42 [16] Ha Duc Vuong (2006), “A fixed point theorem for nonexpansive mappings in locally convex spaces”, Vietnam Journal of Mathematics, 34 (2), 149 – 155 ... bỏn ve không gian metric, không gian Banach, không gian Hilbert, m®t so tính chat quan ví du minh hoa ve không gian 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian metric Đ%nh nghĩa 1.1.1 [4] Không gian. .. trưng loi cna khơng gian Banach .34 Chương Modul loi cau trúc chuan tac cúa không gian Banach 42 3.1 Cau trúc chuan tac 42 3.2 Modul loi cau trúc chuan tac cna khơng gian Banach 46 Ket lu¾n... quan h¾ giua modul loi cau trúc chuan tac cna không gian Banach Chương Kien thNc chuan b% Không gian metric, không gian Banach không gian Hilbert không gian quan trong Giái tích hàm Trong chương