Toán tử Compact trong không gian Banach

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN NGUYEN TH± HONG UYEN TỐN TU COMPACT TRONG KHƠNG GIAN BANACH KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chun ngành: GIÃI TÍCH Ngưèi hưéng dan khoa hoc Th.s HỒNG NGOC TUAN Hà N®i - 2013 LèI CÃM ƠN Đe hồn thành đưoc khóa lu¾n này, trưóc het em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đen thay giáo to Giái tích, khoa Tốn, trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình làm khóa lu¾n Đ¾c bi¾t, em xin chân thành cám ơn thay giáo hưóng dan – Th.S Hồng Ngoc Tuan tao đieu ki¾n tot nhat chí báo t¾n tình đe em có the hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Do thòi gian kien thúc có han nên nhung van đe trình bày khóa lu¾n khơng tránh khói nhung thieu sót Vì v¾y, em rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cúa thay ban Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Hong Uyen LèI CAM ĐOAN Khóa lu¾n ket q cúa bán thân em q trình hoc t¾p nghiên cúu Bên canh em đưoc sn quan tâm cúa thay giáo khoa Tốn, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cúa Th.S Hồng Ngoc Tuan Đây đe ti đc lắp khụng trựng lắp vúi e ti cỳa tác giá khác Trong nghiên cúu hoàn thành bi khúa luắn ny em ó tham khỏo mđt so tài li¾u ghi phan tài li¾u tham kháo Rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cúa thay ban đe khóa lu¾n đưoc hon thiắn hn H Nđi, thỏng 05 nm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Hong Uyen Mnc lnc Mé đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Metric .3 1.2 Không gian đ%nh chuan .4 1.3 Không gian Hilbert Chương Toán tN compact không gian Banach 12 2.1 Đ%nh lý Schauder Đ%nh lý thay phiên Fredholm .12 2.2 Lý thuyet .21 2.3 Toán tú tn liên hop 29 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham kháo .43 Me ĐAU Lý chon đe tài Lý thuyet hàm giái tích hàm có tam quan đ¾c bi¾t đoi vói tốn hoc bán tốn hoc úng dnng N®i dung cúa rat phong phú, đa dang Do kien thúc lóp vói lưong thòi gian eo hep nên khó có the sâu nghiên cúu m®t van đe cúa giái tích hàm Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu ve b® mơn này, dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham Tốn pham vi cỳa mđt khúa luắn tot nghiắp cựng vúi sn giúp đõ cúa thay giáo – Th.S Hoàng Ngoc Tuan em xin manh dan trình bày nhung kien thúc cúa ve đe tài “Tốn tN compact khơng gian Banach” Mnc đích nghiên cNu Mnc đích nghiên cúu cúa khóa lu¾n tìm hieu ve tốn tú com- pact không gian Banach Đoi tưeng pham vi nghiên cNu Nghiên cúu ve toán tú compact không gian Banach bao gom đ%nh nghĩa tính chat cúa Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u tham kháo Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m, tính chat 5 Cau trúc khóa lu¾n Ngồi mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n gom chương: Chương 1: Kien thúc chuan b% Chương 2: Toán tú compact khơng gian Banach Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Hong Uyen CHƯƠNG Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Metric Đ%nh nghĩa 1.1 Ta goi l khụng gian metric mđt hop X ƒ= vói 0/ m®t ánh xa d tù tớch e - cỏc X ì X vo hop so thnc R thóa mãn tiên đe sau đây: (i) (∀x, y ∈ X ) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y, (tiên đe đong nhat); (ii) (∀x, y ∈ X ) d(x, y) = (y, x), (tiên đe đoi xúng); (iii) (∀x, y, z ∈ X )d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đe tam giác) Ánh xa d đưoc goi metric X, so d(x, y) goi khoáng cách giua hai phan tú x y Các phan tú cúa X goi điem Không gian metric đưoc kí hi¾u M = (X, d) Đ%nh nghĩa 1.2 Cho không gian metric M = (X, d), dãy điem (xn) ⊂ X, điem x0 ∈ X Dãy điem (xn) goi h®i tn tói điem x0 khơng gian Mkhi n → ∞ neu (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N ∗ )(∀n ≥ n0) d(xn, x0) < ε, kí hi¾u : lim xn = x0 hay xn n→∞ → x0(n → ∞) Điem x0 goi giói han cúa dãy (xn) không gian M Đ%nh nghĩa 1.3 Cho không gian metric M = (X, d) Ta goi lân c¾n cúa điem x ∈ X khơng gian M moi hình cau mó tâm x, bán kính r > đay Đ%nh nghĩa 1.4 Cho không gian metric M = (X, d) t¾p A ⊂ X T¾p A goi t¾p mó khơng gian M, neu moi điem thu®c A đeu điem cúa A, hay nói cách khác, neu điem x ∈ A thỡ ton tai mđt lõn cắn cỳa x bao hàm A T¾p A goi t¾p đóng khơng gian M, neu moi điem khơng thu®c A đeu điem ngồi cúa A, hay nói cách khác, neu iem x / A thỡ ton tai mđt lõn cắn cỳa x khụng chỳa iem no thuđc A %nh nghĩa 1.5 Cho không gian metric M = (X, d) T¾p K ⊂ X goi t¾p compact khơng gian M, neu moi dãy vô han phan tú thu®c K đeu chúa dãy h®i tn tói phan tỳ thuđc K Tắp K goi l compact tương đoi không gian M, neu moi dãy vô han phan tú thu®c K đeu chúa dãy h®i tn (tói phan tú thu®c X) Đ%nh nghĩa 1.6 Cho không gian metric M = (X, d) Không gian M goi khơng gian compact, neu t¾p X t¾p compact M Đ%nh lý 1.1 (Azela - Ascoli) Cho X m®t khơng gian metric compact Y l mđt khụng gian metric Khi ú mđt hop F cúa C(X,Y ) compact chí liên tnc đong b¾c, b% ch¾n tùng điem đóng Trong C(X,Y ) khơng gian metric vói phan tú tat cá hàm liên tnc tù X tói Y metric đưoc xác đ%nh bói công thúc: d( f , g) = max d ( f (x), g(x)) X T¾p F đưoc goi b% ch¾n tùng điem neu vói moi x ∈ X t¾p hop { f (x) : f ∈ F} b% ch¾n Y T¾p F đưoc goi liên tnc đong b¾c X neu: ∀x0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > ∀ f ∈ F, ∀x ∈ X : d(x, x0) < δ ⇒ d( f (x), f (x0)) < ε 1.2 Không gian đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.7 Cho X không gian vectơ trưòng K (K=R ho¾c C) Ánh xa "." : X → R đưoc goi chuan X neu (i) "x" ≥ vói moi x ∈ X ; (ii) ["x" = chí x = 0; (iii) "λ x" = |λ | "x" vói moi x ∈ X vói moi λ ∈ K; M®t khơng gian vectơ vói m®t chuan (X, ".") đưoc goi khơng gian tuyen tính đ%nh chuan (hay m®t khơng gian đ%nh chuan) Đ%nh lý 1.2 Cho (X, ".") Đ¾t d(x, y) = "x − y" ∀x, y ∈ X Khi đó, d metric X Tù đ%nh lý suy m®t khơng gian đ%nh chuan có the tró thành khơng gian metric (vói metric đ%nh nghĩa đ%nh lý) Do nhung khái ni¾m tính chat có khơng gian metric có khơng gian đ%nh chuan M®t khơng gian Banach m®t khơng gian tuyen tính đ%nh chuan (X, ".") đú metric tac đưoc xác đ%nh bói d(x, y) = "x − y" vói x, y ∈ X M¾nh đe 1.1 Cho Y khơng gian cúa khơng gian Banach X Y m®t khơng gian Banach chí Y đóng X Đ%nh nghĩa 1.8 Cho p ∈ [1,∞) Không gian p đưoc xác đ%nh không gian An vectơ Kn n – chieu, vói chuan kí hi¾u vói x = (x1 , , xn) ∈ pAn "x"p = n ∑ |xi| p p i=1 M¾nh đe 1.2 (Riesz) Cho X m®t khơng gian đ%nh chuan Neu Y m®t khơng gian đóng thnc sn cúa X vói moi ε > ton tai x ∈ SX := {x ∈ X : "x" = 1} cho dist(x,Y ) ≥ − ε Đ%nh lý 1.3 Cho X m®t khơng gian đ%nh chuan X huu han chieu chí hình cau đơn v% BX cúa X compact ≤ "(MT IH −T )(xn)" = "MT xn −T (xn) = + "T − 2MT (T (xn), xn) T "2 (xn) M (T (x ), x ) = (x1, " " T (x2)) = (x1, µx 2) = µ(x1, x2) Do (λ − µ)(x1, x2) = Vì (λ − µ) ƒ= 0, ta có (x1, x2) = Đieu chí rang khơng gian " riêng tương úng đoi x vói giá tr% riêng khác biắt cỳa mđt toỏn tỳ n tn liờn hop l trnc giao " ≤ M + M − 2MT (T (xn), xn) → T T Do "(MT IH −T )(xn)" → v¾y MT ∈ σ (T ) Vì S = T − MT IH , ta có mS ≤ MS = 0, nên |mS| = "S" ta chúng minh tương tn vói mS ∈ σ (S), túc là, mT ∈ σ (T ) Đ¾c bi¾t, "T " ∈ σ (T ) neu T tn liên hop Bo đe 2.7 Cho tốn tú T khơng gian Hilbert H Neu T tn liên hop, vectơ riêng tương úng vói giá tr% riêng khác trnc giao Chúng minh Neu T (x1) = λ x1 T (x2) = µx2 vói x1 ƒ= x2 ƒ= 0, λ ƒ= µ, (λ , µ thnc) (T (x1), x2) = (λ x1 , x2) = λ (x1, x2) lan Giá sú không gian riêng khơng gian bat bien vói tốn tú cho Cho khơng gian đóng M cúa khơng gian Hilbert H phan bù trnc giao M⊥ cúa H thóa mãn H = M ⊕ M ⊥ M¾nh đe 2.15 Cho tốn tú tn liên hop T khơng gian Hilbert H Cho M khơng gian đóng cúa H bat bien đoi vói T Khi N = M⊥ bat bien đoi vói T Kí hi¾u T1 = T |M T2 = T |N The T1 tốn tú tn liên hop M, T2 toán tú tn liên hop N, T (H) = T1 (M) ⊕ T2 (N), σ (T ) = σ (T1) ∪σ (T2) Chúng minh Cho y ∈ N Vì M bat bien đoi vói T , vói moi x ∈ M ta có = (T (x), y) = (x, T (y)) T (y) ∈ N Vì v¾y, N bat bien đoi vói T Vì cá M N đeu bat bien, han che tốn tú tn liên hop khơng gian tương úng Cho λ ∈ σ (T1) Theo M¾nh đe 2.14, ta có xn ∈ SM cho "λ xn − T1 (xn )" → Cho nên "λ xn −T (xn)" → 0, chúng tó λ ∈ σ (T1) Tương tn, ta chúng tó σ (T2 ) ⊂ σ (T ) Giá sú λ ∈/ σ (T1 ) ∪ σ (T2 ) Khi ton tai C > cho vói moi x ∈M vói moi y ∈ N, ta có "λ x −T (x)" ≥ C "x" "λ y − Ty" ≥ C "y" Ta có z ∈ H z = x + y vói x ∈ M y ∈ N Vì λ x − T (x) ∈ M λ y − T (y) ∈ N, ta có 2 "λ z − T (z)" = "λ x −T (x)" +"λ y − T (y)" ≥ C2 ("x" 2 +"y" ) = "z" C2 Vì v¾y, λ ∈/ σ (T ) theo M¾nh đe 2.14 M¾nh đe 2.16 Moi tốn tú compact tn liên hop khơng gian Hilbert đeu có giá tr% riêng Chúng minh Neu T = 0, m®t giá tr% riêng Neu T ƒ= 0, theo Đ%nh lý 2.6, "T " ∈ σ (T ), "T " ƒ= mđt giỏ tr% riờng theo Mắnh e 2.7 %nh lý 2.7 ([6]) Cho toán tú tn liên hop T ƒ= không gian Hilbert H vô han chieu The σ (T ) = {0} ∪ {λi}, ó λi giá tr% riêng thnc khác cúa T T¾p hop {λi} bao hàm "T " hoắc l huu han hoắc l dóy em oc hđi tn đen Hơn nua, khơng gian H có só trnc giao đưoc tao bói vectơ riêng tương úng vói giá tr% riêng cúa T Chúng minh Vì H vơ han chieu T compact, ∈ σ (T ) Lai có "T " ∈ σ (T ) nên có nhat m®t giá tr% riêng khác 0, theo M¾nh đe 2.8 Đ%nh lí 2.6 có vơ so giá tr% riêng thnc đem đưoc cúa T h®i tn đen Còn phái chúng tó ta có the l¾p só trnc giao ngồi vectơ riêng cúa T Vói m®t giá tr% riêng λ , kí hi¾u Nλ = Ker(λ IH − T ) Ta l¾p só trnc giao Bλ cúa moi m®t Nλ Theo Bo đe 2.7, B = B l mđt hop trnc giao H; rõ ràng, span(B) bao hàm moi vectơ riêng cúa T Neu span(B) ƒ= H, ta xét G = span(B)⊥ Vì moi khơng gian riêng bat bien đoi vói T , nên span(B) v¾y đó, theo M¾nh đe 2.15, G khơng gian bat bien đoi vói G Hơn nua, σ (T ) = σ ( T |span(B) ) + σ ( T |G ) Tuy nhiên, T |G có m®t giá tr% riêng, có vectơ riêng v khác Nó vectơ riêng cúa T v ∈ G ∩ span(B), đieu mâu thuan Đieu chúng tó rang span(B) = H; B só trnc giao cúa H H¾ q 2.3 Cho tốn tú compact tn liên hop T không gian Hilbert H Khi σ (T ) bao đóng cúa giá tr% riêng cúa T Chúng minh Neu H huu han chieu, moi λ ∈ σ (T ) giá tr% riêng Neu H vơ han chieu, chí có m®t điem cúa σ (T ) khơng giá tr % riêng Neu t¾p hop giá tr% riêng khác đem đưoc, h®i tn đen Trưòng hop cuoi t¾p hop giá tr% riêng khác huu han H vơ han chieu Vì khơng gian riêng cúa giá tr% riêng khác huu han chieu (Đ%nh lý 2.2), nên chí có m®t cho vi¾c vectơ riêng tao thành só trnc giao là giá tr% riêng Đ%nh lý 2.8 (Sn phân tích pho) Cho tốn tú compact tn liên hop T không gian Hilbert H vô han chieu tách đưoc Khi ton tai só trnc giao {ei} cúa H cho moi ei vectơ riêng tương úng vói giá tr% riêng thnc λi cúa T , vói moi x ∈ H ta có ∞ ∑ λi(x, ei) ei T (x) = i=1 Hơn nua, vói moi λ ∈/ σ (T ) x ∈ H, ta có ∞ R(λ )(x) = ∑ i=1 (x, ei) ei λ − λi Chúng minh Cho {ei} só trnc giao (đem đưoc) cúa H theo Đ%nh lý 2.45 Ta có {ei} m®t só trnc giao, vói x ∈ H bat kì chuoi ∑ λi(x, ei)ei h®i tn, m λ (x, ei)ei ∑ =i i=n m ∑ i= n m |λi(x, ei)| ≤ "T " |(x, ei)| → ∑ i=n n, m → ∞ Ngồi ra, neu "x" ≤ 1, vói moi n ∈ N ta có n ∑ i=1 λi(x, ei)ei n n = λ 2|(x, ei)| ∑ ≤ "T " i i=1 2 |(x, ei)| ∑ i=1 ∞ ≤ "T " ∑ |(x, ei)| = "T" "x" 2 i=1 Do đó, tốn tú G đưoc xác đ%nh G(x) = ∞ ∑ λi(x, ei)ei ∈ B(H) liên i=1 tnc Tù T (ei) = λi ei ta có T (ei) = G(ei), theo tính chat tuyen tính liên tnc, T = G H Xét λ ∈ ρ(T ) Vì σ (T ) đóng nên ton tai δ > cho dist(λ , σ (T )) > δ Khi |λi − λ | ≥ δ vói moi i m 2 m Cho nên ∑ | ∑ (x, m (x,ei ) (x,e )| ei)| i ei = ∑ λ −λ | δ − i=n i i=n |λ−λi| vói trnc tâm cúa i=n {ei} Do chuoi h®i tn vói moi x ∈ H, ta xác đ%nh tốn tú tuyen tính (x,e ) H G(x) = ∑λ−λ i ei Vói "x" ≤ 1, ta có n i (x, e ) i ∑ (λ n = ei i=1 ∑ i=1 − λi ) |(x, ei)| 2 |λ − λi )| ∞ n ≤ δ −2 ∑ |(x, ei)| i=1 −2 ≤ δ −2 ∑ |(x, ei)| = δ 2 "x" −2 ≤δ i=1 đ¾c bi¾t, G tốn tú tuyen tính b% ch¾n H Vói x = ∑ (x, e j ) e j , ta có T (x) = ∑ λ j (x, e j ) e j (λ IH −T )(x) = ∑(λ − λ j )(x, e j ) e j ; đó, sú dnng j j (ei, e j ) = δi, j , ta có (x, ei) (λ IH −T )(G(x)) = ∑ (λ ∑ λ − λ ei, e j e j i i − λj ) (x, j e i) = ∑ (λ − λ j ) − λ (ei, e j ) e j = ∑ (x, e j )e j λi i, j = x j Tương tn, chúng tó đưoc G(λ IH −T ) , G = R(λ ) Đ%nh nghĩa 2.10 Cho không gian Hilbert H, cho T m®t tốn tú H T đưoc goi tac neu T T ∗ = T ∗ T T đưoc goi đơn nhat neu ngh%ch T −1 = T ∗ Rõ ràng, moi toán tú đơn nhat chuan moi tốn tú tn liên hop chuan M¾nh đe 2.17 Cho không gian Hilbert H, T ∈ B(H) T tac chí "T (x)" = "T ∗ (x)" vói moi x ∈ H Chúng minh Vói x ∈ H, ta có "T (x)" − " T ∗ " (x) = (T (x), T (x)) − (T ∗ T (x), ∗ (x)) = (T ∗ T (x), x) − (T T ∗ (x), x) = ((T ∗ T − T T ∗ )(x), x) Neu T tac, ket q cuoi vói moi x ∈ H, v¾y "T (x)" = "T ∗ (x)" vói moi x ∈ H Neu ((T ∗ T − T T ∗ )(x), x) = 0, T ∗ T − T T ∗ ln ln tn liên hop nên ta có T ∗ T − T T ∗ = theo M¾nh đe 2.12 T tac M¾nh đe 2.18 Cho không gian Hilbert H Neu T ∈ B(H) lên, m¾nh đe sau tương đương (i) T đơn nhat; (ii) T phép cn; (iii) (T (x), T (y)) = (x, y) vói moi x, y ∈ H Neu đieu ki¾n (iii) đưoc thóa mãn vói tốn tú T ∈ B(H), ta nói rang T báo tồn tích Chúng minh Theo sn đong nhat phân cnc vói khơng gian Hilbert thnc ho¾c phúc, chúng tó rang T ket q chí T phép cn Do đó, (ii) (iii) tương đương Neu U đơn nhat, (T (x), T (y)) = (T ∗ T (x), y) = (x, y) vói moi (x, y), nên T thóa mãn (iii) Neu T thóa mãn (iii), phép cn lên, T −1 ton tai Theo (iii) (T ∗ T (x), y) = (x, y) vói moi x, y ∈ H; T ∗ T = IX T −1 = T ∗ Ta có neu P phép chieu tuyen tính b% ch¾n cúa khơng gian Banach X P(X ), X = P(X ) ⊕ Ker(P) Đ%nh nghĩa 2.11 Cho không gian Hilbert H P phép chieu tuyen tính b% ch¾n cúa H lên P(H) P đưoc goi phép chieu trnc giao neu Ker(P)⊥P(H) Vì ta ln có Ker(P) ⊕ P(H) = H hai khơng gian đóng, nên P(H) = Ker(P)⊥ Ker(P) = P(H)⊥ tương đương Bo đe 2.8 Cho không gian Hilbert H x, y ∈ H Neu "x + αy" ≥ "x" vói moi vơ hưóng α, (x, y) = Chúng minh Ta có "x" ≤ "x + αy" = (x, x) + |α (y, y) + 2Re (α(y, x)) | 2 Viet α = r1 eit (y, x) = r2 eiξ Khi (y, y)+ 2Re (α(y, x)) = r (y, |α| y)+ 2Re(r1 r2 ei(t+ξ )) Neu ta chon t cho t + ξ = π, 2Re(r1 r2 ei(t+ξ ) )= −2r1r2 ta có −2r1 r2 +1 r2 "y" ≥ r1 > The −2r2 + r1 > vói moi r1 > 0, đieu chí xáy neu r2 = Do (y, x) = Đ%nh lý 2.9 Cho T phép chieu tuyen tính b% ch¾n cúa khơng gian Hilbert H P(H) The đieu sau tương đương (i) P phép chieu trnc giao; (ii) P toán tú tn liên hop; (iii) P toán tú chuan; (iv) (x − P(x), P(x)) = vói moi x ∈ H; (v) "P" = Chúng minh (i) ⇒ (ii): De thay tù Ker(P)⊥P(H) x − P(x) ∈ Ker(P) Rõ ràng, (ii) ⇒ (iii) (iii) ⇒ (i): Theo M¾nh đe 2.17, ta có Ker(P) = Ker(P∗); lai có Ker(P∗) = P(H)⊥ theo M¾nh đe 2.9 Ker(P) = P(H)⊥ (i) ⇒ (iv) : Neu P(H) Ker(P) không gian bù trnc giao cúa H, x = y + z vói y ∈ P(H) z ∈ Ker(P) Khi P(x) = y (x − P(x), P(x)) = (z, y) = (iv) ⇒ (i): Vói y ∈ P(H) z ∈ Ker(P), t¾p hop x = y + z The P(x) = y, x − P(x) = z, ta có (z, y) = (x − P(x), P(x)) = 0; túc y⊥z Vì v¾y, Ker(P)⊥P(H) (i) ⇒ (v): Có x ∈ H x = y + z, ó y ∈ P(H), z ∈ Ker(P) The y⊥z, nên "P(x)" = "y 2 + "z = "y + z Cho nên "P" ≤ Vì ≤ 2 " "y" " " P(x) = y vói x ∈ P(X ), ta có "P" ≥ Do "P" = (v) ⇒ (i): x = y + z vói y ∈ P(H), z ∈ Ker(P) Cho α vơ hưóng tùy ý The "y" = "P(y + αz)" ≤ "y + αz" Theo Bo đe 2.8, ta có (y, z) = 0, Ker(P)⊥P(H) Đ%nh lý 2.10 (Sn phân tích Pho) Cho H khơng gian Hilbert phúc vơ han chieu tách đưoc Neu T tốn tú compact chuan H, ó ton tai só trnc giao {ei} cúa cúa H, ó moi ei vectơ riêng tương úng đoi vói giá tr% riêng λi cúa T , cho vói moi x ∈ H ta có T (x) = ∑i λi (x, ei)ei Đ¾c bi¾t, neu {λn} kí hi¾u t¾p hop tat cá giá tr% riêng khác bi¾t cúa T , Pn phép chieu trnc giao cúa H ó khơng gian riêng Ker(λnIH −T ), T = ∑ λn Pn , ó tong h®i tn B(H) n Chúng minh Xét toán tú tn liên hop U = T T ∗ = T ∗ T Theo Đ%nh lý 2.7, có khơng gian riêng (trnc giao đơi m®t) Hn tương úng đoi vói giá tr% riêng phân bi¾t λn cúa U cho H = span (∪H n ); đ¾c bi¾t, só trnc giao cúa Hn (đưoc tao bói vectơ riêng cúa U ) đưoc sap vào m®t dãy tao nên só trnc giao cúa H Ta đòi hói moi Hn khơng gian bat bien cúa T Vì UT = T T ∗T = T T T ∗ = TU, vói h ∈ Hn ta có (λnIH −U )(T (h)) = T (λnIH −U )(h) = 0; túc là, T (h) ∈ Ker(λnIH −U ) = Hn Moi Hn có m®t só trnc giao đưoc tao bói vectơ riêng cúa T Th¾t v¾y, neu λ = 0, U = Hn "T = (T (x), T (x)) (x)" = ∗ (T T (x), x) = (U (x), x) = 0; túc T = Hn Do Do đó, moi vectơ khác cúa Hn vectơ riêng Neu λn ƒ= 0, Hn khơng gian vectơ phúc huu han chieu sn ton tai só tù đai so tuyen tính đieu cho thay T |Hn tac T¾p hop tat cá só cúa Hn ta đưoc só trnc giao cúa H Sn h®i tn cúa ∑ λi(x, ei)ei đưoc chúng minh Đ%nh lý 2.8, tương tn chúng minh ∑ λn Pn h®i tn đen T n KET LU¾N Trong q trình tìm hieu, nghiên cúu khóa lu¾n, em bưóc đau làm quen vói cách thúc làm vi¾c khoa hoc, hi¾u q Qua em cúng co thêm nhung kien thúc Giái tích hoc, đong thòi thay đưoc sn phong phú, lí thú cúa tốn hoc Đ¾c bi¾t khóa lu¾n em ó oc nghiờn cỳu mđt cỏch cú hắ thong v kĩ ve van đe bán cúa tốn tú compact khơng gian Banach Đe hồn thành tot khóa lu¾n tot nghi¾p em xin trân cám ơn thay to Giái tích, thay khoa Tốn Tuy nhiên thòi gian có han trình đ® han che nên khóa lu¾n cúa em khơng tránh khói nhung thieu sót Em rat mong đưoc sn đóng góp ý kien cúa thay cô ban sinh viên Em xin chân thành cám ơn! Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Hong Uyen Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phn Hy (2006), Giái tích hàm, Nxb Khoa hoc Ky thu¾t [2] Nguyen Văn Khuê, Lê M¾u Hái (2004), Bài t¾p giái tích hàm, Nxb Đai hoc Quoc gia Hà N®i [3] Hồng Tny (2000), Hàm thnc giái tích hàm, Nxb hoc Quoc gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [4] B Bollobas (1990), Linear Analysis: An Introductory Course, Cambridge Mathematics Textbooks, Cambridge University Cambridge, UK [5] G J Murphy (1996), C* - algebras and Operator Theory, Academic Press, New York [6] M Fabian, P Habala, P Hajek, V Montesinos Santalucia, J Pelant, V Zizler,(2001), Functional Analysis and Infinite Dimensional Geome- try [7] W Rudin (1966), Real and Complex Analysis, New York ... vói x, y ∈ X M¾nh đe 1.1 Cho Y không gian cúa không gian Banach X Y m®t khơng gian Banach chí Y đóng X Đ%nh nghĩa 1.8 Cho p ∈ [1,∞) Không gian p đưoc xác đ%nh không gian An vectơ Kn n – chieu, vói... nghĩa 1.6 Cho khơng gian metric M = (X, d) Không gian M goi không gian compact, neu t¾p X t¾p compact M Đ%nh lý 1.1 (Azela - Ascoli) Cho X m®t khơng gian metric compact Y m®t khơng gian metric Khi... Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Metric .3 1.2 Không gian đ%nh chuan .4 1.3 Không gian Hilbert Chương Tốn tN compact khơng gian Banach 12 2.1 Đ%nh lý Schauder