Tôpô yếu trong không gian Banach

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN LÊ TH± THU HIEN TÔPÔ YEU TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chun ngành: Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc Th.S HOÀNG NGOC TUAN Hà N®i - 2013 LèI CÃM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói Th.S Hồng Ngoc Tuan - Ngưòi thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em hồn thành khố lu¾n cúa Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay to Giái tích thay khoa Tốn - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà Nđi 2, Ban chỳ nhiắm khoa Toỏn ó tao ieu ki¾n cho em hồn thành tot khố lu¾n Do thòi gian kien thúc có han lan đau nghiên cúu khoa hoc không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cúa thay ban sinh viên Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Th% Thu Hien LèI CAM ĐOAN Qua q trình nghiên cúu khóa lu¾n: “ Tơpơ yeu khơng gian Banach” giúp em tìm hieu sâu ve b® mơn Giái tích Qua giúp em bưóc đau làm quen vói phương pháp nghiên cúu khoa hoc Trong nghiên cúu hoàn thành bỏn khoỏ luắn ny em ó tham khỏo mđt so tài li¾u ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin cam đoan khóa lu¾n đưoc hồn thành sn co gang, no lnc tìm hieu, nghiên cúu cúa bán thân em vói sn hưóng dan chí báo cúa thay giáo - Th.S Hoàng Ngoc Tuan Ket cúa đe tài “ Tô pô yeu không gian Banach” khơng có sn trùng l¾p vói ket q cúa đe tài khác Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Th% Thu Hien Mnc lnc Mé đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Kien thúc mó đau ve khơng gian tôpô 1.1.2 Không gian compact 1.2 Không gian đ%nh chuan .6 1.2.1 Kien thúc mó đau ve khơng gian đ%nh chuan .6 1.2.2 Toán tú tuyen tính b% ch¾n .8 1.2.3 Ngun lí b% ch¾n đeu Banach - Steinhaus 1.2.4 Không gian liên hop 10 Chương Tôpô yeu không gian Banach 12 2.1 Tôpô yeu tôpô yeu* 12 2.2 Cau trúc cnc biên .31 Ket lu¾n 45 Tài li¾u tham kháo .46 LèI Me ĐAU Lí chon đe tài Giái tích hàm m®t ngành tốn hoc đưoc xây dnng vào khống núa đau the kí XX hi¾n hau đưoc xem m®t ngành tốn hoc co đien N®i dung cúa sn hop nhat cúa nhung lí thuyet tong qt xuat phát tù vi¾c mó rđng mđt so khỏi niắm v ket quỏ cỳa Giỏi tích, Đai so, Phương trình vi phân Trong q trình phát trien tù đen nay, Giái tích hàm tích lũy đưoc m®t n®i dung het súc phong phú Nhung phương pháp ket rat mau mnc cúa giái tích hàm xâm nh¾p vào tat cá ngành tốn hoc có liên quan có sú dnng đen nhung cơng cn cúa Giái tích Ngồi ra, có nhung úng dnng v¾t lí lí thuyet m®t so lĩnh vnc khoa hoc khỏc Sn xõm nhắp ay mđt mắt mú nhung chân tròi r®ng lón cho ngành tốn hoc nói trên, m¾t khác đòi hói ngành Giái tích hàm phái đúc ket nhung ket cúa nhung ngành tốn hoc riêng re đe chùng mnc đe nhung mau tốn hoc tong qt trìu tưong Vói mong muon đưoc nghiên cúu tìm hieu sâu ve b® mơn giái tích hàm em chon đe tài: “Tôpô yeu không gian Banach” Nghiên cúu đe tài có h®i tìm hieu sâu ve tơpơ, m®t n®i dung quen thuđc v bao hm nhieu tớnh chat ắc trng v tong quát cúa giái tích hàm Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu lí thuyet ve tơ pơ yeu khơng gian Banach đe thay đưoc tính chat cúa Đoi tưeng nhi¾m nghiên cNu Các kien thúc liên quan đen tô pô yeu tô pô yeu* 4.Phương pháp nghiên cNu Sú dnng ket hop phương pháp nghiên cúu: nghiên cúu lí lu¾n, nghiên cúu tài li¾u tham kháo, phân tích, tong hop, so sánh, Pham vi nghiên cNu Nghiên cúu kien thúc liên quan đen tô pô yeu khơng gian Banach Cau trúc khóa lu¾n Ngồi mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n gom hai chương: Chương 1: Kien thúc chuan b% Chương 2: Tôpô yeu không gian banach Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Kien thNc mé đau ve không gian tụpụ %nh ngha 1.1 Cho X l mđt bat k Ta núi mđt ho nhung cỳa X m®t tơpơ (hay xác đ%nh m®t cau trúc tơpơ) X neu: (i) Hai t¾p φ X đeu thu®c ho τ (ii) τ kín đoi vói phép giao huu han, túc là: giao cúa m®t so huu han thuđc ho thỡ cng thuđc ho ú (iii) τ kín đoi vói phép hop bat kỳ, túc là: hop cúa m®t so bat kỳ (huu han hay vụ han) thuđc ho thỡ cng thuđc ho ú Mđt X , cựng vúi mđt tụpụ X , goi không gian tôpô (X, τ)(hay đơn gián không gian tôpô X ) Đ%nh nghĩa 1.2 Cho X m®t khơng gian tơpơ x ∈ X T¾p V cúa X đưoc goi mđt lõn cắn cỳa iem x neu ton tai mó G cho x ∈ G ⊂ V Neu lân c¾n V cúa x t¾p mó V đưoc goi lân c¾n cúa x Moi lân c¾n cỳa X eu chỳa mđt lõn cắn mú %nh ngha 1.3 Cho khơng gian tơpơ X t¾p A điem x ∈ X • Điem x goi điem cỳa A neu cú mđt lõn cắn V cho V ⊂ A • Điem x goi điem ngoi cỳa A neu cú mđt lõn cắn V cho V ∩A = ∅ • Điem x goi điem biên cúa A neu moi lân c¾n V cúa x đeu có V ∩A ƒ= ∅ V ∩ (X\A) ƒ= ∅ T¾p tat cá điem biên cúa A goi biên cúa A Kí hi¾u: ∂ A • Ta goi phan cúa A hop tat cá t¾p mó chúa A Kí hi¾u: Ao Tù đ%nh nghĩa ta có: Ao t¾p mó lón nhat chúa A A ⊂ B Ao ⊂ Bo A chí A = Ao • Ta goi bao đóng cúa A giao cúa tat cá t¾p đóng chúa A Kí hi¾u: A Tù đ%nh nghĩa ta có: A t¾p đóng nhó nhat chúa A A ⊂ B A ⊂ B A đóng chí A = A %nh ngha 1.4 Mđt M cỳa khụng gian tơpơ X đưoc goi trù m¾t X neu M = X Đ%nh nghĩa 1.5 Không gian tơpơ X goi tách đưoc neu ton tai t¾p hop M ⊂ X đem đưoc trù m¾t X Đ%nh nghĩa 1.6 Cho X không gian tôpô thóa mãn vói moi c¾p điem khác x1, x2 ∈ X đeu có hai lân c¾n V1,V2 cúa x1, x2 cho V1 ∩V2 = ∅ Khi đó, X đưoc goi không gian tách (hay không gian Hausdorff), tơpơ cúa goi tơpơ tách (hay tôpô Hausdorff) 1.1.2 Không gian compact Đ%nh nghĩa 1.7 (Tắp compact) Cho X l mđt khụng gian tụpụ Tắp A ⊆ X goi compact( X) neu vói moi phú mó cúa A đeu có m®t phú huu han Đieu có nghĩa neu Di t¾p mó cúa X vói moi i I v A mđt hop huu han I0 ⊆ I cho S i∈I0 S Di có iI Di A Chỳ ý: nh cỳa mđt compact qua ỏnh xa liờn tnc l mđt compact Đ%nh nghĩa 1.8 (Không gian compact) Không gian X đưoc goi l khụng gian compact neu X l mđt compact X Túc neu Di mó X vói moi i ∈ I có m®t t¾p huu han I0 ⊆ I cho S i∈I0 S Di = X i∈I Di = X Đ%nh lý 1.1 (Tychonoff) Tích Descartes ∏ Xi cúa m®t ho không gian tôpô không rong {Xi, i ∈ I} i∈I khơng gian compact chí Xi khơng gian compact vói moi i∈I Đ%nh lý 2.15 (Simons [9]) Cho B biên James cúa không gian Banach X Neu {xn} dãy b% ch¾n X, sup{lim sup( f (xn)) : f ∈ B} = sup{lim sup( f (xn)) : f ∈ BX∗ } Chúng minh Giá sú sup (lim sup(xn )) < α < sup (lim sup(xn )) Lay f ∈ BX∗ B BX∗ cho lim sup( f (xn)) > α Không mat tính tong quát giá sú rang f (xn) > α vói moi n ∈ N Neu x ∈ conv{xn }, tù chúng minh tính loi tiêu chuan ta có f (x) > α M¾t khác, sup (x) = "x", tù Bat thúc Simons ton tai B x ∈ conv{xn } cho "x" < α f (x) < α, mâu thuan Bây giò ta chúng minh đ%nh lí tách Godefroy ChNng minh Đ%nh lí 2.14: Phán chúng, giá sú rang C ƒ= conv(B) Theo Đ%nh lí tách, ta có the tìm F ∈ SX∗∗ , α < β ,và y0∗ ∈ C\conv(B) cho F( f ) ≤ α vói moi f ∈ B F(y0∗) > β Lay S = {x ∈ BX : y0∗(x) > β } Sú dnng Đ%nh lí Goldstine ta nh¾n đưoc rang F ∈ S w∗ Vì B tách đưoc, tơpơ t¾p b% ch¾n X∗∗ cúa sn h®i tn theo điem B mêtric Do đó, ton tai m®t dãy {xn} S mà h®i tn tói F điem cúa B Đ¾c bi¾t, f (xn) → F( f ) f (xn) vói f ∈ B, v¾y sup (lim sup(xn )) = sup (F) ≤ α B B M¾t khác, conv{xn } ⊂ S y0∗ ∈ C, v¾y sup (x) = sup (x) > β vói B C x ∈ conv{xn } Theo Bat thúc Simons, α ≥ sup (lim sup(xn )) ≥ B H¾ 2.4 (Godefroy) inf sup (x) ≥ β, mâu thuan x∈conv{xn} B Cho X khơng gian Banach Neu X có m®t biên James tách đưoc, X ∗ tách đưoc Chúng minh Neu B biên James tách đưoc cúa X, theo Đ%nh lí 2.14 conv(B) = BX∗ Do đó, BX∗ X ∗ tách đưoc Theo Tính chat 2.3 ta có ket q dúi õy, ket quỏ thu oc đc lắp tự cỏc tác giá H¾ q 2.5 Cho X khơng gian Banach tách đưoc.Neu Ext(BX∗ ) tách đưoc X ∗ tách đưoc Chúng ta xem biên James ánh hưóng the tói c¾p đoi ngau H¾ q 2.6 Cho B m®t biên James cúa khơng gian Banach X Neu x∗∗ ∈ X∗∗ giói han yeu* cỳa mđt dóy b% chắn X, thỡ "x" = sup (x∗∗ ( f )) f ∈B w* Chúng minh Lay {xn} l mđt dóy b% chắn X cho x− x∗∗ n →∗ Giá sú sup {x∗∗( f ) : f ∈ B} < "x∗∗ " Khi ta có the tìm x ∈ B X∗ so thnc cho α < β, vói moi f ∈ B, x∗∗( f ) ≤ α < β < x∗∗(x0∗) Ta có the giá sú β < xn(x∗) vói moi n ∈ N Vì B biên James, theo Bo đe 2.5 ta nh¾n đưoc sn mâu thuan: α ≥ sup {x∗∗( f ) : f ∈ B} ≥ inf sup { f (x) : f ∈ B} ≥ β, x∈conv{xn} Đ¾c bi¾t, ta thu đưoc h¾ sau H¾ 2.7 Cho X khơng gian Banach Neu moi u ∈ SX∗∗ giói han yeu* cúa m®t dãy BX , BX = conv(B) vói moi biên James B cúa X Xét m®t hàm f ∈ X ∗ Ta nói rang hàm đat đưoc c¾n cúa C neu ton tai x ∈ C cho f (c) = sup { f (x); c ∈ C}, f ∈ X ∗ đat đưoc chuan cúa neu ton tai b ∈ B cho f (b) = " f " Đ%nh lý 2.16 ( Nguyên lí bien thiên Ekeland) Cho ϕ hàm b% ch¾n dưói núa liên tnc dưói tù khơng gian Banach X vào R ∪ {+∞} Vói moi ε > 0, ton tai x0 ∈ X cho ϕ(x) ≥ ϕ(x0) −ε "x − x0 " vói moi x ∈ X Chúng minh Lay y1 ∈ X tùy ý đ%nh nghĩa quy nap yn+1 ∈ X đe ϕ(yn+1) + ε "yn − yn+1 " ≤ inf {ϕ(x) + ε "yn − x" ; x ∈ X} + (***) Khi ϕ(yn+1) ≤ ϕ(yn+1)+ε "yn − yn+1 " ≤ ϕ(y n )+ V¾y n lim(ϕ(yn)) n ton tai huu han Hơn nua, ε "yn − yn+1 " ≤ ϕ(yn) − ϕ(yn+1 ) + n V¾y {"yn − yn+1 "} dãy Cauchy {yn} h®i tn Lay x0 = lim(yn) Theo (***), ta có ϕ(yn+1) ≤ ϕ(x) + ε "x − yn " + −ε "yn − yn+1 " 2n Vói moi x ∈ X vói moi n ∈ N Lay giói han n → ∞, ϕ(x0) ≤ ϕ(x) + ε "x − x0 " Đ%nh lý 2.17 ( Bishop, Phelps) Cho X m®t khơng gian Banach T¾p cúa tat cá hàm X ∗ mà h®i tn đen chuan cúa chúng trù m¾t X ∗ Chúng minh Lay g ∈ SX∗ ε ∈ (0, ), đ¾t ϕ(x) = "x" − g(x) vói x ∈ X Đe ý rang ϕ(x) ≥ "x" − "x" ≥ − (cnc tieu hóa f (p) =p − p [0, ∞)) Theo Đ%nh lí 2.16, ton tai x0 ∈ X cho ϕ(x) ≥ ϕ(x0) −ε "x − x0 " vói moi x ∈ X Như v¾y, "x" − g(x) ≥ "x0" − g(x0 ) −ε "x − x0 " vói moi x ∈ X Theo đ%nh lí tách áp dnng cho đo th% cúa hàm ó ve trái đo th% cúa cáchàmó ve phái cúa bat thúc (cá hai t¾p loi), ton tai m®t hàm afin liên tnc h X cho "x" − g(x) ≥ h(x) ≥ "x0" Chú ý rang h(x0) = "x0" − g(x0 ) −ε "x − x0 " vói moi x ∈ X − g(x0 ) ve phái cúa bat thúc trưóc chí h(x) − h(x0 ) ≥ −ε "x − x0 " Ta khang đ%nh rang x0 ƒ= Th¾t v¾y, giá sú rang x0 = Khi h(x0) = "0" − g(0) = h(x) ≥ −ε "x" vói moi x ∈ X Do đó, h m®t hàm tuyen tính "h" ≤ ε Vì "g" = ε 4< , ta nh¾n đưoc h + g ƒ= Chon bat kì y ∈ SX cho (h + g)(y) = a > Phan đau cúa bat thúc cho biet "x" ≥ (g + h)(x) vói moi x ∈ X Áp dnng cho x = ty vói t > 0, ta có t ≥ at; túc là, t ≥ a vói moi t > Nhưng đieu trái vói a > 0, v¾y x0 ƒ= Neu "x" = "x0 ", (g + h)(x) ≤ "x = = (g + h)(x0) " 2 "x0" V¾y, (g + h) b% han che đen {x ∈ X ; "x" = "x0"} đat đen c¾n cúa tai x0 hàm tuyen tính f = g + h − h(0) Do f đat tói chuan cúa " f − g" ≤ ε, đieu theo tính chat h afin, v¾y h(x) − h(0) = h(x + x0) − h(x0 ) ≥ −ε "x" Đ%nh lý 2.18 (James [8]) Cho C t¾p loi đóng cúa khơng gian Banach X C compact yeu chí moi f ∈ X ∗ đat đưoc c¾n cúa C tai điem cúa C Chú ý rang neu moi f ∈ X ∗ đat tói c¾n cúa C, C b% ch¾n theo Đ%nh lí 2.2 Chúng minh Giá sú rang C compact yeu Vì moi f ∈ X ∗ liên tnc yeu, ánh f (C) cúa t¾p compact yeu C phái compact R đóng, v¾y c¾n đat đưoc Ta đưa sn chúng minh cúa chieu ngưoc lai chí ó khơng gian tách đưoc X Theo đieu giá sú cúa chúng ta, C biên James tách đưoc cúa w w C ∗ X ∗∗ ; đó, theo Đ%nh lí 2.14, conv(C) = C ∗ Vì C w đóng loi, ta có C = C ∗ , C compact yeu Chúng minh trưòng hop khơng tách đưoc phúc tap ( tham kháo [5]) H¾ 2.8 (James [8]) Không gian Banach X phán xa chí moi f ∈ X ∗ đat đen chuan cúa Đ%nh lý 2.19 ( James [7]) Khơng gian Banach X phán xa chí ton tai θ ∈ (0; 1) cho {xn} m®t dãy SX vói inf {"u" : u ∈ conv {xn }} ≥ θ, ton tai n0 ∈ N, u ∈ conv{x1 , , xn0 } v ∈ {xn0+1, xn0 +2 , } cho "u − v" < θ Chúng minh Giá xú rang X phán xa Cho θ ∈ (0, 1) lay {xn} m®t dãy SX Vói so nguyên n ≥ 0, lay kn = conv{xn+1, xn+2 , } Vì {Kn} m®t dãy long vào cúa t¾p compact yeu khác rong, ton tai x ∈ ∩Kn Vì x ∈ K0 ton tai n0 u ∈ conv{x1 , , xn0 } cho "x − u" < Kn "x − v" θ Vì x ∈ θ θ vói moi v ∈ V1 Chon x1 ∈ V1 ∩ SX Vì Fθ ∈/ (conv {x0 , x1 } + Bθ ),ton tai m®t lân c¾n yeu* loi V2 ⊂ V1 cúa Fθ cho "u − v" > θ vói moi u ∈ conv{x0, x1 } moi v ∈ V2 Chon x2 ∈ V2 ∩ SX tiep tnc lí lu¾n bang phương pháp quy nap Các dãy cúa t¾p loi V1 ⊃ V2 ⊃ dãy {xn} ⊂ SX thóa mãn xn ∈ Vn, nua "v − u" > θ vói moi u ∈ conv {xn+1 , xn+2 , } V¾y, đieu ki¾n khơng đú Bây giò ta se đưa m®t vài úng dnng cúa Đ%nh lí 2.18 Đ%nh lý 2.20 (Krein) Cho X mđt khụng gian Banach Neu C l mđt compact yeu X conv(C) compact yeu X Chúng minh Neu f ∈ X ∗ , sup ( f ) = sup C ( f ) Vì C compact yeu , conv(C) ton tai x ∈ C cho sup ( f ) = f (x) Cho nên, moi f ∈ X ∗ đat đưoc c¾n C cúa conv(C), Đ%nh lí 2.18, conv(C) compact yeu Nhó lai rang không gian tôpô (T, τ) đưoc goi compact theo dãy neu moi dãy T đeu có m®t dãy hđi tn (T, ) Mđt C cúa không gian Banach X đưoc goi compact yeu theo dãy neu compact theo dãy tơpơ yeu tương đoi cúa Đ%nh lý 2.21 ( Eberlein,Smulian) Cho C l mđt úng yeu cỳa không gian Banach tách đưoc X C compact yeu chí C compact yeu theo dãy Chú ý rang neu C compact yeu (theo dãy), f (C) b% ch¾n vói moi f ∈ X ∗ theo tính liên tnc yeu cúa f , the C b% ch¾n theo Đ%nh lí 2.2 Chúng minh Neu C compact yeu, theo M¾nh đe 2.8 C mêtric tôpô yeu C compact yeu theo dãy Bây giò giá sú rang C compact yeu theo dãy cho D = conv(C) Cho trưóc f ∈ X ∗ , lay cn ∈ C cho lim( f (cn)) = sup ( f ) Theo đieu giá sú w C cúa ta, ton tai dãy cnk cúa cn cho cn k −→ c vói c ∈ C đó, v¾y f (c) = sup ( f ) = sup ( f ) Do f (c) = sup ( f ) V¾y f ∈ X ∗ đat tói giá tr% C D D lón nhat cúa D, D compact yeu theo Đ%nh lí 2.18 Vì C t¾p đóng yeu cúa D, compact yeu Đ%nh lý 2.22 ( Rainwater, Simons) Cho B m®t biên James cúa khơng gian Banach X Cho {xn} l mđt dóy b% chắn X x ∈ X Neu f (xn) → f (x) = vói moi f w ∈ B, → xn − x Chúng minh Vì sup (lim sup(xn − x)) = sup (lim sup(xn − x)) = (áp dnng BX∗ B Đ%nh lí 2.15 cho dãy {xn − x}) ta có lim sup( f (xn − x)) ≤ vói f ∈ B X∗ Tương tn, xét dãy {x − xn } , ta có lim sup( f (x − xn )) ≤ vói f ∈ BX∗ Do w f (xn ) → f (x) = BX ∗ , v¾y xn −→ x KET LU¾N Giái tích hàm nói chung lí thuyet tơ pơ yeu nói riêng có vai trò quan trong giái tích Trong khóa lu¾n t¾p chung nghiên cúu tơ pơ yeu khơng gian Banach Lu¾n văn mang tính chat tong quan em chúng minh m®t so đ%nh lớ, mắnh e Mong rang nú l mđt ti liắu bo ích cho nhung quan tâm tói van đe Đây thành cơng cúa đe tài Đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p em xin trân cám ơn thay khoa Tốn, đ¾c bi¾t thay giáo- Th.S Hồng Ngoc Tuan- ngưòi t¾n tình chí báo, giúp đõ em suot thòi gian qua đe em có the hồn thành khóa lu¾n M¾c dù em có nhieu co gang, song han che ve thòi gian kien thúc nên khóa lu¾n khơng tránh khói nhung thieu sót Em kính mong thay ban đoc đóng góp ý kien trao đoi đe khóa lu¾n hồn thi¾n tot Em xin chân thành cám ơn! Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Th% Thu Hien Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] PGS.TS Nguyen Phn Hy (2006), Giái tích hàm, NXB Khoa hoc v ky thuắt, H Nđi [2] Hong Tny (2005), Hm thnc giái tích hàm, NXB Đai hoc quoc gia Hà N®i [3] Nguyen Xn Liêm (1994), Giái tích hàm, NXB Giáo Dnc [B] Tài li¾u tieng Anh [4] Godefroy, G (1987), Boundaries of convex sets and interpolation sets, Math Ann.277, 173-184 [5] Diestel, J (1984), Sequences and Series in Banach Spaces, Graduate Texts in Mathematics 92, Springer-Verlag, New York [6] Fabian, M Habala, P Hajek, P Montesino Santalucia, V Pelant, J V Zizler (2001),Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry [7] James, R.C (1950), Bases and reflexivity of Banach Spaces, Ann Math 52, 518-527 [8] James, R.C (1964), Weak compactness and reflexivity, Isr J Math 2, 101-119 [9] Simons, S (1972), A convergence theorem with boundary, Pac J Math 40, 703-708 ... khơng gian liên hop X ∗ cúa không gian đ%nh chuan X không gian Banach Không gian liên hop cúa không gian X ∗ goi không gian liên hop thú hai cúa khơng gian đ%nh chuan X , kí hi¾u X ∗∗ , khơng gian. .. 1.20 Cho không gian đ%nh chuan X trưòng K (K = R ho¾c K = C) Ta goi khơng gian I(X, K) phiem hàm tuyen tính liên tnc không gian X không gian liên hop (hay không gian đoi ngau) cúa không gian X... khơng gian lp tách đưoc (ii) Các không gian C C0 tách đưoc (iii) Khơng gian l∞ khơng tách đưoc M¾nh đe 1.6 Không gian C∗ [ 0,1] không tách đưoc Chương Tơpơ yeu khơng gian Banach Cho trưóc khơng gian