Tập lồi, Tôpô yếu trong không gian tuyến tính và độ đo xác suất

Nếu m là một phiếm hàm Minkowski trên một không gian vectơ thực X, và ϕ là phiếm hàm trên một không gian con tuyến tính D của X bị làm trội bởi mϕy ≤ my với mọi y ∈ D, tồn tại một phiếm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Phan Viết Thư

Hà Nội - 2012

Mục lục

1.1 Độ đo 5

1.2 Một số khái niệm và kết quả trong giải tích hàm 7

1.3 Không gian đối ngẫu 9

1.4 Tôpô yếu 15

2 Độ đo trên các không gian compact địa phương 23 2.1 Độ đo trên không gian compact 23

2.1.1 Định nghĩa độ đo 23

2.1.2 Tích của một độ đo và một hàm liên tục 25

2.1.3 Độ đo dương 26

2.1.4 Một phương pháp định nghĩa một độ đo 27

2.1.5 Chuẩn của một độ đo 28

2.2 Độ đo trên một không gian compact địa phương 29

2.2.1 Hàm liên tục có giá compact 29

2.2.2 Định nghĩa một độ đo 30

2.2.3 Tích của một độ đo với một hàm liên tục 32

2.2.4 Độ đo dương 33

2.2.5 Một phương pháp định nghĩa độ đo 332.2.6 Độ đo bị chặn 342.2.7 Tôpô mờ trên không gian các độ đo 36

3.1 Một số kiến thức phụ trợ 383.1.1 Một số điều cần lưu ý về tôpô đại cương 383.1.2 Một số lưu ý về không gian Banach và không gian Hilbert 403.2 Toán tử compact 433.3 Vết 50

4 Tập lồi, tôpô yếu trong không gian tuyến tính và độ đo xác

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là lĩnh vực toán học có cơ sở lýthuyết chặt chẽ và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực hoạt động khác nhaucủa con người như: âm nhạc, vật lý, trong văn học, thống kê xã hội, từ cơ họctới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết đến kinh tế Bởi vậy Lý thuyếtxác suất và thống kê toán học đã trở thành ngành toán học lớn chiếm vị tríquan trọng cả về lý thuyết lẫn ứng dụng

Ở nước ta hiện nay Lý thuyết xác suất và thống kê toán học đã được đưavào giảng dạy ở bậc trung học phổ thông và là môn học cơ sở bắt buộc đối vớinhiều sinh viên của nhiều ngành học khác nhau Tuy nhiên, một thực tế là hiệnnay các giáo trình và sách tham khảo về lý thuyết xác suất và thống kê toánhọc ở nước ta còn ít; hơn nữa lý thuyết xác suất và thống kê toán học khôngphải là một bộ môn khoa học độc lập mà để nghiên cứu nó cần có sự hỗ trợ dắclực của các lĩnh vực toán học khác như: Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo và tíchphân, Đại số, Lý thuyết về tổ hợp, Ngược lại, Lý thuyết xác suất và thống kêtoán học cũng phát triển sâu rộng sang các lĩnh vực toán học khác, đặc biệt làgiải tích toán học, điển hình là các bộ môn giải tích ngẫu nhiên, phương trình

vi phân ngẫu nhiên, xác suất trên không gian metric,

Vì vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ chặt chẽ này, tôi lựachọn đề tài "Tập lồi, tôpô yếu trong không gian tuyến tính và độ đo xác suất"dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phan Viết Thư

Trong đề tài này chúng tôi muốn giới thiệu một cách nhìn khác về độ đo xácsuất theo quan điểm Giải tích hàm

Đề tài gồm bốn chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị, bao gồm các khái niệm được

sử dụng và một số kết quả không chứng minh, các kết quả về không gian đốingẫu, tôpô yếu

Chương 2: Trình bày về độ đo trên các không gian compact địa phương.Chương 3: Trình bày về cách xây dựng độ đo trên đại số toán tử.

Chương 4: Trình bày các kết quả về độ đo xác suất trên không gian Hausdorffcompact

Luận văn được hoàn thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSPhan Viết Thư, thầy đã quan tâm hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trongsuốt quá trình hoàn thành luận văn này

Tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo khoa Toán -Cơ -Tinhọc, trường Đại học Khoa học Tự nhiên luôn quan tâm tạo điều kiện thuận lợicho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tôi cũng gửi lời cảm ơn tới các cấp lãnh đạo Sở giáo dục Hòa Bình, trườngTHPT Cù Chính Lan, các đồng nghiệp, gia đình và người thân đã tạo điều kiệncho tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thành viên nhóm Semina do PGS.TSPhan Viết Thư chủ trì đã giúp tôi nhiều kinh nghiệm học tập và nghiên cứukhoa học

Cuối cùng, tối rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của các thầy,

cô giáo và các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 03 năm 2012

Học viênPhạm Văn Thế

i, Nếu A, B ∈ C thì A ∪ B ∈ C.

ii, Nếu A, B ∈ C thì A \ B ∈ C

Định nghĩa 1.1.2 (Hàm tập cộng tính) Một hàm tập cộng tính trên mộtvành C là một ánh xạ µ từ C vào một tập F có trang bị phép toán cộng (chẳnghạn nhóm, không gian vectơ ) Ánh xạ này thỏa mãn tiên đề

µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) nếu A ∩ B = ∅

Định nghĩa 1.1.3 (Độ đo dương) Một hàm tập cộng tính trên một vành Cnhận giá trị trong một không gian tôpô có trang bị phép toán cộng F được gọi

là σ-cộng tính trên C nếu thỏa mãn tiên đề

i, P(A) ≥ 0 với mọi A ∈ A,

ii, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) nếu A, B ∈ A và A ∩ B = ∅.

Định nghĩa 1.1.6 (Độ đo xác suất σ-cộng tính) Hàm tập hợp P xác địnhtrên đại số A được gọi là độ đo xác suất σ-cộng tính nếu:

i, P(A) ≥ 0 với mọi A ∈ A,

1.2 Một số khái niệm và kết quả trong giải tích

hàm

Định nghĩa 1.2.1 (Tôpô yếu) Cho T1 và T2 là hai tôpô trên X và giả thiết

T1 ⊂ T2, đó là mỗi tập T1-mở thì T2-mở Khi đó ta nói T1 yếu hơn T2 hoặc T2

mạnh hơn T1

Định nghĩa 1.2.2 (Tôpô yếu xác định bởi một họ hàm) Cho X làmột tập hợp và F là một họ những hàm số f : X → Yf Nếu mỗi Yf có mộttôpô Tf, khi đó có một tôpô yếu nhất trên X đảm bảo sự liên tục của tất cảcác hàm số trong F Một cơ sở con của tôpô này rõ ràng được cho bởi tập{f−1(A) : A ∈ Tf, f ∈ F} Ta gọi nó là tôpô xuất phát cảm sinh bởi F

Định nghĩa 1.2.3 Một ánh xạ g : Z → X từ một không gian tôpô Z tới Xvới tôpô xuất phát cảm sinh bởi F là liên tục nếu và chỉ nếu f ◦ g : Z → Yf với

Định nghĩa 1.2.7 Không gian tôpô (X,T) là một không gian Hausdorff nếu

và chỉ nếu mỗi lưới hội tụ tới nhiều nhất một điểm

Định nghĩa 1.2.8 Cho X với một tôpô xuất phát cảm sinh bởi một họ Fgồm những hàm số tách các điểm trong của X (nếu x, y ∈ X, x 6= y thì có một

f ∈ F sao cho f(x) 6= f(y)) Nếu tất cả các không gian con Yf, f ∈ F là cáckhông gian Hausdorff thì X là một không gian Hausdorff

Định nghĩa 1.2.9 Trên không gian tôpô (X,T) các điều kiện sau là tươngđương

i, Mỗi phủ mở của X có một phủ con hữu hạn

ii, Bất kỳ họ các tập đóng nào trong X mà có giao rỗng thì phải có một họcon hữu hạn có giao rỗng

iii, Mỗi lưới trong X có một điểm tụ

iv, Mỗi lưới phổ dụng trong X là hội tụ

v, Mỗi lưới trong X có một lưới con hội tụ

Định nghĩa 1.2.10 Không gian tôpô (X,T) là compact địa phương nếu mỗiđiểm trong X có một lân cận compact Điều này tương đương với T có một cơ

sở gồm các tập compact tương đối

Định nghĩa 1.2.11 Mỗi tập con đóng và mở của một không gian Hausdorffcompact địa phương là một không gian Hausdorff compact địa phương trongtôpô tương đối

Định nghĩa 1.2.12 (Nửa chuẩn) Một nửa chuẩn trên không gian tuyến tính

X là một hàm p xác định trên X nhận giá trị thực và thỏa mãn hai điều kiệnsau:

i, p(x + y) ≤ p(x) + p(y),

ii, p(αx) = |α|p(x) với mọi x, y ∈ X và với mọi vô hướng α

Mệnh đề 1.2.13 Cho X là một không gian định chuẩn và D là một khônggian con của X Ký hiệu Q : X → X/D là ánh xạ thương Định nghĩa

||Q(x)|| = inf{||x − y|| | y ∈ D}

Cho một nửa chuẩn trên X/D Nếu D đóng trong X ta có một chuẩn, và thêmnữa, nếu X là một không gian Banach thì X/D là một không gian Banach.Mệnh đề 1.2.14 Nếu T ∈ B(X, D), X và D là các không gian định chuẩn

và nếu 3 là một không gian con đóng của X chứa trong KerT thì phương trìnhe

T Qx = T x xác định một toán tử eT trong B(X/D, D) với || eT || = ||T ||

1.3 Không gian đối ngẫu

1.3.1 Một phiếm hàm trên một không gian vectơ X trên một trường F là mộtánh xạ tuyến tính ϕ : X → F

Nếu X là một không gian định chuẩn, ta ký hiệu bởi X∗ không gian B(X, F)của các phiếm hàm bị chặn trên X Ta biết rằng X∗ là một không gian Banach,được gọi là không gian đối ngẫu của X Kết quả cơ bản về sự tồn tại cácphần tử trong X∗ là Định lý Hahn-Banach mở rộng 1.3.3 Trong lý thuyết củakhông gian vectơ tôpô định lý này có vai trò như Bổ đề Urysohn trong Tôpôđại cương

Ta định nghĩa một phiếm hàm Minkowski là một hàm m : X → R cộngtính dưới m(x + y) ≤ m(x) + m(y) với mọi x, y ∈ X và thuần nhất dươngm(tx) = tm(x) với t ≥ 0, t ∈ R

Một phiếm hàm Minkowski giống như một nửa chuẩn 1.2.12

1.3.2 Bổ đề cơ bản

Nếu m là một phiếm hàm Minkowski trên một không gian vectơ thực X, và

ϕ là phiếm hàm trên một không gian con tuyến tính D của X bị làm trội bởi m(ϕ(y) ≤ m(y) với mọi y ∈ D), tồn tại một phiếm hàm ϕ trên X được làm trộiebởi m, sao cho ϕ|eD = ϕ

Chứng minh Nếu x ∈ X \ D, một sự mở rộng bất kỳ nào đó của ϕ từ D tới

D + Rx được xác định bởi

eϕ(y + sx) = ϕ(y) + sα, s ∈ R, y ∈ D

Ta mong muốn chọn được số α sao cho ϕ(y) + sα ≤ m(y + sx) Nhờ vàotính thuần nhất dương của m và ϕ ta chỉ cần kiểm tra các bất đẳng thức nàyvới s = 1 và s = −1 Do đó:

ϕ(y) − m(y − x) ≤ α ≤ −ϕ(z) + m(z + x), với ∀ y, z ∈ D

Thật vậy nếu N = {(3µ, ψµ)|µ ∈ M } là một tập con sắp thứ tự toàn phầncủa Λ, ta đặt 3 = ∪3µ và định nghĩa ψ trên 3 bởi ψ(z) = ψµ(z) nếu z ∈ 3µ.Nhờ vào tính sắp thứ tự toàn phần, ta thấy rằng 3 là một không gian con tuyếntính của X chứa mọi 3µs và ψ là một phiếm hàm định nghĩa tốt trên 3 đồngthời mở rộng với mọi ψµ

Vậy (3, ψ) ∈ Λ và làm trội cho N , như đã khẳng định, theo Bổ đề Zorn chonên có một sự mở rộng cực đại ( eD,ϕ) của (D, ϕ) bị làm trội bởi m Nếu ta cóee

ϕ 6= X, phần thứ nhất của chứng minh được áp dụng cho ( eD,ϕ), sẽ cho một sựe

mở rộng làm trội tới không gian eD + Rx Mâu thuẫn với tính chất cực đại của( eD,ϕ) Do đó ee D = X Ta có điều phải chứng minh

1.3.3 Định lý.

Nếu m là một nửa chuẩn trên một không gian vectơ X, và ϕ là một phiếmhàm trên một không gian con D của X sao cho |ϕ| ≤ m, có một phiếm hàm ϕetrên X với |ϕ| ≤ m vàe ϕ|eD = ϕ

Chứng minh Nếu F = R thì kết quả được chứa trong 1.1.4 bởi vì ϕ ≤ m làtương đương với |ϕ| ≤ m tính đối xứng của m

Nếu F = C, trước tiên ta coi X là một không gian vectơ thực và xét trênphiếm hàm thực Reϕ trên D Theo 1.1.4 ta có thể tìm được một phiếm hàmthực ψ trên X mở rộng của Reϕ và được làm trội bởi m

Định nghĩa ϕ : X → C bởie ϕ(x) = ψ(x) − iψ(ix), x ∈ X Chú ý rằngee

ϕ(ix) = iϕ(x), bởi vậy ϕ là một phiếm hàm phức Lưu ý hơn nữae ϕ|eD = ϕ,bởi vì Reϕ|eD = ϕ|D = Reϕ Và các phiếm hàm phức với sự tương tự như phầnthực là đồng nhất Cuối cùng, nếu x ∈ X, chọn α ∈ C với |α| = 1 sao cho:e

ϕ(αx) ∈ R+ Khi đó

|ϕ(x)| =e ϕ(αx) = ψ(αx) ≤ m(αx) = m(x),ehay |ϕ| ≤ m.e

Với mỗi không gian con đóng D của một không gian định chuẩn X và mỗi

x ∈ X \ D, tồn tại ϕ trong X∗ với ||ϕ|| = 1, ϕ|D = 0 và

ϕ(x) = inf{||x − y|||y ∈ D}

Chứng minh Áp dụng 1.3.4 ở trên không gian định chuẩn X \ D và các phiếmhàm trong (X \ D)∗ có thể được coi như các phần tử của X∗ bằng không trênD.

1.3.6 Cho một không gian con D của một không gian định chuẩn X toán tửtriệt tiêu D⊥ được định nghĩa là:

1.3.7 Cho một không gian định chuẩn X, ta hình thành không gian Banachđối ngẫu X∗ và bởi sự lặp lại, ta thu được không gian song đối ngẫu X∗∗ Tađịnh nghĩa một ánh xạ i : X → X∗∗ xác định bởi:

của những phiếm hàm trên X tách điểm trong X và tương tự < X, · > là mộtkhông gian tách của những phiếm hàm trên D Nếu X và D là các không gianđịnh chuẩn Ta bỏ đi từ đại số ở trên nếu

< ·, D > ⊂ X∗ và < X, · > ⊂ D∗.Với định nghĩa tính đối ngẫu này, sẽ kéo theo mọi không gian định chuẩn

X, cặp (X, X∗) là đối ngẫu; dạng song tuyến tính được cho bởi

< x, ϕ >= ϕ(x), x ∈ X, ϕ ∈ X∗

Ta thu được cặp đối ngẫu khác (X∗∗, X∗), với dạng song tuyến tính

< z, ϕ >= z(ϕ), z ∈ X∗∗, ϕ ∈ X∗

và ta có thể coi dạng này như một sự mở rộng của dạng trước nếu ta đồng nhất

X với ảnh của nó trong X∗∗ dưới một phép đẳng cự i mô tả trong 1.3.7

1.3.9 Nếu X và D là các không gian định chuẩn và T ∈ B(X, D) Ta địnhnghĩa T∗ : D∗ → X∗ bởi phương trình

< x, T∗ϕ >=< T x, ϕ >, x ∈ X, ϕ ∈ D (1.1)

Ta gọi T∗ là toán tử liên hợp của T Hiển nhiên từ định nghĩa này nếu

S ∈ B(X, D) và α ∈ F thì

(αT + S)∗ = αT∗ + S∗.Hơn nữa ta thấy rằng nếu ∂ là một không gian định chuẩn thứ ba và

R ∈ B(D, ∂) thì (RT )∗ = T∗R∗

1.3.10 Mệnh đề

Nếu T ∈ B(X, D), ở đây X và D là các không gian định chuẩn thì

T∗ ∈ B(D∗, X∗) và ||T∗|| = ||T ||

Cho các toán tử T : X → D và S : D∗ → X∗ giữa không gian Banach X và

D không gian đối ngẫu của chúng, thỏa mãn

1.4 Tôpô yếu

1.4.1 Xét một không gian vectơ X với một họ tách = của các nửa chuẩn Nghĩa

là nếu x 6= y trong X, có một m ∈ = với m(x − y) 6= 0 tương đương với tập

= × X của các hàm x → m(x − y), (m, y) ∈ = × X, tách điểm trong X

Tôpô xuất phát 1.2.3 cảm sinh bởi họ = × X được gọi là tôpô yếu cảm sinhbởi = Theo 1.2.8 thì nó là một tôpô Hausdorff trên X, nhưng ta thấy từ 1.2.3một cơ sở con cho lọc các lân cận O(x) của một điểm x trong X được cho bởicác tập hợp

{y ∈ X| |m(y − z) − m(x − z)| < ε}

Với m ∈ =, z ∈ X và ε > 0 Lấy z = x ta thu được họ con những tập hợp{y ∈ X|m(y − x) < ε} Nói cách khác do bất đẳng thức tam giác nên mỗi tậptrong các tập trên được chứa trong họ bất kỳ trước nó (với cùng m và ε), vậyđiều đó đủ để chỉ xét họ sau cùng Ta kết luận rằng các tập có dạng

và (α, x) → m(αx − z) là liên tục yếu trên X × X và trên F × X với m ∈ = và

z ∈ X Do định nghĩa tôpô tích nó đủ để kiểm tra lại tính liên tục trong mỗibiến riêng biệt, và nó đúng do định nghĩa tôpô yếu như một tôpô xuất phát.Một không gian vectơ tôpô X được gọi là lồi địa phương nếu lọc lân cậnquanh 0 [suy ra quanh mọi điểm O(x) = x + O(0)] có một cơ sở gồm những tập

lồi Ta thấy từ (1.2) ở 1.4.1 tôpô yếu là lồi địa phương Kéo theo từ 1.4.6 rằngmỗi không gian vectơ tôpô lồi địa phương thu được bởi sự cảm sinh trên X mộttôpô yếu từ một họ tách các nửa chuẩn.

Thông thường các nửa chuẩn xác định tôpô yếu trên X có dạng x → |ϕ(x)|,

ở đây ϕ thuộc về một họ tách = của những phiếm hàm trên X Trong trườnghợp này ta vẫn nói rằng có tôpô yếu cảm sinh bởi =

Cho một không gian vectơ tôpô X ta ký hiệu X∗ là tập các phiếm hàm liêntục trên X Đây rõ ràng là một không gian vectơ được gọi là đối ngẫu của X.Nói chung X∗ không nhất thiết phải lớn, thật vậy nó có thể là {0} Mặc dùvậy sử dụng Định lý tách của Hahn-Banach ta sẽ chứng minh nếu X là lồi địaphương, X∗ chứa rất nhiều các phần tử Trước tiên ta thiết lập một kết quả ổnđịnh 1.4.4 để thấy hiệu quả rằng nếu X là lồi địa phương, tôpô yếu mới trên Xđược cảm sinh bởi họ X∗ chỉ là tôpô yếu gốc

1.4.3 Bổ đề

Cho một tập ϕ, ϕ1, , ϕn của những phiếm hàm trên một không gian vectơ

X, các điều kiện dưới đây là tương đương

T x = (ϕ1(x), , ϕn(x))

Do giả thiết ta có kerT ⊂ kerϕ và từ đại số tuyến tính suy ra ϕ = f ◦ T , với

f là phiếm hàm trên Fn Nhưng khi đó f tương ứng với một vectơ {α1, , αn}

trong Fn và như vậy

Chứng minh Vì ϕ là liên tục yếu tại 0, do (1.2) trong 1.4.1 có một ε > 0 và

ϕ1, , ϕn trong D sao cho

\{x ∈ X||ϕk(x)| < ε} ⊂ {x ∈ X||ϕ(x)| < 1}

Bởi tính thuần nhất nên

|ϕ(x)| ≤ ε−1max |ϕk(x)| với mỗi x ∈ X

Vậy ϕ là một tổ hợp tuyến tính của các ϕk do 1.4.3 đặc biệt ϕ ∈ D

1.4.5 Chú ý

Kết quả 1.4.4 có một phiên bản đối xứng: Nếu X và D là các không gianvectơ trong đối ngẫu đại số qua một dạng song tuyến tính < ·, · >, như đã mô

tả ở 1.3.8 và nếu ta cho X và D tôpô yếu được cảm sinh bởi các họ < ·, D >

và < X, · >, riêng từng trường hợp ta thu được không gian vectơ tôpô lồi địaphương X và D sao cho X∗ = D và D∗ = X

1.4.6 Bổ đề

Cho G là một tập mở, lân cận lồi của 0 trong một không gian vectơ tôpô X

và định nghĩa

m(x) = inf{s > 0|s−1x ∈ G}

Khi đó m : X → R+ là một phiếm hàm Minkowski trên X và

Vậy m là một phiếm hàm Minkowski

Nếu x ∈ G thì (1 + 3)x ∈ G với 3 > 0 nào đó, bởi vì G mở Vậy

m(x) ≤ (1 + 3)−1 < 1

Ngược lại, nếu m(x) < 1 ta có thể tìm được s < 1 sao cho s−1x ∈ G Vì

0 ∈ G và G lồi nên suy ra

x = (1 − s)0 + s(s−1x) ∈ G

Vậy

G = {x ∈ X|m(x) < 1}

1.4.7 Định lý

Cho A và B là hai tập con lồi khác rỗng, rời nhau của không gian vectơ tôpô

X Nếu A mở thì có một ϕ trong X∗ và có một t trong R sao cho

Reϕ(x) < t < Reϕ(y),với mỗi x trong A và y trong B

Chứng minh Trước tiên xét trường hợp F = R Chọn x0 trong A và y0 trong

B và đặt z = y0− x0 và G = A + B + z Khi đó G là một lân cận lồi, mở của

Vậy ϕ0 ≤ m Do 1.3.2 ta có thể mở rộng ϕ0 thành một phiếm hàm ϕ trên

X được làm trội bởi m Ta thấy ϕ là liên tục, chú ý ϕ(x) < 1 nếu x ∈ G bởi1.4.6 nghĩa là |ϕ| < ε trên lân cận −εG ∩ εG của 0

Nếu x ∈ A và y ∈ B thì x − y + z ∈ G Vậy ϕ(x − y + z) < 1 Vì ϕ(z) = 1,kéo theo ϕ(x) < ϕ(y) với mỗi cặp x và y Vậy ϕ(A) và ϕ(B) là những khoảngrời nhau trong R và vì A mở nên ϕ(A) mở Lấy t là điểm cuối bên phải củaϕ(A) ta thu được kết quả mong muốn

Tiếp theo, nếu F = C, trước tiên ta coi nó như một không gian vectơ thực

và tìm như trên một phiếm hàm thực ψ sao cho ψ(A) < t < ψ(B) Khi đó nhưchứng minh 1.3.3 ta định nghĩa phiếm hàm phức ϕ bởi ϕ(x) = ψ(x) − iψ(ix)

Vì Reϕ = ψ, bởi vì tính liên tục của ϕ suy từ tính liên tục của ψ

1.4.8 Nếu X là một không gian định chuẩn, nó có thể được xét như một họtách của những phiếm hàm trên không gian đối ngẫu X∗ của nó qua dạng songtuyến tính < ·, · > được mô tả trong 1.3.8 Từ đó sinh ra một tôpô yếu trên X∗được biết như W∗-tôpô, và chuyển X∗ thành một không gian vectơ tôpô lồi địa

phương, có X là không gian đối ngẫu của nó 1.4.4 Sự hội tụ trong W∗-tôpô làhội tụ điểm: một lưới {ϕλ}λ∈Λ trong X∗, W∗ hội tụ đến một phần tử ϕ nếu vàchỉ nếu ϕλ(x) → ϕ(x) với mọi x ∈ X Đó là hai tôpô trong thực tế chỉ trùngnhau khi dim(X) < ∞ sẽ được thấy từ Định lý Alaoglu 1.4.2 Bởi vì quả cầuđơn vị trong một không gian định chuẩn vô hạn chiều không bao giờ là compact.

Sử dụng lại tính đối ngẫu của X và X∗ ta định nghĩa tôpô yếu trên X như

là được cảm sinh từ X∗ Vậy một lưới {xλ}λ∈Λ trong X là hội tụ yếu tới x nếu

và chỉ nếu ϕ(xλ) → ϕ(x) với mỗi ϕ ∈ X∗ Tôpô yếu này yếu hơn tôpô chuẩn

và trong trường hợp tổng quát chúng khác nhau Mặc dù vậy, ta thấy từ 1.4.4rằng trong cả hai tôpô X∗ là không gian đối ngẫu, điều này lạ nhưng đôi khi

có ích Kết quả, mỗi tập con lồi đóng theo chuẩn G của X là đóng yếu Bởi vìnếu x /∈ G thì B ∩ G = ∅ với quả cầu nhỏ B bao quanh x

Áp dụng 1.4.1 ta tìm được một phần tử ϕ ∈ X∗ tách x và G, và một lâncận đóng yếu của G có dạng A = {y ∈ X∗|Reϕ(y) ≥ t} sao cho x /∈ A

1.4.9 Ta thấy từ 1.4.8 rằng một không gian định chuẩn X có thể có các tôpôthú vị khác, do vậy các từ và các ký hiệu phần trong và bao đóng phải được xácđịnh Cho nên từ giờ ta sẽ sử dụng ký hiệu D= cho tập con bất kỳ D của X để

ký hiệu bao đóng theo chuẩn (khác biệt với các bao đóng yếu khác của D) Kýhiệu bao đóng này cũng có thuận lợi nó không thể bị lẫn lộn với liên hợp phức,một toán tử sẽ xảy ra thường xuyên trong chương sau

1.4.10 Mệnh đề

Cho X là một không gian định chuẩn và 3 là một không gian con W∗-đóngcủa X∗ Với mỗi ϕ trong X \ 3 có một x trong 3⊥ sao cho < x, ϕ >6= 0

Chứng minh Chọn một lân cận lồi W∗-mở G của ϕ không giao với 3 (1.4.2)

Do 1.4.7 kết hợp với 1.4.4 khi đó có một x trong X và một số thực t sao cho

Re < x, ϕ >∈ Re < x, G >< t ≤ Re < x, 3 >

Vì 3 là một không gian con, điều này có nghĩa là t = 0 và x ∈ 3⊥.

1.4.11 Hệ quả

Mỗi không gian con W∗-đóng của X∗ có dạng D⊥ với không gian con đóngchuẩn D nào đó của X

1.4.12 Mệnh đề

Nếu T ∈ B(X, D), với X và D là các không gian Banach liên hợp,

T∗ : D∗ → X∗ là W∗-liên tục Ngược lại, mỗi toán tử W∗-liên tục S : D∗ → X∗

có dạng S = T∗ với một T nào đó trong B(X, D) Đặc biệt S là bị chặn

Chứng minh Theo 1.2.4 chỉ cần chứng minh rằng x ◦ T∗ là W∗-liên tục trên

D∗ với mỗi x ∈ X, bởi vì

1.4.13 Mệnh đề

Xét một không gian con đóng D của một không gian định chuẩn X, lấy

I : D → X ký hiệu ánh xạ bao hàm và Q : X → X/D ký hiệu ánh xạ thương.Khi đó ta có thể đồng nhất Q∗ với ánh xạ bao hàm của D⊥ vào trong X∗ và I∗

là ánh xạ thương của X∗ vào trong X∗/D⊥

Chứng minh Nếu ϕ ∈ (X/D)∗, thì hiển nhiên Q∗ϕ ∈ D⊥ vì Q ánh xạ quả cầu

mở đơn vị của X lên X/D (1.2.13) Ta có

||Q∗ϕ|| = sup {| < x, Q∗ϕ > ||x ∈ X, ||x|| < 1}

= sup {| < Qx, ϕ > ||x ∈ X, ||x|| < 1} = ||ϕ||

Từ đó chứng tỏ Q∗ là một ánh xạ đẳng cự từ (X/D)∗ → D⊥ trong X∗ Nóicách khác, mỗi ψ trong D⊥ xác định duy nhất một ϕ trong (X/D)∗ sao cho

< x, ψ >=< Qx, ϕ > Vậy từ đó Q∗ϕ = ψ Vậy Q∗ là toàn ánh

Vì QI = 0 ta biết rằng I∗Q∗ = 0 (1.3.9), từ đó D⊥ ⊂ KerI∗ Bởi định nghĩa,mặc dù vậy I∗ là hạn chế của ánh xạ ϕ → ϕ/D của X∗, vậy KerI∗ ⊂ D⊥ Kýhiệu bởi eQ ánh xạ thương từ X∗ tới X∗/D⊥ Do 1.2.14, ta có một toán tử eI∗trong B(X∗/D, D∗), sao cho I∗ = eI∗

e

Q Do định lý Hahn-Banach mở rộng 1.3.3mỗi ψ ∈ D∗ trong D∗ mở rộng thành một ϕ trong X∗ với ||ϕ|| = ||ψ|| Vậy

ψ = I∗ϕ, do vậy I∗ là toán ánh Hơn nữa, eI∗ là một ánh xạ đẳng cự, bởi vì

|| eI∗|| = ||I∗|| = ||I|| = 1 và || eI∗(ϕ + D⊥)|| = ||ψ|| = ||ϕ|| ≥ ||ϕ + D⊥||.Cho nên ta có thể đồng nhất I∗ với eQ

2.1.1.1 Cho E là một không gian compact Ký hiệu C(E) là tập hợp các hàm

số thực, liên tục trên E Ta biết rằng C(E) là một không gian vectơ trên trường

số thực R Trên không gian này,

2.1.1.2 Định nghĩa

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục µ trên C(E) gọi là độ đo Radon trên E(hoặc ngắn gọn là độ đo); giá trị của µ tại một hàm liên tục f gọi là tích phâncủa f theo độ đo µ

Nói rằng µ là một độ đo trên E đồng nghĩa với nói rằng ánh xạ f → µ(f )

từ C(E) vào R thỏa mãn các điều kiện sau:

a) µ(f + g) = µ(f ) + µ(g), ∀f, g ∈ C(E);

b) µ(αf ) = αµ(f ) với mọi α ∈ R và f ∈ C(E);

c) tồn tại một số a ≥ 0, hữu hạn sao cho |µ(f )| ≤ a||f ||, ∀f ∈ C(E)

Tích phân của một hàm f ∈ C(E) theo độ đo µ ký hiệu là µ(f), hoặc là

< f, µ >; ta cũng sử dụng các ký hiệu thông dụng sau R f dµ hoặc R f (x)dµ(x).Khi f = 1 là hàm hằng số, ta viết R dµ thay cho R 1dµ Với mọi số thực α ta

có R αdµ = α R dµ

Ký hiệu M(E) là tập hợp các độ đo trên E Đây là một không gian vectơtrên R và chính là đối ngẫu của không gian C(E)

2.1.1.3 Ví dụ về độ đo

a Cho E là một không gian compact, a là một điểm của E; khi đó ánh xạ

f → f (a) là một độ đo trên E Ta nói rằng độ đo này xác định bởi một đơn vịkhối lượng đặt tại điểm a

b Tổng quát hơn, xét một dãy vô hạn (an) các điểm của E và ấn định chomỗi anmột số thực αn thỏa mãn

∞

P

n=1

f (an)αn, rõ ràng µ là một phiếm hàm tuyến tínhtrên C(E); Nó liên tục vì

Vậy µ là một độ đo trên E Ta nói rằng nó được xác định bởi các khối lượng

αn đặt tại các điểm an thuộc E Ví dụ a tương ứng với trường hợp α1 = 1 còn

2.1.2 Tích của một độ đo và một hàm liên tục

2.1.2.1 Cho µ là một độ đo trên một không gian compact E Với mọi hàm

Độ đo này được ký hiệu là g · µ; và gọi là tích của độ đo µ với hàm g,hoặc độ đo có mật độ g đối với µ Ta còn viết quan hệ (2.2) dưới dạng rút gọndν(x) = g(x)dµ(x) Ta cũng có:

2) Ta có thể định nghĩa ở sau, tích của một độ đo với một hàm không nhấtthiết liên tục

2.1.3 Độ đo dương

2.1.3.1 Không gian vectơ C(E), của các hàm số liên tục trên không gian pact E là một không gian Reisz với quan hệ f ≤ g (tức là mỗi tập con khôngrỗng bị chặn trên của C(E) có một cận trên đúng trong C(E)) Tôpô của nótương thích với cấu trúc không gian vectơ có thứ tự Ta nói rằng một độ đo µtrên E là dương nếu với mọi hàm liên tục f ≥ 0 trên E, ta có µ(f ) ≥ 0; quan hệthứ tự µ ≤ ν trong không gian M(E) của các độ đo trên E nghĩa là ν − µ ≥ 0,tức là tương đương với nói rằng "với mọi hàm liên tục f ≥ 0: µ(f ) ≤ ν(f )".2.1.3.2 Định lý

com-Mọi phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian ReiszC(E) là liên tục (nóicách khác, là một độ đo dương trên E)

Thực vậy, nếu µ là một phiếm hàm tuyến tính dương trênC(E) và f ∈ C(E)

Không gian E các độ đo trên một không gian compact E là dàn đầy đủ.Với mọi độ đo µ trên E, ta đặt:

µ+ = sup(µ, 0), µ− = sup(−µ, 0), |µ| = sup(µ, −µ),

Z

f dµ

≤

Z

2.1.4 Một phương pháp định nghĩa một độ đo

2.1.4.1 Giả sử H là một tập đầy đủ (total) trong E, tức là H là một tập màkhông gian vectơ con V sinh bởi H trù mật khắp nơi trong C(E); nói một cáchkhác, điều đó có nghĩa là mọi hàm số f liên tục trong E có thể xấp xỉ đều bởicác tổ hợp tuyến tính (với hệ số thực) của các hàm thuộc H Để một phiếm

hàm tuyến tính λ định nghĩa trong V được thác triển thành một phiếm hàmtuyến tính liên tục trên C(E), nghĩa là trở thành một độ đo trên E, cần và đủ

là nó phải liên tục trong V , và thác triển của nó lên C(E) khi đó sẽ duy nhất.Trường hợp riêng:

2.1.4.2 Mệnh đề

Giả sử H là một tập hợp đầy đủ trong không gian Banach C(E); nếu µ và ν

là hai độ đo trên E sao cho µ(f ) = ν(f ), ∀f ∈ H, thì khi đó µ = ν

2.1.4.3 Hệ quả

Để một độ đo µ trên E là độ đo không, cần và đủ là R f dµ = 0 với mọi hàm

f thuộc một tập đầy đủ trong C(E)

Ví dụ: Cho E = [0, 1]; các hàm xn, n ∈ N, lập thành một tập đầy đủ trongC(E), theo định lý Weierstrass-Stone Từ đó suy ra có nhiều nhất một độ đo µtrên E để các số cn = R xndµ(x) nhận các giá trị cho trước Các số này gọi làcác moment của độ đo µ Bài toán tìm các điều kiện mà một dãy số thực (cn)cần thỏa mãn để trở thành các moment của một độ đo trên E gọi là "bài toánmoment"

2.1.4.4 Mệnh đề

Giả sử V là một không gian vectơ con trù mật khắp nơi trong C(E); giả sử

µ là một phiếm hàm tuyến tính định nghĩa trong V và µ(f ) ≥ 0 với mọi hàm

f ≥ 0, f ∈ V Khi đó µ có thể thác triển một cách duy nhất thành một độ đotrên E và độ đo này dương

Chứng minh (xem [7]) gồm hai bước: đầu tiên chứng minh rằng µ liên tụctrong V suy ra µ thác triển được, thành một độ đo duy nhất trên E Bước 2chứng minh các độ đo thác triển nhận được là dương

2.1.5 Chuẩn của một độ đo

2.1.5.1 Không gian M(E) của các độ đo trên một không gian compact E làđối ngẫu của không gian Banach C(E) Ta định nghĩa trên M(E) một chuẩn

2.1.5.3 Hệ quả Với mọi độ đo µ ≥ 0 trên E ta có ||µ|| = µ(1).

2.1.5.4 Hệ quả Với mọi độ đo µ trên E ta có ||µ|| = ||µ+|| + ||µ−||

Thật vậy

|µ|(1) = µ+(1) + µ−(1) = ||µ+|| + ||µ−||

Với mọi độ đo µ trên E, số thực (dương hoặc âm) µ(1) gọi là khối lượng đầy

đủ của µ Khi µ là một đô đo dương, khối lượng đầy đủ của nó bằng chuẩn của

nó Khi µ là một độ đo dương và có khối lượng đầy đủ bằng 1, ta nói rằng giátrị µ(f ), f ∈ C(E) là trung bình của f (đối với độ đo µ)

2.2 Độ đo trên một không gian compact địa

trên R Giá của một ánh xạ f từ E vào F là tập đóng nhỏ nhất S trong E, saocho f (x) = 0, ∀x ∈ E \ S.

(Nói một cách khác, S là bao đóng trong E của tập các x ∈ E sao cho

f (x) 6= 0.)

Cho E là một không gian compact địa phương, F là một không gian vectơtôpô Ta ký hiệu bởi C(E) không gian vectơ của các ánh xạ liên tục từ E vào F ,bởi Cc(E) Không gian con của C(E) gồm các ánh xạ liên tục có giá compact.Với mỗi tập compact K của E, Cc(E, K) ký hiệu không gian con của Cc(E)gồm các hàm mà giá được chứa trong K Ta viết C(E), Cc(E), Cc(E, K) khi

F = R Ta ký hiệu Cb(E) không gian con củaC(E) (chứa Cc(E)) gồm các hàm

số liên tục và bị chặn trong E Trên không gian này, ||f || = sup

x∈E

|f (x)| là mộtchuẩn định nghĩa trên Cb(E) tôpô hội tụ đều Trang bị chuẩn này Cb(E) là đầy

đủ Ngoài ra Cb(E) là một đại số giao hoán trên R và ta có bất đẳng thức

||f g|| ≤ ||f || · ||g||, ∀f, g ∈ Cb(E)

2.2.1.2 Bổ đề

Cho E là một không gian compact địa phương, K là một tập compact của

E, (Ak)1≤k≤n là một phủ mở hữu hạn của K Khi đó tồn tại n ánh xạ liên tục

fk từ E vào (0, 1), sao cho giá fk được chứa trong Ak, với 1 ≤ k ≤ n, và ta có

tập compact K của E, hạn chế của µ lên không gian con Cc(E, K) của các hàmthuộc Cc(E) có giá chứa trong K, là liên tục đối với tôpô hội tụ đều.

Điều trên có nghĩa là, với mọi tập compact K của E, tồn tại một số MK ≥ 0,chỉ phụ thuộc vào K và µ, sao cho ta có, với mọi hàm f ∈ Cc(E) mà giá chứatrong K,

|µ(f )| ≤ Mk||f ||

Định nghĩa này trùng với định nghĩa cho trong mục 1 khi E là compact Nếu

µ là một độ đo trên một không gian compact địa phương E, thì giá trị µ(f )của độ đo này tại một hàm f ∈ Cc(E) gọi là tích phân của f đối với độ đo µ,

và được ký hiệu là < f, µ > hoặc R f dµ hoặcR f (x)dµ(x) Ta ký hiệu M(E),tập hợp các độ đo trên E; đây là một không gian vectơ trên R Ta có thể địnhnghĩa trên Cc(E) một tôpô của không gian lồi địa phương, tách, sao cho các độ

đo trên E trùng với các phiếm hàm tuyến tính trên Cc(E), liên tục đối với tôpônày Khi đó M(E) là đối ngẫu của không gian vectơ tôpô Cc(E)

Ví dụ: với mọi hàm f ∈ Cc(R), tồn tại một khoảng compact [a, b] của R màngoài khoảng đó hàm f triệt tiêu; tích phân

của E bởi ánh xạ ϕ được định nghĩa như sau: Ta chuyển qua ϕ tôpô của E lên

E1; các hàm của Cc(E1) là các hàm f mà f ◦ g ∈ Cc(E), và độ đo µ1 trên E1được định nghĩa bởi

µ1(f ) = µ(f ◦ g)

Đặc biệt một tự đồng cấu của cấu trúc không gian đo compact địa phươngcủa E là một đồng phôi σ của E sao cho ta có µ(f ) = µ(f ◦ σ) với mọi hàm

f ∈ Cc(E) Khi đó ta nói rằng độ đo µ là bất biến bởi đồng phôi σ

Ví dụ: Độ đo Lebesgue trên R là bất biến bởi mọi phép tịnh tiến của nhómcộng R Thực vậy, với mọi hàm f ∈ Cc(R) và mọi số thực a, ta có

2.2.3 Tích của một độ đo với một hàm liên tục

2.2.3.1 Giả sử µ là một độ đo trên một không gian compact địa phương E,

và giả sử g là một hàm thực liên tục trong E Với mọi hàm f ∈ Cc(E), f g cógiá compact, do đó µ(f g) được xác định, và ánh xạ f → µ(f g) là một phiếmhàm tuyến tính trên Cc(E) Ta chứng minh đây là một độ đo Cho K là mộttập compact của E, và aK là một số không âm sao cho ta có

Phiếm hàm tuyến tính f → µ(f g) là một độ đo trên E, mà ta ký hiệu g · µ

và gọi là tích của độ đo µ và hàm g, hoặc độ đo với mật độ g đối với µ Nếu

hoặc viết tắt dưới dạng

Cc(E) là một độ đo (dương) trên E Không gian M(E) của các độ đo trên Etrùng với không gian của các phiếm hàm tuyến tính bị chặn tương đối trên khônggian Reisz Cc(E) Do đó

2.2.4.3 Định lý Không gian M(E), các độ đo trên một không gian compactđịa phương E là dàn đầy đủ

2.2.5 Một phương pháp định nghĩa độ đo

U

Khi E là compact, nói rằng V là giàu có nghĩa là nó là trù mật đối với

E Khi đó nó là giàu dương Thực vậy, tồn tại trong V một hàm f0 sao cho

||1 − f0|| ≥ 1

2, suy ra f0 ≥ 1

2; nếu f không âm thuộcC(E), tồn tại g ∈ V sao cho

||f − g|| ≤ ε; suy ra ||f − (g + 2εf0)|| ≤ 4ε, và từ giả thiết suy ra g + 2εf0 ≥ 0.Nếu E = R, các hàm thuộc Cc(R), tuyến tính từng đoạn (nói cách khác

là các nguyên hàm của hàm bậc thang) hình thành một không gian con giàudương của Cc(E), mà giá được chứa trong I = (a, b), với mọi ε ≥ 0, tồn tại mộtdãy tăng thực sự (xi), 0 ≤ i ≤ n của các điểm của I sao cho x0 = a, xn = b vàtrong mỗi khoảng (xi, xi+1) (với 0 ≤ i ≤ n − 1), dao động của f là nhỏ hơn ε.Bằng cách chọn g(x) = 0 trong phần bù của I, g(xi) = f (xi) với 0 ≤ i ≤ n và

g là tuyến tính trong mỗi khoảng (xi, xi+1), ta thấy rằng ta có ||f − g|| ≤ ε.2.2.5.2 Mệnh đề

Cho V là một không gian con giàu của Cc(E), để một phiếm hàm tuyến tính

µ định nghĩa trong V được thác triển thành một độ đo trên E, cần và đủ là vớimọi tập compact K của E, hạn chế của µ lên không gian con VK của V hìnhthành bởi các hàm của V mà giá được chứa trong K, liên tục đối với tôpô hội

tụ đều Độ đo nhận được từ thác triển µ là duy nhất

2.2.5.3 Mệnh đề

Cho V là một không gian con giàu dương của Cc(E) và giả sử µ là mộtphiếm hàm tuyến tính định nghĩa trong V sao cho µ(f ) ≥ 0, với mọi f ≥ 0,thuộc V Khi đó µ có thể thác triển một cách duy nhất thành một độ đo trên

E, và độ đo này dương

2.2.6 Độ đo bị chặn

2.2.6.1 Giả sử E là một không gian compact địa phương nhưng không compact.Nói chung, một độ đo µ bất kỳ trên E không liên tục trong Cc(E) trang bị tôpô

hội tụ đều Nói cách khác, nói chung không tồn tại một số M ≥ 0, sao cho vớimọi hàm f ∈ Cc(E), ta có

||µ|| = sup

||f ||≤1,f ∈K(E)

Trang bị chuẩn này, ta biết rằng M1(E) là một không gian Banach

Định nghĩa của ||µ|| bởi công thức (2.9) mở rộng cho mọi độ đo trên E Để

µ bị chặn, cần và đủ là ||µ|| hữu hạn Nhớ là trên một không gian compact mọi

là điểm dính của Cc(E) (thuộc bao đóng của Cc(E)), với mọi ε > 0, tồn tại mộthàm g liên tục có giá compact K, sao cho

|f (x) − g(x)| ≤ ε với mọi x ∈ E;

nên ta có |f (x)| ≤ ε với mọi x ∈ KC, chứng tỏ f dần tới 0 khi x dần tới ω.Ngược lại, nếu f có tính chất này, với mọi ε > 0, ∃K compact, K ⊂ E sao cho

... (dương) E Không gian M(E) độ đo Etrùng với không gian phiếm hàm tuyến tính bị chặn tương đối khơnggian Reisz Cc(E) Do

2.2.4.3 Định lý Khơng gian M(E), độ đo không gian compactđịa... E, giá trị µ(f )của độ đo hàm f ∈ Cc(E) gọi tích phân f độ đo µ,

và ký hiệu < f, µ > R f dµ hoặcR f (x)dµ(x) Ta ký hiệu M(E) ,tập hợp độ đo E; không gian vectơ R Ta địnhnghĩa... phiếmhàm tuyến tính Cc(E) Ta chứng minh độ đo Cho K mộttập compact E, aK số khơng âm cho ta có

Phiếm hàm tuyến tính f → µ(f g) độ đo E, mà ta ký hiệu g · µ

và gọi