Luận văn sư phạm Tôpô yếu trong không gian Banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LÊ THỊ THU HIỀN TÔPÔ YẾU TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học Th.S HOÀNG NGỌC TUẤN Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Th.S Hồng Ngọc Tuấn - Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khố luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy tổ Giải tích thầy khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khố luận Do thời gian kiến thức có hạn lần đầu nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Thị Thu Hiền LỜI CAM ĐOAN Qua q trình nghiên cứu khóa luận: “ Tơpơ yếu khơng gian Banach” giúp em tìm hiểu sâu mơn Giải tích Qua giúp em bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận hồn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân em với hướng dẫn bảo thầy giáo - Th.S Hoàng Ngọc Tuấn Kết đề tài “ Tô pô yếu không gian Banach” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Thị Thu Hiền Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Kiến thức mở đầu không gian tôpô 1.1.2 Không gian compact 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Kiến thức mở đầu không gian định chuẩn 1.2.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn 1.2.3 Nguyên lí bị chặn Banach - Steinhaus 1.2.4 Không gian liên hợp 10 Chương Tôpô yếu không gian Banach 12 2.1 Tôpô yếu tôpô yếu* 12 2.2 Cấu trúc cực biên 31 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành tốn học xây dựng vào khoảng nửa đầu kỉ XX xem ngành toán học cổ điển Nội dung hợp lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết Giải tích, Đại số, Phương trình vi phân Trong q trình phát triển từ đến nay, Giải tích hàm tích lũy nội dung phong phú Những phương pháp kết mẫu mực giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành tốn học có liên quan có sử dụng đến cơng cụ Giải tích Ngồi ra, cịn có ứng dụng vật lí lí thuyết số lĩnh vực khoa học khác Sự xâm nhập mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành toán học nói trên, mặt khác cịn địi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết kết ngành toán học riêng rẽ để chừng mực đề mẫu tốn học tổng qt trìu tượng Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu mơn giải tích hàm em chon đề tài: “Tôpô yếu không gian Banach” Nghiên cứu đề tài có hội tìm hiểu sâu tơpơ, nội dung quen thuộc bao hàm nhiều tính chất đặc trưng tổng quát giải tích hàm Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết tơ pơ yếu khơng gian Banach để thấy tính chất Đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến tô pô yếu tô pô yếu* 4.Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, nghiên cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp, so sánh, Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức liên quan đến tô pô yếu khơng gian Banach Cấu trúc khóa luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tôpô yếu không gian banach Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Kiến thức mở đầu không gian tôpô Định nghĩa 1.1 Cho X tập Ta nói họ τ tập X tôpô (hay xác định cấu trúc tôpô) X nếu: (i) Hai tập φ X thuộc họ τ (ii) τ kín phép giao hữu hạn, tức là: giao số hữu hạn tập thuộc họ τ thuộc họ (iii) τ kín phép hợp bất kỳ, tức là: hợp số (hữu hạn hay vơ hạn) tập thuộc họ τ thuộc họ Một tập X, với tơpơ τ X, gọi không gian tôpô (X, τ)(hay đơn giản không gian tôpô X) Định nghĩa 1.2 Cho X không gian tôpô x ∈ X Tập V X gọi lân cận điểm x tồn tập mở G cho x ∈ G ⊂ V Nếu lân cận V x tập mở V gọi lân cận x Mọi lân cận X chứa lân cận mở Định nghĩa 1.3 Cho không gian tôpô X tập A điểm x ∈ X • Điểm x gọi điểm A có lân cận V cho V ⊂ A • Điểm x gọi điểm ngồi A có lân cận V cho V ∩ A = ∅ • Điểm x gọi điểm biên A lân cận V x có V ∩ A = ∅ V ∩ (X\A) = ∅ Tập tất điểm biên A gọi biên A Kí hiệu: ∂ A • Ta gọi phần A hợp tất tập mở chứa A Kí hiệu: Ao Từ định nghĩa ta có: Ao tập mở lớn chứa A A ⊂ B Ao ⊂ Bo A A = Ao • Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A Kí hiệu: A Từ định nghĩa ta có: A tập đóng nhỏ chứa A A ⊂ B A ⊂ B A đóng A = A Định nghĩa 1.4 Một tập M không gian tôpô X gọi trù mật X M = X Định nghĩa 1.5 Không gian tôpô X gọi tách tồn tập hợp M ⊂ X đếm trù mật X Định nghĩa 1.6 Cho X không gian tôpô thỏa mãn với cặp điểm khác x1 , x2 ∈ X có hai lân cận V1 ,V2 x1 , x2 cho V1 ∩V2 = ∅ Khi đó, X gọi không gian tách (hay không gian Hausdorff), tôpô gọi tơpơ tách (hay tơpơ Hausdorff) 1.1.2 Không gian compact Định nghĩa 1.7 (Tập compact) Cho X không gian tôpô Tập A ⊆ X gọi compact( X) với phủ mở A có phủ hữu hạn Điều có nghĩa Di tập mở X với i ∈ I A ⊆ Di có tập hợp i∈I hữu hạn I0 ⊆ I cho Di ⊇ A i∈I0 Chú ý: Ảnh tập compact qua ánh xạ liên tục tập compact Định nghĩa 1.8 (Không gian compact) Không gian X gọi không gian compact X tập compact X Tức Di mở X với i ∈ I Di = X có i∈I tập hữu hạn I0 ⊆ I cho Di = X i∈I0 Định lý 1.1 (Tychonoff) Tích Descartes ∏ Xi họ không gian tôpô không rỗng {Xi , i ∈ I} i∈I không gian compact Xi không gian compact với i∈I 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Kiến thức mở đầu không gian định chuẩn Định nghĩa 1.9 Cho X không gian vectơ trường K ( K = R K = C ) Ánh xạ · : X → R gọi chuẩn X nếu: (i) x ≥ với x ∈ X; (ii) x = x = 0; (iii) λ x = |λ | x với x ∈ Xvà λ ∈ K; (iv) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X( bất đẳng thức tam giác) Không gian vectơ với chuẩn (X, ) gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn (hoặc đơn giản không gian định chuẩn) Ví dụ: Khơng gian C[0,1] biểu thị khơng gian vectơ tất hàm vơ hướng có giá trị liên tục [0, 1], cho chuẩn f ∞ = sup {| f (t)| ;t ∈ [0, 1]} = max {| f (t)| ;t ∈ [0, 1]} Chúng ta dễ dàng kiểm tra C [0, 1] không gian định chuẩn Định nghĩa 1.10 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Mệnh đề 1.1 Cho X không gian định chuẩn Ta đặt d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X (∗) Khi d metric X Nhận xét: Nhờ Mệnh đề 1.1, không gian định chuẩn trở Nếu {Mα } dãy M, ∩Mα khơng gian afin đóng (∩Mα ) ∩ K = ∩(Mα ∩ K) = ∅, Mα ∩ K compact yếu với α Nếu đoạn [x, y] ⊂ K có điểm trong ∩Mα ,thì [x, y] ⊂ Mα với α từ Mα giá K Do [x, y] ⊂ ∩Mα Điều nói ∩Mα giá đóng K Theo bổ đề Zorn, tồn phần tử cực tiểu M0 M Ta M0 ∩ K nhất, mà phải điểm cực biên Giả sử rằng, tồn x = y ∈ M0 ∩ K Khi tồn f ∈ X∗ cho f (x) = f (y) Vì M0 ∩ K compact yếu, theo nhận xét tồn k ∈ K ∩ M0 cho f (k) = α = sup ( f ) Khi f −1 (α) giá M0 ∩K M0 ∩ K M′ = M0 ∩ f −1 (α) không gian afin (khác rỗng k ∈ M ′ ), ta nhận xét giá K Vì f (x) = f (y), hai không thuộc M ′ ; tức là, M ′ tập thực M0 , điều mâu thuẫn với việc M0 phần tử cực tiểu Chứng minh định lí 2.11 Lấy B = convw (Ext(K)) Nếu B = K, áp dụng Định lí 1.6 chọn c ∈ K\B tìm f ∈ X ∗ cho f (c) > sup ( f ) Vì α = sup ( f ), xét H = f −1 (α) B Đây siêu phẳng giá đóng K, K theo Bổ đề 2.3, H chứa điểm cực biên K Nhưng x = B f (x) = α > sup ( f ), mâu thuẫn B Định nghĩa 2.10 Cho C tập không gian Banach X Một miếng C giao khác rỗng C với nửa không gian mở X Ta nhận xét giao hữu hạn phần chia tạo thành sở tôpô yếu Bổ đề 2.4 Cho C tập lồi compact yếu không gian Banach X Với 33 x ∈ Ext(C), miếng C chứa x tạo thành sở lân cận x tôpô yếu cảm sinh C Chú ý kết tương tự đưa cho tôpô yếu* X ∗ Chứng minh Lấy V lân cận x tơpơ yếu cảm sinh C có dạng V = V1 ∩ ∩ Vk , Vl miếng C (Vl = Vi ∩ C Vi nửa không gian mở X) Khi x ∈ / k ((X\Vi ) ∩C) Do i=1 x∈ / conv k ((X\Vi ) ∩C x điểm cực biên C Vì bao lồi số i=1 hữu hạn tập lồi compact yếu compact yếu, ta có x ∈ / conv k ((X\Vi ) ∩C) i=1 Theo Định lí 1.6, tồn f ∈ X ∗ α ∈ R cho k f (x) > α > sup { f (x) : x ∈ (X\Vi ) ∩C} i=1 Khi miếng C ∩ {x ∈ X : f (x) > α } chứa x chứa V Định lý 2.12 ( Milman ) Cho C tập lồi compact yếu không gian Banach X Nếu w B ⊂ C cho conv(B) = C, Ext(C) ⊂ B Tương tự, C tập lồi compact yếu X ∗ w∗ ∗ convw (B) = C, Ext(C) ⊂ B w Chứng minh Giả sử với x ∈ Ext(C) ta có x ∈ / B Khi tồn miếng S C chứa x ∈ C S ∩ B = ∅ Vì vậy, tồn f ∈ X ∗ α ∈ R cho f (x) > α ≥ sup ( f ) Theo tính chất tuyến tính B f, sup ( f ) = sup ( f ), f (x) > α ≥ sup ( f ) Điều mâu thuẫn B conv(B) conv(B) với việc C = conv(B) 34 Định lý 2.13 ( Banach- Stone ) Cho K, L khơng gian Banach C(K) đẳng cự tuyến tính với C(L) K L đồng phôi Chứng minh Lấy ϕ đồng phôi từ K lên L Định nghĩa ánh xạ T : C(K) → C(L) với T ( f ) = f ◦ ϕ −1 Đây tiêu chuẩn để kiểm tra T phép đẳng cự từ C(K) lên C(L) Giả sử T phép đẳng cự từ C(K) lên C(L) Khi T ∗ phép đẳng cự Vì T (BC(K)∗ ) = BC(L)∗ , với l ∈ L ta có T ∗ (δl ) = ε(l)δkl , kl ∈ K ε(l) = ±1 Ánh xạ ς : l → ε(l)kl liên tục T* liên tục yếu* yếu* Bây ta hàm ε(l) liên tục Thật vậy, với x ≡ ta viết ε(l) = ε(l)δkl (x) = T ∗ (δl )(x) = T (x)(l), δ = T (x) liên tục Khi ánh xạ ρ : L → K định nghĩa ρ(l) = kl , ρ = ςε , ánh xạ 1-1 liên tục từ L lên K Định nghĩa 2.11 Cho (X, ) không gian Banach Cho C tập bị chặn X ∗ Tập B ⊂ C gọi biên James C x ∈ X tồn g ∈ B cho g(x) = sup{ f (x) : f ∈ C} Tập B ⊂ BX ∗ gọi biên James X biên James BX ∗ Tính chất 2.3 Cho X khơng gian Banach Khi Ext(BX ∗ ) biên James X Chứng minh Cho trước x ∈ SX , xét H = { f ∈ X ∗ : f (x) = 1} Khi H giá đóng yếu* BX ∗ , tập mà chứa điểm cực biên BX ∗ theo Bổ đề 2.3 Định lý 2.14 (Godefroy [4]) 35 Cho X không gian Banach C tập lồi đóng bị chặn X ∗ Nếu B biên James tách C, C = conv(B) Đặc biệt, tập tách B BX ∗ cho conv(B) = BX ∗ , tồn x ∈ SX cho x( f ) < với f ∈ B Định lí 2.14 nói chung khơng giả thiết tính chất tách B bị Ví dụ, xét X = C[0, 1] B = { ± δt : t ∈ [0, 1] ⊂ BX ∗ Khi conv(B) = BX ∗ với f ∈ SX , tồn F ∈ B cho F( f ) = Lấy B tập khác rỗng Xét khơng gian ℓ∞ (B) với cận đúng-chuẩn tắc Nếu x = xb ∈ ℓ∞ (B), ta kí hiệu sup (x) = sup{xb ; b ∈ B} B Nếu tồn b0 ∈ B cho xb0 = sup (x), ta nói x đạt cận B B Trong chứng minh Định lí 2.14, ta sử dụng kết Bổ đề 2.5 ( Bất đẳng thức Simons [9]) Cho B tập khác rỗng Lấy {xn } dãy bị chặn ℓ∞ (B) Giả ∞ ∞ n=1 n=1 sử với tất Λn ≥ 0, n ∈ N, thỏa mãn ∑ Λn = 1vectơ ∑ Λn xn đạt cận trên B Khi sup (lim sup(xn )) ≥ inf{sup (x) : x ∈ conv{xn }} B n B ∞ ∞ n=k n=k ∑ Λn xn : Λn ≥ 0, ∑ Λn = với k ∈ N Ta phải Chứng minh Đặt Ck = chứng tỏ inf sup (x) ≤ sup (lim sup(xn )) x∈C1 B B (**) n Lấy ε > Chọn quy nạp zk ∈ Ck cho với k = 0, 1, sup (2k vk + zk+1 ) ≤ inf sup (2k vk + z) + z∈Ck+1 B B k Ở v0 = vk = ∑ n=1 zn 2n ∞ với k ∈ N Đặt v = ∑ n=1 36 zn 2n ε 2k+1 , Vì zk+1 = 2k+1 vk+1 − 2k+1 vk , ta có 2k+1 vk+1 − 2k vk = 2k vk + zk+1 , ∞ áp dụng 2k v − 2k vk = 2k ∑ n=k+1 zn 2n ∈ Ck+1 ta có với k = 0, 1, sup (2k+1 vk+1 − 2k vk ) ≤ sup (2k vk + (2k v − 2k vk ) + B B = sup (2k v) + B ε 2k+1 ε 2k+1 = 2k sup (B) + B ε 2k+1 m−1 Vì v ∈ C1 , ta chọn t ∈ B cho v(t) = sup (v) Vì ∑ 2k = 2m − 1, từ bất đẳng thức cuối ta có với m ∈ N : B k=0 2m vm (t) = ∑ (2k+1 vk+1 − 2k vk )(t) ≤ (2m − 1)sup (v) + ε = 2m v(t) + ε − sup (v) B B Vì sup (v) ≤ 2m v(t) − 2m vm (t) + ε, B inf sup (x) ≤ sup (v) ≤ lim sup(2m v − 2m vm )(t) + ε x∈C1 B B m ≤ lim sup(xm (t)) + ε m Áp dụng 2m v − 2m vm ∈ Cm+1 Bất đẳng thức (**) xảy ε > tùy ý Nếu X không gian Banach B ∈ X ∗ , ta xét X tập ℓ∞ (B) với x = ( f (x)) f ∈B Chú ý B biên James X, sup (x) = x cận đạt Do ta có định lí sau B Định lý 2.15 (Simons [9]) Cho B biên James không gian Banach X Nếu {xn } dãy bị chặn X, sup{lim sup( f (xn )) : f ∈ B} = sup{lim sup( f (xn )) : f ∈ BX ∗ } 37 Chứng minh Giả sử sup (lim sup(xn )) < α < sup (lim sup(xn )) Lấy f ∈ BX ∗ B BX ∗ cho lim sup( f (xn )) > α Khơng tính tổng qt giả sử f (xn ) > α với n ∈ N Nếu x ∈ conv{xn }, từ chứng minh tính lồi tiêu chuẩn ta có f (x) > α Mặt khác, sup (x) = x , từ Bất đẳng thức Simons tồn B x ∈ conv{xn } cho x < α f (x) < α, mâu thuẫn Bây ta chứng minh định lí tách Godefroy Chứng minh Định lí 2.14: Phản chứng, giả sử C = conv(B) Theo Định lí tách, ta tìm F ∈ SX ∗∗ , α < β ,và y0 ∗ ∈ C\conv(B) cho F( f ) ≤ α với f ∈ B F(y0 ∗ ) > β Lấy S = {x ∈ BX : y0 ∗ (x) > β } Sử w∗ dụng Định lí Goldstine ta nhận F ∈ S Vì B tách được, tơpơ tập bị chặn X ∗∗ hội tụ theo điểm B khả mêtric Do đó, tồn dãy {xn } S mà hội tụ tới F điểm B Đặc biệt, f (xn ) → F( f ) f (xn ) với f ∈ B, sup (lim sup(xn )) = sup (F) ≤ α B B Mặt khác, conv{xn } ⊂ S y0 ∗ ∈ C, sup (x) = sup (x) > β với x ∈ conv{xn } Theo Bất đẳng thức Simons, α ≥ sup (lim sup(xn )) ≥ B inf B C sup (x) ≥ β , mâu thuẫn x∈conv{xn } B Hệ 2.4 (Godefroy) Cho X không gian Banach Nếu X có biên James tách được, X ∗ tách Chứng minh Nếu B biên James tách X, theo Định lí 2.14 conv(B) = BX ∗ Do đó, BX ∗ X ∗ tách 38 Theo Tính chất 2.3 ta có kết đây, kết thu độc lập từ tác giả Hệ 2.5 Cho X không gian Banach tách được.Nếu Ext(BX ∗ ) tách X ∗ tách Chúng ta xem biên James ảnh hưởng tới cặp đối ngẫu Hệ 2.6 Cho B biên James không gian Banach X Nếu x∗∗ ∈ X ∗∗ giới hạn yếu* dãy bị chặn X, x∗∗ = sup (x∗∗ ( f )) f ∈B w* Chứng minh Lấy {xn } dãy bị chặn X cho xn −→ x∗∗ Giả sử sup {x∗∗ ( f ) : f ∈ B} < x∗∗ Khi ta tìm x0∗ ∈ BX ∗ số thực cho α < β , với f ∈ B, x∗∗ ( f ) ≤ α < β < x∗∗ (x0 ∗ ) Ta giả sử β < xn (x0∗ ) với n ∈ N Vì B biên James, theo Bổ đề 2.5 ta nhận mâu thuẫn: α ≥ sup {x∗∗ ( f ) : f ∈ B} ≥ inf x∈conv{xn } sup { f (x) : f ∈ B} ≥ β , Đặc biệt, ta thu hệ sau Hệ 2.7 Cho X không gian Banach Nếu u ∈ SX ∗∗ giới hạn yếu* dãy BX , BX = conv(B) với biên James B X Xét hàm f ∈ X ∗ Ta nói hàm đạt cận trên C tồn x ∈ C cho f (c) = sup { f (x); c ∈ C} , f ∈ X ∗ đạt chuẩn tồn b ∈ B cho f (b) = f 39 Định lý 2.16 ( Nguyên lí biến thiên Ekeland) Cho ϕ hàm bị chặn nửa liên tục từ không gian Banach X vào R ∪ {+∞} Với ε > 0, tồn x0 ∈ X cho ϕ(x) ≥ ϕ(x0 ) − ε x − x0 với x ∈ X Chứng minh Lấy y1 ∈ X tùy ý định nghĩa quy nạp yn+1 ∈ X để ϕ(yn+1 ) + ε yn − yn+1 ≤ inf {ϕ(x) + ε yn − x ; x ∈ X} + 21n (***) Khi ϕ(yn+1 ) ≤ ϕ(yn+1 )+ε yn − yn+1 ≤ ϕ(yn )+ 21n Vậy lim(ϕ(yn )) tồn hữu hạn Hơn nữa, ε yn − yn+1 ≤ ϕ(yn ) − ϕ(yn+1 ) + 21n Vậy { yn − yn+1 } dãy Cauchy {yn } hội tụ Lấy x0 = lim(yn ) Theo (***), ta có ϕ(yn+1 ) ≤ ϕ(x) + ε x − yn + − ε yn − yn+1 2n Với x ∈ X với n ∈ N Lấy giới hạn n → ∞, ϕ(x0 ) ≤ ϕ(x) + ε x − x0 Định lý 2.17 ( Bishop, Phelps) Cho X không gian Banach Tập tất hàm X ∗ mà hội tụ đến chuẩn chúng trù mật X ∗ Chứng minh Lấy g ∈ SX ∗ ε ∈ (0, 14 ), đặt ϕ(x) = x Để ý ϕ(x) ≥ x 2 − g(x) với x ∈ X − x ≥ − 41 (cực tiểu hóa f (p) = p2 − p [0, ∞)) Theo Định lí 2.16, tồn x0 ∈ X cho ϕ(x) ≥ ϕ(x0 ) − ε x − x0 với x ∈ X Như vậy, x − g(x) ≥ x0 − g(x0 ) − ε x − x0 với x ∈ X 40 Theo định lí tách áp dụng cho đồ thị hàm vế trái đồ thị hàm vế phải bất đẳng thức (cả hai tập lồi), tồn hàm afin liên tục h X cho x − g(x) ≥ h(x) ≥ x0 Chú ý h(x0 ) = x0 − g(x0 ) − ε x − x0 với x ∈ X − g(x0 ) vế phải bất đẳng thức trước h(x) − h(x0 ) ≥ −ε x − x0 Ta khẳng định x0 = Thật vậy, giả sử x0 = Khi h(x0 ) = − g(0) = h(x) ≥ −ε x với x ∈ X Do đó, h hàm tuyến tính h ≤ ε Vì g = ε < 14 , ta nhận h + g = Chọn y ∈ SX cho (h + g)(y) = a > Phần đầu bất đẳng thức cho biết x ≥ (g + h)(x) với x ∈ X Áp dụng cho x = ty với t > 0, ta có t ≥ at; tức là, t ≥ a với t > Nhưng điều trái với a > 0, x0 = Nếu x = x0 , (g + h)(x) ≤ x = x0 = (g + h)(x0 ) Vậy, (g + h) bị hạn chế đến {x ∈ X; x = x0 } đạt đến cận x0 hàm tuyến tính f = g + h − h(0) Do f đạt tới chuẩn f − g ≤ ε, điều theo tính chất h afin, h(x) − h(0) = h(x + x0 ) − h(x0 ) ≥ −ε x Định lý 2.18 (James [8]) Cho C tập lồi đóng khơng gian Banach X C compact yếu f ∈ X ∗ đạt cận trên C điểm C Chú ý f ∈ X ∗ đạt tới cận trên C, C bị chặn theo Định lí 2.2 41 Chứng minh Giả sử C compact yếu Vì f ∈ X ∗ liên tục yếu, ảnh f (C) tập compact yếu C phải compact R đóng, cận đạt Ta đưa chứng minh chiều ngược lại không gian tách X Theo điều giả sử chúng ta, C biên James tách C w∗ w∗ X ∗∗ ; đó, theo Định lí 2.14, conv(C) = C Vì C đóng lồi, ta có w∗ C = C , C compact yếu Chứng minh trường hợp không tách phức tạp ( tham khảo [5]) Hệ 2.8 (James [8]) Không gian Banach X phản xạ f ∈ X ∗ đạt đến chuẩn Định lý 2.19 ( James [7]) Khơng gian Banach X phản xạ tồn θ ∈ (0; 1) cho {xn } dãy SX với inf { u : u ∈ conv {xn }} ≥ θ , tồn n0 ∈ N, u ∈ conv{x1 , , xn0 } v ∈ {xn0 +1 , xn0 +2 , } cho u−v < θ Chứng minh Giả xử X phản xạ Cho θ ∈ (0, 1) lấy {xn } dãy SX Với số nguyên n ≥ 0, lấy kn = conv{xn+1 , xn+2 , } Vì {Kn } dãy lồng vào tập compact yếu khác rỗng, tồn x ∈ ∩Kn Vì x ∈ K0 tồn n0 u ∈ conv{x1 , , xn0 } cho x−u < x−v < θ Vì x ∈ Kn0 , θ Khi u − v tồn v ∈ conv{xn0 +1 , xn0 +2 , .} cho < θ 42 Giả sử X = X ∗∗ cho trước tùy ý θ ∈ (0; 1) Ta xây dựng dãy {xn } khơng đủ điều kiện Kí hiệu Bθ = {F ∈ X ∗∗ : F ≤ θ Theo Mệnh đề 1.3 tồn Fθ ∈ SX ∗∗ \ (x + Bθ ) x∈X Chọn x0 ∈ SX Tồn lân cận yếu* lồi V1 Fθ mà không chứa x0 + Bθ Vậy v − x0 > θ với v ∈ V1 Chọn x1 ∈ V1 ∩ SX Vì Fθ ∈ / (conv {x0 , x1 } + Bθ ),tồn lân cận yếu* lồi V2 ⊂ V1 Fθ cho u − v > θ với u ∈ conv{x0 , x1 } v ∈ V2 Chọn x2 ∈ V2 ∩ SX tiếp tục lí luận phương pháp quy nạp Các dãy tập lồi V1 ⊃ V2 ⊃ dãy {xn } ⊂ SX thỏa mãn xn ∈ Vn , v − u > θ với u ∈ conv {xn+1 , xn+2 , } Vậy, điều kiện không đủ Bây ta đưa vài ứng dụng Định lí 2.18 Định lý 2.20 (Krein) Cho X không gian Banach Nếu C tập compact yếu X conv(C) compact yếu X Chứng minh Nếu f ∈ X ∗ , sup ( f ) = sup ( f ) Vì C compact yếu , C conv(C) tồn x ∈ C cho sup ( f ) = f (x) Cho nên, f ∈ X ∗ đạt cận C conv(C), Định lí 2.18, conv(C) compact yếu Nhớ lại không gian tôpô (T, τ) gọi compact theo dãy dãy T có dãy hội tụ (T, τ) Một tập C không gian Banach X gọi compact yếu theo dãy compact theo dãy tôpô yếu tương đối 43 Định lý 2.21 ( Eberlein,Smulian) Cho C tập đóng yếu khơng gian Banach tách X C compact yếu C compact yếu theo dãy Chú ý C compact yếu (theo dãy), f (C) bị chặn với f ∈ X ∗ theo tính liên tục yếu f , C bị chặn theo Định lí 2.2 Chứng minh Nếu C compact yếu, theo Mệnh đề 2.8 C khả mêtric tơpơ yếu C compact yếu theo dãy Bây giả sử C compact yếu theo dãy cho D = conv(C) Cho trước f ∈ X ∗ , lấy cn ∈ C cho lim( f (cn )) = sup ( f ) Theo điều giả sử w C → c với c ∈ C đó, ta, tồn dãy cnk cn cho cnk − f (c) = sup ( f ) = sup ( f ) Do f (c) = sup ( f ) Vậy f ∈ X ∗ đạt tới giá trị C D D lớn D, D compact yếu theo Định lí 2.18 Vì C tập đóng yếu D, compact yếu Định lý 2.22 ( Rainwater, Simons) Cho B biên James không gian Banach X Cho {xn } dãy bị chặn X x ∈ X Nếu f (xn ) → f (x) = với f ∈ B, w → x xn − Chứng minh Vì sup (lim sup(xn − x)) = sup (lim sup(xn − x)) = (áp dụng BX ∗ B Định lí 2.15 cho dãy {xn − x}) ta có lim sup( f (xn − x)) ≤ với f ∈ BX ∗ Tương tự, xét dãy {x − xn } , ta có lim sup( f (x − xn )) ≤ với f ∈ BX ∗ Do w → x f (xn ) → f (x) = BX ∗ , xn − 44 KẾT LUẬN Giải tích hàm nói chung lí thuyết tơ pơ yếu nói riêng có vai trị quan trọng giải tích Trong khóa luận tập chung nghiên cứu tô pô yếu không gian Banach Luận văn mang tính chất tổng quan em chứng minh số định lí, mệnh đề Mong tài liệu bổ ích cho quan tâm tới vấn đề Đây thành cơng đề tài Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô khoa Tốn, đặc biệt thầy giáo- Th.S Hồng Ngọc Tuấnngười tận tình bảo, giúp đỡ em suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Mặc dù em có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khóa luận hồn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Thị Thu Hiền 45 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] PGS.TS Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB Giáo Dục [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Godefroy, G (1987), Boundaries of convex sets and interpolation sets, Math Ann.277, 173-184 [5] Diestel, J (1984), Sequences and Series in Banach Spaces, Graduate Texts in Mathematics 92, Springer-Verlag, New York [6] Fabian, M Habala, P Hajek, P Montesino Santalucia, V Pelant, J V Zizler (2001),Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry 46 [7] James, R.C (1950), Bases and reflexivity of Banach Spaces, Ann Math 52, 518-527 [8] James, R.C (1964), Weak compactness and reflexivity, Isr J Math 2, 101-119 [9] Simons, S (1972), A convergence theorem with boundary, Pac J Math 40, 703-708 47 ... gian l p tách (ii) Các không gian C C0 tách (iii) Không gian l∞ không tách Mệnh đề 1.6 Không gian C∗ [ 0,1] không tách 11 Chương Tôpô yếu không gian Banach Cho trước không gian định chuẩn (X, ·... định chuẩn X không gian Banach Không gian liên hợp không gian X ∗ gọi không gian liên hợp thứ hai khơng gian định chuẩn X, kí hiệu X ∗∗ , không gian liên hợp thứ ba X ∗∗∗ không gian liên hợp... khơng gian tôpô không rỗng {Xi , i ∈ I} i∈I không gian compact Xi không gian compact với i∈I 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Kiến thức mở đầu không gian định chuẩn Định nghĩa 1.9 Cho X không gian