Luận văn ánh xạ đối ngẫu trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐÀO MỸ HẠNH ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐÀO MỸ HẠNH ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội - 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn TS Hoàng Ngọc Tuấn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu để em hồn thành luận văn Em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học Nhân dịp em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Xn Hòa, gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho em mặt suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong ý kiến đóng góp từ Thầy, Cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 30 tháng 06 năm 2018 Đào Mỹ Hạnh LỜI CAM ĐOAN Tác giả cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng tác giả hướng dẫn trực tiếp TS Hoàng Ngọc Tuấn Luận văn không trùng lặp với đề tài khác Trong trình nghiên cứu tác giả kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Đào Mỹ Hạnh Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI MỞ ĐẦU ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU VÀ DƯỚI VI PHÂN 1.1 Định nghĩa số tính chất hàm lồi 1.2 Dưới vi phân liên hợp hàm lồi 1.3 Không gian Banach trơn 19 1.4 Ánh xạ đối ngẫu không gian Banach 1.5 Ánh xạ đối ngẫu dương 26 13 22 ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT SỐ LỚP CÁC KHÔNG GIAN BANACH BỞI ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU 31 2.1 Không gian Banach lồi chặt lồi 31 2.2 Ánh xạ đối ngẫu không gian Banach phản xạ 43 2.3 Ánh xạ đối ngẫu không gian Lp 47 KẾT LUẬN 51 Tài liệu tham khảo 52 LỜI MỞ ĐẦU Giải tích hàm phi tuyến nhánh giải tích tốn học nghiên cứu ánh xạ phi tuyến Trong toán học khoa học vật lý, hệ phi tuyến hệ mà thay đổi liệu đầu không tỷ lệ với thay đổi liệu đầu vào Các toán phi tuyến nhận quan tâm nhiều nhà toán học, vật lý, kỹ thuật nhà khoa học khác hầu hết hệ thống tự nhiên phi tuyến Tích vơ hướng có vai trò quan trọng việc nghiên cứu vấn đề tượng diễn khơng gian Hilbert Một vai trò tích vơ hướng giúp biểu diễn phần tử x ∈ H phiếm hàm x∗ H , tức phần tử không gian đối ngẫu H ∗ Tuy nhiên, nhiều đối tượng mơ hình khơng xuất cách tự nhiên khơng gian Hilbert Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa không gian Banach X , ánh xạ đa trị định nghĩa J : X −→ {x∗ ∈ X ∗ : x∗ = x = x∗ , x } dùng thay phép đẳng cấu H ∼ = H ∗ không gian Banach Tổng quát hơn, ta xem xét ánh xạ đối ngẫu liên kết với hàm trọng Một lựa chọn (không cần liên tục) j J , nghĩa là, ánh xạ J : X −→ X ∗ cho x = jx = jx, x coi ánh xạ đối ngẫu Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa trở thành cơng cụ tốn học quan trọng giải tích hàm phi tuyến, đặc biệt vấn đề liên quan tới toán tử phi tuyến đơn điệu, tăng dần phân tán Hiện nay, chủ đề tiếp tục thu hút ý nhà toán học giới Với mong muốn tìm hiểu sâu ánh xạ đối ngẫu không gian Banach, hướng dẫn TS Hồng Ngọc Tuấn, tơi chọn đề tài “Ánh xạ đối ngẫu không gian Banach” để thực luận văn Mục đích luận văn tìm hiểu số tính chất ánh xạ đối ngẫu đặc trưng số lớp không gian Banach ánh xạ đối ngẫu Qua đó, thấy tầm quan trọng kiến thức học ứng dụng chúng Với nội dung nghiên cứu này, phần lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương Ánh xạ đối ngẫu vi phân Trong chương này, luận văn phần đầu trình bày kiến thức cần thiết giải tích lồi giải tích hàm Sau đó, luận văn trình bày khơng gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu không gian Banach ánh xạ đối ngẫu dương Chương Đặc trưng số lớp không gian Banach ánh xạ đối ngẫu Chương này, luận văn trình bày đặc trưng số lớp khơng gian Banach, bao gồm không gian lồi chặt, lồi không gian Banach phản xạ thơng qua tính chất ánh xạ đối ngẫu Cuối chương, luận văn trình bày ánh xạ đối ngẫu không gian Lp , ta quan tâm đến Định lý Clarkson ứng dụng Định lý Asplund Chương ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU VÀ DƯỚI VI PHÂN Trong chương này, luận văn trình bày số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết giải tích lồi giải tích hàm hàm lồi, vi phân liên hợp hàm lồi Tiếp nữa, luận văn trình bày khơng gian Banach trơn Và sau cùng, luận văn quan tâm đến ánh xạ đối ngẫu không gian Banach ánh xạ đối ngẫu dương Tài liệu tham khảo chương [1], [4] [8] 1.1 Định nghĩa số tính chất hàm lồi Định nghĩa 1.1.1 Cho f : X −→ R = ] − ∞, +∞] với X không gian tôpô tuyến tính Ta ký hiệu tập domf := {x ∈ X | f (x) < +∞} miền hữu hiệu (effective domain) f Tập epif := {(x, t) ∈ X × R | f (x) ≤ t} gọi đồ thị (epigraph) hàm f Ngoài ra, hàm f gọi thường (proper ) domf = ∅ Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Ta nói f : X −→ R hàm lồi f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] Hơn nữa, f gọi hàm lồi chặt X f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ (0, 1) Chú ý 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2, ta có ý sau: f hàm lồi với λ1 , · · · , λk ∈ [0, 1], (1) k i=1 λi =1 x1 , · · · , xk ∈ X , ta có k k λi xi ≤ f i=1 λi f (xi ); (1.1) i=1 Cho f : R −→ R hàm lồi Khi đó, ta có (2) f (b) − f (a) f (c) − f (a) f (c) − f (b) ≤ ≤ , b−a c−a c−b (1.2) với số thực a < b < c; (3) Với hàm lồi f , ta có domf tập lồi Ví dụ 1.1.4 Cho C tập X Ta đặt δC (x) := x ∈ C, +∞ x ∈ / C Khi đó, domδC = C tập C lồi δC hàm lồi Hàm có tên hàm Mệnh đề 1.1.5 Một hàm f : X −→ R lồi đồ thị tập lồi X × R Chứng minh Giả sử f hàm lồi [x, a], [y, b] ∈ epif Khi đó, ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λa + (1 − λ)b, với λ ∈ [0, 1] Từ đó, [λx + (1 − λ)y, λa + (1 − λ)b] ∈ epif Ngược lại, giả sử epif lồi Từ [x, f (x)], [y, f (y)] ∈ epif ∀x, y ∈ domf, ta suy λ[x, f (x)] + (1 − λ)[y, f (y)] ∈ epif với λ ∈ [0, 1] Do đó, ta có hàm f lồi domf Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 1.1.6 Một hàm f : X −→ R gọi nửa liên tục (lower-semi continuous) (viết gọn lsc) x0 ∈ X f (x0 ) = lim inf f (x) = sup inf f (x), x−→x0 V ∈Vx0 x∈V Vx0 tập tất lân cận điểm x0 Mệnh đề 1.1.7 Với f : X −→ R, khẳng định sau tương tương: (a) f nửa liên tục X ; (b) Với số thực α, tập mức {x ∈ X | f (x) ≤ α} tập đóng X ; (c) Trên đồ thị hàm f tập đóng X × R Hệ 1.1.8 (1) Mọi hàm nửa liên tục f không gian tôpô compact bị chặn đạt cận lớn X (2) Bất kỳ hàm lồi không gian lồi địa phương nửa liên tục nửa liên tục yếu Định lý 1.1.9 Cho f : X −→ R hàm lồi bị chặn trên lân cận điểm x0 ∈ domf Khi đó, f liên tục domf Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh tính liên tục f x0 Lấy V ∈ Vx0 M > cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ V Chuyển qua cần lân cận V ∩ (−V ), ta giả thiết V đối xứng Ta giả sử x0 = f (x0 ) = Thật vậy, f liên tục x0 hàm F (x) = f (x + x0 ) − f (x0 ) liên tục gốc với x ∈ X ; F (0) = F hàm lồi Như xn + yn −→ Do xn − yn −→ điều xảy Ngược lại, giả sử X có tính chất (1) khơng lồi Khi có xn = yn = với xn + yn −→ xn − yn Vì thế, tồn ε > xn − yn ≥ ε, ∀n ∈ N Theo giả thiết tồn δ > với xn + yn ≤ 2(1 − δ) điều mâu thuẫn Các khẳng định (2) (3) chứng minh cách tương tự Nhận xét 2.1.15 Trong (1) Mệnh đề 2.1.14 ta thay điều kiện x = y = điều kiện x ≤ 1, y ≤ Định nghĩa 2.1.16 Với < ε ≤ 2, ta định nghĩa hàm: (a) Mô đun không gian Banach lồi X ∆(ε) = (b) inf (2 − x + y ); x = y =1 x−y ≥ε Mô đun không gian Banach lồi x ∈ X, x = ∆(ε, x) = (c) 2 inf (2 − x + y ), < ε ≤ 2; y =1 x−y ≥ε Mô đun không gian Banach lồi yếu x∗ ∈ X ∗ , x∗ = ∆(ε, x∗ ) = inf (2 − x∗ , x + y ), < ε ≤ x = y =1 x−y ≥ε Để tránh nhầm lẫn, ta sử dụng ký hiệu ∆X để mô đun không gian Banach lồi X Hệ 2.1.17 Các khẳng định sau (1) X lồi ⇐⇒ ∆(ε) > ∀ε ∈ (0, 2] (2) X lồi địa phương ⇐⇒ ∆(ε, x) > 0, ∀ x = 1, ∀ε ∈ (0, 2] (3) X lồi yếu ⇐⇒ ∆(ε, x∗ ) > 0, ∀ x∗ = 1, ∀ε ∈ (0, 2] 38 Mệnh đề 2.1.18 Không gian lồi địa phương lồi chặt Chứng minh Giả sử x, y ∈ X, x = y thỏa mãn x = y = Khi đó, tồn ε > cho y − x ≥ ε Theo Mệnh đề 2.1.14 (1), tồn δ > cho x + y ≤ 2(1 − δ) < Hay x + y < Từ đó, nhờ vào Mệnh đề 2.1.2 (3) ta có X lồi chặt Mệnh đề 2.1.19 Nếu X lồi địa phương giả sử {xn } ⊆ X dãy thỏa mãn w xn −→ x, tức {xn } hội tụ yếu đến x ∈ X đó; (1) xn −→ x , (2) xn −→ x Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử x, x1 = Đặt y= x , x yn = xn , n ∈ N xn Khi w y = yn = 1, n ∈ N yn −→ y Từ suy = y ≤ lim yn + y ≤ lim yn + y ≤ y + lim yn = n→∞ Thành thử limn→∞ yn + y = Nhưng X lồi địa phương nên lim yn − y = n→∞ Và đó, ta thu lim xn − x = n→∞ Định lý 2.1.20 ([4]) (Milman-Pettis) Mọi không gian Banach lồi phản xạ Định nghĩa 2.1.21 Cho hàm lồi f : X −→ R Khi 39 (1) f gọi lồi chặt (uniformly strictly convex ) với ε > 0, ta có x+y f (x) − 2f inf x =1 x−y ≥ε (2) + f (y) > (2.5) f gọi lồi chặt địa phương (locally uniformly strictly convex ) với x ∈ X , ta có inf x−y ≥ε f (x) − 2f x+y + f (y) > (2.6) Mệnh đề 2.1.22 Một không gian Banach lồi (địa phương) hàm f (x) = x lồi chặt (địa phương) Định lý 2.1.23 ([7]) (Công thức đối ngẫu Lindenstrauss) Với τ > 0, x ∈ X, x = x∗ ∈ X, x∗ = 1, ta có ρX ∗ (τ ) = sup 0 Nếu với bất ε kỳ x ∈ X , thỏa mãn x∗ ≤ 1, x∗ , x = mà kéo theo | y ∗ , x | ≤ , x∗ + y ∗ ≤ ε x∗ − y ∗ ≤ ε Bổ đề 2.2.9 Giả sử x∗ , y ∗ ∈ X ∗ , x∗ = y ∗ = 1, ε > k > + Khi đó, y ∗ khơng âm K(x∗ , k), x∗ − y ∗ ≤ ε ε Bây ta sẵn sàng với Định lý Bishop-Phelps với tính chất ánh xạ đối ngẫu không gian Banach Định lý 2.2.10 (Bishop-Phelps) Nếu C tập lồi bị chặn đóng khơng gian Banach X , tập tất hàm X ∗ mà đạt giá trị lớn chúng C trù mật X ∗ Chứng minh Trước hết, ta giả sử ∈ C xấp xỉ véc tơ x∗ ∈ X với x∗ = Cho < ε < k >1+ > ε Khi đó, theo Nhận xét 2.2.6 K(x∗ , k) nón lồi đóng với phần không rỗng Tiếp theo, áp dụng Bổ đề 2.2.7 cho z = 0, tồn x0 ∈ C với x0 ∈ K(x∗ , k) [K(x∗ , k) + x0 ] ∩ C = {x0 } 46 Theo định lý tách, tồn y ∗ ∈ X ∗ , y ∗ = 0, y ∗ = cho sup y ∗ , x ≤ y ∗ , x0 x∈C ≤ y∗, x inf ∗ x∈K(x ,k)+x0 = inf ∗ x ∈K(x ,k) y ∗ , x + y ∗ , x0 Suy với x ∈ K(x∗ , k), ta có y ∗ , x ≥ Sau cùng, từ Bổ đề 2.2.9 ta có x∗ − y ∗ ≤ ε Định lý chứng minh Hệ 2.2.11 Nếu J ánh xạ đối ngẫu có trọng số ϕ khơng gian Banach X , tập {x∗ | x∗ ∈ Jx, x ∈ X} trù mật X 2.3 Ánh xạ đối ngẫu không gian Lp Cho Lp (Ω, Σ, µ), p > 1, không gian Banach, với µ độ đo (Ω, Σ) với chuẩn 1/p f p p |f | dµ = Ω Với x = (xk )k∈N ∈ lp , ta ký hiệu 1/p ∞ x p |xk |p = k=1 Để đến với Định lý Clarkson tính lồi Lp (Ω, Σ, µ), ta cần vài bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 Với p ≥ a, b ∈ C , ta có |a + b|p + |a − b|p ≤ 2p−1 (|a|p + |b|p ) Chứng minh Với α, β > 0, ta có (αp + β p ) ≤ α2 + β 47 p/2 α Nếu đặt α + β = m , m > 0, m 2 α m p + β m p + β m + β m α ≤ m = Do = 1, tức αp + β p ≤ mp = (α2 + β )p/2 Từ đó, ta có đánh giá |a + b|p + |a − b|p ≤ (|a + b|2 + |a − b|2 )p/2 = 2p/2 (|a|2 + |b|2 )p/2 p dng bt ng thc H oălder vi p−2 + = 1, ta thu p p |a|2 + |b|2 ≤ (|a|p + |b|p )2/p (1 + 1) p−2 p = (|a|p + |b|p )2/p p−2 p Do |a + b|p + |a − b|p ≤ 2p−1 (|a|p + |b|p ), khẳng định bổ đề Hệ 2.3.2 Với f, g ∈ Lp (Ω, Σ, µ), p ≥ 2, ta có f +g p p + f −g Bổ đề 2.3.3 Với < p < 2, p p ≤ 2p−1 f p p + g p p (2.10) 1 + = ≤ a ≤ 1, ta có p q (1 + aq )p−1 ≤ ((1 + a)p + (1 − a)p ) (2.11) Bổ đề 2.3.4 Với a, b ∈ R < p < 2, ta có |a + b|q + |a − b|q ≤ (|a|p + |b|p )q−1 , 1 + = p q (2.12) Chứng minh Đặt a + b = 2α a − b = 2β Suy a = α + β , b = α − β Khi (2.12) tương đương với 2q (|α|q + |β|q ) ≤ (|α + β|p + |α − β|p )q−1 Khơng tính tổng qt, ta giả sử α ≥ β > Nếu đặt β m = , ≤ m ≤ (2.12) trở thành α 2q (1 + mq ) ≤ ((1 + m)p + (1 − m)p )q−1 48 Mà điều tương đương với (1 + mq )1/q−1 = (1 + mq )p−1 ≤ 2−1 ((1 + m)p + (1 − m)p ) , bất đẳng thức (2.11) Vậy bổ đề chứng minh xong Bổ đề 2.3.5 Giả sử k > f, g ∈ L1 (Ω, Σ, µ) Khi đó, ta có k 1/k k |f |dµ |g|dµ + Ω (|f |k + |g|k )1/k dµ ≤ Ω (2.13) Ω Hệ 2.3.6 Cho < p < f, g ∈ Lp (Ω, Σ, µ) Khi f +g q p + f −g q p ≤2 p p f + g p q−1 p 1 + = (2.14) p q Định lý 2.3.7 (Clarkson) ([5]) Khơng gian Lp (Ω, Σ, µ) lồi với < p < +∞ Chứng minh Lấy dãy {fn }, {gn } ⊂ Lp (Ω, Σ, µ) cho fn p = gn p = fn + gn p −→ Với p ≥ 2, theo (2.10) ta có f n + gn p q + f n − gn p q ≤ 2p Trong trường hợp < p < từ (2.14), ta suy fn + gn q p + fn − gn q p ≤ 2q Do đó, hai trường hợp ta có lim n−→∞ fn − gn p = Từ đó, với < p < +∞ Lp (Ω, Σ, µ) không gian lồi Định lý chứng minh Ta kết thúc Chương với số tính chất ánh xạ đối ngẫu không gian Lp 49 Mệnh đề sau suy từ kết luận tính phản xạ tính lồi khơng gian Lp (Ω, Σ, µ) (xem Mệnh đề 2.1.26 Mệnh đề 2.2.4) Mệnh đề 2.3.8 Mỗi ánh xạ đối ngẫu Lp (Ω, Σ, µ), < p < +∞ phép đồng phôi Lp (Ω, Σ, µ) lên Lq (Ω, Σ, µ) Định lý 2.3.9 Ánh xạ đối ngẫu Lp (Ω, Σ, µ) có trọng số ϕ(t) = tp−1 cho Jf = |f |p−1 signf, f ∈ Lp (Ω, Σ, µ) Chứng minh Áp dụng Định lý 1.4.3 Chương 1, với t tp−1 dt = Ψ(t) = p f, g ∈ Lp (Ω, Σ, µ), ta có d Ψ( f + tg )|t=0 dt 1d = ( f + tg p )|t=0 p dt 1d |f + tg|p dµ|t=0 = p dt Ω Jf, g = |f + tg|p−1 g.sign(f + tg)|t=0 dµ = Ω |f |p−1 signf.g dµ = |f |p−1 signf, g = Ω Từ đó, ta có Jf = |f |p−1 signf Định lý chứng minh Bằng cách sử dụng Mệnh đề 1.4.6 (6) ta thu hệ sau: Hệ 2.3.10 Các khẳng định sau (1) Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Lp (Ω, Σ, µ) có dạng Jf = |f |p−1 (2) signf p p−1 , f ∈ L (Ω, Σ, µ); f p Ánh xạ đối ngẫu lp , < p < +∞, tương ứng với trọng số ϕ(t) = tp−1 , có dạng Jx = (|xk |p−1 signxk )k∈N , x = (xk )k ∈ lp 50 KẾT LUẬN Luận văn “Ánh xạ đối ngẫu không gian Banach” trình bày số vấn đề sau: Hệ thống lại kiến thức giải tích lồi giải tích hàm hàm lồi, vi phân liên hợp hàm lồi Ngoài ra, luận văn trình bày khơng gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu không gian Banach ánh xạ đối ngẫu dương Trình bày đặc trưng số lớp khơng gian Banach, bao gồm không gian lồi chặt, lồi khơng gian Banach phản xạ thơng qua tính chất ánh xạ đối ngẫu Luận văn trình bày ánh xạ đối ngẫu không gian Lp , ta quan tâm đến Định lý Clarkson ứng dụng Định lý Asplund ánh xạ đối ngẫu có trọng số ϕ(t) = tp−1 51 Tài liệu tham khảo [1] Asplund E (1968), “Fréchet differentiability of convex functions”, Acta Math., 121, pp 31-47 [2] Asplund E., Rockafellar R T (1969), “Gradients of convex functions”, Trans Amer Math Soc., 139, pp 443-467 [3] Browder F (1964), “Nonlinear equations of evolution”, Ann of Math., 80, pp 485-523: Geometry of Banach spaces, duality mappings and nonlinear problems [4] Cioranescu I (1990), Geometry of Banach spaces, Duality Mappings and nonlinear problems, Kluwer Academic Publishers [5] Clarkson J A (1936), “Uniformly convex spaces”, Trans Amer Math Soc., 40, pp 396-414 [6] Dunford N., Schwartz J (1958), Linear operators, Part I, New York [7] Lindenstrauss J., Tzafriri L (1977, 1978), Classical Banach spaces I, II, Springer Verlag [8] Schaefer H H (1974), Banach lattices and positive operators, Springer Verlag 52 ... hiểu sâu ánh xạ đối ngẫu không gian Banach, hướng dẫn TS Hoàng Ngọc Tuấn, chọn đề tài Ánh xạ đối ngẫu khơng gian Banach để thực luận văn Mục đích luận văn tìm hiểu số tính chất ánh xạ đối ngẫu. .. gian Banach ánh xạ đối ngẫu dương Chương Đặc trưng số lớp không gian Banach ánh xạ đối ngẫu Chương này, luận văn trình bày đặc trưng số lớp không gian Banach, bao gồm khơng gian lồi chặt, lồi không. .. Ánh xạ đối ngẫu vi phân Trong chương này, luận văn phần đầu trình bày kiến thức cần thiết giải tích lồi giải tích hàm Sau đó, luận văn trình bày khơng gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu không gian