Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯƠNG MINH TUYÊN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN CÁC ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Bường GS TS Jong Kyu Kim THÁI NGUYÊN-NĂM 2013 ii LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường GS TS Jong Kyu Kim Các kết trình bày luận án chưa cơng bố cơng trình người khác Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Tác giả Trương Minh Tuyên iii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường GS TS Jong Kyu Kim Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Trong q trình học tập nghiên cứu, thơng qua giảng seminar tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu GS TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS TS Phạm Ngọc Anh, PGS TS Phạm Hiến Bằng, PGS TS Phạm Việt Đức, TS Đào Thị Liên, GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, TS Hà Trần Phương, TS Vũ Vinh Quang, PGS TS Nguyễn Năng Tâm, GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, GS TSKH Đỗ Đức Thái, GS TS Trần Vũ Thiệu, TS Nguyễn Thị Thu Thủy, TS Vũ Mạnh Xuân Từ đáy lịng tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa sau đại học Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Thầy Khoa Tốn-Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán Giải tích, bạn bè đồng nghiệp ln quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả suốt trình học tập, seminar, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin kính tặng người thân yêu gia đình niềm vinh hạnh to lớn Tác giả Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Một số ký hiệu viết tắt vi Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu ánh xạ khơng giãn 1.2 Bài toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 17 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 18 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 18 1.3 Phương pháp điểm gần kề quán tính 22 1.4 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 25 1.5 Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn 26 1.5.1 Phát biểu toán 26 1.5.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn 28 1.6 Một số bổ đề bổ trợ 37 Chương Phương pháp điểm gần kề 2.1 Phương pháp điểm gần kề cho toán tìm điểm bất động 40 chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn 40 v 2.2 Tính ổn định phương pháp 50 2.3 Phương pháp điểm gần kề tốn xác định khơng điểm toán tử m-j-đơn điệu 54 2.4 Ứng dụng 62 2.4.1 Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt 62 2.4.2 Bài toán chấp nhận lồi 65 Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm 75 gần kề quán tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn 75 3.2 Tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh 82 3.3 Ứng dụng 88 3.3.1 Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt 88 3.3.2 Bài toán chấp nhận lồi 89 Kết luận chung 95 Kiến nghị hướng nghiên cứu 96 Danh mục công trình cơng bố liên quan đến luận án 97 Tài liệu tham khảo 98 Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E θ phần tử không không gian Banach E dim(E) số chiều không gian Banach E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I tốn tử đồng Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω lp khơng gian dãy số khả tổng bậc p d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M H(C1 , C2 ) khoảng cách Hausdorff hai tập hợp C1 C2 lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn n→∞ giới hạn dãy số {xn } vii αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M d(a, M ) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M Wpm (Ω) không gian Sobolev o(t) vô bé bậc cao t n[a,b] số điểm chia cách đoạn [a, b] nmax số bước lặp tg thời gian tính tốn err sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác int(C) phần tập hợp C Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng toán chấp nhận lồi: "Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ hữu hạn hay vô hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I khơng gian Hilbert H hay khơng gian Banach E" Bài tốn có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y học (xem [27], [28], [29], [43], [58], [59], [71], [72], [81] ) Khi Ci = F ix(Ti ), với F ix(Ti ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, , N , có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii [56], Mann [62], Ishikawa [45] Halpern [42], phương pháp xấp xỉ mềm [65] Chẳng hạn, tương tự phương pháp chiếu xoay vịng để giải tốn chấp nhận lồi không gian Hilbert, năm 1996 Bauschke H H [16] đề xuất phương pháp lặp xoay vòng dựa phương pháp lặp Halpern cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Các kết nghiên cứu theo hướng tra khảo tài liệu [16], [30], [46], [69], [70] trình bày cụ thể Chương luận án Ta biết rằng, T ánh xạ không giãn không gian Banach E, tốn tử A = I − T toán tử j-đơn điệu, với I toán tử đồng E Như vậy, tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn Ti khơng gian Banach E đưa tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu Ai = I − Ti với i = 1, 2, , N Khi A : H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert H (trong không gian Hilbert khái niệm j-đơn điệu đơn điệu trùng nhau), Rockafellar R T [77] đề xuất phương pháp điểm gần kề để xác định dãy {xn } sau: cn Axn+1 + xn+1 xn , x0 ∈ H, (0.1) cn > c0 > Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp lặp (0.1) thu hội tụ yếu dãy {xn } không điểm A Năm 2001, Attouch H Alvarez F [14] xét mở rộng phương pháp điểm gần kề (0.1) dạng cn A(xn+1 ) + xn+1 − xn γn (xn − xn−1 ), x0 , x1 ∈ H (0.2) gọi phương pháp điểm gần kề quán tính, {cn } {γn } hai dãy số khơng âm Đối với thuật tốn mở rộng người ta thu hội tụ yếu dãy lặp {xn } không điểm toán tử đơn điệu cực đại A không gian Hilbert Khi A : E −→ E tốn tử m−j−đơn điệu từ khơng gian Banach E vào nó, năm 2002 Ryazantseva I P [78] kết hợp phương pháp điểm gần kề với hiệu chỉnh gọi phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh dạng cn (A(xn+1 ) + αn xn+1 ) + xn+1 = xn , x0 ∈ E (0.3) Ryazantseva I P sự hội tụ mạnh dãy lặp {xn } xác định (0.3) không điểm A không gian Banach E dãy số dương {cn } {αn } thỏa mãn điều kiện thích hợp Năm 2006 tác giả Xu H K [88] năm 2009 tác giả Song Y., Yang C [80] đề xuất nghiên cứu cải biên phương pháp điểm gần kề cho tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại A không gian Hilbert, ông hội tụ mạnh dãy lặp {xn } xác định xn+1 = JrAn (tn u + (1 − tn )xn + en ), n = 0, 1, 2, (0.4) với số điều kiện thích hợp đặt lên dãy số {tn } dãy sai số tính tốn bước lặp {en }, JrAn = (I + rn A)−1 Đối với tốn tìm nghiệm chung họ hữu hạn phương trình tốn tử với tốn tử đơn điệu cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng [22] đề xuất nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn trị đơn điệu, năng, h−liên tục từ không gian Banach E vào khơng gian đối ngẫu E ∗ Ơng quy tốn giải hệ phương trình với toán tử đơn điệu cực đại việc giải phương trình tốn tử thu hội tụ mạnh thuật toán nghiệm hệ tham số hiệu chỉnh chọn thích hợp Năm 2008, sở kết nghiên cứu đạt vào năm 2006, tác giả Buong Ng [23] lần nghiên cứu kết hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh gọi phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, cho việc giải tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại Ai = ∂fi , với ∂fi vi phân phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục yếu fi , i = 1, 2, , N khơng gian Hilbert H Ơng hội tụ mạnh dãy lặp {zn } xác định cn N X
αnj Anj (zn+1 ) + αnN +1 zn+1 + zn+1 − zn γn (zn − zn−1 ), j=0 z0 , z1 ∈ H, {cn }, {αn } {γn } dãy số thực khơng âm Anj tốn tử đơn điệu cực đại xấp xỉ toán tử vi phân ∂ϕj phiếm hàm ϕj theo nghĩa H(Anj (x), ∂ϕj (x)) ≤ hn g(kxk), với g hàm khơng âm, giới nội Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ khơng giãn, với tốn liên quan tốn tìm nghiệm hệ phương trình với tốn tử loại đơn điệu, tốn bất đẳng thức biến phân, toán cân nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn như: Năm 2004 tác giả Anh P N Muu L D [5] kết hợp nguyên lý ánh xạ co với phương pháp điểm gần kề cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu; năm 2009 tác giả Anh P K Chung C V [3] nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp song song dạng ẩn cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử xác định dương từ khơng gian Hilbert H vào nó; tác giả Thuy N T T [84] xây dựng phương pháp lặp cho tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm r n + tn+1 − tn + − K, rn+1 (2.52) K = max{kuk, supn kxn k} < +∞ Áp dụng Bổ đề 1.3, ta kxn+1 − xn k −→ 0, n −→ ∞ Suy ra, ktn (u − xn ) + (xn − xn+1 )k rn ≤ (2Ktn + kxn+1 − xn k) −→ 0, n −→ ∞ r kyn+1 k = (2.53) Vì tốn tử A demi-đóng, nên x ∈ S Phần lại chứng minh thực chứng minh Định lí 2.9 Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định phương pháp (2.42) dạng rn An (zn+1 ) + zn+1 tn u + (1 − tn )zn , u, z0 ∈ E, n ≥ 0, (2.54) An : D(An ) ⊆ E −→ 2E toán tử m-j-đơn điệu với D(An ) = D(A) cho H(An (x), A(x)) ≤ g(kxk)hn , (2.55) g hàm thực bị chặn (ảnh tập bị chặn qua g tập bị chặn) với t ≥ với g(0) = {hn } dãy số dương Ta có kết sau: 60 Định lí 2.11 Cho E khơng gian Banach trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho A : D(A) ⊆ E −→ 2E An : D(An ) ⊆ E −→ 2E toán tử m-j-đơn điệu với S = A−1 (θ) 6= ∅ D(A) = D(An ) với n Nếu điều kiện (2.55) thỏa mãn dãy số {rn } ⊂ (0, +∞), {tn } ⊂ (0, 1) chọn cho P i) limn→∞ tn = 0; ∞ n=0 tn = +∞; ii) limn→∞ rn = +∞; P iii) ∞ n=1 rn hn < +∞, dãy {zn } xác định (2.54) hội tụ mạnh QS u, QS co rút không giãn theo tia từ E lên S Chứng minh Với n, An tốn tử m-j-đơn điệu, nên phương trình (2.54) có nghiệm, tức tồn zn+1 cho rn An (zn+1 ) + zn+1 tn u + (1 − tn )zn (2.56) Do đó, tồn wn+1 ∈ An (zn+1 ) để rn wn+1 + zn+1 = tn u + (1 − tn )zn (2.57) Từ điều kiện (2.55), với yn+1 ∈ A(xn+1 ), tồn bn+1 ∈ An (xn+1 ) cho kyn+1 − bn+1 k ≤ g(kxn+1 k)hn ≤ g(K)hn (2.58) Từ phương trình (2.44) (2.57), ta có hrn (wn+1 − bn+1 ),j(zn+1 − xn+1 )i + hrn (bn+1 − yn+1 ), j(zn+1 − xn+1 )i + kzn+1 − xn+1 k2 = (1 − tn )hzn − xn , j(zn+1 − xn+1 )i Do An toán tử m-j-đơn điệu (2.58), nên ta nhận kzn+1 − xn+1 k ≤ (1 − tn )kzn − xn k + g(K)rn hn (2.59) Từ giả thiết Bổ đề 1.3, ta thu kzn − xn k −→ 0, n −→ ∞ Theo Định lí 2.9 từ đánh giá kzn − QS uk ≤ kzn − xn k + kxn − QS uk −→ 0, n −→ ∞, suy dãy zn hội tụ mạnh QS u Chứng minh hoàn tồn tương tự trên, ta có định lí sau: (2.60) 61 Định lí 2.12 Cho E khơng gian Banach trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho A : D(A) ⊆ E −→ 2E An : D(An ) ⊆ E −→ 2E toán tử m-j-đơn điệu với S = A−1 (θ) 6= ∅ D(A) = D(An ) với n Nếu điều kiện (2.55) thỏa mãn dãy số {rn } ⊂ (0, +∞), {tn } ⊂ (0, 1) chọn cho P P∞ i) limn→∞ tn = 0; ∞ t = +∞, n n=0 n=0 |tn+1 − tn | < +∞; P∞ − rn < +∞; ii) inf rn = r > 0, n=0 n rn+1 P∞ iii) n=1 rn hn < +∞, dãy {zn } xác định (2.54) hội tụ mạnh QS u, QS co rút không giãn theo tia từ E lên S Hệ 2.1 Cho H không gian Hilbert Cho A : D(A) ⊆ H −→ 2H An : D(An ) ⊆ H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại với S = A−1 (θ) 6= ∅ D(A) = D(An ) với n Nếu điều kiện (2.55) thỏa mãn dãy số {rn } ⊂ (0, +∞), {tn } ⊂ (0, 1) chọn cho P i) limn→∞ tn = 0; ∞ n=0 tn = +∞; ii) limn→∞ rn = +∞; P iii) ∞ n=1 rn hn < +∞, dãy {zn } xác định (2.54) hội tụ mạnh PS u, PS phép chiếu mêtric từ H lên S Hệ 2.2 Cho H không gian Hilbert Cho A : D(A) ⊆ H −→ 2H An : D(An ) ⊆ H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại với S = A−1 (θ) 6= ∅ D(A) = D(An ) với n Nếu điều kiện (2.55) thỏa mãn dãy số {rn } ⊂ (0, +∞), {tn } ⊂ (0, 1) chọn cho P P∞ i) limn→∞ tn = 0; ∞ t = +∞, n n=0 n=0 |tn+1 − tn | < +∞; P∞