ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ QUANG THÌN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN DÃY ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUY[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ QUANG THÌN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN DÃY ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ QUANG THÌN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN DÃY ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2019 ii Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn hết lịng, giúp tác giả q trình học tập, nghiên cứu để hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, thầy, giáo khoa Toán–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả trình thực luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo đồng nghiệp Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu iii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu không gian Hilbert 1.2.1 Ánh xạ không giãn 1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 1.2.3 Toán tử đơn điệu 1.3 Phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 1.3.1 Phương pháp lai chiếu 1.3.2 Phương pháp chiếu co hẹp 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15 15 16 17 Chương Phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 2.1 Dãy ánh xạ gần không giãn 2.2 Phương pháp lai chiếu 2.3 Phương pháp chiếu co hẹp 2.4 Một số ứng dụng 2.4.1 Tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 2.4.2 Tìm điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 2.4.3 Tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu 2.4.4 Hệ toán cân hỗn hợp tổng quát 2.4.5 Hệ bất đẳng thức biến phân 2.5 Một số ví dụ minh họa 19 19 20 25 29 29 32 32 33 38 39 Kết luận 3 8 10 12 42 iv Một số ký hiệu viết tắt H khơng gian Hilbert h., i tích vơ hướng H k.k chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm G(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x diam(C) đường kính tập C conv(C) bao lồi tập C arg max f (x) tập điểm cực đại phiếm hàm f (x) xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T x∈C Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng tốn chấp nhận lồi: “Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ hữu hạn hay vô hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I khơng gian Hilbert H hay không gian Banach E”, với I tập số Bài tốn có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, Vật lý, Y học Khi Ci = F (Ti ), với F (Ti ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, , N , có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt Gần đây, số tác giả nghiên cứu tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn thông tin đầu vào biết dạng gần (các thông tin đầu vào cho nhiễu) Trong đó, tốn tìm điểm bất động (chung) dãy ánh xạ gần không giãn chủ đề lý thú thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm toán nước Năm 2018, tác giả Tuyen T.M Ha N.S đưa số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [12] cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert Hơn nữa, họ đưa số ứng dụng phương pháp lặp cho việc giải toán liên quan khác, toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn, tốn cân hỗn hợp tổng qt, tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu Mục đích luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết tác giả Tuyen T.M Ha N.S tài liệu [12] Ngoài ra, luận văn đề cập đến hai ví dụ số đơn giản lập trình thử nghiệm phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp lặp Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn tập trung trình bày làm rõ số đặc trưng không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu Các phương pháp chiếu lai ghép chiếu co hẹp cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Chương Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung họ ánh xạ khơng giãn Nội dung chương trình bày lại kết tác giả Tuyen T.M Ha N.S bao gồm phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [12] cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert với ứng dụng chúng 3 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm bốn mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu Mục 1.3 trình bày phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Mục 1.4 giới thiệu số bổ đề bổ trợ cần sử dụng việc trình bày nội dung Chương Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1, 2, 5, 8] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu h., i chuẩn kí hiệu k.k Trước hết, ta nhắc lại đặc trưng hình học quan trọng không gian Hilbert Mệnh đề 1.1 Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 Vậy ta điều phải chứng minh 4 Mệnh đề 1.2 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1) Chứng minh Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 − 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện |hx, yi| = kxk.kyk, tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại x 6= λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất tích vơ hướng, ta có < kx − λyk2 = λ2 kyk2 − 2λhx, yi + kxk2 , với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc tuyến hx, yi , bất đẳng thức trở thành tính Giả sử y 6= 0, với λ = kyk2 |hx, yi| < kxk.kyk, điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian P∞ 2 l2 = {{xn } ⊂ R : n=1 |xn | < ∞} {en } ⊂ l , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en * 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 < kyk2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ hen , yi = 0, tức en * Tuy nhiên, {en } không hội tụ 0, ken k = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn * x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk (1.2) n→∞ n→∞ Chứng minh Vì xn * x, nên {xn } bị chặn Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi > kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 n→∞ Do đó, ta nhận lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn * x kxn k → kxk, xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ QUANG THÌN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN DÃY ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên... 16 17 Chương Phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 2.1 Dãy ánh xạ gần không giãn 2.2 Phương pháp lai chiếu... gồm phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [12] cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert Hơn nữa, họ