Một số phương pháp lặp song song cho một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ QUANG THÌN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN DÃY ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ QUANG THÌN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN DÃY ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2019 ii Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn hết lịng, giúp tác giả q trình học tập, nghiên cứu để hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, thầy, giáo khoa Toán–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả trình thực luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo đồng nghiệp Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu iii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu không gian Hilbert 1.2.1 Ánh xạ không giãn 1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 1.2.3 Toán tử đơn điệu 1.3 Phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 1.3.1 Phương pháp lai chiếu 1.3.2 Phương pháp chiếu co hẹp 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15 15 16 17 Chương Phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 2.1 Dãy ánh xạ gần không giãn 2.2 Phương pháp lai chiếu 2.3 Phương pháp chiếu co hẹp 2.4 Một số ứng dụng 2.4.1 Tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn 2.4.2 Tìm điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 2.4.3 Tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu 2.4.4 Hệ toán cân hỗn hợp tổng quát 2.4.5 Hệ bất đẳng thức biến phân 2.5 Một số ví dụ minh họa 19 19 20 25 29 29 32 32 33 38 39 Kết luận 3 8 10 12 42 iv Một số ký hiệu viết tắt H khơng gian Hilbert , tích vơ hướng H chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm G(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x diam(C) đường kính tập C conv(C) bao lồi tập C arg max f (x) tập điểm cực đại phiếm hàm f (x) xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x∈C F (T ) x0 tập điểm bất động ánh xạ T Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng tốn chấp nhận lồi: “Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ hữu hạn hay vô hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I khơng gian Hilbert H hay không gian Banach E”, với I tập số Bài tốn có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, Vật lý, Y học Khi Ci = F (Ti ), với F (Ti ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, , N , có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt Gần đây, số tác giả nghiên cứu tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn thông tin đầu vào biết dạng gần (các thông tin đầu vào cho nhiễu) Trong đó, tốn tìm điểm bất động (chung) dãy ánh xạ gần không giãn chủ đề lý thú thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm toán nước Năm 2018, tác giả Tuyen T.M Ha N.S đưa số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [12] cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert Hơn nữa, họ đưa số ứng dụng phương pháp lặp cho việc giải toán liên quan khác, toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn, tốn cân hỗn hợp tổng qt, tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu Mục đích luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết tác giả Tuyen T.M Ha N.S tài liệu [12] Ngoài ra, luận văn đề cập đến hai ví dụ số đơn giản lập trình thử nghiệm phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp lặp Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn tập trung trình bày làm rõ số đặc trưng không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu Các phương pháp chiếu lai ghép chiếu co hẹp cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Chương Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung họ ánh xạ khơng giãn Nội dung chương trình bày lại kết tác giả Tuyen T.M Ha N.S bao gồm phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [12] cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert với ứng dụng chúng Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm bốn mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu Mục 1.3 trình bày phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Mục 1.4 giới thiệu số bổ đề bổ trợ cần sử dụng việc trình bày nội dung Chương Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1, 2, 5, 8] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu , chuẩn kí hiệu Trước hết, ta nhắc lại đặc trưng hình học quan trọng khơng gian Hilbert Mệnh đề 1.1 Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau x−y + x−z = y−z + x − y, x − z , với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có y−z + x − y, x − z = y, y + z, z + x, x − x, z − x, y = [ x, x − x, y + y, y ] + [ x, x − x, z + z, z ] = x−y Vậy ta điều phải chứng minh + x − z Mệnh đề 1.2 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ)y 2 =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y (1.1) Chứng minh Ta có λx + (1 − λ)y = λ2 x − 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y 2 =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ)( x − x, y + y ) =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện | x, y | = x y , tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại x = λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất tích vơ hướng, ta có < x − λy = λ2 y − 2λ x, y + x , với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc tuyến x, y , bất đẳng thức trở thành tính Giả sử y = 0, với λ = y | x, y | < x y , điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim xn , y = x, y , n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian ∞ 2 l = {{xn } ⊂ R : n=1 |xn | < ∞} {en } ⊂ l , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en đẳng thức Bessel, ta có 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất ∞ | en , y |2 < y < ∞ n=1 Suy limn→∞ en , y = 0, tức en Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, en = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y = x, ta có lim inf xn − x < lim inf xn − y (1.2) n→∞ x, nên {xn } bị chặn Chứng minh Vì xn Ta có xn − y n→∞ = xn − x + x−y > xn − x + xn − x, x − y + xn − x, x − y Vì x = y, nên lim inf xn − y n→∞ > lim inf xn − x n→∞ + xn − x, x − y = lim inf xn − x n→∞ Do đó, ta nhận lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5 Mọi khơng gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn x xn → x , xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có xn − x = xn − xn , x + x → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh 30 vào H xác định Ti x = lim Ti,n x với x ∈ C Giả sử lim DB (Ti,n , Ti ) = n→∞ N với B ∈ B(C) n→∞ N F (Ti ) Với x0 ∈ C, cho {xn } dãy F (Ti ) = i=1 i=1 C xác định   yni = αn xn + (1 − αn )Ti,n xn , i = 1, 2, , N,       Cni = {z ∈ C : yni − z ≤ xn − z },    N  Cn = Cni ,   i=1      Qn = {z ∈ C : xn − z, x0 − xn ≥ 0},    x =P x , n ≥ 0, (2.13) Cn ∩Qn n+1   yni = αn xn + (1 − αn )Ti,n xn , i = 1, 2, , N      Chọn in ∈ argmax { yni − xn },    i=1,2, ,N    y n = ynin ,   Cn = {z ∈ C : y n − z ≤ xn − z },       Qn = {z ∈ C : xn − z, x0 − xn ≥ 0},     xn+1 = PCn ∩Qn x0 , n ≥ 0, (2.14) ≤ αn ≤ α < Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh PS x0 Từ Định lý 2.3 Định lý 2.4, ta có kết đây: Định lý 2.6 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho Ti = {Ti,n }, i = 1, 2, , N dãy ánh xạ không giãn từ N F (Ti ) = ∅ cho Ti , i = 1, 2, , N ánh xạ từ C C vào H cho S = i=1 vào H xác định Ti x = lim Ti,n x với x ∈ C Giả sử lim DB (Ti,n , Ti ) = n→∞ N với B ∈ B(C) n→∞ N F (Ti ) Với x0 ∈ C, cho {xn } dãy F (Ti ) = i=1 i=1 31 C xác định   C0 = C,     i   yn = αn xn + (1 − αn )Ti,n xn , i = 1, 2, , N,    i Cn = {z ∈ Cn : yni − z ≤ xn − z }, N     Cni , Cn+1 =     i=1   x x , n ≥ 0, =P n+1 (2.15) Cn+1   C0 = C,      yni = αn xn + (1 − αn )Ti,n xn , i = 1, 2, , N,      Chọn in ∈ argmax { yni − xn }, i=1,2, ,N   y n = ynin ,       Cn+1 = {z ∈ Cn : y n − z     xn+1 = PCn+1 x0 , n ≥ 0, (2.16) ≤ xn − z }, ≤ αn ≤ α < Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh PS x0 Ta có hệ cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Hệ 2.1 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho Ti , i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn từ C vào H N F (Ti ) = ∅ Với x0 ∈ C, cho {xn } dãy C xác định cho S = i=1 (2.13)-(2.14) (2.15)-(2.16), với ≤ αn ≤ α < Ti,n = Ti với n ≥ i = 1, 2, , N Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh PS x0 Chứng minh Áp dụng Định lý 2.5 Định lý 2.6 cho Ti,n = Ti với i = 1, 2, , N n ≥ 1, ta nhận điều phải chứng minh Chú ý 2.3 Trong Hệ 2.1, N = ta nhận Định lý 3.4 [5] (xem Định lý 1.3) Định lý 4.1 [10] Do đó, Hệ 2.1 tổng quát kết Nakajo cộng tài liệu [5] Takahashi cộng tài liệu [10] 32 2.4.2 Tìm điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Từ Định lý 2.5, Định lý 2.6 Mệnh đề 1.11, ta thu định lý đây: Định lý 2.7 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho Ti = {Ti (s) : ≤ s < ∞}, i = 1, 2, , N nửa nhóm N F (Ti ) = ∅ Cho {tn } dãy số thực ánh xạ không giãn C với S = i=1 với < tn < ∞ cho lim tn = ∞ Với x0 ∈ C, cho {xn } dãy n→∞ tn C xác định (2.13)-(2.14) (2.15)-(2.16) với Ti,n x = Ti (s)xds, với tn i = 1, 2, , N x ∈ C Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh PS x0 Chú ý 2.4 Trong Định lý 2.7, N = ta thu Định lý 4.1 [5] Định lý 4.4 [10] Do đó, Định lý 2.7 tổng quát kết Nakajo cộng [5] Takahashi cộng [10] 2.4.3 Tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho Ai : D(Ai ) ⊂ C −→ 2H , i = 1, 2, , N toán tử đơn điệu cho N A−1 i (0) = ∅ D(Ai ) ⊂ C ⊂ S= R(I + rAi ) với i = 1, 2, , N r>0 i=1 Ta cần bổ đề Bổ đề 2.1 ( [9]) Cho A : D(A) −→ 2H toán tử đơn điệu Với λ, µ > x ∈ R(I + λA) ∩ R(I + µA), khẳng định sau JλA x − JµA x ≤ |λ − µ| x − JλA x λ Tiếp theo, luận văn đề cập đến ứng dụng kết thu cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử đơn điệu Ai mà khơng cần điều kiện diam(C) < ∞ Định lý 2.8 Cho {ri,n }, i = 1, 2, , N dãy số thực cho {inf {ri,n }} = r > Với x0 ∈ C, cho {xn } dãy C xác i=1,2, ,N n định (2.13)-(2.14) (2.15)-(2.16), với ≤ αn ≤ α < Ti,n = JrAi,ni Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh PS x0 33 Chứng minh Giả sử dãy {xn } xác định (2.13)-(2.14) Vì, {inf {ri,n }} = r > 0, nên tồn dãy tăng số tự nhiên {nk } i=1,2, ,N n cho lim ri,nk = ri ≥ r, với i = 1, 2, , N k→∞ Bây giờ, (2.13) (2.14), thay n nk , ta nhận dãy {xnk }, N tương ứng Với i = 1, 2, , N , đặt Ti = JrAi i Khi đó, S = F (Ti ) Với i=1 B ∈ B(C) x ∈ B, ta có Ti,nk x − Ti x = JrAi,ni x − JrAi i x k |ri,nk − ri | x − JrAi i x → 0, k → ∞ ≤ ri Suy Ti,nk x − Ti x → với x ∈ C Do đó, từ Định lý 2.5, dãy {xnk } hội tụ mạnh PS x0 Giả sử tồn dãy {xnl } khác dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử p ∈ C Bằng lập luận tương tự trên, tồn dãy {xnlj } {xnl } hội tụ mạnh PS x0 Do đó, p = PS x0 Vậy dãy {xn } hội tụ mạnh PS x0 Định lý chứng minh 2.4.4 Hệ toán cân hỗn hợp tổng quát Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho Θ : C × C −→ R song hàm, Ψ : H −→ H toán tử ϕ : C −→ R hàm số Bài toán cân hỗn hợp tổng quát phát biểu sau: Tìm phần tử x ∈ C cho Θ(x, y) + Ψx, y − x + ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀y ∈ C (2.17) Tập nghiệm toán (2.17) ký hiệu GM EP (Θ, ϕ, Ψ), tức GM EP (Θ, ϕ, Ψ) = {x ∈ C : Θ(x, y) + Ψx, y − x + ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀y ∈ C} Để giải toán cân hỗn hợp tổng quát, người ta đặt số giả thiết lên song hàm Θ : C × C −→ R sau: C1) Θ(x, x) = với x ∈ C; C2) Θ đơn điệu, tức là, Θ(x, y) + Θ(y, x) ≤ với x, y ∈ C; C3) với y ∈ C, x −→ Θ(x, y) nửa liên tục yếu; 34 C4) với x ∈ C, Θ(x, ) hàm lồi nửa liên tục Cho ϕ hàm lồi nửa liên tục từ C vào R Ψ : C −→ H toán tử α-ngược đơn điệu mạnh Cho Θ : C × C −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện C1)-C4) Toán tử giải hỗn hợp Θ ký hiệu ResrΘ,ϕ,Ψ : H −→ 2C xác định ResrΘ,ϕ,Ψ (x) ={z ∈ C : Θ(z, y) + ϕ(y) + Ψx, y − z + z − x, y − z ≥ ϕ(z) ∀y ∈ C}, r r ∈ (0, 2α) Với B ⊆ H, ta ký hiệu conv(B) bao lồi tập hợp B Một ánh xạ đa trị G : B −→ 2H gọi ánh xạ KKM, với tập hữu hạn {x1 , x2 , , xm } ⊂ B, ta có m conv({x1 , x2 , , xm }) ⊆ G(xi ) i=1 Ta cần bổ đề Bổ đề 2.2 ( [11]) Cho B tập không gian véctơ Tôpô Hausdorff Xvà cho G : B −→ 2X ánh xạ KKM Nếu G(x) tập đóng với x ∈ B tập compact phần tử x ∈ B đó, G(x) = ∅ x∈B Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Nếu song hàm Θ : C × C −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4) với x ∈ H, tồn tập bị chặn Dx ⊂ C yx ∈ C cho với z ∈ C \ Dx , Θ(z, yx ) + ϕ(yx ) − ϕ(z) + z − x, yx − z + Ψ(x), yx − z < 0, r i) dom(ResrΘ,ϕ,Ψ ) = H; ii) ResrΘ,ϕ,Ψ đơn trị; iii) ResrΘ,ϕ,Ψ ánh xạ không giãn, tức với x, y ∈ H, ResrΘ,ϕ,Ψ (x) − ResrΘ,ϕ,Ψ (y) ≤ x − y ; (2.18) 35 iv) tập điểm bất động ResrΘ,ϕ,Ψ tập nghiệm toán cân hỗn hợp tổng quát tương ứng, tức là, F (ResrΘ,ϕ,Ψ ) = GM EP (Θ, ϕ, Ψ); v) GM EP (Θ, ϕ, Ψ) tập lồi, đóng C Chứng minh i) Lấy x0 ∈ H phần tử bất kỳ, ta phải ResrΘ,ϕ,Ψ (x0 ) = ∅ Với y ∈ C, ta định nghĩa tập G(y) = {z ∈ C : Θ(z, y) + ϕ(y) − ϕ(z) + z − x0 , y − z + Ψ(x0 ), y − z ≥ 0} r Rõ ràng y ∈ G(y) Suy G(y) = ∅ với y ∈ C Bây giờ, ta G ánh xạ KKM Thật vậy, giả sử tồn y1 , y2 , , ym ∈ C m λi ≥ với m λi yi ∈ / G(yi ) với λi = với i = 1, 2, , m cho z = i=1 i=1 i = 1, 2, , m, tức là, Θ(z, yi ) + ϕ(yi ) − ϕ(z) + z − x0 , yi − z + ψ(x0 ), yi − z < 0, r với i = 1, 2, , m Từ điều kiện C1), C4) tính lồi hàm ϕ, ta có z − x0 , z − z + Ψ(x0 ), z − z r λi [Θ(z, yi ) + ϕ(yi ) − ϕ(z) + z − x0 , yi − z + Ψ(x0 ), yi − z ] < 0, r = Θ(z, z) + ϕ(z) − ϕ(z) + m ≤ i=1 điều vô lý Do đó, G ánh xạ KKM Tiếp theo, ta G(y) tập đóng yếu H với y ∈ C thật vậy, giả sử{zn } ⊂ G(y) dãy hội tụ yếu phần tử z ∈ H Khi đó, Θ(zn , y) + ϕ(y) − ϕ(zn ) + zn − x0 , y − zn + Ψ(x0 ), y − zn ≥ r với n ≥ Từ Bổ đề 1.1, ta có lim sup zn − x0 , y − zn = lim sup( zn − x0 , y − x0 , zn − zn ) n→∞ n→∞ = z − x0 , y − x0 , z − lim inf zn n→∞ ≤ z − x0 , y − x0 , z − z 36 = z − x0 , y − z Do đó, từ điều kiện C3) tính nửa liên tục ϕ, ta có zn − x0 , y − zn + Ψ(x0 ), y − zn ] r n→∞ ≤ lim sup Θ(zn , y) + ϕ(y) − lim inf ϕ(zn ) ≤ lim sup[Θ(zn , y) + ϕ(y) − ϕ(zn ) + n→∞ n→∞ lim sup zn − x0 , y − zn + lim Ψ(x0 ), y − zn n→∞ r n→∞ ≤ Θ(z, y) + ϕ(y) − ϕ(z) + z − x0 , y − z + Ψ(x0 ), y − z r + Suy z ∈ G(y) Vì vậy, G(y) tập đóng yếu Từ điều kiện (2.18), suy tồn tập bị chặn Dx0 ⊂ C yx0 ∈ C cho với z ∈ C \ Dx0 , ta có Θ(z, yx0 ) + ϕ(yx0 ) − ϕ(z) + z − x0 , yx0 − z + Ψ(x0 ), yx0 − z < 0, r G(yx0 ) ={z ∈ C : Θ(z, yx0 ) + ϕ(yx0 ) − ϕ(z) + z − x0 , yx0 − z r + Ψ(x0 ), yx0 − z ≥ 0} ⊂ Dx0 Do vậy, G(yx0 ) bị chặn G(yx0 ) compact yếu Từ Bổ đề 2.2, suy ResrΘ,ϕ,ψ (x0 ) = G(y) = ∅ y∈C ii) Ta ResrΘ,ϕ,Ψ ánh xạ đơn trị Thật vậy, với x ∈ H đặt z1 , z2 ∈ ResrΘ,ϕ,Ψ Khi đó, ta có Θ(z1 , z2 ) + ϕ(z2 ) + Ψx, z2 − z1 + z1 − x, z2 − z1 ≥ ϕ(z1 ), r Θ(z2 , z1 ) + ϕ(z1 ) + Ψx, z1 − z2 + z2 − x, z1 − z2 ≥ ϕ(z2 ) r Cộng hai bất đẳng thức trên, ta thu Θ(z1 , z2 ) + Θ(z2 , z1 ) + z2 − z1 , z1 − z2 ≥ r Từ điều kiện C2), ta nhận z2 − z1 , z1 − z2 ≥ Suy z1 = z2 iii) Ta ResrΘ,ϕ,Ψ ánh xạ không giãn Đặt Tr : H −→ 2C ánh xạ xác định T r (x) = {z ∈ C : Θ(z, y) + ϕ(y) + z − x, y − z ≥ ϕ(z) ∀y ∈ C} r 37 Dễ thấy T r ánh xạ đơn trị Ta T r ánh xạ không giãn ổn định Thật vậy, với x, y ∈ H, đặt u = T r (x) v = T r (y), ta có Θ(u, v) + ϕ(v) + u − v, v − y ≥ ϕ(u), r v − u, u − x ≥ ϕ(v) r Cộng hai bất đẳng thức trên, ta Θ(v, u) + ϕ(u) + Θ(u, v) + Θ(v, u) + v − u, u − v − x + y ≥ r Từ điều kiện C2), ta nhận v − u, u − v − x + y ≥ Bất đẳng thức tương đương với u − v ≤ u − v, x − y Do đó, T r (x) − T r (y) ≤ T r (x) − T r (y), x − y Bây ta ResrΘ,ϕ,Ψ ánh xạ không giãn Thật vậy, từ định nghĩa ResrΘ,ϕ,Ψ T r , ta có ResrΘ,ϕ,Ψ (x) = T r (x − rΨ(x)) ResrΘ,ϕ,Ψ (y) = T r (y − rΨ(y)), với x, y ∈ H Từ tính α-ngược đơn điệu mạnh Ψ T r ánh xạ không giãn ổn định, ta có ResrΘ,ϕ,Ψ (x) − ResrΘ,ϕ,Ψ (y) = T r (x − rΨ(x)) − T r (y − rΨ(y)) ≤ (x − y) − r(Ψ(x) − Ψ(y)) 2 = x−y − 2r x − y, Ψ(x) − Ψ(y) + r2 Ψ(x) − Ψ(y) ≤ x−y − r(2α − r) Ψ(x) − Ψ(y) 2 ≤ x − y Do đó, ResrΘ,ϕ,Ψ ánh xạ khơng giãn iv) Giả sử w ∈ F (ResrΘ,ϕ,Ψ ), tức w = ResrΘ,ϕ,Ψ (w) Ngoài ra, w = ResrΘ,ϕ,Ψ (w) tương đương với Θ(w, y) + ϕ(y) − ϕ(w) + Ψw, y − w + w − w, y − w ≥ với y ∈ C Do đó, ta nhận Θ(w, y) + Ψw, y − w + ϕ(y) ≥ ϕ(w) với y ∈ C Suy F (ResrΘ,ϕ,Ψ ) = GM EP (Θ, ϕ, Ψ) v) Cuối cùng, ta GM EP (Θ, ϕ, Ψ) tập lồi đóng C Thật 38 vậy, từ iii), ta có ResrΘ,ϕ,Ψ ánh xạ khơng giãn Vì tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn tập lồi, đóng khác rỗng C ⊂ H tập lồi đóng (Mệnh đề 1.10), nên GM EP (Θ, ϕ, Ψ) = F (ResrΘ,ϕ,Ψ ) tập lồi đóng C Ta có định lý cho tốn tìm nghiệm hệ tốn cân hỗn hợp tổng quát Định lý 2.9 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho Θi : Ci × Ci −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện C1)-C4), cho ϕi : Ci −→ R hàm lồi, nửa liên tục cho Ψi : Ci −→ H toán tử βi -ngược đơn điệu mạnh với N GM EP (Θi , ϕi , Ψi ) = ∅ điều kiện (2.18) i = 1, 2, , N Giả sử S = i=1 Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (2.13)-(2.14) (2.15)-(2.16), với ≤ αn ≤ α < 1, ri ∈ (0, 2βi ) Ti,n = ResrΘii ,ϕi ,Ψi với n ≥ i = 1, 2, , N Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh PS x0 2.4.5 Hệ bất đẳng thức biến phân Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, h-liên tục Phần tử u ∈ C gọi nghiệm bất đẳng thức biến phân ứng với A y − u, Au ≥ với y ∈ C Ta ký hiệu V I(C, A) tập nghiệm bất đẳng thức biến phân ứng với A Ta xác định ánh xạ T Tx = Ax + NC (x), x ∈ C ∅, x ∈ /C NC (x) nón pháp tuyến C x ∈ H Rockafellar [7] T toán tử đơn điệu cực đại T −1 = V I(C, A) Chú ý zn = V I(C, γn A + I − yn ) y − zn , γn Azn + zn − yn ≥ với y ∈ C, 39 tức là, −γn Azn − zn + yn ∈ γn NC (zn ) Suy zn = JγTn yn Do đó, từ Định lý 2.8, ta có kết sau: Định lý 2.10 Cho Ci tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H cho Ai : Ci −→ H toán tử h-liên tục, với i = 1, 2, , N N V I(Ci , Ai ) = ∅ Với x0 ∈ C, cho {xn } dãy C xác cho S = i=1 định (2.13)-(2.14) (2.15)-(2.16) với Ti,n xn = V I(Ci , γi,n Ai + I − xn ), ≤ αn ≤ α < {inf {γi,n }} = r > Khi đó, dãy {xn } hội i=1,2, ,N n tụ mạnh PS x0 2.5 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.2 Cho Ti = {Ti (s) : ≤ s < ∞}, i = 1, 2, , 100, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn từ R3 vào R3 xác định    x1 cos is − sin is    Ti (s)x =  sin is cos is 0 x2  , x3 0 với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 s ≥ 100 F (Ti ) = x∗ = (0, 0, x3 ) Áp dụng phương pháp lặp Dễ thấy i=1 (2.13)-(2.16) (trong Định lý 2.7) với điểm xuất phát x0 = (2, 0, −2), αn = 1/(n + 2) tn = n, ta nhận bảng kết số đây: Số bước lặp PP (2.13) 10 20 30 40 6.168 × 10−1 7.259 × 10−2 1.212 × 10−1 9.748 × 10−2 Sai số so với nghiệm xác PP (2.14) PP (2.15) PP (2.16) 8.160 × 10−2 2.953 × 10−3 3.519 × 10−4 3.305 × 10−5 3.157 × 10−1 4.345 × 10−1 8.243 × 10−2 3.914 × 10−2 1.647 × 10−1 1.531 × 10−2 1.561 × 10−3 1.467 × 10−4 Bảng 2.1: Kết số cho Ví dụ 2.2 Dáng điệu hàm số xn − x∗ sau 40 bước lặp biểu diễn hình đây: 40 10 PP (5.13) PP (5.14) PP (5.15) PP (5.16) 10 −1 TOL 10 −2 10 −3 10 −4 10 −5 10 10 15 20 Number of iterations 25 30 35 40 Hình 2.1: Dáng điệu hàm số xn − x∗ cho Ví dụ 2.2 Ví dụ 2.3 Xét tốn sau: Tìm phần tử N ∗ x ∈S= GM EP (Θi , ϕi , Ψi ), i=1 Θi (x, y) = i(y − x2 ), ϕi (x) = x2 Ψi (x) = ix, với i = 1, 2, , 100 x, y ∈ R Ta thấy Θi thỏa mãn điều kiện C1)-C4), ϕi hàm lồi, liên tục Ψi toán tử i-ngược đơn điệu mạnh, với i = 1, 2, , 100, S = {0} Chọn ri = i với i = 1, 2, , 100 từ định nghĩa ResrΘii ,ϕi ,Ψi , với x ∈ R, ta có ResrΘii ,ϕi ,Ψi (x) ={z ∈ R : i(y − z ) + y + ix(y − z) + (z − x)(y − z) ≥ z , ∀y ∈ R} i Bất đẳng thức i(y − z ) + y + ix(y − z) + (z − x)(y − z) ≥ z , i ∀y ∈ R viết lại dạng (i2 + i)y + [(i2 − 1)x + z]y − [(i2 + i + 1)z + (i2 − 1)xz] ≥ 0, ∀y ∈ R 41 − i2 Tương đương với [(i − 1)x + (2i + 2i + 1)z] ≤ Suy z = x 2i + 2i + Do đó, ta nhận 2 ResrΘii ,ϕi ,Ψi (x) − i2 = x, 2i + 2i + với x ∈ R i = 1, 2, , 100 Áp dụng phương pháp lặp (2.13)-(2.16) (trong Định lý 2.9) với điểm xuất phát x0 = αn = 1/(n + 2) ta nhận hình vẽ đây: 10 10 10 10 Algorithm (2.13) Algorithm (2.14) 0 10 TOL TOL 10 −10 10 −20 −20 10 10 −30 10 −10 10 −30 10 20 30 Number of iterations 40 10 50 10 10 20 30 Number of iterations 10 Algorithm (2.15) Algorithm (2.16) 0 10 TOL 10 TOL 50 10 10 −10 10 −20 −10 10 −20 10 10 −30 10 40 −30 10 20 30 Number of iterations 40 50 10 10 20 30 Number of iterations Hình 2.2: Dáng điệu hàm số xn − x∗ cho Ví dụ 2.3 40 50 42 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng không gian Hilbert, ánh xạ không giãn, dãy ánh xạ gần khơng giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert; • Phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn; • Các kết Tuyen T.M Ha N.S tài liệu [12] cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần khơng giãn; • Xây dựng ví dụ số đơn giản dựa phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp 43 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [4] Marino G., Xu H.K (2007), “Weak and strong convergence theorems for strict pseudo contractions in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 329, pp 336-346 [5] Nakajo K., Takahashi W (2003), “Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups”, J Math Anal Appl., 279, pp 372-379 [6] Nakajo K., Shimoji K., Takahashi W (2007), “Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings in Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 8, pp 11-34 [7] Rockaffelar R T (1970), “On the maximality of sums of nonlinear monotone operators”, Trans Amer Math Soc., 149, pp 75-88 [8] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), “Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 341, pp 276-286 [9] Takahashi W (2000), Nonlinear Functional Analysis, Fixed Point Theory and Its Applications, Yokohama Publishers, Yokohama, Japan [10] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), “Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 341 pp 276-286 [11] Fan K (1961), “A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem”, Math Ann., 142, pp 305-310 44 [12] Tuyen T.M., Ha N.S (2018), “Parallel iterative method for a finite family of sequences of nearly nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, Computational and Applied Mathematics, 37(3), pp 3093–3117 ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ QUANG THÌN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN DÃY ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên... 16 17 Chương Phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 2.1 Dãy ánh xạ gần không giãn 2.2 Phương pháp lai chiếu... đưa số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [12] cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn