Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC LỢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC LỢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mục lục Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu iii Mở đầu 1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert thực 1.2 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 3 11 Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 15 2.1 Mô tả phương pháp 18 2.2 Sự hội tụ mạnh 19 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 32 i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tận tâm nhiệt tình Cơ suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Trường Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Nguyễn Đức Lợi ii BẢNG KÝ HIỆU R trường số thực ∅ tập rỗng Rn không gian Euclide n-chiều |x| giá trị tuyệt đối x ||x|| chuẩn véctơ x x, y tích vơ hướng hai phần tử x y B(x, ρ) hình cầu mở tâm x, bán kính ρ > B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ > int C phần tập hợp C ∂C biên tập hợp C D(F ) miền xác định ánh xạ F iii Mở đầu Bất đẳng thức biến phân Stampacchia [7] đưa nghiên cứu vào năm đầu thập kỷ 60 nghiên cứu tốn biên phương trình đạo hàm riêng Kể từ bất đẳng thức biến phân phương pháp giải tốn ln đề tài thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Bài toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert H phát biểu sau: Tìm phần tử u∗ ∈ C cho : F (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ C, (1) C tập lồi, đóng, khác rỗng H F : C → H ánh xạ phi tuyến Bất đẳng thức biến phân (1) tương đương với toán điểm bất động: u∗ = PC (u∗ − µF (u∗ )), (2) PC phép chiếu mêtric từ H lên C µ > số tùy ý Nếu ánh xạ F đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz C số µ > đủ nhỏ, ánh xạ xác định vế phải (2) ánh xạ co Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm dãy lặp Picard xn+1 = PC (xn − µF (xn )) hội tụ mạnh tới nghiệm toán (1) Phương pháp gọi phương pháp chiếu Phương pháp chiếu khơng dễ dàng thực thi phụ thuộc vào độ phức tạp tập lồi C Để khắc phục nhược điểm này, Yamada [9] (xem thêm [5]) đề xuất phương pháp lai đường dốc vào năm 2001 để giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert H Từ đến có nhiều cơng trình mở rộng hướng nghiên cứu Yamada để giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn theo hướng làm giảm nhẹ điều kiện đặt lên thuật toán mở rộng cho toán tổng quát họ hữu hạn, họ vô hạn đếm hay họ vô hạn không đếm ánh xạ khơng giãn Mục đích luận văn trình bày cải biên phương pháp lai đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert sở báo [6] công bố năm 2012 Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày số kiến thức khơng gian Hilbert thực tốn bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert phương pháp lai đường dốc giải toán Trong chương trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert Chương Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Chương chúng tơi trình bày số kiến thức kết không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Các kiến thức chương viết dựa tài liệu [1], [2] [7] 1.1 Không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính H xác định trường số thực R gọi khơng gian tiền Hilbert xác định hàm hai biến ·, · : H × H → R thỏa mãn tính chất sau: (i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H x, x = ⇔ x = 0; (ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; (iii) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H; (iv) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R Hàm ·, · thỏa mãn bốn tính chất gọi tích vơ hướng H x, y tích vơ hướng hai phần tử x y Nhận xét 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn x ∈ H xác định ||x|| = x, x Định nghĩa 1.2 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1 Rn khơng gian Hilbert với tích vơ hướng n ξk ηk , x, y = k=1 x = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn y = (η1 , η2 , , ηn ) ∈ Rn Ví dụ 1.2 l2 = ∞ x = (x1 , x2 , ) | |xi |2 < ∞ khơng gian i=1 Hilbert với tích vơ hướng ∞ x, y = x i yi i=1 x = (x1 , x2 , ), y = (y1 , y2 , ) dãy số thực l2 Bổ đề 1.1 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi biểu thức sau đúng: (i) ||tx + (1 − t)y||2 = t||x||2 + (1 − t)||y||2 − t(1 − t)||x − y||2 với x, y ∈ H t ∈ [0, 1] (ii) ||x + y||2 ≤ ||x||2 + y, x + y với x, y ∈ H Định nghĩa 1.3 Dãy {xn }∞ n=1 không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H lim xn , y = x, y với n→∞ y ∈ H Dãy {xn }∞ n=1 Ký hiệu xn gọi hội tụ mạnh lim ||xn − x|| = n→∞ x hội tụ yếu, xn → x hội tụ mạnh dãy {xn } đến phần tử x ∈ H Định nghĩa 1.4 Tập hợp C ⊂ H gọi tập lồi ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C Ví dụ 1.3 Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, hình cầu tập lồi Định nghĩa 1.5 Tập C ⊆ H gọi tập đóng dãy hội tụ {xn } ⊂ C có giới hạn thuộc C, tức ∀{xn } ⊂ C : xn → x ⇒ x ∈ C Ví dụ 1.4 Hình cầu đóng B(¯ x, r) = {x ∈ H : ||x − x¯|| ≤ r} tâm x¯, bán kính r > tập đóng Định nghĩa 1.6 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, F : C → H ánh xạ Ánh xạ F gọi là: (i) L-liên tục Lipschitz C, tồn số L > cho ||F (x) − F (y)|| ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ C Nếu < L < F gọi ánh xạ co, L = F gọi ánh xạ khơng giãn; (ii) bị chặn Lipschitz C với tập bị chặn B C, F ánh xạ L-liên tục Lipschitz B; (iii) đơn điệu C, F (x) − F (y), x − y ≥ , ∀x, y ∈ C; (iv) η-đơn điệu mạnh C, tồn số η dương 2.2 Sự hội tụ mạnh Trước hết ta nhắc lại bổ đề sau đây: Bổ đề 2.1 Giả sử {αn } dãy số thực không âm thỏa mãn αn+1 ≤ (1 − γn )αn + γn δn + σn , n = 0, 1, 2, (2.4) ∞ ∞ {γn }∞ n=0 ⊂ (0, 1), {δn }n=0 {σn }n=0 thỏa mãn điều kiện: ∞ γn = ∞; (i) n=1 (ii) lim sup δn ≤ 0; n→∞ ∞ |σn | < ∞ (iii) n=1 Khi lim αn = n→∞ Định lý 2.1 Giả sử F : H → H ánh xạ η-đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz Lấy số µ ∈ (0, 2η/L2 ) dãy {λn } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện: (i) lim λn = 0; n→∞ ∞ λn = ∞; (ii) n=0 ∞ λn = n→∞ λn+1 n=0 Với x0 ∈ H xác định dãy {xn } (2.3) Khi dãy {xn } (iii) |λn+1 − λn | < ∞ lim hội tụ mạnh tới nghiệm toán VI(F, F) Chứng minh Định lý chứng minh theo ba bước Bước 1: Trước hết ta dãy {xn } bị chặn Thật vậy, theo Bổ đề 1.2, I − µF ánh xạ co với số co − τ , τ = µ(2η − µL2 ) 19 Với x∗ ∈ Fix(T ) T : H → H ánh xạ không giãn thì: ||xn+1 − x∗ || = ||λn (I − µF )(xn ) + (1 − λn )Ln (xn ) − x∗ || = ||λn [(I − µF )(xn ) − x∗ ] + (1 − λn )(Ln (xn ) − x∗ )|| = ||λn [(I − µF )(xn ) − x∗ ] + (1 − λn )(Ln (xn ) − Ln (x∗ ))|| ≤ λn ||(I − µF )(xn ) − x∗ || + (1 − λn )||Ln (xn ) − Ln (x∗ )|| ≤ λn ||(I − µF )(xn ) − x∗ || + (1 − λn )||xn − x∗ || = λn ||(I − µF )(xn ) − (I − µF )(x∗ ) − µF (x∗ )|| + (1 − λn )||xn − x∗ || ≤ λn ||(I − µF )(xn ) − (I − µF )(x∗ )|| + λn ||µF (x∗ )|| + (1 − λn )||xn − x∗ || ≤ λn (1 − τ )||xn − x∗ || + λn ||µF (x∗ )|| + (1 − λn )||xn − x∗ || = (1 − λn τ )||xn − x∗ || + λn µ||F (x∗ )|| = (1 − λn τ )||xn − x∗ || + λn µτ ||F (x∗ )||/τ µ ≤ max ||xn − x∗ ||, ||F (x∗ )|| τ Bằng quy nạp ta µ ||xn+1 − x∗ || ≤ max ||x0 − x∗ ||, ||F (x∗ )|| τ Suy dãy {xn } bị chặn Vì Ln (n = 1, 2, ) ánh xạ không giãn F ánh xạ L-liên tục Lipschitz, nên µ ||Ln (xn ) − Ln (x∗ )|| ≤ max ||x0 − x∗ ||, ||F (x∗ )|| τ µ ||F (xn ) − F (x∗ )|| ≤ L max ||x0 − x∗ ||, ||F (x∗ )|| τ 20 Do dãy {Ln (xn )} {F (xn )} bị chặn Bước 2: Ta chứng minh lim ||xn − T (xn )|| = n→∞ Trước hết, từ (2.3) ta suy ||xn+1 − Ln (xn )|| = ||λn (I − µF )(xn ) + (1 − λn )Ln (xn ) − Ln (xn )|| = ||λn (I − µF )(xn ) − λn Ln (xn )|| ≤ λn ||(I − µF )(xn )|| + λn ||Ln (xn )|| Kết hợp với điều kiện (i) định lý dãy {xn }, {Ln (xn )}, {F (xn )} bị chặn, ta nhận ||xn+1 − Ln (xn )|| → n → ∞ Tiếp theo, ta lim ||xn+1 − xn || = Thật vậy, đặt n→∞ M = sup[||(I − µF )(xn )|| + ||Ln (xn−1 )||] < ∞, n từ ta có ||xn+1 − xn || = ||λn (I − µF )(xn ) + (1 − λn )Ln (xn ) − λn−1 (I − µF )(xn−1 ) − (1 − λn−1 )Ln−1 (xn−1 )|| = ||λn (I − µF )(xn ) − λn (I − µF )(xn−1 ) + (1 − λn )(Ln (xn ) − Ln (xn−1 )) + (λn − λn−1 )(I − µF )(xn−1 ) − (1 − λn−1 )Ln−1 (xn−1 ) + (1 − λn )Ln (xn−1 )|| ≤ ||λn (I − µF )(xn ) − λn (I − µF )(xn−1 )|| + (1 − λn )||xn − xn−1 || + |λn − λn−1 |||(I − µF )(xn−1 )|| + ||(1 − λn )Ln (xn−1 ) − (1 − λn−1 )Ln−1 (xn−1 )|| 21 ≤ λn (1 − τ )||xn − xn−1 || + (1 − λn )||xn − xn−1 || + |λn − λn−1 |(||(I − µF )(xn−1 )||) + ||(1 − λn )Ln (xn−1 ) − (1 − λn−1 )Ln (xn−1 ) + (1 − λn−1 )Ln (xn−1 ) − (1 − λn−1 )Ln−1 (xn−1 )|| ≤ (1 − λn τ )||xn − xn−1 || + |λn −λn−1 |(||(I −µF )(xn−1 )||+||Ln (xn−1 )||) + (1 − λn )||Ln (xn−1 ) − Ln−1 (xn−1 )|| ≤ (1 − λn τ )||xn − xn−1 || + |λn − λn−1 |M + (1 − λn )||Ln (xn−1 ) − Ln−1 (xn−1 )|| Chú ý dãy {(xn )} bị chặn, nên tồn số M1 > cho sup ||Tk (xl )|| ≤ M1 Ta có k,l≥1 ||Ln (xn−1 ) − Ln−1 (xn−1 )|| = n = || n−1 ωk Tk (xn−1 )/Sn − k=1 ωk Tk (xn−1 )/Sn−1 || k=1 n−1 (−ωn )ωk Tk (xn−1 )/Sn Sn−1 || = ωn Tn (xn−1 )/Sn + k=1 n−1 ≤ ||ωn Tn (xn−1 )/Sn || + ωn ωk /Sn Sn−1 ||Tk (xn−1 )|| k=1 ≤ ωn M1 /Sn + ωn M1 /Sn = 2ωn M1 /Sn , 22 ∞ ∞ ||Ln (xn−1 ) − Ln−1 (xn−1 )|| ≤ 2M1 n=1 n=1 ∞ ∞ ||Ln (xn−1 )−Ln−1 (xn−1 )|| ωn /Sn hội tụ, nên chuỗi Vì chuỗi ωn /Sn n=1 n=1 hội tụ Sử dụng Bổ đề 2.1 suy ||xn+1 − xn || → n → ∞ Từ ta có ||xn − T (xn )|| = ||xn − xn+1 + xn+1 − Ln (xn ) + Ln (xn ) − T (xn )|| ≤ ||xn+1 − xn || + ||xn+1 − Ln (xn )|| + ||Ln (xn ) − T (xn )|| Sử dụng Bổ đề 1.7 ta ||xn − T (xn )|| → n → ∞ Từ Bổ đề 1.3 suy ωω (xn ) ⊂ Fix(T ) Bước 3: Ta lim ||xn − x∗ || = Thật vậy, sử dụng Bổ đề 1.1 n→∞ (ii), ta ||xn+1 − x∗ ||2 = ||λn (I − µF )(xn ) + (1 − λn )Ln (xn ) − x∗ ||2 = ||λn (I − µF )(xn ) − λn x∗ + (1 − λn )(Ln (xn ) − Ln (x∗ ))||2 = ||λn (I − µF )(xn ) − λn (I − µF (x∗ )) − λn µF (x∗ ) − (1 − λn )(Ln (xn ) − Ln (x∗ ))||2 = ||λn (I − µF )(xn ) − λn (I − µF (x∗ )) −(1 − λn )(Ln (xn )−Ln (x∗ ))||2 + −λn µF (x∗ ), xn+1 − x∗ ≤ λn (1 − τ )||xn − x∗ ||2 + (1 − λn )||xn − x∗ ||2 + −λn µF (x∗ ), xn+1 − x∗ ≤ (1 − τ λn )||xn − x∗ ||2 + 2µλn −F x∗ , xn+1 − x∗ 23 Do đó, tồn dãy {xnj } ⊂ {xn } cho lim sup −F x∗ , xn − x∗ = lim −F x∗ , xnj − x∗ j→∞ n→∞ Khơng giảm tổng qt, ta giả sử xnj x˜ ∈ Fix T Vì x∗ nghiệm toán V I(Fix T, F) Ta lim sup −F x∗ , xn − x∗ = lim −F x∗ , xnj − x∗ = − F x∗ , x˜ − x∗ ≤ j→∞ n→∞ Cuối cùng, kết luận lim ||xn − x∗ || = suy từ điều kiện (i)-(iii) n→∞ định lý Bổ đề 2.1 Định lý 2.1 cho ta thuật tốn tìm phần tử có chuẩn nhỏ tập điểm bất động chung họ đếm ánh xạ không giãn Hệ 2.1 Cho dãy {xn+1 } định nghĩa công thức xn+1 = λn γxn + (1 − λn )Ln (xn ), (2.5) γ ∈ (−1, 1) {λn } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau: (i) lim λn = 0; n→∞ ∞ λn = ∞; (ii) n=0 ∞ λn = n→∞ λn+1 |λn+1 − λn | < ∞ lim (iii) n=0 Khi xn → PF (0) Chứng minh Đặt F = I (2.3), ta L = η = Cố định số µ ∈ (0, 2η/L2 ) = (0, 2), từ suy −1 < − µ < Đặt γ = − µ, (2.3) viết lại dạng (2.5) Sử dụng Định lý 2.1 ta có dãy {xn } hội tụ mạnh tới nghiệm x† VI(F, F), 24 tức x† , x − x† ≥ 0, ∀x ∈ F (2.6) Suy − x† , x − x† ≤ 0, ∀x ∈ F (2.7) Sử dụng Bổ đề 1.8 (2.7), ta x† = PF (0) Bây ta nghiên cứu toán VI(F, F) với F ánh xạ bị chặn Lipschitz η-đơn điệu mạnh Cố định điểm x0 ∈ F bất kỳ, đặt C = B(x0 , 2||F x0 ||/η) Ký hiệu L số Lipschitz F C Hằng số µ thỏa mãn < µ < η/L2 Từ Định lý 1.2 suy tốn VI(F, F) có nghiệm x∗ Định lý 2.2 Giả sử F : H → H ánh xạ bị chặn Lipschitz η-đơn điệu mạnh Lấy điểm x0 ∈ F đặt C = B(x0 , 2||F x0 ||/η) Ký hiệu L số Lipschitz F C Lấy số µ thỏa mãn < µ < η/L2 Giả sử dãy {λn } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau: (i) lim λn = 0; n→∞ ∞ λn = ∞; (ii) n=0 ∞ λn = n→∞ λn+1 n=0 Với x0 ∈ F tùy ý, ta xác định dãy lặp {xn } (2.3) Khi dãy {xn } (iii) |λn+1 − λn | < ∞ lim hội tụ mạnh tới nghiệm toán VI(F, F) Chứng minh Định lý chứng minh qua ba bước sau Bước 1: Ta xn ∈ C với n ≥ quy nạp Thật vậy, 25 hiển nhiên x0 ∈ C Giả sử ta có xn ∈ C, tức ||xn − x0 || ≤ 2||F x0 ||/η (2.8) Theo Bổ đề 1.2, I − µF ánh xạ co C với số co − τ , τ = µ(2η − µL2 ) Chú ý Ln : H → H ánh xạ không giãn nên ta có ||xn+1 − x0 || = ||λn (I − µF )(xn ) + (1 − λn )Ln (xn ) − x0 || = ||λn [(I − µF )(xn ) − x0 ] + (1 − λn )(Ln (xn ) − x0 )|| = ||λn [(I − µF )(xn ) − x0 ] + (1 − λn )(Ln (xn ) − Ln (x0 ))|| ≤ λn ||(I − µF )(xn ) − x0 || + (1 − λn )||Ln (xn ) − Ln (x0 )|| ≤ λn ||(I − µF )(xn ) − x0 || + (1 − λn )||xn − x0 || = λn ||(I − µF )(xn ) − (I − µF )(x0 ) − µF (x0 )|| + (1 − λn )||xn − x0 || ≤ λn ||(I − µF )(xn ) − (I − µF )(x0 )|| + λn ||µF (x0 )|| + (1 − λn )||xn − x0 || ≤ λn (1 − τ )||xn − x0 || + λn ||µF (x0 )|| + (1 − λn )||xn − x0 || = (1 − λn τ )||xn − x0 || + λn µ||F (x0 )|| = (1 − λn τ )||xn − x0 || + λn µτ ||F (x0 )||/τ µ ≤ max{||xn − x0 ||, ||F (x0 )||} τ µ ≤ max{ , ||F (x0 )||} η τ 26 Mặt khác, < µ < η/L2 τ = 21 µ(2η − µL2 ) nên µ µ ≤ , = = τ η + (η − µL2 ) η µ(2η − µL ) suy ||xn+1 − x0 || ≤ 2||F x0 ||/η Từ ta nhận xn+1 ∈ C Vì xn ∈ C với n ≥ dãy {xn } bị chặn Vì Ln (n = 1, 2, ) ánh xạ không giãn F ánh xạ L-liên tục Lipschitz C nên ||Ln (xn ) − Ln (x0 )|| ≤ ||xn − x0 || ≤ 2||F (x0 )||/η ||F (xn ) − F (x0 )|| ≤ L||xn − x0 || ≤ 2L||F (x0 )||/η Do dãy {Ln (xn )} {F (xn )} bị chặn Bước 2: Ta lim ||xn − T (xn )|| = n→∞ Trước hết từ (2.3) ta suy ||xn+1 − Ln (xn )|| = ||λn (I − µF )(xn ) + (1 − λn )Ln (xn ) − Ln (xn )|| + ||λn (I − µF )(xn ) − λn Ln (xn )|| ≤ λn ||(I − µF )(xn )|| + λn ||Ln (xn )|| Kết hợp với điều kiện (i) định lý dãy {Ln (xn )}, {F (xn )} bị chặn, ta ||xn+1 − Ln (xn )|| → n → ∞ 27 Tiếp theo, ta chứng minh lim ||xn+1 − xn || = n→∞ Thật vậy, đặt M = sup[||(I − µF )(xn )|| + ||Ln (xn )||] < ∞, n ta có ||xn+1 − xn || = ||λn (I − µF )(xn ) + (1 − λn )Ln (xn ) − λn−1 (I − µF )(xn−1 ) − (1 − λn−1 )Ln−1 (xn−1 )|| = ||λn (I − µF )(xn ) − λn (I − µF )(xn−1 ) + (1 − λn )(Ln (xn ) − Ln (xn−1 )) + (λn − λn−1 )(I − µF )(xn−1 ) − (1 − λn−1 )Ln−1 (xn−1 ) + (1 − λn )Ln (xn−1 )|| ≤ ||λn (I − µF )(xn ) − λn (I − µF )(xn−1 )|| + (1 − λn )||xn − xn−1 || + |λn − λn−1 |||(I − µF )(xn−1 )|| + ||(1 − λn )Ln (xn−1 ) − (1 − λn−1 )Ln−1 (xn−1 )|| ≤ λn (1 − τ )||xn − xn−1 || + (1 − λn )||xn − xn−1 || + |λn − λn−1 |(||(I − µF )(xn−1 )||) + ||(1 − λn )Ln (xn−1 ) − (1 − λn−1 )Ln (xn−1 ) + (1 − λn−1 )Ln (xn−1 ) − (1 − λn−1 )Ln−1 (xn−1 )|| 28 ≤(1 − λn τ )||xn − xn−1 || + |λn − λn−1 |(||(I − µF )(xn−1 )|| + ||Ln (xn−1 )||) + (1 − λn )||Ln (xn−1 ) − Ln−1 (xn−1 )|| ≤ (1 − λn τ )||xn − xn−1 || + |λn − λn−1 |M + (1 − λn )||Ln (xn−1 ) − Ln−1 (xn−1 )|| Bằng chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.1, ta nhận ||xn+1 − xn || → n → ∞ Áp dụng bất đẳng thức tam giác, từ suy ||xn − T (xn )|| → n → ∞ Theo Bổ đề 1.3 ta có ωω (xn ) ⊂ Fix(T ) Bước 3: Ta lim ||xn − x∗ || = Theo Bổ đề 1.1 (ii), ta có n→∞ ||xn+1 − x∗ ||2 = ||λn (I − µF )(xn ) + (1 − λn )Ln (xn ) − x∗ ||2 = ||λn (I − µF )(xn ) − λn x∗ + (1 − λn )(Ln (xn ) − Ln (x∗ ))||2 = ||λn (I − µF )(xn ) − λn (I − µF (x∗ )) − λn µF (x∗ ) − (1 − λn )(Ln (xn ) − Ln (x∗ ))||2 ≤ ||λn (I − µF )(xn ) − λn (I − µF (x∗ )) − (1 − λn )(Ln (xn ) − Ln (x∗ ))||2 + −λn µF (x∗ ), xn+1 − x∗ ≤ λn (1 − τ )||xn − x∗ || + (1 − λn )||xn − x∗ || + −λn µF (x∗ ), xn+1 − x∗ ≤ (1 − τ λn )||xn − x∗ ||2 + 2µλn −F (x∗ ), xn+1 − x∗ Bằng cách chứng minh tương tự Định lý 2.1 ta có 29 lim ||xn − x∗ || = n→∞ Nhận xét 2.1 Trong tính tốn thực tế, ta lấy điểm bất ∞ Fix(Tk ) điểm lặp ban đầu việc sử dụng động chung k=1 thuật toán (2.5) Hệ 2.1 30 Kết luận Luận văn trình bày phương pháp lặp [6] để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert Nét phương pháp sử dụng ánh xạ đơn giản dễ tính tốn so với số phương pháp lặp có Đóng góp tác giả viết luận văn đọc hiểu, nghiên cứu tài liệu, hệ thống kiến thức trình bày lại chứng minh số kết [6] Kết mở rộng cho tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert công bố [8] năm 2013 phát triển cho toán bất đẳng thức biến phân tương tự không gian Banach (xem [4]) Chúng hy vọng thời gian tới đưa ví dụ số việc sử dụng thuật tốn (2.5) Hệ 2.1 để giải bất đẳng thức biến phân 31 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2013), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh [2] L.-C Ceng, Q.H Ansari, and J.-C Yao (2008), Mann-type steepest-descent and modified steepest-descent methods for variational inequalities in Banach spaces, Numer Funct Anal Optim., 29(9-10), 987–1033 [3] Ng Buong, Ng.T.H Phuong (2013), Strong convergence to solutions for a class of variational inequalities in Banach spaces by implicit iteration methods, J Optim Theory Appl DOI10.1007/s10957-013-0350-4 [4] Ng Buong, Ng.T.H Phuong and Ng.T.T Thuy (2014), Explicit Iteration Algorithms for Solutions of a Class of Variational Inequalities in Banach Spaces, Izv VUZ Matematika (accepted for publication in 2014) [5] F Deutsch and I Yamada (1998), Minimizing certain convex functions over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings, Numer Funct Anal Optim., 19(1-2), 33–56 [6] H Songnian and S Wenwen (2012), New hybrid steepest descent algorithms for variational inequalities over the common fixed points set of infinite nonexpansive mappings, Wseas Transact Math., 11, 83–92 [7] G Stampacchia (1964), Formes bilineares coercitives sur les ensembles convexes, Compt Rendus lÁcadémie Sci., 258, 4413– 4416 [8] Ng.T.T Thuy (2013), A new hybrid method for variational inequality and fixed point problems, Vietnam J Math 41, 353–366 DOI 10.1007/s10013-013-0027-1 [9] I Yamada (2001), The hybrid steepest-descent method for variational inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings, Inhen Para Algorith Feasibility and Optim Appl., , 473–504 [10] Y Yao, M.A Noor and Y.-C Liou (2010), A new hybrid iterative algorithm for variational inequalities, J Appl Math Comput., 216, 822–829 33 ... giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert sau: Cho H không gian Hilbert thực T : H → H ánh xạ không giãn cho C = Fix(T ) = ∅ Giả sử F : H → H ánh xạ η-đơn... phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert Chương Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Chương chúng tơi trình bày số kiến thức kết không gian Hilbert. .. 1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert thực 1.2 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 3 11 Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến