ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 36 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✶ ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ✶✳✶✳ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✻ ❚❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷✳ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ t tứ ế ỗ ợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ tứ ế ỗ ợ t tử ễ ➤✐Ö✉ ✷✵ ✷✳✶✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ❑Õt ❧✉❐♥ ✸✽ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✸✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ sù ❝❤Ø ❜➯♦ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝đ❛ ❝➠ ❣✐➳♦ ❚✳❙ ♥❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤đ②✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❣ư✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ✈➭ s➞✉ s➽❝ ♥❤✃t ➤Õ♥ ❝➠✳ ❚➠✐ ❝ị♥❣ ①✐♥ ❦Ý♥❤ ❣ư✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ➤Õ♥ ❝➳❝ t❤➬② ❣✐➳♦✱ ❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❍ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❦❤ã❛ ❤ä❝ ❝❛♦ ❤ä❝ ✷✵✵✾ ✲ ✷✵✶✶✱ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ➤❡♠ ❤Õt t➞♠ ❤✉②Õt ✈➭ sù ♥❤✐Ưt t×♥❤ ➤Ĩ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ tr❛♥❣ ❜Þ ❝❤♦ t➠✐ ♥❤✐Ị✉ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ t❐♣ t❤Ó ❣✐➳♦ ✈✐➟♥ tr➢ê♥❣ ❚❍P❚ P❤ó ❇×♥❤ ♥➡✐ t➠✐ ❝➠♥❣ t➳❝ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ t➵♦ ♥❤✐Ị✉ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt ❦❤ã❛ ❤ä❝ ❝ị♥❣ ♥❤➢ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❜➵♥ ❜❒ t❤➞♥ t❤✐Õt ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ❧✉➠♥ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❝❤✐❛ s❰✱ ❣✐ó♣ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ◆❣➢ê✐ ✈✐Õt ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❚r➬♥ ❚❤Þ P❤➢➡♥❣ ❚❤➯♦ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ❧ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱ X ∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ X ✱ ❝➯ ❤❛✐ ❝ã ❝❤✉➮♥ ➤Ị✉ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ✱ A : X → X ∗ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤➡♥ trÞ ✈➭ ϕ : X → R ∪ {+∞} ❧➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥ư❛ ❈❤♦ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐✳ t t tứ ế ỗ ợ qt ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ ♥❤➢ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✹❪✮✿ ❈❤♦ ✭♠✐①❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ f ∈ X ∗ ✱ t×♠ x0 ∈ X s❛♦ ❝❤♦ A(x0 ) − f, x − x0 + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X, ë ➤➞② ✭✵✳✶✮ x∗ , x ❦Ý ❤✐Ư✉ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ x∗ ∈ X ∗ t➵✐ x ∈ X✳ ❈ã ♥❤✐Ị✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ ể t tứ ế ỗ ợ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤✐Ĩ♠ ❣➬♥ ❦Ị ❬✽❪✱ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤ô ❬✸❪ ✳✳✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t tứ ế ỗ ợ t tử A ❦❤➠♥❣ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤Ị✉ ❤♦➷❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ✈➭ ❤➭♠ ϕ ❦❤➠♥❣ ❧å✐ ♠➵♥❤✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✐❧❧✲♣♦s❡❞✮ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❝đ❛ ♥ã ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭♦ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳ ❉♦ ➤ã ♥❣➢ê✐ t❛ ♣❤➯✐ sư ❞ơ♥❣ ♥❤÷♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ỉ♥ ➤Þ♥❤ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ s❛✐ sè ủ ữ ệ ỏ tì ệ ỉ tì ➤➢ỵ❝ ❝➭♥❣ ❣➬♥ ✈í✐ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♥ ột tr ữ ợ sử ụ rộ r➲✐ ✈➭ ❝ã ❤✐Ö✉ q✉➯ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✳ ❇➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ❖✳ ❆✳ ▲✐s❦♦✈❡ts ❬✻❪ ➤➲ ①➞② ❞ù♥❣ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❞ù❛ tr➟♥ ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✿ t×♠ xτα ∈ X s❛♦ ❝❤♦ Ah (xτα ) + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα + ϕε (x) − ϕε (xτα ) ≥ 0, ∀x ∈ X ë ➤➞② ✭✵✳✷✮ (Ah , fδ , ϕε ) ❧➭ ①✃♣ ①Ø ❝đ❛ (A, f, ϕ)✱ τ = (h, δ, ε)✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❖✳ ❆✳ ▲✐s❦♦✈❡ts ❬✻❪ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤đ② ❬✶✵❪ ✈Ị ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tứ ế ỗ ợ t tư ♥❤✐Ơ✉ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ➤➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ệ ộ ủ ợ trì tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị t❐♣ ❤ỵ♣ ❧å✐✱ ❤➭♠ ❧å✐✱ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ỗ ợ tr tự X ✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ t❤ù❝ tÕ ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ế ỗ ợ trờ ợ ệt ủ t tứ ế ỗ ợ ự tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ t tứ ế ỗ ợ ợ trì tr♦♥❣ ♣❤➬♥ ❝✉è✐ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✷ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ỗ ợ t tử ễ ệ ụ tể trì ị ý tồ t t ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✷✮✱ sù ❤é✐ tơ ♠➵♥❤ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✵✳✶✮✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ➤➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ tr♦♥❣ ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❤♦➷❝ t♦➳♥ tư A ❤♦➷❝ Ah ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺ ▼ét sè ❦ý ❤✐Ư✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t H ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝ X ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ X∗ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ợ ủ Rn t rỗ X n ề x := y x ợ ị ĩ ❜➺♥❣ y ∀x ✈í✐ ♠ä✐ ∃x tå♥ t➵✐ inf F (x) x∈X x x ✐♥❢✐♠✉♠ ❝ñ❛ t❐♣ {F (x) : x ∈ X} I ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ✈Þ AT ♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ ❝đ❛ ♠❛ tr❐♥ a∼b a t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ b A∗ t♦➳♥ tư ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ t♦➳♥ tư D(A) ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ t♦➳♥ tư R(A) ♠✐Ị♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t♦➳♥ tư xk → x xk x ❞➲② ❞➲② A A A A {xk } ❤é✐ tô ♠➵♥❤ tí✐ x {xk } ❤é✐ tơ ②Õ✉ tí✐ x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉❀ tr×♥❤ ❜➭② sù tå♥ t➵✐ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ủ t tứ ế ỗ ợ ột số ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✈➭ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ t❤ù❝ tÕ ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ỗ ợ ết q ủ ợ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❬✶❪✱ ❬✹❪ ✈➭ ❬✶✶❪✳ ✶✳✶✳ ❚❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱ X ∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ X ✳ ❈❤♦ D ⊂ X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ä✐ sè t❤ù❝ λ ∈ [0, 1] t❛ ➤Ị✉ ❝ã ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶ ❚❐♣ t❐♣ ❧å✐ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ D ✈➭ λx + (1 − λ)y ∈ D ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷ ❍➭♠ ✭✐✮ ❈❤♦ D X t rỗ : D → R ∪ {±∞} ϕ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ tr➟♥ D ♥Õ✉ ✈í✐ ∀x, y ∈ D ✈➭ ∀λ ∈ [0, 1] t❛ ❝ã ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y); ✭✐✐✮ ❧å✐ ❝❤➷t tr➟♥ D ♥Õ✉ ✈í✐ ∀x, y ∈ D, x = y ✈➭ ∀λ ∈ (0, 1) t❛ ❝ã ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y); ✭✐✐✐✮ ❧å✐ ♠➵♥❤ tr➟♥ D ♥Õ✉ ✈í✐ ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) tå♥ t➵✐ τ ∈ R, τ > t❛ ❝ã ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y) − λ(1 − λ)τ x − y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶ ❚õ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷ ❞Ơ t❤✃② ✭✐✐✮ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸ ▼✐Ị♥ ❤÷✉ ❤✐Ư✉ ❝đ❛ ❤➭♠ ⇒ ✭✐✮ ✈➭ ✭✐✐✐✮ ⇒ ✭✐✮✳ ϕ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ❞♦♠ ϕ ✈➭ ợ ị ĩ s dom = {x D : (x) < +} ị ĩ ợ ❣ä✐ ❧➭ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥Õ✉ ❞♦♠ϕ = ∅ ✈➭ ϕ(x) > −∞, ∀x ∈ D ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✺ ✭✐✮ ❍➭♠ ϕ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ t➵✐ ➤✐Ĩ♠ x0 ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲② {xn } ⊂ domϕ ♠➭ xn → x0 t❤× ∈ domϕ ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ) n→∞ ✭✐✐✮ ❍➭♠ ϕ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ♠ä✐ ❞➲② {xn } ⊂ domϕ ♠➭ xn x0 t❤× ②Õ✉ t➵✐ ➤✐Ĩ♠ x0 ∈ domϕ ♥Õ✉ ✈í✐ ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ) n→∞ ✭✐✐✐✮ ❍➭♠ ϕ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ✭♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ②Õ✉✮ tr➟♥ X ♥Õ✉ ϕ ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ✭♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ②Õ✉✮ t➵✐ ♠ä✐ ➤✐Ĩ♠ x ∈ X ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳ ❈❤♦ ϕ : X → R ∪ {+∞} ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✱ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ t❤× ϕ ❧➭ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ②Õ✉✳ ϕ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ X P❤✐Õ♠ ❤➭♠ x∗ ∈ X ∗ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ❣r❛❞✐❡♥t ❝đ❛ ❤➭♠ ϕ t➵✐ x ∈ X ♥Õ✉ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✻ ●✐➯ sö ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x∗ , x − y , ∀y ∈ X ❚❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❞➢í✐ ❣r❛❞✐❡♥t ❝đ❛ ϕ t➵✐ x ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ x, ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ∂ϕ(x), tø❝ ❧➭ ∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X ∗ : ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x∗ , x − y , ∀y ∈ X} ❍➭♠ ϕ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên t➵✐ x ♥Õ✉ ∂ϕ(x) = ∅ http://www.lrc-tnu.edu.vn ϕ t➵✐ ✽ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✼ ❈❤♦ ϕ : X → R ❍➭♠ ϕ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ t➵✐ x ∈ X ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❣✐í✐ ❤➵♥✿ ϕ(x + λy) − ϕ(x) λ→0 λ ϕ (x, y) = lim ϕ (x, y) = x , y tì ợ ọ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① ✭❦❤➯ ✈✐ ②Õ✉✮ t➵✐ x ∈ X, ✈➭ ϕ (x, y) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈✐ ♣❤➞♥ ●➞t❡❛✉① ❝đ❛ ϕ t➵✐ x, ϕ (x) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❡❛✉① ❝ñ❛ ϕ t➵✐ x ◆Õ✉ ϕ : X → R ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ✭❦❤➯ ✈✐ ♠➵♥❤✮ t➵✐ x ∈ X, ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ A : X → X ∗ s❛♦ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✽ ❍➭♠ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ❝❤♦ ϕ(x + y) − ϕ(x) = A(x), y + w(x, y) ✈➭ w(x, y) = 0, y y →0 tr♦♥❣ ➤ã x + y ∈ X ❑❤✐ ➤ã A(x), y ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈✐ ♣❤➞♥ A(x) = ϕ (x) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t ❝ñ❛ ❤➭♠ ϕ t➵✐ x lim ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✷ ❍➭♠ ❋rÐ❝❤❡t ✈➭ ϕ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t t➵✐ x ∈ X t❤× ♥ã ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① t➵✐ ➤✐Ĩ♠ ➤ã✳ ❚Ý♥❤ ❧å✐ ❝đ❛ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈❤♦ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵ ✈➭ F : X → R ∪ {±∞} ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① A✱ ❦❤✐ ➤ã ❝➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ ✭✐✐✮ F ✈í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❛❡✉① ❧➭ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐❀ F (x) ≥ F (x0 ) + A(x0 ), x − x0 , ∀x, x0 ∈ X ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈❤♦ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✳ ●✐➯ sö F : X → R ∪ {±∞} ❧➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣✱ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① ✈í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❡❛✉① ❧➭ A✳ ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉ x ∈ X t❤× ❝➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾ ✭✐✮ x0 ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ trÞ F (x); x∈X ✭✐✐✮ A(x0 ), x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X; ✭✐✐✐✮ A(x), x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ❝❤➷t ♥Õ✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ x + y < ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X s❛♦ ❝❤♦ x = y = 1, x = y ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✾ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✵ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊♣❤✐♠♦✈ ✲ ❙t❡❝❤❦✐♥ X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ✭❤❛② ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✮ ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ✈í✐ ❞➲② {xn } ❜✃t ❦× ♠➭ xn x ✈➭ xn → x t❤× xn → x ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ✶✳✷✳ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✶ ❈❤♦ A : X → X ∗ ❧➭ ột t tử trị tử A ợ ọ ❧➭ ✭✐✮ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ ♥Õ✉ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X; ♥Õ✉ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ x = y t❤× A(x) − A(y), x − y > 0, ∀x, y ∈ X; ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè τ > t❤á❛ ♠➲♥ A(x) − A(y), x − y ≥ τ x − y , ∀x, y ∈ X tư A ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ R2 ✈í✐ x = (x1 , x2 ) ∈ R2 s❛♦ ❝❤♦ ❈❤♦ t♦➳♥ x = (x2 − x1 ) ❑❤✐ ➤ã A ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ A(x) = −1 x2 ❚❤❐t ✈❐②✱ ✈í✐ ♠ä✐ x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , y = (y1 , y2 ) ∈ R2 t❛ ❝ã A(x) = (x2 , −x1 ), A(y) = (y2 , −y1 ) s✉② r❛ A(x) − A(y) = (x2 − y2 , −x1 + y1 ) ❉♦ ❱Ý ❞ô ✶✳✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✼ ◆Õ✉ A ❧➭ t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t tụ tự ợ ị ➞♠ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H t❤× A ❧➭ t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✳ ❑Õt q✉➯ ♥➭② ❧➭ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝đ❛ ❜ỉ ➤Ị s❛✉✳ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶ ✭①❡♠ ❬✼❪✮ ◆Õ✉ A:H→H ❧➭ t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❧✐➟♥ tụ tự ợ tr rt H tì ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✭✐✮ ∃mA > : A(x), x ≥ mA A(x) , ∀x ∈ H ❀ A(x), x ≥ 0, ∀x ∈ H ❀ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ❝đ❛ A ➤Ị✉ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳ ▼ét t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ t❤× ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✳ ❱Ý ❞ơ ✷✳✶ ❚♦➳♥ tö ❈❤♦ PK H ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ H ✳ ❝❤✐Õ✉ H ❧➟♥ K ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥✱ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ PK (x) − PK (y), x − y ≥ PK (x) − PK (y) , ∀x, y ∈ H, ❝ã ♥❣❤Ü❛ PK ❧➭ t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✱ ♥❤➢♥❣ PK ❦❤➠♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤ trõ ❦❤✐ K ≡ H ✭①❡♠ ❬✼❪ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❞➱♥✮✳ ❍Ư t❤ø❝ s❛✉ ➤➞② sÏ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ ❦❤✐ ➤➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤✿ ❝❤♦ a✱ b✱ c ❧➭ ❝➳❝ sè ❦❤➠♥❣ ➞♠ ➤ñ ❜Ð✱ p > q > 0✳ ◆Õ✉ ap ≤ baq + c t❤× t❛ ❝ã ap = O bp/(p−q) + c ✈➭ ❣ä✐ ❧➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❨♦✉♥❣✳ ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ❝❤♦ t❛ ❦Õt q✉➯ ✈Ị tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭①❡♠ ❬✷❪✮✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✳ ●✐➯ sư ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ t❤á❛ ♠➲♥✿ ✭✐✮ A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ tõ X ✈➭♦ X∗ ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✽ A(x) − A(x0 ) − A (x0 )(x − x0 ) ≤ τ˜ A(x) − A(x0 ) , ✭✷✳✶✽✮ ∀x ∈ X, ë ➤➞② A (x) ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t ❝ñ❛ A t➵✐ x✱ ✈➭ τ˜ ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣❀ A (x0 )∗ z = U s (x0 − x∗ ), U s ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (2.8)❀ ✭✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö ✭✐✐✐✮ t❤❛♠ sè z∈X s❛♦ ❝❤♦ tr♦♥❣ ➤ã α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ t❤á❛ ♠➲♥ α ∼ (h + δ + ε)η ✱ < η < 1✳ ❑❤✐ ➤ã✱ xτα(h,δ,ε) − x0 = O((h + δ + ε)µ1 ), µ1 = ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ 1−η η , s 2s ❚õ ✭✷✳✶✮✱ ✭✷✳✸✮ ✈➭ ✭✷✳✹✮ s✉② r❛ α U s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 + A(xτα ) − A(x0 ), xτα − x0 ≤ α U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα ✭✷✳✶✾✮ + Ah (xτα ) − A(xτα ), x0 − xτα + fδ − f, xτα − x0 + ε[d( x0 ) + d( xτα )] ❉♦ tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ ms xτα − x0 s A ✈➭ ✭✷✳✷✮✱ ✭✷✳✸✮✱ ✭✷✳✽✮ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✶✾✮ trë t❤➭♥❤ ≤ U s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 hg( xτα ) + δ τ xα − x0 ≤ α s + U (x − x∗ ), x0 − xτα ε + d( x0 ) + d( xτα ) α ✭✷✳✷✵✮ g(t), d(t) ✈➭ t❤❛♠ sè α, s✉② r❛ ❞➲② {xτα } ❜Þ ❝❤➷♥✳ ▼➷t ❦❤➳❝ ❦Õt ❤ỵ♣ ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ❝đ❛ t♦➳♥ tư A✱ tÝ♥❤ ❉♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✾ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ U s ✱ tõ ✭✷✳✶✾✮ t❛ ❝ã A(xτα ) − A(x0 ) ≤ m−1 A hg( xτα ) + δ + α x0 − x∗ s−1 × xτα − x0 + ε d( x0 ) + d( xτα ) ❉♦ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ t❤❡♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (iii) ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧Ý ✈➭ ❞➲② {xτα } ❣✐í✐ ♥é✐ ♥➟♥ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ √ A(xτα ) − A(x0 ) = O h + δ + ε + α ❑Õt ❤ỵ♣ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✷✳✷✶✮ (i)✱ (ii) ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈➭ ✭✷✳✷✶✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα = z, A (x0 )(x0 − xτα ) ≤ z (˜ τ + 1) A(xτα ) − A(x0 ) √ ≤ z (˜ τ + 1)O h + δ + ε + α ❑❤✐ ➤ã ✭✷✳✷✵✮ ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❧➵✐ ❧➭ hg( xτα ) + δ τ xα − x0 α √ + z O( h + δ + ε + α) ε + d( x0 ) + d( xτα ) α ❚❤❛♠ sè α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ α ∼ (h + δ + ε)η ✱ < η < 1, ♥➟♥ tõ ❜✃t ms xτα − x0 s ≤ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② s✉② r❛ ms xτα(h,δ,ε) − x0 s = O (h + δ + ε)1−η xτα(h,δ,ε) − x0 + O (h + δ + ε)η/2 + O (h + δ + ε)1−η ➳♣ ❞ô♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❨♦✉♥❣ ❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ t❛ ❝ã ➤➳♥❤ ❣✐➳ xτα(h,δ,ε) − x0 = O (h + δ + ε)µ1 ✭✷✳✷✷✮ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✵ ➜➳♥❤ ❣✐➳ ❦✐Ĩ✉ ✭✷✳✷✷✮ ❧➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤➷t ❧➟♥ ♣❤➬♥ ❞➢ ❝ñ❛ sù t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤ã❛ ❝ñ❛ A✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ✈Õ tr➳✐ ❝ñ❛ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ♥➭② ❝ã ❞➳♥❣ ➤✐Ư✉ ❦✐Ĩ✉ O( x − x0 ) ❝❤♦ t♦➳♥ tư ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ❝ã ➤➵♦ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tơ❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✿ A(x) − A(x0 ) − A (x0 )(x − x0 ) ≤ τ˜ x − x0 ✭✷✳✷✸✮ A ❧➭ t♦➳♥ tư ♣❤✐ t✉②Õ♥ t❤× sè ❤➵♥❣ A(x) − A(x0 ) ❝ã t❤Ó ♥❤á ❤➡♥ x − x0 ♠ét ❝➳❝❤ ➤➳♥❣ ❦Ĩ✱ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✭✷✳✷✷✮ ♠➵♥❤ ❤➡♥ ❑❤✐ ✭✷✳✷✸✮✳ ✷✳✷✳✶✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ t♦➳♥ tư Ah ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t♦➳♥ tư xτα ợ ị ý A t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✳ ▼ét ❝➞✉ ❤á✐ ➤➷t r❛ ❧➭ ♥Õ✉ Ah ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ t❤× tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ợ tế ị ý s sÏ ❝❤♦ t❛ ❦Õt q✉➯✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺✳ ✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ◆Õ✉ h, δ, ε > t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✶✮✲✭✸✮ ✈➭ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ t❤á❛ ♠➲♥ ✭✐✮ Ah ❧➭ t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ tõ X ✈➭♦ X∗ ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t Ah (x) − Ah (x0 ) − Ah (x0 )(x − x0 ) ≤ τ˜ Ah (x) − Ah (x0 ) , ë ➤➞② Ah (x) ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t ❝ñ❛ Ah ✭✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö zh s❛♦ ❝❤♦ ❞➲② t➵✐ zh ✭✷✳✷✹✮ x✱ ✈➭ τ˜ ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣❀ ❜Þ ❝❤➷♥ ✈➭ Ah (x0 )∗ zh = U s (x0 − x∗ ), tr♦♥❣ ➤ã Us ✭✐✐✐✮ t❤❛♠ sè ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ư♥ (2.8)❀ α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ t❤á❛ ♠➲♥ α ∼ (h + δ + ε)η ✱ < η < 1✳ ❑❤✐ ➤ã✱ xτα(h,δ,ε) − x0 = O((h + δ + ε)µ2 ), µ2 = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1−η η , s 2s http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✶ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ✭✷✳✶✮ ✈➭ ✭✷✳✹✮ s✉② r❛ α U s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 + Ah (xτα ) − Ah (x0 ), xτα − x0 ≤ α U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα 0 + Ah (x ) − A(x ), x − ✭✷✳✷✺✮ xτα + f − fδ , x0 − xτα + ϕε (x0 ) − ϕ(x0 ) + ϕ(xτα ) − ϕε (xτα ) ❉♦ tÝ♥❤ ➤➡♥ ❞✐Ư✉ ❝đ❛ Ah ✈➭ ✭✷✳✷✮✱ ✭✷✳✸✮✱ ✭✷✳✽✮ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✷✺✮ trë t❤➭♥❤ xτα − x0 s ≤ U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα hg( x0 ) + δ ✭✷✳✷✻✮ x − xτα α ε + d( x0 ) + d( xτα ) α ❉♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ g(t), d(t) ✈➭ t❤❛♠ sè α, s✉② r❛ ❞➲② {xτα } ❜Þ ❝❤➷♥✳ ▼➷t ❦❤➳❝ ❦Õt ❤ỵ♣ ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ❝đ❛ t♦➳♥ tư Ah ✱ tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ U s ✱ tõ ✭✷✳✷✺✮ t❛ ❝ã ≤ Ah (xτα ) − Ah (x0 ) ≤ m−1 A hg( x0 ) + δ + α x0 − x∗ s−1 × x0 − xτα + ε d( x0 ) + d( xτα ) ❙✉② r❛ Ah (xτα ) Ah (x0 ) = O ữ ết ợ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ √ h+δ+ε+α (i)✱ (ii) ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧Ý ✈➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα = zh , Ah (x0 )(x0 − xτα ) ≤ zh (˜ τ + 1) Ah (xτα ) − Ah (x0 ) √ ≤ zh (˜ τ + 1)O h + δ + ε + α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✷ ❑❤✐ ➤ã ✭✷✳✷✻✮ ❝ã ❞➵♥❣ hg( x0 ) + δ x0 − xτα α √ ✭✷✳✷✼✮ + zh (˜ τ + 1)O( h + δ + ε + α) ε + d( x0 ) + d( xτα ) α ❑❤✐ t❤❛♠ sè α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ α ∼ (h + δ + ε)η , < η < 1, t❤× tõ ❜✃t xτα − x0 s ≤ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② s✉② r❛ xτα(h,δ,ε) − x0 s = O (h + δ + ε)1−η x0 − xτα(h,δ,ε) + O (h + δ + ε)η/2 + O (h + δ + ε)1−η ❉♦ ➤ã xτα(h,δ,ε) − x0 = O (h + δ + ε)µ2 , µ2 = 1−η η , s 2s ✷ ❇➞② ❣✐ê t❛ ①✃♣ ①Ø ữ ề t tứ ế ỗ ❤ỵ♣ ✭✷✳✶✮✳ ❈❤♦ Xn ❧➭ ♠ét ❞➲② ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ❝đ❛ X : Xn ⊂ Xn+1 , ∀n ✈➭ Pn ❧➭ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ X ❧➟♥ Xn s❛♦ ❝❤♦ Pn x → x, ∀x ∈ X ❦❤✐ n → ∞ ●✐➯ sư Pn ❧➭ ❜Þ ❝❤➷♥ ➤Ò✉ tr➟♥ X, ✈➭ Pn = ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ Anh (xτα,n ) + αU sn (xτα,n − xn∗ ) − fδn , xn − xτα,n n + ϕε (x ) − ϕε (xτα,n ) ≥ 0, n ✭✷✳✷✽✮ ∀x ∈ Xn , ë ➤➞② Anh = Pn∗ Ah Pn , U sn = Pn∗ U s Pn , xn = Pn x, fδn = Pn∗ fδ Pn∗ ❧➭ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ Pn , ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ư♠ xτα,n ✈í✐ ♠ä✐ α > 0, τ > ✈➭ n✳ ✈➭ ➜➷t γn (x) = (I − Pn )x , ∀x ∈ X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✸ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✻✳ ✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ◆Õ✉ n → ∞ t❤× ❞➲② ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ h/α, δ/α, ε/α ✈➭ γn (x)/α → ❦❤✐ α → ✈➭ {xτα,n } ❤é✐ tơ tí✐ ♥❣❤✐Ư♠ x0 ∈ S ❱í✐ x ∈ S, xn = Pn x, tõ ✭✷✳✽✮ ✈➭ ✭✷✳✷✽✮ t❛ ❝ã αms xτα,n − xn s ≤ α U s (xτα,n − xn∗ ) − U s (xn − xn∗ ), xτα,n − xn ≤ Anh (xτα,n ) − fδn , xn − xτα,n + ϕε (xn ) − ϕε (xτα,n ) + α U s (xn − xn∗ ), xn − xτα,n ❉♦ tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ Ah ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❝❤✐Õ✉ Pn ♥➟♥ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ s✉② r❛ αms xτα,n − xn s ≤ Ah (xn ) − fδ , xn − xτα,n + ϕε (xn ) − ϕε (xτα,n ) + α U s (xn − xn∗ ), xn − xτα,n , ❤❛② ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝ß♥ ❝ã ❞➵♥❣ Ah (xn ) − A(xn ) + A(xn ) − A(x) α + A(x) − f + f − fδ , xn − xτα,n + ϕε (xn ) − ϕε (xτα,n ) ms xτα,n − xn s ≤ ✭✷✳✷✾✮ + α U s (xn − xn∗ ), xn − xτα,n ▼➷t ❦❤➳❝ tõ tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ A t❛ s✉② r❛ A(xn ) − A(x) ≤ C˜0 γn (x), C˜0 ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ❝❤Ø t❤✉é❝ ✈➭♦ x ❉♦ ➤ã sư ❞ơ♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭②✱ x ∈ S ✈➭ ✭✷✳✷✮✱ ✭✷✳✸✮ tõ ✭✷✳✷✾✮ s✉② r❛ r➺♥❣ tr♦♥❣ ➤ã ms xτα,n − xn s ≤ Ah (xn ) − A(xn ) + A(xn ) − A(x) α + f − fδ , xn − xτα,n + A(x) − f, x − xτα,n + ϕ(x) − ϕ(xτα,n ) + A(x) − f, xn − x + ϕε (xn ) − ϕε (x) + ϕε (x) − ϕ(x) − ϕε (xτα,n ) + ϕ(xτα,n ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✹ + U s (xn − xn∗ ), xn − xτα,n ❙✉② r❛ ms xτα,n n s −x hg( xn ) + C˜0 γn (x) + δ n ≤ x − xτα,n α ε + d( xτα,n + d( x ) α (C0 + A(x) − f )γn (x) + α + U s (xn − xn∗ ), xn − xτα,n ✭✷✳✸✵✮ x1 ∈ X ❦❤✐ h/α, δ/α, γn (x)/α → ✈➭ n → ∞ ❉♦ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ Ah , Pn ✈➭ ✭✷✳✷✽✮ ❑❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❣✐➯ sư r➺♥❣ xτα,n s✉② r❛ r➺♥❣ Ah (xn ) − fδ , xn − xτα,n + α U s (xτα,n − xn∗ ), xn − xτα,n + ϕε (xn ) ≥ ϕε (xτα,n ), ∀xn ∈ Xn ❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥✱ ❝❤♦ h, δ, ε, α → ✈➭ ❝❤♦ n → +∞ t❛ ➤➢ỵ❝ A(x1 ) − f, x − x1 + ϕ(x) − ϕ(x1 ) ≥ 0, ∀x ∈ X ❉♦ ➤ã x1 ∈ S ❚r♦♥❣ ✭✷✳✸✵✮ t❤❛② xn ❜ë✐ xn1 = Pn x1 , t❛ t❤✃② ❞➲② {xτα,n } ❤é✐ tô ♠➵♥❤ ➤Õ♥ x1 ✈➭ U s (x − x∗ ), x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ S ❚r♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ t❛ t❤❛② ❝❤♦ x ❜ë✐ tx1 + (1 − t)x, t ∈ (0, 1), s❛✉ ➤ã ❝❤✐❛ (1 − t) ✈➭ ❝❤♦ t ❞➬♥ tí✐ 1, t❛ ❝ã U s (x1 − x∗ ), x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ S ❉♦ ➤ã U s (x1 − x∗ ), x − x∗ ≥ U s (x1 − x∗ ), x1 − x∗ = x1 − x∗ s , ∀x ∈ S x1 − x∗ ≤ x − x∗ , ∀x ∈ S ❉♦ tÝ♥❤ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ S ✈➭ tÝ♥❤ ❧å✐ ❝❤➷t ❝ñ❛ X ♥➟♥ s✉② r❛ x1 = x0 , ❞♦ ➤ã ➤Þ♥❤ ❧ý ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❙✉② r❛ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✺ ➜➷t γn = max{γn (x0 ), γn (x∗ )} ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❞➲② ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✼✳ {xτα,n } ợ ị ý s sư r➺♥❣ ✭✐✮ ❈➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✐✮✱ ✭✐✐✮ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺ t❤á❛ ♠➲♥❀ ✭✐✐✮ Us t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (2.8) ✈➭ U s (x) − U s (y) ≤ C(R) x − y ν , < ν ≤ 1, tr♦♥❣ ➤ã ✭✐✐✐✮ ✭✷✳✸✶✮ C(R), R > 0, ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❞➢➡♥❣ t➝♥❣ tr➟♥ R = max{ x , y } Ah (Xn ) ♥➺♠ tr♦♥❣ Xn ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉ ✈í✐ n ➤đ ❧í♥ ✈➭ h ➤đ ♥❤á✳ α ∼ (h + δ + ε + γn )η1 , < η < 1, t❤× xτα,n − x0 = O((h + δ + ε + γn )µ3 + γnµ4 ), − η1 η1 ν µ3 = , , µ4 = , s 2s s s−1 ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ms xτα,n ❚r♦♥❣ ✭✷✳✸✵✮ t❤❛② − xn0 s xn ❜ë✐ xn0 = Pn x0 t❛ ➤➢ỵ❝ hg( xn0 ) + C˜0 γn + δ n ≤ x0 − xτα,n α ε τ + d( xα,n + d( x0 ) α (C0 + A(x0 ) − f )γn + α + U s (x0 − x∗ ), xn0 − xτα,n ✭✷✳✸✷✮ + U s (xn0 − xn∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xn0 − xτα,n ❚õ ✭✷✳✽✮✱ ✭✷✳✸✶✮ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (i) ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý s✉② r❛ r➺♥❣ ˜ ν γnν xn0 − xτα,n , ✭✷✳✸✸✮ U s (xn0 − xn∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xn0 − xτα,n ≤ C(R)2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✻ tr♦♥❣ ➤ã ˜ > x0 − x∗ ✈➭ R U s (x0 − x∗ ), xn0 − xτα,n = U s (x0 − x∗ ), xn0 − x0 + zh , Ah (x0 )(x0 − xτα,n ) ≤ x − x∗ s−1 ✭✷✳✸✹✮ γn + zh (1 + τ˜) Ah (x0 ) − Ah (xτα,n ) Ah (x0 ) − Ah (xτα,n ) ❚❤❛② xn ❜ë✐ xn0 tr♦♥❣ ✭✷✳✷✽✮ ✈➭ sư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❝❤✐Õ✉ Pn , t❛ ❝ã ❚❛ sÏ ➤➳♥❤ ❣✐➳ Ah (xτα,n ) − Ah (xn0 ) + Ah (xn0 ) − Ah (x0 ) + Ah (x0 ) − A(x0 ) + A(x0 ) − f + f − fδ , xn0 − xτα,n + α U s (xτα,n − xn∗ ), xn0 − xτα,n + ϕε (xn0 ) − ϕε (xτα,n ) ≥ ❉♦ ➤ã✱ Ah (xτα,n ) − Ah (xn0 ), (xτα,n − xn0 ≤ ≤ Ah (xn0 ) − Ah (x0 ) + Ah (x0 ) − A(x0 ) + f − fδ , xn0 − xτα,n + α U s (xτα,n − xn∗ ), xn0 − xτα,n + A(x0 ) − f, xn0 − x0 + x0 − xτα,n + ϕε (xn0 ) − ϕε (xτα,n ) ❙ư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ❝đ❛ Ah (xτα,n ) − Ah (xn0 ) Ah ✈➭ ✭✷✳✷✮✱ ✭✷✳✸✮ t❛ ❝ã ≤ C˜1 γn + hg( x0 ) + δ + α xτα,n − xn∗ s−1 × xn0 − xτα,n + (C0 + A(x0 ) − f )γn + ε d( xτα,n tr♦♥❣ ➤ã + d x0 , C˜1 ❧➭ ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ x0 ❉♦ ➤ã Ah (xτα,n ) − Ah (xn0 ) = O( h + δ + ε + α + γn ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✼ ◆❣♦➭✐ r❛✱ ✈× Ah (xτα,n ) − Ah (x0 ) ≤ Ah (xτα,n ) − Ah (xn0 ) + Ah (xn0 ) − Ah (x0 ) , ♥➟♥ s✉② r❛ Ah (xτα,n ) − Ah (x0 ) ≤ O( h + δ + ε + α + γn ) + C˜1 γn ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✷✳✸✸✮✱ ✭✷✳✸✹✮ ✈➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ tõ ✭✷✳✸✷✮ s✉② r❛ δ + hg( xn0 ) + C˜0 γn ˜ ν γnν × + C(R)2 α ˜ s−1 γn + ε d( xτα,n + d x0 × xn0 − xτα,n + R α (C0 + A(x0 ) − f )γn + α + zh (1 + τ˜) O( h + δ + ε + α + γn ) + C˜1 γn ms xτα,n − xn0 ◆Õ✉ t❤❛♠ sè s ≤ α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ α ∼ (h + δ + ε + α + γn )η1 , t❤× tõ ✭✷✳✸✺✮ t❛ ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ xτα,n − xn0 s ≤ C (h + δ + ε + α + γn )1−η1 + γnν xn0 − xτα,n + C γn + C (h + δ + ε + α + γn )1−η1 + C (h + δ + ε + α + γn )η1 /2 , tr♦♥❣ ➤ã C i , i = 1, 2, 3, ❧➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ❙✉② r❛ xτα,n − xn0 = O (h + δ + ε + α + γn )µ3 + γnµ4 ❉♦ ➤ã xτα,n − x0 = O (h + δ + ε + α + γn )à3 + nà4 , ị ý ợ ứ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✽ ❑Õt ❧✉❐♥ ❱í✐ ♣❤➵♠ ✈✐ ø♥❣ ❞ô♥❣ ré♥❣ r➲✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧➭ ♠ét ✈✃♥ ➤Ò q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ❝đ❛ ❖✳ ❆✳ ▲✐❦♦✈❡rts ❬✻❪ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤đ② ề ệ ỉ t tứ ế ỗ ❤ỵ♣ ✈í✐ t♦➳♥ tư ♥❤✐Ơ✉ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ➤➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ tr♦♥❣ ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ A ❤♦➷❝ Ah ❧➭ t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝✱ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✾ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ❛♥❞ ■✳ P✳ ❘②❛③❛♥ts❡✈❛✱ ▼♦♥♦t♦♥❡ ❚②♣❡✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ■❧❧✲P♦s❡❞ Pr♦❜❧❡♠s ♦❢ ❙♣r✐♥❣❡r ❱❡r❧❛❣✱ ◆❡✇ ❨♦r❦ ✭✷✵✵✻✮✳ ❬✷❪ ◆❣✳ ❇✉♦♥❣ ❛♥❞ ◆❣✳ ❚✳ ❚✳ ❚❤✉② ✭✷✵✵✽✮✱ ✧❖♥ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡✲ t❡r ❝❤♦✐❝❡ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❛t❡s ✐♥ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♠✐①❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✧✱ ❡♠❛t✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s✱ ✹✭✸✮✱ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❈♦♥t❡♠♣♦r❛r② ▼❛t❤✲ ♣♣✳ ✶✽✶✲✶✾✽✳ ❬✸❪ ●✳ ❈♦❤❡♥ ✭✶✾✽✽✮✱ ✧❆✉①✐❧✐❛r② ♣r♦❜❧❡♠ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✧✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✺✾✱ ♣♣✳ ✸✷✺✲✸✸✸✳ ❬✹❪ ■✳ ❊❦❡❧❛♥❞ ❛♥❞ ❘✳ ❚❡♠❛♠ ✭✶✾✼✵✮✱ Pr♦❜❧❡♠s✱ ❈♦♥✈❡① ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ◆♦rt❤✲❍♦❧❧❛♥❞ P✉❜❧✐s❤✐♥❣ ❈♦♠♣❛♥②✱ ❆♠st❡r❞❛♠✱ ❍♦❧❧❛♥❞✳ ❬✺❪ ■✳ ❱✳ ❑♦♥♥♦✈ ❛♥❞ ❊✳ ❖✳ ❱♦❧♦ts❦❛②❛ ✭✷✵✵✷✮✱ ✧▼✐①❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✲ ✐t✐❡s ❛♥❞ ❡❝♦♥♦♠✐❝ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✧✱ ♠❛t✐❝s✱ ✻✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆♣♣❧✐❡❞ ▼❛t❤❡✲ ♣♣✳ ✷✽✾✲✸✶✹✳ ❬✻❪ ❖✳ ❆✳ ▲✐s❦♦✈❡ts ✭✶✾✾✶✮✱ ✧❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♠✐①❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✧✱ ❙♦✈✐❡t ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❉♦❦❧✳✱ ✹✸✱ ♣♣✳ ✸✽✹✲✸✽✼ ✭✐♥ ❘✉ss✐❛♥✮✳ ❬✼❪ ❋✳ ▲✐✉ ❛♥❞ ▼✳ ❩✳ ◆❛s❤❡❞ ✭✶✾✾✽✮✱ ✧❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❛t❡s✧✱ ❙❡t✲❱❛❧✉❡❞ ❆♥❛❧②s✐s✱ ✻✱ ♣♣✳ ✸✶✸✲✸✹✹✳ ❬✽❪ ▼✳ ❆✳ ◆♦♦r ✭✷✵✵✷✮✱ ✧Pr♦①✐♠❛❧ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r ♠✐①❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✲ ✐t✐❡s✧✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✶✶✺✭✷✮✱ ✹✹✼✲✹✺✷✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ♣♣✳ ✹✵ ❬✾❪ ◆❣✳ ❚✳ ❚✳ ❚❤✉② ✭✷✵✶✵✮✱ ❆♥ ✐t❡r❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞ t♦ ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐♥✈❡rs❡✲str♦♥❣❧② ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s✱ ❆❞✈❛♥❝❡s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛✲ t✐♦♥s ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙✐❡♥❝❡s✱ ♣♣✳ ✶✻✺✲✶✼✹✳ ❬✶✵❪ ◆❣✳ ❚✳ ❚✳ ❚❤✉② ✭✷✵✶✵✮✱ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❚✐❦❤♦♥♦✈ r❡❣✉❧❛r③❛t✐♦♥ ❢♦r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♠✐①❡❞ ✈❛rr✐t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✇✐t❤ ✐♥✈❡rs❡✲str♦♥❣❧② ♠♦♥♦✲ t♦♥❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ♣♣✳ ✹✻✼✲✹✼✾✳ ❬✶✶❪ ❊✳ ❩❡✐❞❧❡r✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ■ts ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✭✶✾✽✺✮✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹✶ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❝❤Ø♥❤ sư❛ t❤❡♦ ②➟✉ ❝➬✉ ❝đ❛ ❤é✐ ➤å♥❣ ❝❤✃♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❤ä♣ t➵✐✿ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ♥❣➭② ✶✽ t❤➳♥❣ ✶✶ ♥➝♠ ✷✵✶✶✳ ❈❤÷ ❦Ý ❝đ❛ ❣✐➳♦ ✈✐➟♥ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❚❙✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤đ② Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ❜➯♥ ✈Ị t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ✶✳✷✳ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✶ ❈❤♦ A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tử trị tử A ợ ọ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ ♥Õ✉ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X; ♥Õ✉ ➤➡♥... ❈❤➢➡♥❣ ✷ ❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ t tứ ế ỗ ợ t tử ♥❤✐Ơ✉ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ tứ ế ỗ ợ t tử ễ ➤✐Ư✉✳ ❈❤➢➡♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ✷... ❧➭ t tử ợ ệ tì A tụ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➭ A(x) − A(y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ D(A) ⊂ X mA ❚♦➳♥ tö ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ①✉✃t ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈➭ ❝➳❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠ ♣❤✐ t✉②Õ♥✳ í t t tử