Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN QUYỀN HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ LOẠI ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 1.1 Toán tử đơn điệu cực đại 1.1.1 Một số tính chất hình học khơng gian 1.1.2 Tốn tử đơn điệu cực đại 1.1.3 Phiếm hàm lồi 14 1.2 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 17 1.2.1 Phát biểu toán 17 1.2.2 Sự tồn nghiệm tính chất tập nghiệm 19 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 26 2.1 Bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xác 26 2.1.1 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 26 2.1.2 Tham số hiệu chỉnh 30 2.2 Bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc xấp xỉ 34 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh 34 2.2.2 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 35 2.3 Bất đẳng thức biến phân với tốn tử nhiễu khơng đơn điệu 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3.1 Phương pháp hiệu chỉnh 38 2.3.2 Sự hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh 40 Kết luận chung 42 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Cho X không gian Banach thực phản xạ, X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn kí hiệu , A : X → X ∗ toán tử đơn điệu đơn trị K tập lồi đóng X Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu phát biểu sau: với f ∈ X ∗ cho trước, tìm phần tử x0 ∈ K cho Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K, (0.1) x∗ , x kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Nếu K ≡ X tốn (0.1) có dạng phương trình toán tử Ax = f (0.2) Bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) lớp toán nảy sinh từ nhiều vấn đề toán học ứng dụng phương trình vi phân, tốn vật lý tốn, tối ưu hóa Ngồi nhiều vấn đề thực tế tốn cân mạng giao thơng thị, mơ hình cân kinh tế vv mô tả dạng bất đẳng thức biến phân đơn điệu Rất tiếc toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, nói chung, lại tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào kiện đầu vào Do việc giải số tốn gặp khó khăn, lý sai số nhỏ kiện tốn dẫn đến sai số lời giải Vì thế, người ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán ban đầu Một phương pháp sử dụng rộng rãi có hiệu phương pháp hiệu chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tikhonov Bằng phương pháp này, I P Ryazantseva [4] xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) sở tìm phần tử xh,δ α ∈ K cho h,δ h,δ Ah xh,δ ≥ 0, ∀x ∈ K, α + αJ(xα ) − fδ , x − xα (0.3) (Ah , fδ ) xấp xỉ (A, f ), Ah toán tử đơn điệu từ X vào X ∗ , J : X → X ∗ ánh xạ đối ngẫu X, α > tham số dương (gọi tham số hiệu chỉnh) phụ thuộc vào h δ Nếu toán tử nhiễu Ah khơng đơn điệu bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (0.3) khơng có nghiệm Trong trường hợp Liskovets [3] đưa bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh dạng Ah xτα + αJ(xτα ) − fδ , x − xτα ≥ −νg( xτα ) x − xτα , ∀x ∈ K, xτα ∈ K, (0.4) ν ≥ h, τ = (h, δ) Trong nhiều toán thực tế tập ràng buộc K bất đẳng thức biến phân (0.1) lại cho xấp xỉ Do việc hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân (0.1) trường hợp đặc biệt quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn nhằm trình bày kết [1], [3], [4] hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân (0.1) đơn điệu với tập ràng buộc xác tập ràng buộc cho xấp xỉ đồng thời trình bày phương pháp hiệu chỉnh trường hợp tốn tử nhiễu khơng đơn điệu sở sử dụng ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J X làm thành phần hiệu chỉnh Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu khái niệm kết toán tử đơn điệu cực đại Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn không gian Banach phản xạ thực X, giới thiệu bất đẳng thức biến phân đơn điệu, trình bày tồn tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân đơn điệu Mối liên hệ bất đẳng thức biến phân đơn điệu tốn cực tiểu hàm lồi trình bày phần cuối chương Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh, hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, cách chọn tham số hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xác Trong phần thứ hai chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xấp xỉ phần cuối chương kết bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu Liskovets Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy tận tình hướng dẫn tơi hồn thiện luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thày, cô công tác trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun, Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thông tin - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, truyền thụ kiến thức cho tơi suốt q trình học tập vừa qua Tôi xin cảm ơn quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tác giả Nguyễn Văn Quyền Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp X Rn không gian Euclide n chiều ∅ tập rỗng x := y x định nghĩa y ∀x với x ∃x tồn x inf F (x) x∈X infimum tập {F (x) : x ∈ X} I ánh xạ đơn vị AT ma trận chuyển vị ma trận A a∼b a tương đương với b A∗ toán tử liên hợp toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A xk → x xk x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x dãy {xk } hội tụ yếu tới x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 1.1 Toán tử đơn điệu cực đại Cho X không gian Banach thực phản xạ, X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn kí hiệu , kí hiệu x∗ , x giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Các khái niệm kết phần tham khảo tài liệu [1], [2] [5] 1.1.1 Một số tính chất hình học khơng gian Định nghĩa 1.1 Khơng gian Banach X gọi lồi chặt mặt cầu đơn vị S = {x ∈ X : x = 1} X lồi chặt, tức từ x, y ∈ S kéo theo x + y < Ví dụ 1.1 Khơng gian Lp [a, b], < p < ∞ không gian lồi chặt Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X gọi lồi với ε > tồn số δ > cho với x, y ∈ X thỏa mãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = ε bất đẳng thức x + y ≤ 2(1 − δ) Ví dụ 1.2 Khơng gian Hilbert khơng gian lồi Định nghĩa 1.3 Không gian Banach thực X gọi khơng gian có tính chất Ephimov-Stechkin (hay khơng gian có tính chất E-S) X phản xạ X hội tụ yếu phần tử xn tụ chuẩn xn → x kéo theo hội tụ mạnh x hội xn − x → Ví dụ 1.3 Khơng gian Hilbert khơng gian có tính chất E-S 1.1.2 Tốn tử đơn điệu cực đại ∗ Cho toán tử đơn trị A : X → 2X , thường lệ ta ký hiệu miền hữu hiệu A D(A), miền giá trị A R(A) đồ thị A GrA Theo định nghĩa ta có: D(A) = domA := {x ∈ X : Ax = ∅}, R(A) := {y ∈ Y ∗ : y = Ax, x ∈ D(A)}, GrA := {(x, y) : y ∈ Ax, x ∈ X} Định nghĩa 1.4 Một tập G ⊆ X × X ∗ gọi đơn điệu bất đẳng thức f − g, x − y ≥ thỏa mãn với cặp (x, f ) (y, g) G ∗ Định nghĩa 1.5 Toán tử A : X → 2X gọi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (i) đơn điệu đồ thị tập đơn điệu, nghĩa với x, y ∈ D(A) ta có f − g, x − y ≥ 0, ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay (ii) đơn điệu chặt đẳng thức bất đẳng thức thỏa mãn x = y (iii) đơn điệu tồn hàm liên tục, tăng γ(t), (t ≥ 0), γ(0) = cho bất đẳng thức f − g, x − y ≥ γ( x − y ), ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay thỏa mãn với x, y ∈ D(A) Nếu γ(t) = ct2 , c số dương A tốn tử đơn điệu mạnh Trong trường hợp toán tử A : X → X ∗ đơn trị ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.6 Toán tử A : X → X ∗ gọi (i) đơn điệu Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); (ii) đơn điệu tồn hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = Ax − Ay, x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A) Nếu δ(t) = cA t2 với cA số dương tốn tử A gọi đơn điệu mạnh (iii) ngược đơn điệu mạnh tồn số mA > thỏa mãn Ax − Ay, x − y ≥ mA Ax − Ay , ∀x, y ∈ D(A) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Suy J x¯, x¯ ≤ J x¯, x0 , ∀x0 ∈ S0 , x¯ ∈ S0 Hay x¯ ≤ x0 , ∀x0 ∈ S0 Chứng tỏ x¯ = x¯0 Như dãy xτα x¯0 Từ (2.10) (2.12) với x0 = x¯0 ta viết δ h + g( x¯0 ) xτα − x¯0 + J x¯0 , x¯0 − xτα (2.16) α α Từ (2.11) (2.16) suy xτα → x0 α → Kết luận định xτα − x¯0 ≤ lý suy từ tính chất E-S khơng gian X ✷ Định lý 2.2 Với điều kiện Định lý 2.1, S0 = {x0 } tồn h+δ số C > cho x0 ≤ C α → xτα α Chứng minh: Suy trực tiếp từ định lý ✷ Định lý 2.3 Với điều kiện Định lý 2.1 2.2, hội tụ phương pháp hiệu chỉnh tốn tử (2.8) tương đương với tính giải bất đẳng thức biến phân (2.2) Chứng minh: Giả sử xτα x¯ ∈ X α → Khi đó, x¯ ∈ S0 chứng minh Định lý 2.1 Chiều ngược lại suy từ Định lý 2.1 2.2 ✷ 2.1.2 Tham số hiệu chỉnh Trong mục nghiên cứu toán chọn tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm trường hợp toán tử A cho xác bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh dạng (2.8) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Định lý 2.4 Cho X không gian Banach thực phản xạ có tính chất E-S với khơng gian đối ngẫu X ∗ lồi chặt, A : X → X ∗ toán tử đơn điệu cực đại, hemi-liên tục với miền hữu hiệu D(A), K ⊂ D(A) tập lồi đóng Giả sử bất đẳng thức biến phân (2.2) có tập nghiệm S0 khác rỗng x¯0 ∈ S0 nghiệm có chuẩn nhỏ nhất, fδ δ-xấp xỉ f thỏa mãn f − fδ ≤ δ ≤ 0X = K Khi tồn giá trị α ˜ > thỏa mãn ρ(˜ α) = α ˜ xδα˜ = kδ p , k > 1, p ∈ (0, 1], (2.17) xδα˜ nghiệm (cổ điển) bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Ax + αJx − fδ , z − x ≥ 0, ∀z ∈ K, x ∈ K, (2.18) với α = α ˜ Hơn nữa, (i) δ → α ˜ → 0, δ → 0, α ˜ (iii) δ → 0, p = S0 = {x0 } xδα˜ x0 tồn δ số C > cho ≤ C α ˜ (ii) δ → p ∈ (0, 1) xδα˜ → x¯0 Chứng minh: Toán tử đơn điệu cực đại hemi-liên tục A xác định tập mở D(A), nên intD(A) ∩ K = ∅ Do ta áp dụng kết Bổ đề 1.2 Định lý 1.9 Theo chứng minh Định lý 2.1, ta có xδα ≤ δ + x0 α xδα + δ x , ∀x0 ∈ S0 α (2.19) Suy xδα ≤ x0 + δ , ∀x0 ∈ S0 α (2.20) Cố định x0 ∈ S0 chọn α cho 2α x0 < (k − 1)δ p , k > 1, p ∈ (0, 1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.21) 32 Suy ρ(α) = α xδα ≤ 2α x0 + δ < (k − 1)δ p + δ ≤ kδ p (2.22) Mặt khác lim ρ(α) = ∞ α→∞ Do tồn tham số α ˜ suy từ tính liên tục ρ(α) Tiếp theo, từ (2.21) ta có bất đẳng thức (k − 1)δ p α ˜> x0 Do đó, x0 δ 1−p δ ≤ α ˜ k−1 δ δ Vì vậy, → δ → p ∈ (0, 1) ≤ C với C = x0 (k −1)−1 α ˜ α ˜ δ → p = Dễ thấy từ (2.20) suy tính bị chặn dãy {xδα˜ } Vì vậy, ta nhận xδα˜ x¯ ∈ X δ → Vì K tập đóng yếu nên suy x¯ ∈ K Bây ta chứng minh x¯ ∈ S0 Thật vậy, ta xây dựng toán tử đơn điệu cực đại ∗ B = A + ∂IK : X → 2X Rõ ràng D(B) = K Do theo Bổ đề 1.4, từ bất đẳng thức biến phân (2.18) với α = α ¯ ta có fδ ∈ Bxδα¯ + α ¯ Jxδx¯ Điều nghĩa tồn ξαδ¯ ∈ Bxδα¯ cho ξαδ¯ + α ¯ Jxδx¯ = fδ Từ (2.17) suy ρ(¯ α) = α ¯ xδα¯ = ξαδ¯ − fδ = kδ p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Từ suy ξαδ¯ → f δ → Từ tính đơn điệu tốn tử B, ta có ξαδ¯ − Az − y, xδα¯ − z , ∀z ∈ K, ∀y ∈ ∂IK z (2.23) Vì 0X ∗ ∈ ∂IK z với z ∈ K, nên (2.23) ta đặt y = θX ∗ Sau cho δ → ta f − Az, x¯ − z ≥ 0, ∀z ∈ K Từ bất đẳng thức suy x¯ ∈ S0 Giả sử p ∈ (0, 1) Bất đẳng thức (2.19) cho ta đánh giá xδα¯ ≤ 2δ + x0 , ∀x0 ∈ S0 α ¯ (2.24) Vì dãy {xδα¯ } hội tụ yếu đến x¯ ∈ S0 , nên từ (2.24) suy x¯ ≤ lim inf xδα¯ ≤ lim sup ≤ x0 , ∀x0 ∈ S0 δ→0 (2.25) δ→0 Do x¯ = x¯0 nghiệm x¯0 ∈ S0 có chuẩn nhỏ nhất Hơn hội tụ xδα¯ δ → suy từ (2.25) Vì X khơng gian có tính chất E-S, nên từ suy điều kiện ii) thỏa mãn Từ (2.17) suy kδ p α ¯= δ xα¯ (2.26) Rõ ràng xδα¯ > với δ > đủ bé x¯0 = 0X Điều suy từ giả thiết 0X ∈ / K Nên từ (2.26) suy α ¯ → δ → p ∈ (0, 1) Nếu p = xδα¯ x0 = 0X Từ tính chất liên tục yếu chuẩn không gian Banach ta suy x0 ≤ lim inf xδα¯ δ→0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 2.2 Bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc xấp xỉ Trong mục nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc cho xấp xỉ 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Giả sử {Ah } dãy toán tử đơn điệu cực đại, {Kσ } dãy tập lồi đóng D(Ah ) intKσ = ∅ intD(Ah ) ∩ Kσ = ∅ (2.27) Với δ ∗ , h∗ σ ∗ số dương, ta định nghĩa R = (0, δ ∗ ] × (0, h∗ ] × (0, σ ∗ ] Giả sử (2.5) thỏa mãn với x ∈ K ∩ Kσ với Ah Kσ Giả sử X không gian Hilbert H, tồn số M > cho yh − fδ ≤ M ( x + 1) , ∀yh ∈ Ah x, ∀x ∈ Kσ (2.28) γ = (δ, h, σ) ∈ R Ta nghiên cứu hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh toán tử cho bất đẳng thức biến phân với điều kiện xấp xỉ khác Kσ K Giả sử Kσ xấp xỉ K với khoảng cách Hausdorff, nghĩa HH (K, Kσ ) ≤ σ (2.29) Ta xét xấp xỉ nghiệm (2.2) sinh bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Ah x + αx − fδ , z − x ≥ 0, ∀z ∈ Kσ , x ∈ Kσ (2.30) Bất đẳng thức biến phân có nghiệm hiệu chỉnh, kí hiệu xγα Do tồn yαγ ∈ Ah xγα cho yαγ + αxγα − fδ , z − xγα ≥ 0, ∀z ∈ Kδ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.31) 35 Mỗi tốn tử Ah (2.30) khơng xác định tập Kσ Tuy nhiên, ta tìm cách để tham số h σ tiến đến Chú ý đặt cho tất bất đẳng thức biến phân dạng (2.30) 2.2.2 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Trong mục ta xét trường hợp K ⊆ Kσ Định lý 2.5 Giả sử (i) A : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại; (ii) K tập lồi đóng H; (iii) {Ah } dãy toán tử đơn điệu cực đại, Ah : H → 2H ; (iv) {Kσ } dãy tập lồi đóng thỏa mãn Kσ ⊆ D(Ah ); (v) K ⊆ Kσ với σ ∈ (0, σ ∗ ]; (vi) với x ∈ K, xấp xỉ A Ah cho HH (Ah x, Ax) ≤ hg( x ), x ∈ K, h ∈ (0, h∗ ], (2.32) g(t) hàm không âm, liên tục với t ≥ 0; (vii) điều kiện (2.1), (2.6), (2.27)-(2.29) thỏa mãn; (viii) bất đẳng thức biến phân (2.2) có tập nghiệm S0 khác rỗng Nếu δ+h+σ =0 α→0 α lim (2.33) dãy nghiệm {xγα } bất đẳng thức biến phân (2.30) hội tụ mạnh H đến nghiệm x¯0 ∈ S0 có chuẩn nhỏ α → Chứng minh: Theo điều kiện (2.29), với xγα ∈ Kσ với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 x0 ∈ S0 ⊂ K, tồn tương ứng phần tử uγα ∈ K vαγ ∈ Kσ cho xγα − uγα ≤ σ (2.34) x0 − vαγ ≤ σ (2.35) Từ x0 ∈ S0 , tồn y ∈ Ax0 cho (2.3) thỏa mãn Thay z uγα (2.3) vαγ (2.31), cộng bất đẳng thức nhận với yαγ ∈ Ah xγα yαγ + αxγα − fδ , vαγ − xγα + y − f, uγα − x0 ≥ 0, (2.36) ∀x0 ∈ S0 , y ∈ Ax0 Vì Ah tốn tử đơn điệu, với h ∈ (0, h∗ ] K ⊆ Kσ ⊆ D(Ah ) ta có yαγ − yh , xγα − x0 ≥ 0, ∀yh ∈ Ah x0 Hơn tồn yh ∈ Ah x0 cho yh − y ≤ hg( x0 ) Trên sở (2.36) ta nhận α xγα , xγα − vαγ ≤ y − f, uγα − xγα + yαγ − fδ , vαγ − xγα + y − f, xγα − x0 ≤ y − f, uγα − xγα + yαγ − fδ , vαγ − x0 + y − yαγ , xγα − x0 + fδ − f, xγα − x0 ≤ y − f, uγα − xγα + yαγ − fδ , vαγ − x0 + yh − y, x0 − xγα + f − fδ , x0 − xγα ≤ y − f, uγα − xγα + yαγ − fδ , vαγ − x0 + hg x0 +δ xγα − x0 (2.37) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Do từ (2.28), (2.34) (2.35) suy xγα − xγα − h g α δ σ h + M + g x0 + σ + x0 α α α δ σ σ x0 + + M x0 − 2M ≤ 0, ∀x0 ∈ S0 α α α (2.38) Từ suy đánh giá xγα ≤ δ σ h +M + g α α α x0 +σ+2 x0 + , ∀x0 ∈ S0 , (2.39) kết hợp với (2.33) suy dãy {xγα } bị chặn Từ xγα − uγα ≤ σ, dãy {uγα } bị chặn Do đó, uγα x¯ ∈ H Hơn x¯ ∈ K uγα ∈ K K tập đóng yếu Do vậy, ta suy xγα x¯ ∈ K α → Theo Bổ đề 1.4, bất đẳng thức biến phân (2.30) tương đương với fδ ∈ B λ xγα + αxγα toán tử B λ = Ah + ∂IKσ , λ = (h, σ) toán tử đơn điệu cực đại với D(B λ ) = Kσ Do tồn phần tử ξαγ ∈ B λ xγα cho ξαγ + αxγα = fδ (2.40) ξαγ = y˜αγ + zαγ , (2.41) Rõ ràng ξαγ thay y˜αγ ∈ Ah xγα zαγ ∈ ∂IKσ xγα Từ (2.6), (2.40) (2.41) suy lim (˜ yαγ + zαγ ) = f (2.42) α→0 dãy {xγα } bị chặn Sử dụng bao hàm thức K ⊆ Kσ (2.32), với x ∈ K y ∈ Ax, ta xác định dãy {yh } cho yh ∈ Ah x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 yh → y h → Vì B λ toán tử đơn điệu K ⊆ Kσ = D(B λ ), ta có (˜ yαγ + zαγ − yh − z σ , xγα − x) ≥ 0, ∀x ∈ K, z σ ∈ ∂IKσ x Chú ý 0H ∈ ∂IKσ x với x ∈ Kσ Nên, bất đẳng thức cuối ta đặt zσ = 0H Khi đó, sau cho qua giới hạn α → ta nhận (f − y, x¯ − x) ≥ 0, ∀x ∈ K, ∀y ∈ Ax, x¯ ∈ K Từ Bổ đề 1.2 suy x¯ ∈ S0 Từ (2.37) ta có δ h xγα − x0 ≤ xγα − x0 + g x0 α α σ + M x0 + xγα + α γ 0 γ + σ xα + x , x − xα , ∀x0 ∈ S0 (2.43) Đặt x0 = x¯ Khi dãy {xγα } hội tụ mạnh đến x¯ (2.33) Trong (2.43) cho α → ta nhận x0 , x0 − x¯ ≥ 0, ∀x0 ∈ S0 , từ suy x¯ = x¯0 Cuối cùng, dãy xγα hội tụ mạnh đến x¯0 α → Định lý chứng minh ✷ Hệ 2.1 Nếu S0 = {x0 } tồn số C > cho δ+h+σ ≤ Cα α → 0, α Định lý 2.5 cho hội tụ yếu dãy xγα đến x0 2.3 Bất đẳng thức biến phân với tốn tử nhiễu khơng đơn điệu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 2.3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Cho R0 = (0, δ ∗ ] × (0, h∗ ], X khơng gian Banach phản xạ lồi chặt với không gian liên hợp X ∗ , A Ah toán tử demi-liên tục, A : X → X ∗ tốn tử đơn điệu, K tập lồi đóng Trong mục này, ta khơng địi hỏi tính đơn điệu toán tử Ah : X → X ∗ Tuy nhiên, giả thiết Ax − Ah x ≤ hg( x ), ∀x ∈ K, ∀h ∈ R0 , (2.44) g(t) hàm tăng, không âm với t ≥ Giả sử điều kiện (2.6) thỏa mãn Khi bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.8) khơng có nghiệm, để hiệu chỉnh cho toán (2.2) trường hợp ta sử dụng bất đẳng thức biến phân Ah xτα + αJ(xτα ) − fδ , x − xτα ≥ −νg( xτα ) x − xτα , ∀x ∈ K, xτα (2.45) ∈ K, ν ≥ h Bổ đề 2.1 Với α > 0, ν > fδ ∈ X ∗ , bất đẳng thức biến phân (2.45) có nghiệm xτα Chứng minh: Lập luận tương tự chứng minh cho bất đẳng thức (2.8) ta suy bất đẳng thức biến phân Ah xδα + αJ(xδα ) − fδ , x − xδα ≥ 0, ∀x ∈ K, (2.46) có nghiệm (kí hiệu xδα ) Từ (2.44) (2.46) ta nhận Ah xδα + αJ(xδα ) − fδ , x − xδα ≥ −hg( xδα ) x − xδα , ∀x ∈ K, xδα (2.47) ∈ K Vì ν ≥ h nên xδα (suy xτα ) nghiệm (2.45) ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 2.3.2 Sự hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh Định lý 2.6 Giả sử A Ah toán tử demi-liên tục, A tốn tử đơn điệu, Ah khơng đơn điệu thỏa mãn (2.44), fδ ∈ X ∗ thỏa mãn (2.6), toán tử A có tính chất Γ tập nghiệm tốn (2.2) khác rỗng Khi δ+h+ν = α→0 α lim (2.48) {xτα } hội tụ mạnh đến nghiệm x0 có chuẩn nhỏ Chứng minh Từ (2.2) (2.45) suy Ah xτα + αJ(xτα ) − fδ , x0 − xτα + Ax − f, xτα −x ≥ −νg( xτα ) x − xτα (2.49) Bất đẳng thức tương đương với α J(xτα ) − J(x0 − x∗ ), xτα − x0 ≤ α J(x0 ), x0 − xτα + Ah xτα − Axτα , x0 − xτα + Ax0 − Axτα , xτα − x0 + f − fδ , x0 − xτα + νg( xτα ) x0 − xτα (2.50) Sử dụng tính chất J, tính đơn điệu A, từ (2.6), (2.44) (2.50) ta nhận được: xτα − x0 ≤ δ h+ν g( xτα ) + α α x0 − xτα (2.51) + J(x0 ), x0 − xτα Vì ν/α → α → (và suy h/α → 0), từ (2.48) (2.50) suy dãy xτα bị chặn Vì tồn dãy dãy xτα hội tụ yếu đến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 phần tử x¯ ∈ K Khơng làm tính tổng qt ta giả sử xτα hội tụ yếu đến x¯ ∈ K Bây ta hội tụ mạnh dãy {xτα } tới x¯ Từ tính chất đơn điệu tốn tử A tính chất J suy ≤ Axτα − A¯ x, xτα − x¯ ≤ Axτα + αJ(xτα ) − A¯ x − αJ(¯ x), xτα − x¯ = Axτα + αJ(xτα ), xτα (2.52) − x¯ − A¯ x + αJ(¯ x), xτα − x¯ Vì dãy {xτα } hội tụ yếu đến x¯ nên lim A¯ x + αJ(¯ x), xτα − x¯ = α→0 (2.53) Từ (2.44), suy Axτα + αJ(xτα ), xτα − x¯ = = Axτα − Ah xτα + Ah xτα + αJ(xτα ), xτα − x¯ (2.54) ≤ Ah xτα + αJ(xτα ), xτα − x¯ + hg( xτα ) xτα − x¯ Sử dụng bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.45) ta nhận Ah xτα + αJ(xτα ), xτα − x¯ = Ah xτα + αJ(xτα ) − fδ , xτα − x¯ + fδ , xτα − x¯ (2.55) ≤ fδ , xτα − x¯ + νg( xτα ) x¯ − xτα Vì xτα x¯ nên từ (2.55) suy lim Ah xτα + αJ(xτα ), xτα − x¯ ≤ α→0 Kết hợp (2.52)-(2.54) (2.56) ta nhận lim Axτα − A¯ x, xτα − x¯ = α→0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.56) 42 Cuối tính chất Γ tốn tử A đẳng thức suy {xτα } hội tụ mạnh đến x¯ ∈ K Bây ta x¯ ∈ S0 Từ (2.44) (2.45) ta nhận Axτα + αJ(xτα ) − fδ , x − xτα ≥ −(h + ν)g( xτα ) x− xτα (2.57) , ∀x ∈ K Cho α → bất đẳng thức với ý A toán tử demi-liên tục điều kiện (2.6) suy A¯ x − f, x − x¯ ≥ 0, ∀x ∈ K Nghĩa x¯ ∈ S0 Ta chứng minh x¯ = x0 Sử dụng tính đơn điệu ánh xạ J, kết hợp (2.44) tính chất J, ta viết lại (2.47) dạng J(x), xτα − x ≤ h+ν δ g( xτα ) + α α x − xτα , ∀x ∈ S0 Từ α → 0, δ/α, ν/α → (và h/α → 0), bất đẳng thức cuối trở thành J(x), x¯ − x ≤ 0, ∀x ∈ S0 Thay x t¯ x + (1 − t)x, t ∈ (0, 1) bất đẳng thức cuối cùng, chia vế cho (1 − t) sau cho t tiến đến 1, ta nhận J(¯ x), x¯ − x ≤ 0, ∀x ∈ S0 Sử dụng tính chất J ta có x¯ ≤ x , ∀x ∈ S0 Vì tính lồi đóng tập nghiệm S0 tính lồi đóng K, ta suy x¯ = x0 ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 KẾT LUẬN CHUNG Đề tài luận văn đề cập đến phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu Nội dung bao gồm: - Trình bày hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xác - Nghiên cứu toán hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xấp xỉ khơng gian Hilbert trình bày định lý hội tụ nghiệm hiệu chỉnh - Trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu không gian Banach, chứng minh hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Tài liệu tham khảo [1] Ya I Alber and I P Ryazantseva, Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer Verlag, New York (2006) [2] I Ekeland and R Temam, Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland (1970) [3] O A Liskovets (1991), "Regularization of ill-posed variational inequalities on approximately given sets", Differen Equa., Minsk, 1-53 [4] I P Ryazantseva (1983), "Solution of variational inequalities with monotone operators by the method of regularization", Zh Vychisl Mat i Mat Fiz., 23, pp 479-483 (in Russian) [5] E Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer, New York, (1985) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... phản xạ thực X, giới thiệu bất đẳng thức biến phân đơn điệu, trình bày tồn tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân đơn điệu Mối liên hệ bất đẳng thức biến phân đơn điệu toán cực tiểu hàm lồi... 2.2 Bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc xấp xỉ Trong mục nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc cho xấp xỉ 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Chương Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu Trong phần đầu chương chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử đa trị tập ràng buộc