Về bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh

Về bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnhVề bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnhVề bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnhVề bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnhVề bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnhVề bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ DUYÊN VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ DUYÊN VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2014 i LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập thực luận văn, nhận dạy bảo tận tình thầy giáo trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Đặc biệt bảo, hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Lê Dũng Mưu Qua tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Dũng Mưu, tới thầy cô giáo bạn đồng nghiệp giúp đỡ suốt thời gian qua Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng 06 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Duyên ii Mục lục Mở đầu 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1 1.2 Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Tập lồi, hàm lồi 1.1.3 Toán tử đơn điệu Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Phát biểu toán 1.2.2 Sự tồn nghiệm toán 10 1.2.3 Một số ví dụ điển hình 15 Một số phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh 23 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 23 2.2 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi 31 2.3 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo số cho trước 33 2.4 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo số không cho trước 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii Các kí hiệu danh mục từ viết tắt •A B : Hợp hai tập hợp A B •A B :Giao hai tập hợp A B • R: Tập số thực • [a; b]: Đoạn đóng tập hợp số thực với đầu mút a, b a < b • (a; b): Khoảng mở tập hợp số thực với đầu mút a, b a < b • ∀: Với • ∃: Tồn • H : Không gian Hilbert • , : Tích vơ hướng • : Chuẩn • V IP : Bài toán bất đẳng thức biến phân • SOL − V IP : Tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân MỞ ĐẦU Bài toán Bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Hartman Stampachia Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều ứng dụng thực tiễn giới thiệu sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” Kinderlehrer D Stampachia G., xuất năm 1980 sách “Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems” Baiocci C Capelo A., xuất năm 1984 Năm 1979 Michael J Smith đưa toán cân mạng giao thông đến năm 1980 Defermos điểm cân toán nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Từ tốn bất đẳng thức biến phân phát triển trở thành công cụ hữu hiệu để nghiên cứu giải toán cân kinh tế tài chính, vận tải, lí thuyết trò chơi nhiều toán khác Trong toán bất đẳng thức biến phân lớp tốn bất đẳng thức biến phân với tốn tử giả đơn điệu mạnh có vị trí quan trọng Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, kết nghiên cứu luận văn trình bày thành hai chương với tiêu đề: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân Chương 2: Một số phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh Nội dung chương là: Chương 1: Một số kiến thức sở khơng gian Hilbert thực, giải tích lồi, khái niệm toán tử đơn điệu Sau đó, phát biểu tốn bất đẳng thức biến phân, tồn nghiệm, đề cập đến tốn liên quan, mơ hình thực tế Chương 2: Trình bày số phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân với tốn tử giả đơn điệu mạnh Cụ thể trình bày ba thuật toán: + Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi trục số dương + Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi theo số cho trước liên quan đến hệ số giả đơn điệu mạnh số Lipschitz ánh xạ giá + Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi khơng đòi hỏi biết hệ số giả đơn điệu mạnh số Lipschitz ánh xạ giá Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân Nội dung chương bao gồm: Một số kiến thức sở không gian Hilbert thực, giải tích lồi, khái niệm tốn tử đơn điệu Tiếp theo phát biểu toán bất đẳng thức biến phân, tồn nghiệm số tốn ví dụ có liên quan Các kiến thức chương lấy từ tài liệu [1], [2], [3], [4] 1.1 1.1.1 Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính thực Tích vơ hướng xác định H ánh xạ xác định sau: , : H × H → R (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện sau: i) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X ii) x + y, z = x, y + y, z , ∀x, y, z ∈ X iii) λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R; ∀x, y ∈ X iv) x, x ≥ 0, ∀x ∈ X, x, x = ⇔ x = x, y gọi tích vơ hướng hai vec tơ x y x = x, x với x ∈ H , H gọi khơng gian tiền Hilbert (hay gọi khơng gian Unita) Nếu khơng gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Nếu H khơng gian tuyến tính định chuẩn với Trong luận văn ta thống kí hiệu H không gian Hilbert thực ta chủ yếu làm việc không gian Ơcơlit thực Rn Ví dụ 1.2 1) Lấy H = Rn với x = (x1 , x2 , ., xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ H biểu n thức x, y = xi yi xác định tích vơ hướng Rn i=1 2) Lấy H = C[0,1] không gian hàm liên tục [0,1] nhận giá trị thực với x, y ∈ H biểu thức x, y = x(t)y(t)dt xác định tích vơ hướng C[0,1] Khi khơng gian khơng L gian tiền Hilbert thường kí hiệu C[0,1] 3) Cho (Ω, β, µ) khơng gian độ đo kí hiệu: L2 (Ω) = f : Ω → C : |f (x)2 |dµ < ∞ Ω f (x)g(x)dµ, L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng f, g = Ω H Định lý 1.3 Cho H không gian tiền Hilbert, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau : | x, y |2 ≤ x, x y, y Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Schwarz Định lý 1.4 Cho H khơng gian Hilbert , : H × H → R hàm liên tục Định lý 1.5 (Đẳng thức hình bình hành) Với x,y khơng gian tiền Hilbert H ta có: x+y 1.1.2 + x−y = 2( x + y ) Tập lồi, hàm lồi Định nghĩa 1.6 Một tập C ⊆ H gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Định nghĩa 1.7 Một tập hợp C ⊆ H gọi nón nếu: ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập lồi C nón lồi có tính chất sau: i) λC ⊆ C, ∀λ > ii) C + C ⊆ C Tập C ⊆ H ta giả thiết C tập lồi (nếu khơng giải thích thêm) Định nghĩa 1.8 Cho C tập lồi khác rỗng H điểm x ∈ C , nón pháp tuyến C x tập kí hiệu kí hiệu sau N (x/C) = {x∗ ∈ H ∗ : x∗ , x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ C} Định nghĩa 1.9 Cho hàm f : C → R ∪ {+∞} Khi hàm f gọi i) lồi C nếu: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] ii) lồi chặt C nếu: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1) iii) lồi mạnh với hệ số β > C với x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β x−y ... bày thành hai chương với tiêu đề: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân Chương 2: Một số phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh Nội dung chương... thức biến phân • SOL − V IP : Tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 1 MỞ ĐẦU Bài toán Bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Hartman Stampachia Bài toán bất đẳng thức biến phân không... tài chính, vận tải, lí thuyết trò chơi nhiều toán khác Trong toán bất đẳng thức biến phân lớp tốn bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh có vị trí quan trọng Ngồi phần mở đầu, kết