Bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là phương trình toán tử đơn điệu.

Bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là phương trình toán tử đơn điệu.

0 Đây tóm tắt luận án Lời nói đầu Cho I n không gian tuyến tính n chiỊu vµ ', 'j ; j = 1; :::; m; R e hàm xác định I n Bài toán tối -u tổng quát đ-ợc phát biĨu nh- sau: t×m R x S cho e '(e) = '(x); x x2S S= ( x2I n: R 'j (x) 0; j = 1; :::; r; e 'j (x) = 0; j = r + 1; :::; m: e (0.1) (0.2) Đặt 'j (x) = maxf0; 'j (x)g; j = 1; :::; r vµ 'j (x) = 'j (x); j = r + 1; :::; m e e Khi ®ã, S = fx I n : 'j (x) = 0; j = 1; :::; mg R toán (0.1) - (0.2) trở thành toán: tìm x S cho e '(e) = '(x); x x2S (0.3) S = fx I n : 'j (x) = 0; j = 1; :::; mg: R T-ơng tự, không gian vô hạn chiều ta có toán cực tiểu sau Cho X, Y hai không gian Banach, '(x) phiếm hàm xác định X F ánh xạ từ X vào Y Xét toán: tìm x S cho e '(e) = '(x); x x2S (0.4) S tập nghiệm ph-ơng trình F (x) = f; f R(F ); (0.5) R(F ) miền giá trị ánh xạ F Bài toán (0.4) (0.5), ' phiếm hàm tính chất lồi mạnh lồi F toán tử đơn điệu từ X vào Y = X Ô tính đơn điệu mạnh đơn điệu đều, nói chung toán đặt không chỉnh (ill-posed), theo nghĩa nghiệm toán không ổn định với kiện cho tr-ớc Bài toán (0.5) đ-ợc hiệu chỉnh dựa việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov Fđ(x) = kFh (x) Ă f k2 + ®-(x); Y x D(Fh ) ´ D(F ) (0:6) đ > tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h (đ = đ(h; )), (Fh ; f± ) lµ xÊp xØ cđa (F; f ), -(x) phiếm hàm ổn định D(F ) miền xác định F Nếu Fh toán tử phi tuyến Fđ (x) nói chung không lồi Do đó, áp dụng kết đà đạt đ-ợc gần lĩnh vực cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm phần tử cùc tiĨu cđa F® (x) ChÝnh ®iỊu ®ã dÉn ®Õn việc cực tiểu rời rạc hoá (0.6) phức tạp Nếu Y = X Ô , không gian đối ngẫu không gian Banach X, hai có chn kÝ hiƯu lµ k:k, F : X ! X Ô toán tử đơn điệu hemi-liên tục (hemi continuouns), nghiệm hiệu chỉnh cho toán (0.5) đ-ợc xây dựng dựa việc giải ph-ơng trình phụ thuéc tham sè Fh (x) + ®U s(x) = f± ; kf Ă f k ; (0:7) U s ánh xạ đối ngẫu tổng quát X Alber ®· chøng minh r»ng nÕu ± h ! 0, ! đ ! 0, nghiệm x cđa (0.7) (¿ = (h; ±)) héi tơ ®Õn ® ® ® nghiƯm x0 cã chn nhá nhÊt cđa bµi toán (0.5), tức kx0 k = kxk: x2S ViƯc chän tham sè hiƯu chØnh ® = ®(±) thÝch hợp cho ph-ơng trình hiệu chỉnh (0.7) Fh F đà đ-ợc Alber nghiên cứu đó, Alber tham số đ phụ thuộc vào đánh giá đ-ợc ph-ơng trình ẵ(đ) = K p ; < p < 1; K > 1; ẵ(đ) = đkx k Nghĩa với cố định, chọn đ = đ() cho đ p đkxđk = K : Ph-ơng trình hiệu chỉnh (0.7) với cách chọn tham số đ = đ() nh- thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov cho toán (0.5) Năm 2005, Nguyễn B-ờng đà nghiên cứu việc chọn giá trị tham số hiệu chỉnh đ cho ẵ(đ) = p đĂq ; q p > 0; cho toán (0.5) xét ph-ơng trình hiệu chỉnh (0.7) tr-ờng hợp Fh F toán tử đơn điệu Nếu ' phiếm hàm lồi, khả vi Fréchet xác định không gian Banach X, toán (0.4) (0.5) t-ơng đ-ơng với toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality): t×m x0 S cho hA(x0 ); x ¡ x0 i ¸ 0; 8x S; (0.8) A đạo hàm Fréchet ' S tập nghiệm ph-ơng trình (0.5) với toán tử đơn điệu F : X ! X Ô Do (0.5) toán đặt không chỉnh bất đẳng thức (0.8) toán đặt không chỉnh, cho dù A toán tử đơn điệu mạnh đơn điệu Nghiệm hiệu chỉnh toán (0.8), A có tính đơn điệu mạnh, đ-ợc xây dựng dựa việc tìm nghiệm ph-ơng trình Fh (x) + đA(x) = f : (0.9) Cách tiếp cận toán (0.4) (0.5) đà đ-ợc Nguyễn B-ờng nghiên cứu Fh toán tử đơn điệu hemi-liên tục, với h đ > ph-ơng trình (0.9) cã nhÊt nghiÖm x¿ , ! 0, ! 0, đ đ đ đ ! 0, x hội tụ đến nghiệm toán (0.8) Việc đánh giá tèc ®é héi ® tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh không gian vô hạn chiều nh- nghiệm hiệu chỉnh đà đ-ợc xấp xỉ hữu hạn chiều đ-ợc xét với điều kiện không đạo hàm cấp cho ®Õn cÊp [s] ¡ cđa to¸n tư F Một câu hỏi đặt liệu sử dụng đạo hàm cấp F để đánh giá tốc độ hội tụ đ-ợc không? Mặt khác, việc chän tham sè hiƯu chØnh, tèc ®é héi tơ cđa nghiệm hiệu chỉnh không gian vô hạn chiều nh- nghiệm hiệu chỉnh đà đ-ợc xấp xỉ hữu hạn chiều tham số đ chọn sau ch-a đ-ợc đề cập đến Đặc biệt, vấn đề t-ơng tự, toán tử nhiễu Fh F không đơn điệu ch-a đ-ợc nghiên cứu Mục đích luận án nhằm giải vấn đề nêu cho toán (0.8) với ràng buộc ph-ơng trình toán tử đơn điệu Cụ thể, luận án này, giải vấn đề sau: Xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho toán (0.8) toán tử nhiễu Fh F đơn điệu Nghiên cứu hội tụ đánh giá tốc độ hội tơ cđa nghiƯm (k) hiƯu chØnh kh«ng gian v« hạn chiều điều kiện Fh , đạo hàm cấp k với k [s], thay điều kiện đặt lên Fh , đạo hàm cấp Fh Đồng thời xây dựng đ-ợc nghiệm hiệu chỉnh đ-ợc xấp xỉ hữu hạn chiều đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm dựa việc chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng với điều kiện Xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho toán (0.8) toán tử nhiễu Fh F không đơn điệu Nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Nội dung luận án đ-ợc trình bày ba ch-ơng Ch-ơng giới thiệu số nét toán đặt không chỉnh, toán tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân số ph-ơng pháp tìm nghiệm xấp xỉ cho toán đặt không chỉnh Ch-ơng trình bày ph-ơng pháp hiệu chỉnh cho toán (0.8) toán tử nhiễu Fh F đơn điệu Kết ch-ơng đánh giá đ-ợc tốc độ hội tụ ph-ơng pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh đ-ợc chọn theo nguyên lí độ lệch suy rộng nh- chọn tiên nghiệm Đồng thời xây dựng đ-ợc nghiệm hiệu chỉnh đ-ợc xấp xỉ hữu hạn chiều đánh giá đ-ợc tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh dựa vào điều kiện đạo hàm cấp Fh Phần cuối ch-ơng đ-a vài ví dụ số minh hoạ cho kết lí thuyết đạt đ-ợc Ch-ơng trình bày ph-ơng pháp hiệu chỉnh cho toán (0.8), toán tử nhiễu Fh F không đơn điệu Kết ch-ơng đánh giá đ-ợc tốc độ héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh Ci cïng chóng t«i đ-a ví dụ minh hoạ Ch-ơng Một số khái niệm 1.1 Bài toán đặt chỉnh toán đặt không chỉnh Xét toán dạng ph-ơng trình toán tử F (x) = f; x X; f Y; (1.1) F toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y Định nghĩa 1.1 Bài toán tìm nghiệm x X cđa (1.1) theo d÷ kiƯn f Y đ-ợc gọi toán đặt chỉnh cặp kh«ng gian metric (X; Y ), nÕu cã: 1) Víi f Y tồn nghiệm x X; 2) Nghiệm x đ-ợc xác định cách nhất; 3) Bài toán ổn định cặp không gian (X; Y ) NÕu Ýt nhÊt mét ba ®iỊu kiện không thoả mÃn toán (1.1) đ-ợc gọi toán đặt không chỉnh Trong luận án xét toán đặt không chỉnh tr-ờng hợp nghiệm toán không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu 1.2 Toán tử đơn điệu khái niệm liên quan Các định nghĩa th-ờng xuyên đ-ợc sử dụng luận án Toán tử F từ không gian Banach X vào X Ô đ-ợc gọi đơn điệu hF (x) Ă F (y); x ¡ yi ¸ 0; 8x; y D(F ); (1.2) F đ-ợc gọi đơn điệu chặt dấu đạt đ-ợc x = y Toán tử F từ không gian Banach X vào X Ô, hai có chuẩn đ-ợc kí hiệu k:k, đ-ợc gọi đơn điệu tồn hàm không âm (t) không giảm với t ¸ 0; ±(0) = cho hF (x) ¡ F (y); x ¡ yi ¸ ±(jjx ¡ yjj); 8x; y D(F ): (1.3) NÕu ±(t) = cF t2, cF số d-ơng F đ-ợc gọi toán tử đơn điệu mạnh Toán tử F đ-ợc gọi hemi-liên tục X F (x + ty) * F x t ! 0+ víi x; y X, F đ-ợc gọi d-liªn tơc trªn X, nÕu tõ xn ! x, cho F xn * F x n ! +1: 1.3 Bất đẳng thức biến phân Giả sử X không gian Banach phản xạ X Ô đối ngẫu X Cho F : X ! X Ô toán tử đơn điệu hemi-liên tục ' : X ! I lµ hµm e R låi chÝnh th-êng nửa liên tục d-ới Bài toán: tìm x0 X tho¶ m·n hF (x0 ) ¡ f; x ¡ x0 i + '(x) + '(x0 ) ¸ 0; e e 8x X; (1.6) f X Ô , đ-ợc gọi toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Nếu ' hàm e đặc tr-ng tập đóng lồi S X, tức lµ: '(x) = x nÕu e x S vµ '(x) = +1 nÕu x S, th× ta cã toán bất đẳng thức biến phân e = cổ ®iĨn: t×m x0 S cho hF (x0 ); x ¡ x0 i ¸ 0; 8x S: 1.4 Một số ph-ơng pháp tìm nghiệm xấp xỉ cho toán không chỉnh Xét toán F (x) = f0 ; (1.11) cã nghiƯm chÝnh x¸c x0 X f0 Y , F toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y Giả sử tồn toán tử nghịch đảo F Ă1 , nh-ng nói chung F Ă1 không liên tục Khi toán (1.11) toán đặt không chỉnh Để tìm nghiệm xấp xỉ toán (1.11) ta có số ph-ơng pháp sau: Ph-ơng pháp chọn; Ph-ơng pháp xấp xỉ Lavrentiev; Ph-ơng pháp hiệu chỉnh Tikhonov; Ph-ơng pháp hiệu chỉnh lặp bậc không không gian Hilbert Ch-ơng Bất đẳng thức biến phân với ràng buộc có nhiễu toán tử đơn điệu 2.1 Thuật toán hiệu chỉnh Xét toán: tìm phần tử x0 S cho '(x0 ) = '(x); x2S (2.1) ' phiếm hàm lồi, nửa liên tục d-ới yếu không gian Banach X S tập nghiệm ph-ơng trình toán tử F (x) = f; f X Ô; (2.2) F : X ! X Ô toán tử đơn điệu Nếu ta kí hiệu A(x) đạo hàm Fréchet ' điểm x toán (2.1) t-ơng đ-ơng với bất đẳng thức biến phân hA(x0 ); x Ă x0 i 0; 8x S; x0 S: (2.3) NÕu kh«ng có thêm điều kiện cấu trúc F nh- đơn điệu đơn điệu mạnh ph-ơng trình (2.2) toán đặt không chỉnh Khi (2.2) (2.3) toán đặt không chỉnh, A đơn điệu đều, cã nghÜa A tho¶ m·n hA(x) ¡ A(y); x ¡ yi ¸ mAkx ¡ yks; s < +1; (2.5) với mA số d-ơng Không giảm tổng quát, ta giả thiết mA = 1, nữa, ch-ơng ta giả thiết A(0) = kA(x) ¡ A(y)k C(R)kx ¡ yk¹; < ¹ 1; (2.6) F (x) + ®A(x) = f± ; kf Ă f k ; (2.7) Để giải toán (2.2) (2.3), ta cần phải sử dụng ph-ơng pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa việc giải ph-ơng trình: F toán tử đơn điệu đ > tham số hiệu chỉnh Ph-ơng trình (2.7) đ-ợc gọi ph-ơng trình hiệu chỉnh cho toán (2.2) (2.3) Định lý 2.1 Với đ > f X Ô ; ph-ơng trình (2.7) cã nhÊt ± nghiƯm x± NÕu ® ! 0; ! 0, fx g hội tụ đến phần tử x0 S đ đ đ thoả mÃn (2.3) Bây giờ, ta xét tr-ờng hợp tổng quát hơn, toán tử F vế phải f biÕt xÊp xØ Tøc lµ, thay F ta chØ biÕt đ-ợc xấp xỉ Fh thoả mÃn kFh (x) Ă F (x)k hg(kxk); 8x X (2.8) có tÝnh chÊt nh- F , g(t) lµ mét hµm giíi nội, không âm g(0) = Khi đó, nghiệm hiệu chỉnh đ-ợc xây dựng dựa việc giải ph-ơng trình Fh (x) + đA(x) = f : (2.9) kF (à) Ă f k > : (2.10) Ta giả thiết Định lý 2.2 Với đ > 0; h > f X Ô ph-ơng trình (2.9) cã ± h nhÊt nghiÖm x¿ , ¿ = (h; ±): NÕu ® ! 0; ! 0; ! 0, fx g hội tụ đ đ đ đ đến phần tử x0 2.2 Ph-ơng pháp chọn tham số hiệu chỉnh không gian vô hạn chiều Để më réng kÕt qu¶ cđa Ngun B-êng (2003) vỊ viƯc chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng cho ph-ơng trình hiệu chỉnh (2.7) nghiên cứu toán (2.2) (2.3) Chúng xét hàm thực ẵ(đ) = kFh (x ) Ă f k đ với ; h > 0, để đ-a việc chọn tham số hiệu chỉnh cho ph-ơng trình hiệu chỉnh (2.9) Năm 2004, đà nghiên cứu việc chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng đà tham số hiệu chỉnh đ = đ(; h) đ-ợc xác định đẳng thức ẵ(đ) = ( + h)p đĂq ; q p > 0; (2.14) ph-ơng trình (2.9) ph-ơng pháp hiệu chỉnh Bổ đề 2.1 Với p; q; ±; h > 0, tån t¹i Ýt nhÊt giá trị đ > thoả mÃn (2.14) Bổ ®Ị 2.2 Víi tham sè ® ®-ỵc chän theo (2.14), ta cã lim ®(±; h) = 0: ±;h!0 Bỉ ®Ị 2.3 Nếu q p > h +h i lim = 0: ±;h!0 ®(±; h) Nh- vËy tham số hiệu chỉnh đ đ-ợc chọn theo (2.14) đảm bảo cho nghiệm hiệu chỉnh x toán (2.9) hội tụ đến nghiệm x0 toán (2.3) đ 2.3 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh không gian vô hạn chiều Với cách chọn giá trị tham sè hiƯu chØnh ® theo (2.14), ta cã kÕt sau cần thiết cho việc đánh giá tốc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh 11 VÊn đề quan trọng tính toán xấp xỉ hữu hạn chiều cho toán (2.7) (2.9) Năm 2004, xấp xỉ hữu hạn chiều cho toán (2.9) bëi n Fh (x¿ ) + ®An (x¿ ) = fn ; đ;n đ;n (2.22) n Ô Ô Ô víi Fh = Pn Fh Pn ; An = Pn APn fn = Pn f , Pn : X ! Xn phép Ô chiếu tuyến tính từ X xuống không gian hữu hạn chiều Xn X Pn liên hợp Pn Sau đây, ta xét toán xấp xỉ hữu hạn chiỊu víi viƯc chän ® = ®(±; h; n) theo nguyên lí độ lệch suy rộng cho x hội tơ ®Õn x0 , ®; ±; h ! ®;n vµ n ! Tham sè ®(±; h; n) chọn dựa vào giải ph-ơng trình n ¿ ° n °Fh (x®;n ) ¡ f± ° = ( + h)p đĂq (; h; n); (2.24) với ; h > n Sự tồn ® = ®(±; h; n) tháa m·n (2.24) ®-ỵc suy từ toán (2.22) lập luận t-ơng tự nh- cho (2.14) Để tìm tham số đ, ta giải ph-ơng trình n n đq kFh (x ) Ă f k = ( + h)p : đ;n Đây công việc vô phức tạp, cho nên, ta tiến hành cách thay đổi nhỏ nh- sau Đặt Ô Ô n (x) = k(I Ă Pn )xk; x X; n (f ) = k(I Ô Ă Pn )f k; â ê Ô n = max n (x); x S; n (f ) ; I I Ô toán tử đơn vị t-ơng ứng X X Ô Qui tắc 2.1 Chọn đ = đ(; h; n) đ0 := (c1 ± + c2 h + c3°n )p ; ci > (i = 1; 2; 3); > q ¸ p > 0; cho bất đẳng thức sau: n ®q kFh (x¿ ) ¡ f±n k ¸ (± + h)p ; ®;n n n ®q kFh (x¿ ) ¡ f± k K1 (± + h)p ; ®;n K1 1; 12 thoả mÃn Cho x nghiệm (2.22) với đ = đ Sự hội tụ tốc ®é héi tơ cđa ®;n fx¿ g ®Õn x0 ; h ! n ! +1 đ-ợc xác định định lí sau đ;n Định lí 2.9 DÃy fx¿ g héi tơ ®Õn x0 , ±; h ! n ! +1 đ;n Định lí 2.10 Giả sử có điều kiện sau: (i) F khả vi Frechet lân cận S với giả thiết 2.1, x = x0 ; Ô (ii) Fh (Xn ) chứa Xn với n đủ lớn h đủ nhỏ; (iii) Tồn phần tử z X cho F 0(x0 )Ô z = A(x0 ); (iv) Tham số đ = đ(; h; n) đ-ợc chọn theo qui tắc 2.1 Khi đó, Ă Â ạ=s xđ;n Ă x0 = O ( + h + °n )# + °n ; n1 ¡ p ´ o # = ; ; q ¸ p > 0: sĂ1 s 2.5 Kết tính toán thử nghiệm Chúng sử dụng kết đạt đ-ợc phần để giải toán: tìm phần tử x0 S cho '(x0 ) = '(x); x2S (2.29) ' phiếm hàm lồi, nửa liên tục d-ới yếu không gian Hilbert H, S tập nghiệm ph-ơng trình F (x) = f; (2.30) F toán tử tuyến tính bị chặn, tự liên hợp xác định không âm không gian Hilbert H Nh- vËy, F kh¶ vi FrÐchet víi đạo hàm Fréchet 13 F Trong tr-ờng hợp này, điều kiện (ii) định lí 2.3 đ-ợc miêu tả nhsau: F (x0 )Ô z = A(x0 ) với A = @' Ch-ơng trình thử nghiệm đ-ợc viết ngôn ngữ Visual Basic cho ví dụ sau Ví dụ 2.3 Xét hệ ph-ơng trình F x = b; víi ®iỊu kiƯn r(F; b) = r(F ); F = F T ; tr-êng hỵp F =47 (2.31) det F = 0: Cơ thĨ, chóng t«i xÐt 7 5; b = µ = (0; 0; 0)T : DƠ dàng kiểm tra đ-ợc F = AÔ A, 1 A=41 2 5: Ta cã hF x; xi = hAÔAx; xi Có nghĩa F toán tử không âm, tuyến tính, hay F toán tử đơn điệu xác định E Mặt khác, hạng r(F ) = 2, nghiệm hệ ph-ơng trình Fx = tạo thành đ-ờng thẳng nằm mặt phẳng x1Ox3 , qua hai điểm M0 (0; 0; 0) vµ M1 (1; 0; ¡1) NghiƯm cđa hƯ (2.31) cùc tiĨu phiÕm hµm '(x) = kx Ă xÔk2 ; (2.32) 14 với xÔ véc tơ cho tr-ớc, nằm đ-ờng thẳng qua M0 M1 Để tìm nghiệm toán trên, ta giải hệ ph-ơng trình hiệu chỉnh F (x) + đ(x Ă xÔ ) = 0; (2.33) đ tham số hiệu chỉnh Lấy xÔ = (1; 0; 0) nghiệm (2.31) - (2.32) tính đ-ợc x = (1=2; 0; ¡1=2) NghiƯm xÊp xØ cđa x tÝnh e e đ-ợc từ hệ ph-ơng trình (2.33) với đ đ-ợc đ-a Bảng 2.1 đ x1 x2 x3 10¡1 0.53757225433526 -0.05780346820809 -0.46242774566474 10¡3 0.50044910683076 -0.00069853301082 -0.49955089316927 10¡2 10¡4 10¡5 10¡6 10¡7 10¡8 10¡9 10¡10 10¡11 10¡12 10¡13 10¡14 0.50441229762685 -0.00685595635694 -0.49558770237314 0.50004499105340 -0.00006998530302 -0.49995500894973 0.50000449992461 -0.00000699985300 -0.49999550010361 0.50000044989592 -0.00000069999853 -0.49999954989771 0.50000004442717 -0.00000006999999 -0.49999995442719 0.50000001267318 -0.00000000700000 -0.50000000367318 0.49999995903815 -0.00000000070000 -0.49999995813815 0.49999995867065 -0.00000000007000 -0.49999995858065 0.49999995863390 -0.00000000000700 -0.49999995862490 0.49990005853859 -0.00000000000070 -0.49990005853769 0.49873750026255 -0.00000000000007 -0.49873750026246 0.51765512958282 -0.00000000000001 -0.51765512958281 B¶ng 2.1 15 VÝ dụ 2.4 Với thuật toán trên, xét tr-ờng ¡6 ¡5 6 ¡6 10 F =6 6 15 ¡5 10 1 3 vế phải b = = (0; 0; 0; 0; 0)T : DƠ dµng ta kiểm tra đ-ợc F = AÔ A, ¡1 6 ¡1 ¡1 ¡1 A=6 1 6 ¡1 ¡1 ¡1 0 hỵp 7 7; 7 7 7: 7 Ta có hF x; xi = hAÔ Ax; xi Có nghĩa F toán tử đơn điệu xác định E Tìm nghiệm hệ (2.31) cực tiểu phiếm hàm '(x) thoả mÃn (2.32), với xÔ véc tơ cho tr-ớc Ta chọn xÔ = (1; 1=2; 0; 1=2; 1=10) giải hệ ph-ơng trình hiệu chỉnh (2.33) Bằng cách t-ơng tự, ta tính đ-ợc nghiệm cực tiểu phiếm hàm '(x) thoả mÃn (2.32), tập nghiệm ph-ơng trình Fx = x = (1=2; 1=2; ¡1=2; 0; 0) NghiÖm hiÖu chØnh ph-ơng trình (2.33) e với đ khác đ-ợc cho Bảng 2.2 Từ kết tính toán cho Bảng 2.1 2.2, ta thấy: Khi đ giảm từ 10Ă1 đến 10Ă7 (10Ă8) sai số nghiệm hiệu chỉnh giảm dần Còn đ < 10Ă8 sai số lại không giảm 16 ® 10¡2 10¡3 10¡4 10¡5 10¡6 10¡7 10¡8 10¡9 10¡10 10¡11 10¡12 10¡13 10¡14 x1 0.5012069021291 0.5001211596296 0.5000121206867 0.5000012121301 0.5000001211541 0.5000000111918 0.4999999895269 0.5000000642830 0.5000004873002 0.5000084178364 0.4998181652692 0.5004084537746 0.4979219562997 x2 0.4998087394498 0.4999808146989 0.4999980808734 0.4999998080975 0.4999999806566 0.4999999983792 0.4999999862895 0.5000002754304 0.5000010159421 0.5000189926364 0.4998710392947 0.5020140423963 0.5028518766591 x3 -0.4989843584212 -0.4998980256714 -0.4999897984393 -0.4999989798148 -0.4999998980154 -0.4999999876408 -0.4999999891279 -0.4999998527721 -0.4999999586221 -0.4999978430329 -0.4997652912435 -0.4988028651529 -0.4929920359403 x4 0.0008243810286 0.0000827890278 0.0000082824362 0.0000008282770 0.0000000829218 0.0000000070551 0.0000000026616 -0.0000002112049 -0.0000005286476 -0.0000105748005 -0.0000528740255 -0.0016055886217 -0.0049299203594 x5 -0.0015016836619 -0.0001513795631 -0.0000151501584 -0.0000015151380 -0.0000001515150 -0.0000000151515 -0.0000000015152 -0.0000000001515 -0.0000000000152 -0.0000000000015 -0.0000000000002 -0.0000000000000 0.0000000000000 B¶ng 2.2 VÝ dơ 2.5 XÐt toán (2.2)-(2.3) với X không gian Hilbert L2 [0; 1], '(x) = kx Ă xÔ k2 (2.34) L tập nghiệm ph-ơng trình F (x) = à; xÔ L2 [0; 1] lµ hµm cho tr-íc, F e Ã(x) = Ã(hKx; xi), ®ã >0 > nÕu > > < (t ¡ a )2 e Ã(t) = nÕu > 2h > > > :t ¡ a0 ¡ h nÕu h tham số d-ơng, a0 > cố định; Kx(t) = Z1 k(t; s)x(s)ds; k(t; s) = 0 nÕu hKx; xi a0 ; > > < hKx; xi Fh (x) = Kx nÕu a0 < hKx; xi a0 + h; > h > > :Kx nÕu a0 + h < hKx; xi: Bài toán (2.35) (2.36) đ-ợc xấp xỉ hữu hạn chiều công thức gần sau: >0 nÕu T a0 ; > > < T n Fh (xj ) = (2.38) T nÕu a0 < T a0 + h; >h j > > :T nÕu a0 + h < T; j (j = 1; :::; n): Bài toán (2.38) hệ ph-ơng trình đại số Để giải toán (2.38) ta sử dụng ph-ơng pháp lặp hiệu chỉnh sau: với k = p = 1=4: ³ ¡ n ¢ zk+1 = zk ¡ ¯k Fh (zk ) + ®k zk ; ´¡ 1 + k 2; ³ ´¡ ®k = + k p ; k = 0; 1; :::; < p < (2.39) , đây, ta chọn Các xấp xỉ (2.39) đ-ợc tính theo thuật toán Kết tính toán b-ớc lặp đ-ợc cho B¶ng 2.3 18 k t = 0.0 0.0280654331 0.0072154983 t = 0.2 0.0257560320 0.0054545141 t = 0.4 0.0246013315 0.0045994808 t = 0.6 0.0246013315 0.0045994808 t = 0.8 0.0257560320 0.0054545141 t = 1.0 0.0280654331 0.0072154983 30 40 50 0.0003122381 0.0001573162 0.0000889667 0.0001470787 0.0000665116 0.0000343716 0.0000734563 0.0000269854 0.0000111119 0.0000734563 0.0000269854 0.0000111119 0.0001470787 0.0000665116 0.0000343716 0.0003122381 0.0001573162 0.0000889667 10 20 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 235 0.0026674868 0.0007500150 0.0000544164 0.0000352409 0.0000238426 0.0000167002 0.0000120327 0.0000088762 0.0000066796 0.0000051135 0.0000039733 0.0000031282 0.0000024915 0.0000020052 0.0000016289 0.0000013345 0.0000011017 0.0000009160 0.0000007665 0.0000006453 0.0000005933 0.0017446607 0.0004049443 0.0000194545 0.0000117693 0.0000074933 0.0000049686 0.0000034057 0.0013070316 0.0002468492 0.0000048519 0.0000021464 0.0000009072 0.0000003213 0.0000000426 0.0013070316 0.0002468492 0.0000048519 0.0000021464 0.0000009072 0.0000003213 0.0000000426 0.0000023998 0.0000017311 -0.0000000861 -0.0000001400 -0.0000000861 -0.0000001400 0.0000005600 0.0000004372 -0.0000001308 -0.0000001164 -0.0000001308 -0.0000001164 0.0000012742 0.0000009545 0.0000007261 0.0000003451 0.0000002751 0.0000002213 0.0000001795 0.0000001467 0.0000001207 0.0000001097 -0.0000001566 -0.0000001548 -0.0000001445 -0.0000001024 -0.0000000896 -0.0000000781 -0.0000000680 -0.0000000591 -0.0000000515 -0.0000000480 B¶ng 2.3 -0.0000001566 -0.0000001548 -0.0000001445 -0.0000001024 -0.0000000896 -0.0000000781 -0.0000000680 -0.0000000591 -0.0000000515 -0.0000000480 0.0017446607 0.0004049443 0.0000194545 0.0000117693 0.0000074933 0.0000049686 0.0000034057 0.0000023998 0.0000017311 0.0000012742 0.0000009545 0.0000007261 0.0000005600 0.0000004372 0.0000003451 0.0000002751 0.0000002213 0.0000001795 0.0000001467 0.0000001207 0.0000001097 0.0026674868 0.0007500150 0.0000544164 0.0000352409 0.0000238426 0.0000167002 0.0000120327 0.0000088762 0.0000066796 0.0000051135 0.0000039733 0.0000031282 0.0000024915 0.0000020052 0.0000016289 0.0000013345 0.0000011017 0.0000009160 0.0000007665 0.0000006453 0.0000005933 ² Từ kết tính toán cho Bảng 2.3, ta thÊy: - Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh phụ thuộc vào việc chọn giá trị p dÃy đk Chẳng hạn chọn p = 1=4 nhỏ cần lần lặp so với chän p = 1=2, tÝnh to¸n nghiƯm xÊp xØ so với sai số cho tr-ớc - Số lần lặp lớn nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm xác toán ban đầu 19 Ch-ơng Bất đẳng thức biến phân với ràng buộc có nhiễu toán tử không đơn điệu 3.1 Thuật toán hiệu chỉnh Nếu toán tử nhiễu Fh không đơn điệu ph-ơng trình Fh (x) = f (2.9) nghiệm áp dụng cách tiếp cận Liskovets, Nguyễn B-ờng đà đ-a khái niệm nghiệm hiệu chỉnh Định nghĩa 3.1 Phần tư x! ; ! = !(h; ®; ±; ") X đ-ợc gọi nghiệm hiệu chỉnh toán (2.2) (2.3) hFh (x! )+đA(x! ) Ă f ; x ¡ x! i + "g(kx! k)kx ¡ x! k ¸ 0; 8x X; " ¸ h > 0; đ > 0; 0; (3:1) (Fh ; f± ) lµ xÊp xØ cđa (F; f ); kFh (x) ¡ F (x)k hg(kxk); g(t) M1 + N1 t; M1 > 0; N1 > 0; t 0; g(t) hàm thực: Định lí 3.1 Với h; đ > 0; 0, " h, tập nghiệm bất đẳng thức (3.1), kí hiệu S , khác rỗng, tập fx! g (ở chọn phần tử x! S tuỳ " ý), có điểm giới hạn mạnh x0 , ! 0, ! đ ! ® ® 3.2 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiệu chỉnh Việc đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh phức tạp Để giải vấn đề đó, cuối năm 2005, đà nghiên cứu hội tụ đà đ-ợc tốc ®é héi tơ cđa nghiƯm fx! g vµ fxn g toán tử nhiễu Fh ! F không đơn điệu Giả thiết 3.1 Giả sử tồn h»ng sè d-¬ng ¿ cho ~ kFh (y) ¡ Fh (x) ¡ Fh (x)(y ¡ x)k ¿ kFh (y) ¡ Fh (x)k; ~ (3.3) 20 víi y thuộc lân cận S 8x S Cho x! ; ! = !(h; đ; ; ") phần tử tùy ý S với " h > 0, đ > Định lí 3.5 Giả sử điều kiện sau thoả mÃn: (i) Fh khả vi Frechet lân cận S víi gi¶ thiÕt 3.1, x = x0 ´ (ii) Tồn phần tử zh cho fzh g bị chặn Fh (x0)Ô zh = A(x0 ): Khi đó, tham số đ đ-ợc chọn cho ® » (± + ")¹, < ¹ < 1, ta nhận đ-ợc n1 Ă ạo Ă Â µ kx! ¡ x0k = O (± + ") ; µ = ; : s¡1 s Chó ý 3.1 Kết luận định lí giả thiết 3.1 thay giả thiết 2.1 ch-ơng ®iỊu kiƯn (ii) ®-ỵc thay bëi ° ° ° ° °F (y) ¡ F (x) ¡ F 0(x)(y ¡ x)° ¿ °F (y) ¡ F (x)°; ~ (3.5) vµ tồn phần tử z X cho F 0(x0 )Ô z = A(x0 ): â ê §Ỉt °n (x) = °(I ¡ Pn )x°; x X; °n = max °n (x0 ); °n (f ) : Gi¶ thiÕt kA(x) ¡ A(y)k C(R)kx ¡ ykº ; < 1; C(R); R > hàm d-ơng đơn điệu tăng R = maxfkxk; kykg Định lí 3.6 Giả sử có điều kiện sau: (i) F khả vi Frechet lân cËn cđa S víi gi¶ thiÕt 2.1, x = x0 (ii) Tồn phần tử z X cho F 0(x0 )Ô z = A(x0 ): 21 (iii) Tham số đ đ-ợc chọn cho đ » (± + " + °n )½; < ½ < Khi đó, ta có đ-ợc Ă Â =(sĂ1) kxn ¡ x0 k = O (± + " + °n )µ + °n : ! 3.3 VÝ dơ XÐt toán: tìm nghiệm có chuẩn nhỏ ph-ơng trình tích phân phi tuyến (F x)(t) = Kf K ¤ x(t) = f0 (t); t -; (3.8) víi f0 (t) Lq (-); < q < +1 Trong toán tử K đ-ợc xác định Z (Kx)(t) = k(t; s)x(s)ds; t -; - k(t; s) hàm thực đo đ-ợc - £ - cho kh«ng gian N (K) 6= f0g - tập đóng I n f (t); t I hàm thực không R R gi¶m Gi¶ sư Z Z jk(t; s)jq dtds < +1; < q < +1; (3.9) - - jf (t)j b0 + b1 jtjq¡1 ; b0 ; b1 > 0; p¡1 + q ¡1 = 1: Khi ®ã K toán tử tuyến tính, bị chặn từ không gian X = Lp (-) vào không gian X ¤ = Lq (-) vµ (f x)(t) = f (x(t)) : X Ô ! X toán tử đơn điệu Cho nên, F = Kf K Ô toán tử đơn điệu từ X vào X Ô Nếu K f compact, (3.8) toán đặt không chỉnh Chúng ta quan tâm đến nghiƯm x0(t) cđa (3.8) cã chn nhá nhÊt Trong tr-êng hợp, toán tử A ánh xạ đối ngẫu U s không gian Lp thoả mÃn tất điều kiện: X không gian Hilbert, U s = I; s = 2; mA = 1; s = ~ vµ d = C(R) = 1; R = maxfkxk; kx0 kg Khi p > 1, chẳng hạn ta có p không gian kiểu Lebesgue lp ; Lp; Ww ; p > Chóng ta xây dựng U s thoả mÃn điều kiện (2.5) 1 0; d R: Ta cã thÓ xÊp xØ hµm f (t) bëi hµm fh (t) nh- sau: >f (t); > nÕu > < fh (t) = d + e1 (t ¡ t0 ) + p(t ¡ t0 + h)2 > > > :+q(t ¡ t0 + h)3 ; nÕu t 62 (t0 ¡ h; t0 + h]; t (t0 ¡ h; t0 + h]: Các hệ số p q tìm đ-ợc dựa việc giải hệ ph-ơng trình tuyến tính sau: < fh (t0 + h) = e2 h + d; :f 0Ô (t + th) = e : h 23 Dễ dàng kiểm tra đ-ợc với h đủ nhỏ, hệ số p q đ-ợc xác định cách hàm fh (t) khả vi Hơn F1h (t) Ă f (t)¯ ¯F1h (t0 ) ¡ F (t0 )¯ ch; c > 0: Mặt khác, ta có Bây giờ, ta xấp xỉ không gian Hilbert H = L2 [0; 1] bëi d·y kh«ng gian tuyÕn tính Hn đ-ợc xác định nh- sau: Nh- ta đà biết â ê Hn = L 1; ; : : : ; Ãn ; F , toán tử không đơn điệu Các kết nghiên cứu đ-ợc minh hoạ ví dụ cụ thể Vấn đề đặt cần nghiên cứu tiếp là: liệu xét cho tr-ờng hợp tổng quát hơn, S giao tập nghiệm hệ ph-ơng tr×nh Fi (x) = fi; i = 1; ::; N; fi X Ô ; với Fi toán tử đơn điệu từ X vào X Ô Tr-ờng hợp riêng, Fi = I ĂTi; Ti toán tử không giÃn không gian Hilbert H A = '0 toán tử tuyến tính, không âm đà đ-ợc đề cập 25 Danh mục công trình đà công bố có liên quan ®Õn luËn ¸n Nguyen Buong and Pham Van Loi (2004), ”On parameter choice and convergence rates in regularization for a class of ill-posed variational inequalities”, J of Math Comp and Math Physics, 44(10), pp 1735-1744 Pham Van Loi and Nguyen Buong (2005), ”About convergence rates and finite-dimensional approximation for a class of ill-posed variational inequalities” Advances in Natural Sciences, 6(4), pp 321-328 Pham Van Loi (2008), ”Numerical result for variational inequality problems with equality constraint”, Asean Journal on Science and Technology for Development, 25(2), pp 261-267 Pham Van Loi (2008), ”Numerical result for convex optimization problem with equality constraint, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 1(2), pp 81-86 Pham Van Loi (2008), ” Approximated method for solution of convex optimization problems with equation of monotone operator, Thông báo Khoa học Đại học Điện lực, 8, pp 41-44 Các kết luận án đà đ-ợc báo cáo tại: Xêmina đề tài nghiên cứu bản: Giải tích số ứng dụng thuộc phòng ứng dụng Công nghệ Th«ng tin hƯ thèng Kinh tÕ - X· héi Viện Công nghệ Thông tin năm 2004-2005 Hội nghị khoa học Viện Công nghệ Thông tin tháng 12 năm 2006 Hội nghị khoa học tr-ờng Đại học Điện lực tháng 12 năm 2006 Hội nghị khoa học ứng dụng Công nghệ Thông tin khoa Công nghệ Thông tin thuộc tr-ờng Đại học Thái Nguyên, ngày 7-8 tháng 12 năm 2007 ... thức biến phân với ràng buộc có nhiễu toán tử đơn điệu sở chọn tham số hiệu chỉnh nguyên lí độ lệch suy rộng Nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân với ràng buộc. .. xỉ gần với nghiệm xác toán ban đầu 19 Ch-ơng Bất đẳng thức biến phân với ràng buộc có nhiễu toán tử không đơn ®iƯu 3.1 Tht to¸n hiƯu chØnh NÕu c¸c to¸n tư nhiễu Fh không đơn điệu ph-ơng trình. .. ph-ơng trình (0.5) với toán tử đơn điệu F : X ! X Ô Do (0.5) toán đặt không chỉnh bất đẳng thức (0.8) toán đặt không chỉnh, cho dù A toán tử đơn điệu mạnh đơn điệu Nghiệm hiệu chỉnh toán (0.8),