phát triển và nâng cao kỹ năng vận dụng bất đẳng thức bunhiacopxki

Trong các kì thi các cấp như thi học kì, thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh, cấp quốc gia, Olympic khu vực, …chúng ta thường tháy sự có mặt của bài bất đẳng thức, cực

GIÁO VIÊN : PHAN NGỌC TOÀN

NĂM HỌC : 2011 - 2012

Trong các kì thi các cấp như thi học kì, thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi cấp

trường, cấp tỉnh, cấp quốc gia, Olympic khu vực, …chúng ta thường tháy sự có mặt của bài bất đẳng thức, cực trị nhằm tìm ra những học sinh có năng khiếu học toán

Hiện nay, các chuyên đề về bất đẳng thức đã có rất nhiều thầy cô, các tác giả viết sách tìm hiểu và viết về vấn đề này Tuy nhiên rất ít các tài liệu tìm hiểu chuyên sâu về việc rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho học sinh

Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, tôi đã tìm hiểu ,

nghiên cức để đưa ra một số kỹ năng chính thường gặp và viết thành đề tài sáng kiến kinh

nghiệm: “Phát triển và nâng cao kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki”

nhằm giúp học sinh có thể chủ động, tự tin hơn khi đứng trước các bài bất đẳng thức và cực trị

Đề tài chủ yếu nêu bật các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán trong các kì thi các cấp thường gặp

II Phương pháp tiến hành

Dựa trên thức tế dạy các lớp ban khao học tự nhiên, tham gia dạy bồi dưỡng các lớp học sinh giỏi các cấp trong các năm học vừa qua Trên cơ sở đó, tôi đã tìm hiểu , nghiên cứu , tích lũy và tham khảo ý kiến các đồng nghiệp để viết sáng kiến kinh nghiệm này

Đề tài đã sử dụng các phương pháp phân tích,đánh giá ,dự đoán Hệ thống hóa các dạng bài tập tương ứng với các kỹ năng

Trong quá trình biên soạn tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Toán trường THPT An Nhơn 1 Tôi xin chân thành cảm ơn và mong được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp để chuyên đề trở nên phong phú và có thêm nhiều tài kiệu cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi

Phần B NỘI DUNG ĐỀ TÀI

“PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI”

I Mục tiêu

Nội dung của đề tài gồm hai phần, phần 1: giới thiệu về bất đẳng thức

Bunhiacopxki và các biến thể thường gặp của nó, phần 2: giới thiệu một số kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán

Đề tài chủ yếu đi sâu vào phân tích để tìm ra những điểm then chốt trong các kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán Các tài liệu tham khảo hiện nay hầu như chỉ viết chung chung và giải một số lượng lớn các bài tập mang tính chất rời rạc Trong khi đó, Chúng tôi cố gắng qua những ví dụ cụ thể để làm nổi bật lên từng kỹ năng vận dụng bất đẳng thứcBunhiacopxki để giải toán

II Nội dung giải pháp của đề tài

1 Giải pháp

Chương I Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki và các biến thể

Trong chương trình toán học phổ thông ta thượng gặp bất đẳng thức mà chúng tôi gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dạng sau( có thể có những tên gọi khác ) :

 Dạng 1 Với a a1, 2, ,a b b n, ,1 2, ,b n là các số thực tùy ý ta luôn có:

a

a a

b b  b ( Quy ước nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0)

Các trường hợp đặc biệt thường gặp:

 Với 4 số a b x y, , , ta luôn có: 2 2 2 2 2

(ax by ) (a b )(x y ) Đẳng thức xảy ra khi a b

x  y

 Với 6 số a b c x y z, , , , , ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2

(ax by cz) (a b c )(x y z ) Đẳng thức xảy ra khi a b c

a

a a

b b  b

Các trường hợp đặc biệt thường gặp:

 Với 4 số a b, tùy ý và x y , 0 ta luôn có:

x  y  z

Ngoài ra ta còn có thể gặp một số biến thể dạng đặc biệt sau:

 Với mọi a b , 0, ta có các bất đẳng thức sau Đẳng thức xảy ra khi a = b

Chương II MỘT SỐ KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

BUNHIACOPXKI TRONG GIẢI TOÁN

1 Kỹ năng” Biến đổi thuận”

1.1 Biến đổi thuận dạng 1

Để vận dụng kỹ năng “Biến đổi thuận Bunhiacopxki” ở dạng 1 ta thường xuất phát

từ giả thiết bài toán hoặc từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN,

1 1 2 2

(a b a b  a b n n) Từ đó biến đổi để đánh giá

(a a  a n)(b b  b n) Ta cùng xem xét qua một số ví dụ sau:

Bài toán 1 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng :

Bài toán 2 Cho a, b, c là các số thực Chứng minh rằng :

a  ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh Điều này làm cho ta suy

(ab bc ca  1) làm sao để có thể đánh giá theo biểu thức 2

Đẳng thức xảy ra khi a bc( 1)  b c a b c  abc

Bài toán 3. Cho a, b, c, d là các số thực thõa mãn 2 2 2 2

(a 1)(b 1)(c 1)(d 1) 16 Chứng minh rằng :   3 ab ac adbc bd cdabcd  5

Nhận xét:

Sự xuất hiện biểu thức x  1 y  1 z 1 là cơ sở để ta sử dụng kỹ năng này

và cũng chính sự xuất hiện biểu thức x yz ở vế phải đã giúp ta biến đổi thuận một

Bài toán 6 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng :

1.2 Biến đổi thuận dạng 2

Để vận dụng kỹ năng “Biến đổi thuận Bunhiacopxki” ở dạng 2 ta thường xuất phát

từ giả thiết bài toán hoặc từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) làm xuất hiện biểu thức dạng

  

   Ta cùng xem xét qua một số ví dụ sau:

Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng :

bất đẳng thức cần chứng minh làm cho ta liện hệ đến dạng 2 của bất đẳng thức

Bunhiacopxki và biến đổi theo chiều thuận Từ đó ta có lời giải như sau:

Nhận xét:

Quan sát vể phải của bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể nghĩ đến việc vận dung dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki Nhưng nếu để như thế mà áp dụng thì không đạt được mục đích của bài toán

Với tư tưởng như bài toán 1, ta nghĩ đến việc tạo ra các biểu thức có dạng bình phương ở tử của 3 phân thức ở vế trái bằng cách nhân thêm vào tử và mẫu các lượng

tử số của các phân thức về dạng lũy thừa bậc chẵn

Bài toán 4. Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng :

Ở bài toán này tử số của các phân thức đã ở dạng lũy thừa bậc chẵn nên ta có thể

nghĩa đến việc vận dụng ngay :

Nhưng thực sự bất ngờ khi cách áp dụng như thế này lại không giúp ta giải quyết

được bài toán Nên buộc ta phải tìm hương giải quyết khác

để được đều cần mong muốn

5 Cho a, b, c là các số thực không âm thõa 2 2 2

Để vận dụng kỹ năng “Biến đổi nghịch Bunhiacopxki” ở dạng 1 ta thường xuất

phát từ giả thiết bài toán hoặc từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm

GTLN, GTNN) làm xuất hiện biểu thức dạng 2 2 2 2 2 2

(a a  a n)(b b  b n) Từ đó, biến đổi để đánh giá về theo biểu thức 2

GTNN nên ta liện hệ đến việc vận dung dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki Với suy nghĩ đó ta cố biến đổi biểu thức T để đưa về dạng a b c m n p

trên, ta cố biến đổi biểu thức T để đưa về dạng  

Để vận dụng kỹ năng “Biến đổi nghịch Bunhiacopxki” ở dạng 2 ta thường xuất

phát từ giả thiết bài toán hoặc từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm

GTLN, GTNN) làm xuất hiện biểu thức dạng

  

   Từ đó, biến đổi để đánh giá về theo biểu thức

a

b b  b Ta cùng xem xét qua một số ví dụ sau:

Bài toán 1 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng :

b c A

b c a b c





   và chiều của bất đẳng thức  nên ta liên hệ đến việc vận dụng dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki Với suy nghĩ

đó ta cố biến đổi biểu thức A để đưa về dạng

hợp để vận dụng dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki Từ đó ta đã có lời giải như

sau bằng cách biến đổi nghịch Bunhiacopxki ở dạng 2

Với các bất đẳng thức đối xứng hay hoán vị ta thường biến đổi trên một biểu thức hay tìm được một bất đẳng thức cơ sở nào đó rồi suy ra các bất đẳng thức tương tự và phối hợp chúng để giả quyết bài toán

  và chiều của bất đẳng thức  nên

ta liên hệ đến việc vận dụng dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki Với suy nghĩ đó ta

cố biến đổi biểu thức A để đưa về dạng

sau bằng cách biến đổi nghịch Bunhiacopxki ở dạng 2

Bài toán 4 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng :

1(2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) 3

Có những bất đẳng thức ( hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên

dạng như đề bài cho đôi khi khó hoặc thậm chí không thể giải quyết bằng cách áp dụng

bất đẳng thức Bunhiacopxki Khi đó, nếu ta chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức phù hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

một cách dễ dàng hơn Ta cùng xem xét các ví dụ sau để minh họa cho điều đó

Bài toán 1 Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn 2 2 2

Vì vậy, gặp phải bất đẳng thức ngược chiều ở đây !

Nếu để ý một tí ta sẽ có biến đổi khá thú vị sau : 1 1

2 2 2(2 )

x

Từ đó ta suy nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức đã cho về dạng khác mà áp dụng bất

đẳng thức Bunhiacopxki thuận lợi hơn bằng cách biến đổi “thêm bớt”

Ta có lời giải sau:

Bài toán 4 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh rằng :

4 Kỹ năng “Tham số hóa”

Bài toán 1 Cho x, y, z > 0 thõa mãn x + y + z  2 Tìm GTNN của biểu thức:

Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách bình thường:

    Nên không đạt được yêu cầu của bài toán

Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các tham số p, q, r như sau :

=

p + q

r r

r y r

z z

Phân tích để tìm lời giải :

Giả sử giá trị nhỏ nhất của T đạt được tại xa y , b , 2a b 2

Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các tham số p, q như sau :

Phân tích để tìm lời giải :

Giả sử giá trị nhỏ nhất của T đạt được tại x ya

Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các tham số p, q như sau :

( 1) ( 1) 1

    



Với các giá trị vừa tìm của a ở trên ta được:

2 2 6 2 21

Mà lời giải của bất đẳng thức (2) không thể đơn giản như lời giải của bất đẳng thức (1)

Từ đó, khi gặp các bài toán mà hình thức xuất hiện của nó gây cho ta sự khó khăn

mà trong khi đó các biểu thức có dạng phép thế thì ta nên sử dụng phép thế thử xem sao

Chính sự xuất hiện biểu thức 3 3

1 1

1 1 ( )

Chính sự xuất hiện giả thiết 1 1 1 2

x yz  làm cho ta suy nghĩ đến việc sử dụng

Chính sự xuất hiện giả thiết 1 1 1 1

x yz  làm cho ta suy nghĩ đến việc sử dụng

Bài toán mở đầu :

Cho a, b, c là ba số thực khác không thõa mãn abck :

1) Tồn tại các số thực x, y, z khác không thõa :

Tồn tại 3 số dương x, y, z thõa : a yz2;b zx2;c xy2

   Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành:

3( ) ( ) ( ) 4

3( ) ( ) ( ) 4

32

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki

Ví dụ 4 Cho a b c , , 0 thõa mãn abc 8 Chứng minh rằng :

   Khi đó bất đẳng thức (2) trở thành:

a abc b b abc c c abca  (1)

Phân tích để tìm lời giải :

Đây là một bất đẳng thức thuần nhất và hoán vị nên ta có thể nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :

Bằng cách xem xét và thử sử dụng các phé thế tôi tìm được phép thế 4) là hợp lí từ đó ta

có lời giải sau

Lời giải

Không mất tính tổng quát ta chuẩn hóa abc 1

Tồn tại 3 số dương x,y,z thõa : a y ; b z ; c x

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1

4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để giải quyết các bài toán khó về bất

đẳng thức trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp

Các em học sinh khá giỏi có thể vận dụng kỹ năng sử dụng bất đẳng thức

Bunhiacopxki vào trong các bài toán khác như bất đẳng thức hình học, phương trình, hệ phương trình giải bằng các phương pháp đánh giá ,…

3 Lợi ích kinh tế xã hội

Qua việc áp dụng đề tài này vào việc giảng dạy ở các lớp ban khoa học tự nhiên, các lớp bồi dương học sinh giỏi Tôi thấy tạo được sự say mê học tập và nghiên cứu môn toán cho học sinh, học sinh hiểu và vận dụng được những kỹ năng chính trong đề tài này

Các em giải được nhiều bài toán khó về bất đẳng thức mà nếu giải bằng các

phương pháp khác đôi khi gặp khó khăn và phức tạp hơn

Đề tài đã góp phần rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo

Kết quả: sau khi vận dụng đề tài này vào việc dạy cho các đội tuyển tham gia học sinh gỏi môn toán các cấp của các lớp mà tôi đã tham gia, phụ trách trong hai năm học

2010 – 2011 và 2011 – 2012 : tổng số 15 giải , trong đó có 10 giải cấp quốc gia, 5 giải cấp tỉnh

Phần C KẾT LUẬN

Sau một quá trình giảng dạy nhiều năm, thông qua các tài liệu tham

khảo, cũng như học hỏi ở các đồng nghiệp Tôi đã hệ thống lại được rất nhiều bài toán hình học và đại số có thể ứng dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để giải

và mang lại hiệu quả không phải là nhỏ

Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn đựoc đóng góp một phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác bất đẳng thức Bunhiacopski khi làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ bản thân còn hạn chế, nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ hơn trong giảng dạy

Tôi xin trân trọng cảm ơn !

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Toán học và tuổi trẻ từ năm 1996 đến năm 2012

2 Tài liệu bồi dưỡng giáo viên THPT chuyên từ năm 2004 đến năm 2011

3 Old and New Inequalities - Titu Andreescu

4 Các bài giảng về bất đẳng thức Bunhiacopxki – Nguyễn vũ Lương

MỤC LỤC

Nội dung Trang

Phần A MỞ ĐẦU

I Đặt vấn đề 1

II Phương pháp tiến hành 1

Phần B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

I Mục tiêu 2

II Mô tả giải pháp của đề tài 2

Chương I Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki và các biến thể 2

Chương II Một số kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán 3

1/Kỹ năng biến đổi thuận 3

2/Kỹ năng biến đổi nghịch 8

3/Kỹ năng thêm bớt 13

4/ Kỹ năng tham số hóa 15

5/Kỹ năng sử dụng phép thế 20

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

MỤC LỤC 30

PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CÁC CẤP

Đánh giá của Hội đồng khoa học nhà trường:

Ngày… tháng… năm 2012 Chủ tịch hội đồng

Đánh giá của Hội đồng khoa học ngành ( Sở giáo dục đào tạo Bình Định )

Ngày… tháng… năm 2012 Chủ tịch hội đồng