Phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với p0 ánh xạ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI P0 ÁNH XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN, 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Bất đẳng thức biến phân 1.1 1.2 Một số khái niệm 1.1.1 Toán tử đơn điệu 1.1.2 Bất đẳng thức biến phân Bài tốn đặt khơng chỉnh 10 1.2.1 Khái niệm toán đặt chỉnh đặt không chỉnh 1.2.2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn 10 điệu 11 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với P0 ánh xạ 14 2.1 Thuật toán hiệu chỉnh 14 2.2 Áp dụng 18 2.2.1 Áp dụng vào mơ hình cân Walrasian 18 2.2.2 Áp dụng vào mơ hình cân Oligopolistic 23 Kết Luận 28 Tài liệu tham khảo 29 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bất đẳng thức biến phân lớp toán nảy sinh từ nhiều vấn đề toán học ứng dụng phương trình vi phân, tốn vật lý tốn, tối ưu hóa Ngồi nhiều vấn đề thực tế tốn cân mạng giao thơng thị, mơ hình cân kinh tế mô tả dạng bất đẳng thức biến phân Rất tiếc toán bất đẳng thức biến phân, nói chung, lại tốn đặt khơng chỉnh, tức nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu Vì đặt yêu cầu phải có phương pháp giải ổn định tốn đặt không chỉnh, cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm lại gần với nghiệm toán xuất phát Cho K V tập hợp lồi, khác rỗng không gian Euclid thực Rn , K ⊆ V , cho G : V → Rn ánh xạ Kí hiệu a, b tích vơ hướng phần tử a, b Rn Xét tốn bất đẳng thức biến phân: tìm x∗ ∈ K thỏa mãn G(x∗ ), x−x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K (0.1) Mục đích lụận văn nhằm trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân (0.1) với P0 ánh xạ, đồng thời trình bày áp dụng kết cho hai mơ hình kinh tế tổng qt mơ hình cân Walrasian mơ hình cân Oligopolistic Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu tốn tử đơn điệu P0 ánh xạ trường hợp đặc biệt xét khơng gian hữu hạn chiều Đồng thời trình bày số kiến thức toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với tốn tử đơn điệu 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với P0 ánh xạ, đồng thời trình bày áp dụng kết cho hai mơ hình kinh tế tổng qt mơ hình cân Walrasian mơ hình cân Oligopolistic Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TS Nguyễn Bường-Viện Công nghệ Thông tin - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, người hướng dẫn, dạy tận tình để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo công tác trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam truyền thụ kiến thức cho suốt q trình học tập vừa qua Tơi xin cảm ơn quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tác giả Phạm Thị Hạnh 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bất đẳng thức biến phân 1.1 Một số khái niệm Trong chương chúng tơi trình bày khái quát kiến thức toán tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân, tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu Các kết chủ yếu trích dẫn tài liệu [1], [4], [5] 1.1.1 Tốn tử đơn điệu Cho X khơng gian Banach phản xạ với không gian liên hợp X ∗ Cả hai có chuẩn ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ điểm x ∈ X ký hiệu x∗ , x Cho toán tử A với miền xác định D(A) ⊆ X miền ảnh R(A) ⊆ X ∗ Định nghĩa 1.1 Toán tử A gọi đơn điệu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A) Toán tử A gọi đơn điệu chặt dấu đạt x = y Ví dụ 1.1 Hàm số f : R → R đơn điệu đồng biến Định nghĩa 1.2 Tập hợp Gr(A) = {(x, A(x)) : x ∈ X} gọi đồ thị toán tử A 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khái niệm toán tử đơn điệu mơ tả dựa đồ thị Gr(A) tốn tử A khơng gian tích X × X ∗ Định nghĩa 1.3 Toán tử A gọi đơn điệu x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ = A(x), y ∗ = A(y) Tập Gr(A) gọi tập đơn điệu thỏa mãn bất đẳng thức Định nghĩa 1.4 Nếu Gr(A) không chứa tập đơn điệu khác X × X ∗ tốn tử A gọi tốn tử đơn điệu cực đại Ví dụ 1.2 Toán tử A : R4 → R4 xác  39 32  30 34 A =  32 34 58 −20 −5 định ma trận  −20  −5  26 có định thức khác đơn điệu Khi đó, A toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 1.5 Nếu với x ∈ X ta có Ax, x ≥ A gọi tốn tử xác định không âm, ký hiệu A ≥ Nhận xét 1.1 Nếu A tốn tử tuyến tính khơng gian Banach X tính đơn điệu tương đương với tính xác định khơng âm tốn tử Ví dụ 1.3 Toán tử A : R5 → R5 xác định  10 28  5 20 A=  10 28 5 20 28 20 28 20 96 ma trận     xác định khơng âm Định nghĩa 1.6 Tốn tử A gọi d-đơn điệu, tồn hàm không âm d(t), không giảm với t ≥ 0, d(0) = thỏa mãn tính chất A(x) − A(y), x − y ≥ [d( x ) − d( y )]( x 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên − y ), ∀x, y ∈ D(A) http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.7 Toán tử A gọi đơn điệu tồn hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = A(x) − A(y), x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A) Nếu δ(t) = CA t2 với CA số dương tốn tử A gọi đơn điệu mạnh Nhận xét 1.2 Nếu tốn tử A có tính chất tuyến tính A gọi đơn điệu mạnh Ax, x ≥ mA x , mA > 0, ∀x ∈ D(A) Ví dụ 1.4 Hàm số f : R → R xác định f (x) = 2012x tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Cho L tập N = {1, , n} AL ma trận đường chéo cấp n.n phần tử đường chéo cho aii =   > i ∈ L, = i ∈ / L Khi AN ma trận đường chéo xác định dương Nếu aii = ∀i, AN = In ma trận đơn vị Rn  Định nghĩa 1.8 Ma trận A cỡ n.n gọi a) P -ma trận có định thức dương; b) P0 -ma trận có định thức khơng âm; c) Z -ma trận có phần tử ngồi đường chéo khơng dương; d) M -ma trận có phần tử ngồi đường chéo khơng dương tồn ma trận nghịch đảo A−1 có phần tử khơng âm; e) M0 - ma trận P0 -ma trận Z -ma trận Nhận xét 1.3 A M -ma trận A ∈ P ∩ Z Suy ra, M - ma trận P -ma trận, khẳng định ngược lại không trường hợp tổng quát 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề sau đưa tiêu chuẩn cho ma trận A M -ma trận M0 -ma trận Mệnh đề 1.1 Giả sử A Z -ma trận Nếu tồn véc tơ x > thỏa mãn Ax > (hoặc Ax ≥ 0) A M -ma trận (hoặc M0 ma trận) Định nghĩa 1.9 Cho U tập lồi Rn Ánh xạ F : U → Rn gọi a) P -ánh xạ max (xi −yi )(Fi (x)−Fi (y)) > với x, y ∈ U, x = 1≤i≤n y; b) P -ánh xạ chặt tồn γ > thỏa mãn F − γIn P -ánh xạ; c) P -ánh xạ tồn τ > thỏa mãn max (xi − yi )(Fi (x) − Fi (y)) ≥ τ 1≤i≤n x−y với x, y ∈ U ; d) P0 -ánh xạ với x, y ∈ U, x = y tồn số i thỏa mãn xi = yi (xi − yi )(Fi (x) − Fi (y)) ≥ Thực tế, ánh xạ F affin, tức F (x) = Ax + b F P -ánh xạ (P0 -ánh xạ) Jacobi F (x) = A P -ma trận (P0 ma trận) Trong trường hợp không tuyến tính, Jacobi F (x) P -ma trận F P -ánh xạ, nhiên điều khẳng định ngược lại không trường hợp tổng quát Ngoài ra, Nếu F P -ánh xạ chặt Jacobi F (x) P -ma trận Tiếp theo, chúng tơi trình bày thêm mối quan hệ P0 P -ánh xạ chặt Bổ đề 1.1 Nếu F : U → Rn P0 -ánh xạ ε > F + εIn P -ánh xạ chặt Chú ý rằng, P -ánh xạ P -ánh xạ chặt điều khẳng định ngược lại khơng trường hợp tổng qt 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Bất đẳng thức biến phân Cho K V tập hợp lồi, khác rỗng không gian Euclid thực Rn , K ⊆ V , cho G : V → Rn ánh xạ Kí hiệu a, b tích vơ hướng phần tử a, b Rn Xét toán bất đẳng thức biến phân: tìm x∗ ∈ K thỏa mãn G(x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K (1.1) Ký hiệu K ∗ tập nghiệm toán (1.1) Chúng ta xét toán (1.1) với giả thiết: (A1 ) G : V → Rn ánh xạ liên tục V tập lồi, khác rỗng Rn (A2 ) Cho K hộp, tức là, n Ki ⊆ V, K= i=1 Ki = [αi ,βi ] ⊆ [−∞, +∞], ∀i = 1, , n Nhận thấy K hiển nhiên tập đóng, lồi, khác rỗng Nếu thêm điều kiện βi < +∞, ∀i ∈ N K tập bị chặn Mệnh đề 1.2 Cho (A1 ) (A2 ) cho G P -ánh xạ chặt Khi ấy, tốn (1.1) có nghiệm Mệnh đề 1.3 Cho (A1 ) (A2 ) Nếu G P -ánh xạ K tập hợp bị chặn tốn (1.1) có nghiệm Chúng ta xét thêm giả thiết sau: ∼ (A3 ) Giả sử tồn tập hợp D ⊂ D ⊂ Rn cho với ∼ điểm y ∈ K \ D tồn điểm x ∈ D ∩K thỏa mãn max Gi (y)(yi − xi ) > (1.2) i=1, ,n Từ định nghĩa nhận tập nghiệm đặc trưng sau: Bổ đề 1.2 Nếu (A1 )-(A3 ) thỏa mãn K ∗ = ∅ K ∗ ⊆ K ∩ D 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∼ Mệnh đề 1.4 Giả sử (A1 )-(A3 ) thỏa mãn với D = K ∗ , K ∗ tập n ∼ ∼ Ki , Ki nghiệm toán (1.1), K thay tập hợp K = ∼ ∼ i=1 ∼ tập đóng, lồi, khác rỗng với i = 1, , n Nếu D ∩K ⊆ K ⊆ K ∼ ∗ ∼ K = K ∩K ∗ Chứng minh ∼ ∼ ∼ Rõ ràng, K ∩K ∗ ⊆ K ∗ Giả sử tồn điểm y ∈ K ∗ \K ∗ ∼ ∼ ∼ y ∈ K \D Áp dụng (A3 ), suy tồn điểm x ∈ D ∩K ⊆ K ∼ cho (1.2) đúng, nghĩa y ∈ / K ∗ , mâu thuẫn với giả thiết, từ suy điều phải chứng minh Mệnh đề 1.5 Giả sử (A1 )-(A3 ) thỏa mãn D (A3 ) bị chặn Khi i) Bài toán (1.1) giải được, K ∗ ⊆ K ∩ D; ii) Nếu thêm điều kiện G P -ánh xạ K ∗ tập hợp có phần tử 1.2 1.2.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh Khái niệm tốn đặt chỉnh đặt khơng chỉnh Khái niệm toán đặt chỉnh J Hadamard đưa nghiên cứu ảnh hưởng điều kiện biên lên nghiệm phương trình elliptic parabolic Việc tìm nghiệm x tốn phải dựa vào kiện ban đầu f, có nghĩa x = R(f ) Ta coi nghiệm kiện phần tử thuộc không gian X Y với khoảng cách tương ứng ρX (x1 , x2 ) ρY (f1 , f2 ), x1 , x2 ∈ X, f1 , f2 ∈ Y Định nghĩa 1.10 Giả sử ta có khái niệm nghiệm tốn Khi đó, tốn tìm nghiệm x = R(f ) gọi ổn định cặp không gian (X, Y ), với số ε > tìm 10 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Do dãy {xε } nằm tập hợp bị chặn K nên tồn điểm giới hạn Nếu x∗ điểm giới hạn tùy ý {xε } lấy giới hạn (2.1) ta G(x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K, nghĩa x∗ nghiệm toán (1.1) Mệnh đề 2.1 Cho (A1 ) (A2 ) đúng, G P0 -ánh xạ, L = {1, , n} Khi ấy, tốn (2.1) có nghiệm Chứng minh Theo Bổ đề 1.1 G + εIn P -ánh xạ chặt Theo Mệnh đề 1.2 tốn (2.1) có nghiệm Với tập số L, viết xL = (xi )i∈L QL (x) = xL G(xL ) Suy QN (x) = G(x) Mệnh đề 2.2 Cho (A1 ) (A2 ) đúng, G P0 -ánh xạ, [αi , βi ] ⊂ (−∞, +∞) với i ∈ N Giả sử rằng, với x ∈ K , G(x) Z -ma trận tồn J ⊆ N thỏa mãn QJ (x) P -ma trận Nếu L = N \ J tốn (2.1) có nghiệm Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử J = {1, , k} Suy L = {k + 1, , n} Khi ∇G(x) = QJ (x) Bk Bk Ck , Bk ma trận chữ nhật với k hàng n−k cột, Bk ma trận chữ nhật với n − k hàng k cột Ck ma trận (n − k) × (n − k) Do G(x) Z -ma trận theo giả thiết, QJ (x) M -ma trận 15 15Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∼ Xét ánh xạ G : V → Rn , thành phần định nghĩa   Gi (x) ≤ i ≤ k, ∼ Gi (x) =  Gi (x) + εaii xi k ≤ i ≤ n, với ε > Rõ ràng Jacobi ∼ QJ (x) Bk Bk Ck ∇ G(x) = + εAL ∼ M -ma trận Theo định nghĩa G môt P -ma trận Theo Mệnh đề 1.3 tốn: Tìm x∗ ∈ K thỏa mãn ∼ ∗ ∗ G(x ), x − x ≥ 0, ∀x ∈ K, có nghiệm toán tương đương với toán (2.1) Từ ta suy điều phải chứng minh Tiếp theo xét toán xấp xỉ khác dựa tính bị chặn Ta định nghĩa ∼ n ∼ ∼ ∼ ∼ Ki , Ki = [ αi , βi ] ⊂ (−∞, +∞) , K= (2.2) i=1 ∼ βi , ∼ αi < = αi αi > −∞ = βi βi < +∞ với i = 1, , n (2.3) ∼ ∼ Từ suy K ⊆ K K bị chặn Do xét tốn ∼ ∼ : Tìm x ∈ K thỏa mãn ∼ ∼ ∼ G(x), x− x ≥ 0, ∀x ∈ K , (2.4) ∼ tốn hiệu chỉnh tương ứng: Tìm z ε ∈ K thỏa mãn ∼ G(z ε )+εAL z ε , x−z ε ≥ 0, ∀x ∈ K (2.5) Theo Định lý 2.1 tất điểm giới hạn dãy {z ε } thuộc tập ∼ αi ∼ βi ∼ nghiệm K ∗ toán (2.4) với giả thiết tương ứng Mặc dù vậy, ∼ ∼ bao hàm thức chặt K ∗ ∩ K ⊂ K ∗ cản trở hội tụ tới nghiệm toán ban đầu Bây chúng tơi trình bày hai điều kiện đủ dựa (A3 ) cho hội tụ 16 16Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.2 Giả sử (A1 ) − (A3 ) thỏa mãn, D = K ∗ ∼ ∼ ∼ D ⊆ K ∗ ∩ K , D = ∅ Nếu toán (2.5) có nghiệm z ε dãy {z εk }, {εk } có điểm giới hạn tất điểm chứa tập nghiệm toán (1.1) Chứng minh Áp dụng Định lý 2.1 cho toán (2.4), thấy {z εk } có ∼ ∗ điểm giới hạn tất điểm thuộc K Do giả ∼ ∼ thiết Mệnh đề 1.4 nên K ∗ ∩ K = K ∗ , từ ta suy điều phải chứng minh ∼ Định lý 2.3 Giả sử (A1 ) − (A3 ) thỏa mãn, D = D D ∼ bị chặn Chọn K cho  ∼  ≥ α i αi > −∞,       ∼   > α  i αi = −∞,  ∀d ∈ D ∩ K, di ∼    ≤ β i βi < +∞,       ∼   < βi βi = +∞, với i = 1, , n Nếu toán (2.5) có nghiệm z ε dãy {z εk } , {εk } có điểm giới hạn tất điểm chứa tập nghiệm toán (1.1) Chứng minh Lại áp dụng Định lý 2.1 cho toán (2.4), thấy {z εk } ∼ có điểm giới hạn tất điểm thuộc K ∗ Theo ∼ ∼ Bổ đề 1.2, K ∗ ⊆ K ∩ D ⊆ K suy K ∗ ⊆ K ∗ Giả sử tồn điểm ∼ ∼ ∼ ∼ x ∈ K ∗ \K ∗ Từ K ∩ D ⊆ K ta có x ∈ K ∩ D Hơn nữa, có điểm ∼ y ∈ K \ K số i thỏa mãn ∼ ∼ Gi (x)(yi − xi ) < 17 17Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∼ ∼ ∼ ∼ Suy , yi < αi < xi với αi = −∞ yi > βi > xi với βi = +∞ từ ∼ ∼ ∼ x ∈ K ∩D Khi ấy, tồn số λ ∈ (0, 1) thỏa mãn λyi +(1−λ) xi ∈ Ki , suy ∼ ∼ ∼ Gi (x)[λyi + (1 − λ) xi − xi ] ≥ 0, nghĩa là, ∼ ∼ λGi (x)(yi − xi ) ≥ ∼ Điều mâu thuẫn với giả thiết, K ∗ = K ∗ , suy điều phải chứng minh 2.2 Áp dụng Với véc tơ x ∈ Rn ta đặt Rn+ = {x ∈ Rn |x ≥ 0} Rn> = {x ∈ Rn |x > 0} 2.2.1 Áp dụng vào mơ hình cân Walrasian Trong mục này, áp dụng kết mục cho lớp toán cân kinh tế tổng quát Xét toán kinh tế với n hàng hóa, cho trước véc tơ giá p ∈ Rn+ Giá trị E(p) hàm chênh lệch cầu cung E : Rn+ → Rn (hàm giả sử đơn giá trị) biểu diễn sau E(p) = B(p) − S(p), B S hàm cầu hàm cung (rõ ràng hai hàm đơn giá trị) Một véc tơ p∗ ∈ Rn gọi véc tơ giá cân giải toán bổ xung sau: p∗ ≥ 0, E(p∗ ) ≤ 0, p∗ , E(p∗ ) = 0, hoặc, tốn: Tìm p∗ ≥ thỏa mãn −E(p∗ ), p−p∗ ≥ 0, ∀p ≥ 18 18Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.6) http://www.lrc-tnu.edu.vn Chúng ta ký hiệu E ∗ tập nghiệm toán Giả sử giá chứa tập hợp n K= Ki , i=1 Ki = t ∈ R|0 < τi < t < τi < +∞, i = 1, , n (2.7) Khi ấy, tốn tìm giá cân phát biểu sau: Tìm p∗ ∈ K thỏa mãn G(p∗ ), p−p∗ ≥ 0, ∀p ∈ K, (2.8) G = −E Ký hiệu K ∗ tập nghiệm toán Định nghĩa 2.1 Ánh xạ Q : V → Rn gọi a) thỏa mãn tính chất tăng theo biến khác ∂Qj ∂Pi ≥ 0, j = i; b) dương bậc m Q(αx) = αm Q(x) với α ≥ Tiếp theo, ta xét giả thiết (B1 ): Hàm chênh lệch cầu cung E : Rn> → Rn khả vi liên tục V = Rn> , dương bậc 0, có tính chất tăng theo biến khác Từ tính chất tăng theo biến khác E suy ∂Gi (p) ≤ 0, i = j ∂pj G(p) Z -ma trận Lại Gi (p) bậc nên theo định lý Euler ta có Suy n j=1 ∂Gi (p) ∂pj pj = 0, ∀i = 1, , n (2.9) G(p) M0 -ma trận G P0 -ánh xạ Vì có khẳng định sau: Áp dụng Mệnh đề 1.1, suy Bổ đề 2.1 Nếu (B1 ) thỏa mãn G P0 -ánh xạ G(p) M0 -ma trận với p ∈ Rn> 19 19Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong (2.9), G khơng P -ánh xạ Sau ta áp dụng phép xấp xỉ mục 2.1 toán (2.8): Tìm pε ∈ K thỏa mãn G(pε ) + εAL pε , p − pε ≥ 0, ∀p ∈ K, (2.10) ε > tham số, L tập N Nếu τi < +∞, ∀i = 1, , n L = N theo Bổ đề 2.1 Mệnh đề 2.1 tốn (2.10) có nghiệm Hơn nữa, theo Định lý 2.1 dãy {pε } có điểm giới hạn tất điểm nghiệm toán (2.7) (2.8) Định lý 2.4 Giả sử τi < +∞ với i = 1, , n, (B1 ) thỏa mãn tồn tập số J ⊆ N thỏa mãn với p ∈ K j∈N \J ∂Gi (p) ∂pj < 0, với i ∈ J (2.11) Khi ấy, toán (2.10) với L = N \ J có nghiệm pε , dãy {pεk } với {εk } có điểm giới hạn tất điểm nghiệm toán (2.7), (2.8) Chứng minh Theo Mệnh đề 1.1, kết hợp (2.9) (2.11) suy QJ (p) M -ma trận Từ Mệnh đề 2.2 Định lý 2.1 ta suy điều phải chứng minh Tiếp theo, ta xét giả thiết: (B1 ) a) Với i = 1, , n, hàm Ei : Rn> → R bị chặn dưới; b) Nếu {pk } → p ∈ Rn+ \ Rn> tồn số i thỏa mãn lim Ei (pk ) = k→∞ +∞; c) (quy tắc Walras) Với p ∈ Rn> ta có p, E(p) = Mệnh đề 2.3 Nếu (B1 ) (B1 ) thỏa mãn tốn (2.6) giải Hơn nữa, p∗ , E(p) > 0, p∗ nghiệm toán (2.6) p điểm tùy ý Rn> \ E ∗ 20 20Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∼ ∼ Tiếp theo xét tốn sau: Tìm p ∈ K thỏa mãn ∼ ∼ ∼ ∼ G(p), p − p ≥ 0, ∀ p ∈ K , (2.12) ∼ n ∼ K= ∼ ∼ Ki = [τi , τi ] ⊂ (0, +∞) Ki , (2.13) i=1 ∼ với τi < τi ∼ τi = τi τi < +∞ với i = 1, , n Rõ ràng, toán (212), (2.13) tương tự với toán (2.2)-(2.4) Tương ∼ tự, định nghĩa hiệu chỉnh (2.5) K định nghĩa (2.13) Định lý 2.5 Giả sử (B1 ) (B1 ) thỏa mãn tồn tập ∼ số J ⊆ N thỏa mãn với p ∈ K , (2.11) Khi ấy, toán (2.5), (2.13) với L = N \J có nghiệm z ε , dãy {z εk } với {εk } có điểm giới hạn tất điểm nghiệm toán (2.7), (2.8) Chứng minh Sử dụng lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.4, ta thấy {z εk } có điểm giới hạn tất điểm ∼ ∗ nghiệm toán (2.12), (2.13) Ký hiệu K tập nghiệm toán Do E dương bậc 0, E ∗ nón lồi, khác ∼ rỗng theo Mệnh đề 2.3 Hơn nữa, E ∗ ∩ K = ∅ điều kiện (A3 ) thỏa mãn cho tốn (2.6), D = E ∗ Suy ra, thỏa mãn cho ∼ toán (2.7), (2.8) với D = E ∗ D = K ∗ , cho toán (2.12), (2.13) ∼ ∼ với D = E ∗ D = K ∗ Theo Mệnh đề 1.4 suy K ∗ = E ∗ ∩ K ∼ ∼ ∼ K ∗ = E ∗ ∩ K = K ∗ ∩ K Từ ta suy điều phải chứng minh Ta xét giả thiết (B2 ) Hàm cầu B : Rn> → Rn khả vi liên tục, dương bậc có tính chất tăng theo biến khác Các hàm cung Si : R> → R+ , i = 1, , n đơn điệu khả vi liên tục 21 21Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ đề 2.2 Nếu (B2 ) − B(p) G(p) M0 -ma trận với p ∈ Rn> Hệ 2.1 Giả sử τi < +∞ với i = 1, , n, (B2 ) tồn tập số J ⊆ N thỏa mãn với p ∈ K, j∈N \J ∂Bi (p) ∂pj > với i ∈ J Khi ấy, toán (2.10) với L = N \ J có nghiệm pε , dãy {pεk } với {εk } có điểm giới hạn tất điểm nghiệm toán (2.7), (2.8) Định lý 2.6 Giả sử τi < +∞ với i = 1, , n, (B2 ) đúng, tồn tập số J ⊆ N thỏa mãn với p ∈ K, j∈N \J ∂Bi (p) ∂pj > với i ∈ J , (2.14) tồn tập số J ⊆ N thỏa mãn Si (pi ) > với pi ∈ τi , τi , i ∈ J Khi ấy, toán (2.10) với L = N \ J, J = J ∪ J có nghiệm pε , dãy {pεk } với {εk } có điểm giới hạn tất điểm nghiệm toán (2.7), (2.8) Chứng minh B(p) M0 -ma trận với p ∈ Rn> Khơng tính tổng quát, giả sử J = {1, , k} Khi Theo Bổ đề 2.2, − n j=1 ∂Bi (p) ∂pj pj = 0, với i = 1, , k ∂Gi (p) ∂pj pj > 0, với i = 1, , k Suy k j=1 Theo Mệnh đề 1.1, suy QJ (p) M -ma trận Lại áp dụng Mệnh đề 2.2 Định lý 2.1 ta suy điều phải chứng minh Dựa kết Định lý 2.3 áp dụng phương pháp hiệu chỉnh trường hợp không bị chặn Định lý 2.7 Giả sử (B2 ) thỏa mãn, tồn tập hợp bị chặn W ⊆ K thỏa mãn với p ∈ K \ W ta có 22 22Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn max [Si (pi )−Bi (p)](pi −τi ) > ∼ (2.15) i=1, ,n ∼ Giả sử K (2.13) chọn cho ∀i = 1, , n, ∀w ∈ W, wi < τi τi = +∞, tồn tập số J ⊆ N thỏa mãn với ∼ p ∈ K , (2.14) Hơn nữa, tồn tập số J ⊆ N thỏa mãn ∼ Si (pi ) > với pi ∈ [τi , τi ] i ∈ J Khi ấy, toán (2.5), (2.13) với L = N \ J; J = J ∪ J có nghiệm z ε , dãy {z εk } với {εk } có điểm giới hạn tất điểm nghiệm toán (2.7), (2.8) Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 2.6, ta có tốn tốn (2.5), (2.13) có nghiệm nhất, dãy {z εk } có điểm giới hạn tất điểm nghiệm toán (2.12), (2.13) Theo ∼ chứng minh Định lý 2.3, ta có K ∗ = K ∗ Từ ta suy điều phải chứng minh 2.2.2 Áp dụng vào mơ hình cân Oligopolistic Trong mục xét toán kinh tế Oligopolistic, n cơng ty sản xuất sản phẩm Kí hiệu p(σ) nghịch đảo hàm cầu, tức người tiêu dùng phải trả mua lượng σ Nếu công ty thứ i cung cấp qi sản phẩm lượng cung cấp tồn tốn kinh tế định nghĩa n σq = qi i=1 Nếu ký hiệu fi (qi ) toàn trị giá qi sản phẩm cung cấp cơng ty thứ i lợi nhuận cơng ty thứ i định nghĩa ϕi (q) = qi p(σq )−fi (qi ) (2.16) Thông thường, mức sản lượng không âm, nghĩa qi ≥ với i = 1, , n Về nguyên tắc giả sử thêm chúng bị chặn trên, tức tồn βi ∈ (0, +∞] thỏa mãn qi ≤ βi với i = 1, , n 23 23Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 2.2 Một véc tơ cho phép mức sản lượng q ∗ = (q1∗ , q2∗ , , qn∗ ) công ty 1, , n gọi cấu thành nghiệm cân Nash-Cournot cho toán kinh tế qi∗ làm cực đại hàm lợi nhuận ϕi công ty thứ i [0, βi ] cho trước Các công ty khác sản xuất sản lượng qj∗ , j = i, với J = 1, , n Tức là, q ∗ = (q1∗ , q2∗ , , qn∗ ) cân Nash-Cournot qi∗ phải nghiệm tối ưu toán max → {qi p(qi + σi∗ ) − fi (qi )} , (2.17) 0≤qi ≤βi n σi∗ = qj∗ với i = 1, , n j=1,j=i Bài tốn thay đổi sang dạng tương đương toán (1.1) hàm lợi nhuận ϕi (2.16) lõm qi Giả thiết phù hợp với thực tế suy (2.17) toán cực đại, lõm Trong suốt mục này, ta giả sử hàm giá p(σ) không tăng hai lần khả vi liên tục, hàm thu nhập công nghiệp hàng năm µ(σ) = σp(σ) lõm với σ ≥ 0, fi (qi ) hàm lồi hai lần khả vi liên tục với i = 1, , n Những giả thiết suy tính lõm qi với hàm lợi nhuận qi p(σq ) − fi (qi ) Đặt V = Rn+ , n Ki ; Ki = {t ∈ R|0 ≤ t ≤ βi ≤ +∞} , i = 1, , n K= (2.18) i=1 Với giả thiết trên, ta định nghĩa ánh xạ đơn giá trị G : Rn+ → Rn F : Rn+ → Rn với thành phần tương ứng Gi (q) = −p(σq ) − qi p (σq ) Fi (qi ) = fi (qi ) Khi ấy, tốn tìm cân Nash-Cournot tốn kinh tế viết lại sau: Tìm q ∗ ∈ K thỏa mãn G(q ∗ ) + F (q ∗ ), q − q ∗ ≥ 0, ∀q ∈ K Ký hiệu K ∗ tập nghiệm toán (2.19), (2.18) (2.19) Bổ đề 2.3 Điều khẳng định sau k qi )p (σq )](−p (σq ))k−1 det QL (q) = [−(k + 1)p (σq) − ( i=1 với L = {1, , k} 24 24Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Để cho gọn, ta đặt αi = −p (σq ) − qi p (σq ) β = −p (σq ) Vì β + α1 α1 α1 α2 β + α2 α2 det QL (q) = αk αk αk α1 α2 β + αk k β+ αi 0 i=1 α2 = β αk β k =β k−1 (β + αi ) i=1 Suy k qi )p (σq )](−p (σq ))k−1 det QL (q) = [−(k + 1)p (σq) − ( i=1 với L = {1, , k} Mệnh đề 2.4 G(q) P0 -ma trận với q ∈ V Chứng minh Theo giả thiết, p (σ) ≤ Cố định q ∈ K Nếu p (σq ) ≤ theo Bổ đề 2.3 suy det QL (q) ≥ Mặt khác, p (σq ) ≥ det QL (q) = (−p (σq ))k−1 [−(k − 1)p (σq )−µ (σq ) + ( n qi )p (σq )] Từ µ (σq ) ≤ ta i=k+1 có det QL (q) ≥ suy điều phải chứng minh Vì tốn tìm cân Nash-courtnot xấp xỉ với tốn hiệu chỉnh: Tìm q ∗ ∈ K thỏa mãn G(q ε ) + F (q ε ) + εAL q ε , q − q ε ≥ 0, ∀q ∈ K, ε > tham số 25 25Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.20) http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.8 Giả sử βi < +∞ với i = 1, , n tồn tập số J ⊆ N thỏa mãn fi (qi ) > với qi ∈ [0, βi ] i ∈ J Khi ấy, toán (2.20) với L = N \ J có nghiệm q ε , dãy {q εk } với {εk } có điểm giới hạn tất điểm nghiệm toán (2.18), (2.19) Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4, G P0 -ánh xạ Do F (q) + εAL ma trận đường chéo xác định dương, G + F + εAL P -ánh xạ tốn (2.20) có nghiệm theo Mệnh đề 1.3 Áp dụng Định lý 2.1 ta suy điều phải chứng minh Định nghĩa 2.3 Một sản lượng công nghiệp gọi bị chặn tồn ∼ tập compact P Rn+ thỏa mãn với q ∈ Rn+ \ P ta có ∼ ∼ ∼ ∼ Gi ( q ) + Fi ( q ) = fi (qi ) − p(σ∼q ) − qi p (σ∼q ) > 0, i = 1, , n (2.21) Khơng tính tổng quát ta giả sử ∈ P Xét tốn: Tìm ∼ ∼ p ∈ K thỏa mãn ∼ ∼ ∼ ∼ G(p) + F (p), p − p ≥ 0, ∀p ∈ K , ∼ n ∼ [0, βi ], K = < ∼ βi < +∞ ∼ βi (2.22) = βi βi < +∞ (2.23) i=1 với i = 1, , n ∼ ∗ Ký hiệu K tập nghiệm toán (2.22), (2.23) Tương tự, ta xét ∼ tốn hiệu chỉnh tương ứng: Tìm z ε ∈ K thỏa mãn ∼ G(z ε ) + F (z ε ) + εAL z ε , p − z ε ≥ 0, ∀p ∈ K (2.24) Bây xây dựng kết hội tụ cho phương pháp hiệu chỉnh dựa toán (2.24), (2.23) Định lý 2.9 Giả sử sản lượng công nghiệp bị chặn ∀i = ∼ βi 1, , n, ∀p ∈ K ∩ P, pi < βi = +∞, tồn tập số ∼ J ⊆ N thỏa mãn fi (qi ) > với qi ∈ [0, βi ] i ∈ J Khi ấy, toán (2.23), (2.24) với L = N \ J có nghiệm z ε , dãy {z εk } với {εk } có điểm giới hạn tất điểm nghiệm toán (2.18), (2.19) 26 26Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Áp dụng Định lý 2.8, suy tốn (2.23), (2.24) có nghiệm {z εk } có điểm giới hạn tất điểm nghiệm toán (2.22), (2.23) Do sản lượng công nghiệp bị chặn ∼ nên từ (2.21) suy (A3 ) với D = P D = {0} Áp dụng chứng minh ∗ ∼ ∗ Định lý 2.3, ta K = K Từ suy điều phải chứng minh 27 27Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết Luận Các kết luận văn gồm có: • Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với P0 ánh xạ • Nghiên cứu ứng dụng kết cho hai mơ hình kinh tế tổng qt mơ hình cân Walrasian mơ hình cân Oligopolistic 28 28Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [2] Nguyễn Bường, Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương pháp toán tử đơn điệu, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2001 [3] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2003 [4] Yiran He, Tikhonov regularization method for set-valued variational inequalities, National Natural Science Foundation of China (No 10701059) and Sichuan Youth Science and Technology Foundation (No 06ZQ026-013) [5] Igor Konnov, Elena Mazurkevich, Mohamed Ali, On a regularization method for variational inequalities with P0 mappings , Int J Appl Math Comput Sci., 2005 29 29Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với P0 ánh xạ Trong chương chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov cho toán bất đẳng thức biến phân với P0 ánh xạ tập hợp ràng... đặt chỉnh đặt không chỉnh 1.2.2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn 10 điệu 11 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với P0 ánh xạ 14 2.1 Thuật toán hiệu chỉnh. .. Chương Bất đẳng thức biến phân 1.1 Một số khái niệm Trong chương chúng tơi trình bày khái qt kiến thức tốn tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân, toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng