Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN QUYỀN HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ LOẠI ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 1.1 Toán tử đơn điệu cực đại 1.1.1 Một số tính chất hình học không gian 1.1.2 Toán tử đơn điệu cực đại 1.1.3 Phiếm hàm lồi 14 1.2 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 17 1.2.1 Phát biểu toán 17 1.2.2 Sự tồn nghiệm tính chất tập nghiệm 19 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 26 2.1 Bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xác 26 2.1.1 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 26 2.1.2 Tham số hiệu chỉnh 30 2.2 Bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc xấp xỉ 34 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh 34 2.2.2 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 35 2.3 Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3.1 Phương pháp hiệu chỉnh 38 2.3.2 Sự hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh 40 Kết luận chung 42 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Cho X không gian Banach thực phản xạ, X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn kí hiệu , A : X → X ∗ toán tử đơn điệu đơn trị K tập lồi đóng X Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu phát biểu sau: với f ∈ X ∗ cho trước, tìm phần tử x0 ∈ K cho Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K, (0.1) x∗ , x kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Nếu K ≡ X toán (0.1) có dạng phương trình toán tử Ax = f (0.2) Bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) lớp toán nảy sinh từ nhiều vấn đề toán học ứng dụng phương trình vi phân, toán vật lý toán, tối ưu hóa Ngoài nhiều vấn đề thực tế toán cân mạng giao thông đô thị, mô hình cân kinh tế vv mô tả dạng bất đẳng thức biến phân đơn điệu Rất tiếc toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, nói chung, lại toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện đầu vào Do việc giải số toán gặp khó khăn, lý sai số nhỏ kiện toán dẫn đến sai số lời giải Vì thế, người ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán ban đầu Một phương pháp sử dụng rộng rãi có hiệu phương pháp hiệu chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tikhonov Bằng phương pháp này, I P Ryazantseva [4] xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) sở tìm phần tử xh,δ α ∈ K cho h,δ h,δ Ah xh,δ ≥ 0, ∀x ∈ K, α + αJ(xα ) − fδ , x − xα (0.3) (Ah , fδ ) xấp xỉ (A, f ), Ah toán tử đơn điệu từ X vào X ∗ , J : X → X ∗ ánh xạ đối ngẫu X, α > tham số dương (gọi tham số hiệu chỉnh) phụ thuộc vào h δ Nếu toán tử nhiễu Ah không đơn điệu bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (0.3) nghiệm Trong trường hợp Liskovets [3] đưa bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh dạng Ah xτα + αJ(xτα ) − fδ , x − xτα ≥ −νg( xτα ) x − xτα , ∀x ∈ K, xτα ∈ K, (0.4) ν ≥ h, τ = (h, δ) Trong nhiều toán thực tế tập ràng buộc K bất đẳng thức biến phân (0.1) lại cho xấp xỉ Do việc hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân (0.1) trường hợp đặc biệt quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn nhằm trình bày kết [1], [3], [4] hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân (0.1) đơn điệu với tập ràng buộc xác tập ràng buộc cho xấp xỉ đồng thời trình bày phương pháp hiệu chỉnh trường hợp toán tử nhiễu không đơn điệu sở sử dụng ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J X làm thành phần hiệu chỉnh Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu khái niệm kết toán tử đơn điệu cực đại Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn không gian Banach phản xạ thực X, giới thiệu bất đẳng thức biến phân đơn điệu, trình bày tồn tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân đơn điệu Mối liên hệ bất đẳng thức biến phân đơn điệu toán cực tiểu hàm lồi trình bày phần cuối chương Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh, hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, cách chọn tham số hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xác Trong phần thứ hai chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc xấp xỉ phần cuối chương kết bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu Liskovets Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy tận tình hướng dẫn hoàn thiện luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thày, cô công tác trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, truyền thụ kiến thức cho suốt trình học tập vừa qua Tôi xin cảm ơn quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tác giả Nguyễn Văn Quyền Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp X Rn không gian Euclide n chiều ∅ tập rỗng x := y x định nghĩa y ∀x với x ∃x tồn x inf F (x) x∈X infimum tập {F (x) : x ∈ X} I ánh xạ đơn vị AT ma trận chuyển vị ma trận A a∼b a tương đương với b A∗ toán tử liên hợp toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A xk → x xk x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x dãy {xk } hội tụ yếu tới x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu 1.1 Toán tử đơn điệu cực đại Cho X không gian Banach thực phản xạ, X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn kí hiệu , kí hiệu x∗ , x giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Các khái niệm kết phần tham khảo tài liệu [1], [2] [5] 1.1.1 Một số tính chất hình học không gian Định nghĩa 1.1 Không gian Banach X gọi lồi chặt mặt cầu đơn vị S = {x ∈ X : x = 1} X lồi chặt, tức từ x, y ∈ S kéo theo x + y < Ví dụ 1.1 Không gian Lp [a, b], < p < ∞ không gian lồi chặt Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X gọi lồi với ε > tồn số δ > cho với x, y ∈ X thỏa mãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = ε bất đẳng thức x + y ≤ 2(1 − δ) Ví dụ 1.2 Không gian Hilbert không gian lồi Định nghĩa 1.3 Không gian Banach thực X gọi không gian có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) X phản xạ X hội tụ yếu phần tử xn tụ chuẩn xn → x kéo theo hội tụ mạnh x hội xn − x → Ví dụ 1.3 Không gian Hilbert không gian có tính chất E-S 1.1.2 Toán tử đơn điệu cực đại ∗ Cho toán tử đơn trị A : X → 2X , thường lệ ta ký hiệu miền hữu hiệu A D(A), miền giá trị A R(A) đồ thị A GrA Theo định nghĩa ta có: D(A) = domA := {x ∈ X : Ax = ∅}, R(A) := {y ∈ Y ∗ : y = Ax, x ∈ D(A)}, GrA := {(x, y) : y ∈ Ax, x ∈ X} Định nghĩa 1.4 Một tập G ⊆ X × X ∗ gọi đơn điệu bất đẳng thức f − g, x − y ≥ thỏa mãn với cặp (x, f ) (y, g) G ∗ Định nghĩa 1.5 Toán tử A : X → 2X gọi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (i) đơn điệu đồ thị tập đơn điệu, nghĩa với x, y ∈ D(A) ta có f − g, x − y ≥ 0, ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay (ii) đơn điệu chặt đẳng thức bất đẳng thức thỏa mãn x = y (iii) đơn điệu tồn hàm liên tục, tăng γ(t), (t ≥ 0), γ(0) = cho bất đẳng thức f − g, x − y ≥ γ( x − y ), ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay thỏa mãn với x, y ∈ D(A) Nếu γ(t) = ct2 , c số dương A toán tử đơn điệu mạnh Trong trường hợp toán tử A : X → X ∗ đơn trị ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.6 Toán tử A : X → X ∗ gọi (i) đơn điệu Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); (ii) đơn điệu tồn hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = Ax − Ay, x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A) Nếu δ(t) = cA t2 với cA số dương toán tử A gọi đơn điệu mạnh (iii) ngược đơn điệu mạnh tồn số mA > thỏa mãn Ax − Ay, x − y ≥ mA Ax − Ay , ∀x, y ∈ D(A) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... phản xạ thực X, giới thiệu bất đẳng thức biến phân đơn điệu, trình bày tồn tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân đơn điệu Mối liên hệ bất đẳng thức biến phân đơn điệu toán cực tiểu hàm lồi... tham số hiệu chỉnh) phụ thuộc vào h δ Nếu toán tử nhiễu Ah không đơn điệu bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (0.3) nghiệm Trong trường hợp Liskovets [3] đưa bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh dạng... buộc xấp xỉ 34 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh 34 2.2.2 Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 35 2.3 Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu