ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC _ Nguyễn Tuấn Anh BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU VÀ KHÔNG ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✶ ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ë ➤➬✉ ✸ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ✶✳✶✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✶✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✶✳✷✳✶✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✶✻ ✶✳✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✶✳✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➭ ✈Ý ❞ơ ✶✳✷✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ✷✳✶✳ ✷✳✷✳ ✼ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✷✸ ❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tư ♥❤✐Ơ✉ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✷✸ ✷✳✶✳✶✳ ❙ù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✶✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tư ♥❤✐Ơ✉ ❦❤➠♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷✳✷✳✶✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷✳✷✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✷✳✷✳✸✳ ❱Ý ❞ô sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✸✽ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❙✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤đ②✱ ❈❤đ ♥❤✐Ư♠ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❤➢í♥❣ ❞➱♥✱ ❝❤Ø ❞➵② t❐♥ t×♥❤ ➤Ĩ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➭②✱ ❝➠ ❣✐➳♦ ❝➠♥❣ t➳❝ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣ t✐♥ ✲ ❱✐Ö♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❱✐Öt ◆❛♠ ➤➲ tr✉②Ị♥ t❤ơ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈õ❛ q✉❛✳ ❚➠✐ ❝ị♥❣ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➡ q✉❛♥✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣✱ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ ❝❤✐❛ s❰✱ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ➤Ĩ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ◆❣✉②Ơ♥ ❚✉✃♥ ❆♥❤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ▼ë ➤➬✉ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❧➭ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➯② s✐♥❤ tõ ♥❤✐Ị✉ ✈✃♥ ➤Ị ❝đ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ♥❤➢ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈❐t ❧ý t♦➳♥✱ tè✐ ➢✉ ❤ã❛✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ♥❤✐Ò✉ ✈✃♥ ➤Ò t❤ù❝ tÕ ♥❤➢ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ♠➵♥❣ ❣✐❛♦ t tị ì tế ề ❝ã t❤Ĩ ♠➠ t➯ ➤➢ỵ❝ ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ❝đ❛ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❘✃t t✐Õ❝ r➺♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ❧➵✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳ ❉♦ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ♥➟♥ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ sè ❝ñ❛ ♥ã ❣➷♣ ❦❤ã ❦❤➝♥✳ ▲ý ❞♦ ❧➭ ♠ét s❛✐ sè ♥❤á tr♦♥❣ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã t❤Ó ❞➱♥ ➤Õ♥ ♠ét s❛✐ sè ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ ❧ê✐ ❣✐➯✐✳ ❱× t❤Õ ♥➯② s✐♥❤ ✈✃♥ ➤Ị t×♠ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❝❤♦ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ s❛✐ sè ❝đ❛ ❞÷ ❦✐Ư♥ ỏ tì ệ ỉ tì ợ ❝➭♥❣ ❣➬♥ ✈í✐ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝✱ X ∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❈❤♦ ❤ỵ♣ ❝đ❛ X ✱ ❝➯ ❤❛✐ ❝ã ❝❤✉➮♥ ➤Ị✉ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ✱ A : X → X ∗ ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤➡♥ trÞ ✈➭ K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ X ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ ♥❤➢ s❛✉✿ ✈í✐ t×♠ ♣❤➬♥ tư f ∈ X ∗ ❝❤♦ tr➢í❝✱ ❤➲② x0 ∈ K s❛♦ ❝❤♦ ✭✵✳✶✮ Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K, ë ➤➞② x∗ , x ❧➭ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❣✐➳ trÞ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ x∗ ∈ X ∗ t➵✐ x ∈ X ✳ ◆Õ✉ K ≡ X t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❝ã ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư A(x) = f ✭✵✳✷✮ ▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ trä♥❣ ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭✵✳✶✮ ❧➭ ✈✐Ö❝ ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐✳ ❑❤✐ t♦➳♥ tư Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ A ❦❤➠♥❣ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤Ị✉ ❤♦➷❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳ ■✳ P✳ ❘②❛③❛♥ts❡✈❛ ❬✶✸❪ ➤➲ ①➞② ❞ù♥❣ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭② tr➟♥ ❝➡ së t×♠ xh,δ α ∈ K s❛♦ ❝❤♦ s h,δ h,δ Ah (xh,δ ≥ 0, ∀x ∈ K, α ) + αU (xα − x∗ ) − fδ , x − xα tr♦♥❣ ➤ã ✭✵✳✸✮ Ah : X → X ∗ ❧➭ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ A ❝ã tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ fδ ❧➭ ①✃♣ ①Ø ❝đ❛ f ✱ U s ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ñ❛ X ✱ α > ❧➭ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ h ✈➭ δ ✱ x∗ ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝❤♦ tr➢í❝ ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß ❧➭ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤ä♥✳ ◆Õ✉ t♦➳♥ tư ♥❤✐Ơ✉ Ah ❦❤➠♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ t❤× ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ ❝ã t❤Ĩ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② ▲✐s❦♦✈❡ts ❬✶✶❪ ➤➢❛ r❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❞➵♥❣ Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα ≥ −νg( xτα ) x − xτα , ∀x ∈ K, ë ➤➞② xτα ∈ K, ✭✵✳✹✮ ν ≥ h✱ τ = (h, δ)✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ➤Ị t➭✐ ❧✉❐♥ trì ổ ị t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭✵✳✶✮ tr➟♥ ❝➡ së ①➞② ❞ù♥❣ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ ✈➭ ✭✵✳✹✮✳ ❚r×♥❤ ❜➭② sù ❤é✐ tơ ✈➭ ➤➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝ ❞ù❛ tr➟♥ ✈✐Ö❝ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ t✐➟♥ ♥❣❤✐Ư♠✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ợ trì tr t❤✐Ư✉ ✈Ị ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ tr×♥❤ ❜➭② sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ♠ét ✈➭✐ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➯✐ ❧♦➵✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✷ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ❈ơ t❤Ĩ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② sù ❤é✐ tơ ✈➭ ➤➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮✱ tr×♥❤ ❜➭② sù ❤é✐ tơ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✹✮ ✈í✐ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ t✐➟♥ ♥❣❤✐Ư♠✱ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♥❤❐♥ ➤➝♥❣ ë t➵♣ ❝❤Ý ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ♥➝♠ ✷✵✶✶✳ ë ♣❤➬♥ ❝✉è✐ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ sè ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ♠✐♥❤ ❤ä❛✱ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tự ệ ợ ết ữ S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ ▼ét sè ❦ý ❤✐Ư✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t H ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝ X ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ X∗ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ Rn ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ t rỗ X n ề x := y x ợ ị ĩ y x ọ x tồ t➵✐ inf F (x) x∈X x x ✐♥❢✐♠✉♠ ❝ñ❛ t❐♣ {F (x) : x ∈ X} I ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ✈Þ AT ♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ ❝đ❛ ♠❛ tr❐♥ a∼b a t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ b A∗ t♦➳♥ tư ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ t♦➳♥ tư D(A) ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ t♦➳♥ tư R(A) ♠✐Ị♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t♦➳♥ tư xk → x xk x ❞➲② ❞➲② Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên A A A A {xk } ❤é✐ tơ ♠➵♥❤ tí✐ x {xk } ❤é✐ tơ ②Õ✉ tí✐ x http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✶✳✶✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✶✳✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ĩ✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➭ ✈Ý ❞ơ ❈❤♦ ❝đ❛ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝✱ X ∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ X ✱ A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ trÞ ✈í✐ ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➭ D(A) ⊆ X ✭t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ t❛ ❝♦✐ ✭♠✐Ò♥ ➯♥❤✮ D(A) ≡ X ♥Õ✉ ó ì t ề trị R(A) tr♦♥❣ X ∗ ✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝đ❛ ♠ơ❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❬✶✱ ✸✱ ✹✱ ✼❪✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳ ❚♦➳♥ tư ✐✮ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥Õ✉ A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A) ✐✐✮ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ♥Õ✉ ❞✃✉ ❜➺♥❣ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❝❤Ø ➤➵t ➤➢ỵ❝ ❦❤✐ x = y✳ ✐✐✐✮ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤Ị✉ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠ δ(t)✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ✈í✐ t ≥ 0✱ δ(0) = ✈➭ A(x) − A(y), x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A) ◆Õ✉ δ(t) = cA t2 ✈í✐ cA ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ t❤× t♦➳♥ tư A ợ ọ ệ ị ĩ tư A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên hemi✲❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ X ♥Õ✉ A(x + http://www.lrc-tnu.edu.vn ✽ ty) Ax tr➟♥ X t → 0+ ❦❤✐ ♥Õ✉ tõ ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳ ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X, xn → x s✉② r❛ Axn ✈➭ A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ demi✲❧✐➟♥ tơ❝ Ax ❦❤✐ n → ∞✳ ▼ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ hemi✲❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ X t❤× demi✲❧✐➟♥ tơ❝✳ ❈❤♦ A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ➤➡♥ trÞ ✈➭ K ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝đ❛ s❛✉✿ ✈í✐ X ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ ♥❤➢ f ∈ X ∗ ✱ ❤➲② t×♠ x0 ∈ K s❛♦ ❝❤♦ ✭✶✳✶✮ Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ A : X → X∗ ❈❤♦ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝✱ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ hemi✲❧✐➟♥ f ∈ X ∗ ✳ ◆Õ✉ tơ❝ t❤× (1.1) t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ✭✶✳✷✮ Ax − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉♦ A ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥➟♥ t❛ ❝ã Ax − Ax0 , x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X, x0 ∈ X ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ≤ Ax − Ax0 , x − x0 = (Ax − f ) − (Ax0 − f ), x − x0 ❤❛② Ax − f, x − x0 ≥ Ax0 − f, x − x0 ❚õ ✭✶✳✶✮ ✈➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❛ s✉② r❛ ✭✶✳✷✮✳ ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ❣✐➯ sư Ax − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K, ❦❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ (0, 1) t❛ ❝ã A[(1 − t)x0 + tx] − f, (1 − t)x0 + tx − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾ s✉② r❛ t A[(1 − t)x0 + tx] − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K ❈❤✐❛ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❝❤♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t t s❛✉ ➤ã ❝❤♦ t → ✈➭ sư ❞ơ♥❣ hemi✲❧✐➟♥ tơ❝ ❝đ❛ t♦➳♥ tư A t❛ ➤➢ỵ❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✶✮✳ ✷ ❱Ý ❞ô ✶✳✶✳ ❈❤♦ f (x) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ t❤ù❝ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ J = [a, b]✳ ❍➲② t×♠ x0 ∈ J s❛♦ ❝❤♦ f (x0 ) = f (x) x∈J ❚❛ t❤✃② ❝ã ❜❛ ❦❤➯ ♥➝♥❣ s❛✉✿ ✶✮ ◆Õ✉ a < x0 < b t❤× f (x0 ) = 0❀ ✷✮ ◆Õ✉ x0 = a t❤× f (x0 ) ≥ ✈➭❀ ✸✮ ◆Õ✉ x0 = b tì f (x0 ) ữ t ❜✐Ĩ✉ ♥➭② ❝ã t❤Ĩ tỉ♥❣ q✉➳t ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ✈✐Õt ♥❤➢ s❛✉✿ f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ J, ✈➭ ➤➞② ❧➭ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ F : X → R ∪ {+∞} ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳ P❤✐Õ♠ ❤➭♠ ✐✮ ❧å✐ tr➟♥ X ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X t❛ ❝ã F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1] ✐✐✮ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ tr➟♥ X ♥Õ✉ lim inf F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X y→x ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹✳ ❈❤♦ F ❧➭ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ tr➟♥ x ∈ X ✳ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ∂F X ✈➭ ➤✐Ĩ♠ ❜ë✐✿ ∂F (x) = {x∗ ∈ X ∗ : F (x) ≤ F (y) + x − y, x∗ , y ∈ X} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✺ ❚õ | Ah (θ), x − θ | ≤ Ah (θ) x − θ t❛ s✉② r❛ Ah (θ), x − θ ≥ − Ah (θ) x U s ✈➭ tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ t♦➳♥ tư Ah ✱ tõ ✭✷✳✺✮ t❛ ❝ã (Ah + αU s )(x), x α x s − Ah () x x x ết ợ ị ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ =α x s−1 − Ah (θ) ❱× s ≥ ♥➟♥ tõ ✭✷✳✻✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ (Ah + αU s )(x), x lim = +∞ x x →+∞ ❍➡♥ ♥÷❛✱ t♦➳♥ tư Ah + αU s ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ✈× (Ah + αU s )(x) − (Ah + αU s )(y), x − y = Ah (x) − Ah (y), x − y + α U s (x) − U s (y), x − y ≥ αmU x − y s ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶ ë t tứ ế ỗ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ♥❣❤✐Ö♠ ➤ã ❧➭ ❇➞② ❣✐ê✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ α > 0✱ xτα ✳ {xτα } ❤é✐ tơ ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ x0 ❝ã x∗ ✲❝❤✉➮♥ ♥❤á ♥❤✃t✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ tõ ✭✷✳✶✮ ✈➭ ✭✷✳✹✮✱ ✈í✐ ♠ä✐ x0 ∈ S0 t❛ ❝ã✿ A(xτα ) − A(x0 ), xτα − x0 + α U s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 ≤ Ah (xτα ) − A(xτα ), x0 − ✭✷✳✼✮ xτα + f − fδ , x0 − xτα + α U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα ▼➷t ❦❤➳❝✱ tõ ✭✶✳✽✮✱ ✭✷✳✷✮✱ ✭✷✳✸✮ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ t♦➳♥ tư A✱ ✭✷✳✼✮ ❝ã ❞➵♥❣ mU xτα − x0 s ≤ U s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 ≤ hg( xτα ) + δ x0 − xτα α + U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✭✷✳✽✮ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✻ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✽✮ ❝❤ø♥❣ tá ❞➲② {xτα } ❣✐í✐ ♥é✐✳ ❱× X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵✱ ❝❤♦ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② ❝♦♥ ❝đ❛ {xτα } ❤é✐ tơ ②Õ✉ ➤Õ♥ ♠ét ♣❤➬♥ tư x1 ♥➭♦ ➤ã ❝đ❛ X ✳ ❑❤➠♥❣ ❧➭♠ ♠✃t tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t✱ t❛ ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ xτα x1 ✱ h+δ ❦❤✐ , α → 0✳ ❚r♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✹✮ ❝❤♦ h, α, δ → 0✱ sö ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ α ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ hemi✲❧✐➟♥ tơ❝ ❝đ❛ Ah , U s ✈➭ sù ❤é✐ tơ ②Õ✉ ❝đ❛ ❞➲② {xτα } t❛ ➤➢ỵ❝ A(x) − f, x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ K ❱× K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ ♥➟♥ t❤❛② x tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ ❜ë✐ ty + (1 − t)x1 ✈í✐ ∀y ∈ K ✱ t ∈ (0; 1)✱ s❛✉ ➤ã ❝❤✐❛ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝❤♦ t rå✐ ❝❤♦ t → t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ A(x1 ) − f, y − x1 ≥ 0, ∀y ∈ K ❈❤ø♥❣ tá x1 ∈ S0 ✱ tø❝ x1 ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭✷✳✶✮✳ ▼➷t ❦❤➳❝ tõ ✭✷✳✽✮ ❝❤♦ h+δ → t❛ s✉② r❛ α, α ≤ mU x1 − x ▲➵✐ t❤❛② s ≤ U s (x − x∗ ), x − x1 , ∀x ∈ S0 x tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❜ë✐ tx1 + (1 − t)x, < t < 1✱ ❝❤✐❛ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝❤♦ (1 − t) rå✐ ❝❤♦ t → t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ U s (x1 − x∗ ), x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ S0 , ♥❣❤Ü❛ ❧➭ U s (x1 − x∗ ), x − x∗ ≥ U s (x1 − x∗ ), x1 − x∗ = x1 − x∗ s ❚õ ➤➞② s✉② r❛ x1 − x∗ ≤ x − x∗ ✱ ∀x ∈ S0 ❱× t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ S0 ❝đ❛ ✭✷✳✶✮ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ✈➭ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t ♥➟♥ x1 = x0 ❈ò♥❣ tõ ✭✷✳✽✮ s✉② r❛ ❞➲② ♥❣❤✐Ư♠ {xτα } ❤é✐ tơ ♠➵♥❤ ➤Õ♥ x0 ✳ ✷ ✷✳✶✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✼ ❚r➢í❝ ❦❤✐ ➤➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤✱ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ s❛✉✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ✭①❡♠ ❬✶✷❪✮ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ trÞ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè A : X → X ∗ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❣➢ỵ❝ mA > t❤á❛ ♠➲♥ A(x) − A(y), x − y ≥ mA A(x) − A(y) , ∀x, y ∈ D(A) ◆Õ✉ ✭✷✳✾✮ A ❧➭ t tử ợ ệ tì A tụ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➭ A(x) − A(y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ D(A) ⊂ X mA ◆❤❐♥ ①Ðt ột t tử ợ ệ tì ♥❤✃t t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✳ ❱Ý ❞ơ ✷✳✶✳ ✭①❡♠ ❬✶✷❪✮ ❈❤♦ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ H ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ M ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ H ✳ ❚♦➳♥ tö PM ❝❤✐Õ✉ H ❧➟♥ M ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥✱ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ PM (x) − PM (y), x − y ≥ PM (x) − PM (y) , ∀x, y ∈ H, ❝ã ♥❣❤Ü❛ PM ❧➭ t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✱ ♥❤➢♥❣ PM ❦❤➠♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤ trõ ❦❤✐ ◆Õ✉ M ≡ H✳ A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❧✐➟♥ tơ❝✱ tự ợ ị tr rt H tì A t tử ợ ệ ♠➵♥❤✳ ❚❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ s❛✉✿ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳ ✭①❡♠ ❬✶✷❪✮ ◆Õ✉ A:H→H ❧➭ t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❧✐➟♥ tơ❝✱ tù ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H t❤× ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ ✐✮ ✐✐✮ ∃mA > : Ax, x ≥ mA Ax , ∀x ∈ H; Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ H; ✐✐✐✮ ❚✃t ❝➯ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ❝đ❛ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun A ➤Ị✉ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✽ ➜Ĩ ➤➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ t❛ sư ❞ơ♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❨♦✉♥❣ ✭①❡♠ ❬✻❪ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❞➱♥✮✿ a, b, c ≥ 0, k > t, ak ≤ bat + c =⇒ ak = O(bk/(k−t) + c) ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ❝❤♦ t❛ ❦Õt q✉➯ ✈Ị tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ❝➡ së t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ t❤á❛ ♠➲♥ α = α(h, δ) ∼ (h + δ)η , < η < ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳ ✭✐✮ ✭①❡♠ ❬✻❪✮ ●✐➯ sư✿ A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ tõ X tr♦♥❣ ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ x0 ∈ S0 ✈➭♦ X ∗ ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ✈í✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t A(x) − A(x0 ) − A (x0 )(x − x0 ) ≤ τ˜ A(x) − A(x0 ) , ∀x ∈ X, ✭✷✳✶✵✮ ë ➤➞② A (x) ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t ❝ñ❛ A t➵✐ x✱ ✈➭ τ˜ ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣❀ ✭✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö ✭✐✐✐✮ t❤❛♠ sè z∈X α = α(h, δ) s❛♦ ❝❤♦ A (x0 )∗ z = U s (x0 − x∗ )❀ ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ α = α(h, δ) ∼ (h + δ)η ✱ < η < ❑❤✐ ➤ã✱ xτα − x0 = O((h + δ)µ ), µ = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1−η η , s − 2s − http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✾ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ✭✷✳✶✮✲✭✷✳✹✮ t❛ s✉② r❛ A(xτα ) − A(x0 ), xτα − x0 + α U s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 ≤ Ah (xτα ) − A(xτα ), x0 − xτα + f − fδ , x0 − xτα ∗ s + α U (x0 − x ), x0 − xτα ✭✷✳✶✶✮ ≤ hg( xτα ) + δ x0 − xτα + α U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα ❑Õt ❤ỵ♣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ❝đ❛ t♦➳♥ tư A✱ tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ U s ✱ tõ ✭✷✳✶✶✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ hg( xτα ) + δ + α x0 − x∗ A(xτα ) − A(x0 ) ≤ mA ➳♥❤ ①➵ s−1 x0 − xτα ✭✷✳✶✷✮ ▼➷t ❦❤➳❝✱ tõ ✭✶✳✷✮✱ ✭✷✳✶✵✮✱ tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ t♦➳♥ tư A ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ö♥ ✭✐✐✮ s✉② r❛ mU xτα − x0 s hg( xτα ) + δ ≤ x0 − xτα α + z, A (x0 )(x0 − xτα ) hg( xτα ) + δ ≤ x0 − xτα α + z (1 + τ˜) A(xτα ) − A(x0 ) ❉♦ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❞➲② ✭✷✳✶✸✮ α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ t❤á❛ ♠➲♥ α ∼ (h + δ)η ✱ < η < {x } ị ết ợ ✭✷✳✶✸✮ t❛ ➤➢ỵ❝ mU xτα − x0 tr♦♥❣ ➤ã s ≤ C1 (h + δ)1−η x0 − xτα + C2 (h + δ)η/2 x0 − xτα 1/2 , C1 , C2 ❧➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ➳♣ ❞ô♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❨♦✉♥❣ ❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ t❛ ❝ã ➤➳♥❤ ❣✐➳ xτα(h,δ) − x0 = O (h + δ)µ , µ = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên η 1−η , s − 2s − http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ✸✵ ✷✳✷✳ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tư ♥❤✐Ơ✉ ❦❤➠♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✷✳✷✳✶✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❈❤♦ A ✈➭ Ah ❧➭ ❝➳❝ t♦➳♥ tư hemi✲❧✐➟♥ tô❝ tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵✱ ❧å✐ ❝❤➷t X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ X ∗ ❝đ❛ X ✳ ●✐➯ sư t♦➳♥ tư A ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ❝ß♥ t♦➳♥ tư ♥❤✐Ơ✉ Ah ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ư✉ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✷✳✸✮✳ ❑❤✐ ➤ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✷✳✹✮ ❝ã t❤Ĩ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✱ ❞♦ ➤ã ➤Ĩ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✶✮ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② t❛ sư ❞ơ♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭①❡♠ ❬✶✶❪✮ Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα ≥ −νg( xτα ) x − xτα , ∀x ∈ K, ë ➤➞② xτα ∈ K, ✭✷✳✶✹✮ ν ≥ h✳ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳ ❱í✐ ỗ > 0, > f X ∗ ✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ (2.14) ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ xτα ✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲❐♣ ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶ t❛ s✉② r❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ Axδα + αU s (xδα − x∗ ) − fδ , x − xδα ≥ 0, ∀x ∈ K, ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ✭❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ xδα ✮✳ ❚õ ✭✷✳✸✮ ✈➭ ✭✷✳✶✺✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ Ah xδα + αU s (xδα − x∗ ) − fδ , x − xδα ≥ −hg( xδα ) x − xδα , ∀x ∈ K, ❱× ✭✷✳✶✺✮ xδα ∈ K ✭✷✳✶✻✮ ν ≥ h ♥➟♥ xδα ✭s✉② r❛ xτα ✮ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭✷✳✶✹✮✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ ❝➬♥ sư ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ s❛✉ ➤➞② ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✷✳ ❚❛ ♥ã✐ r➺♥❣ ♠ét t♦➳♥ tư tõ sù ❤é✐ tơ ②Õ✉ ❝đ❛ ❞➲② r❛ sù ❤é✐ tô ♠➵♥❤ ✭ Ah x✮ ✈➭ Γ ♥Õ✉ Axn − Ax, xn − x → s✉② ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t xn → x✮ ❦❤✐ n → ∞✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳ ●✐➯ sư ➤✐Ư✉✱ {xn } ✭xn A : X → X∗ A ✈➭ Ah ❧➭ ❝➳❝ t♦➳♥ tö hemi✲❧✐➟♥ tơ❝✱ A ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ❦❤➠♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ t❤á❛ ♠➲♥ (2.3)✱ fδ ∈ X ∗ t❤á❛ ♠➲♥ (2.2)✱ t♦➳♥ tư A ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t Γ ✈➭ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ủ t (2.1) rỗ ó ế +h+ lim = ✭✷✳✶✼✮ α→0 α τ t❤× {x } ❤é✐ tơ ♠➵♥❤ ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ x0 ❝ã x∗ ✲❝❤✉➮♥ ♥❤á ♥❤✃t✳ α ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ✭✷✳✶✮ ✈➭ ✭✷✳✶✹✮ s✉② r❛ Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x0 − xτα + Ax0 − f, xτα − x0 ≥ −νg( xτα ) x0 − xτα ✭✷✳✶✽✮ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ α U s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 ≤ ≤ α U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα + Ah xτα − Axτα , x0 − xτα ✭✷✳✶✾✮ + Ax0 − Axτα , xτα − x0 + f − fδ , x0 − xτα + νg( xτα ) x0 − xτα ❙ư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ U s ✱ tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ A✱ tõ ✭✷✳✷✮✱ ✭✷✳✸✮ ✈➭ ✭✷✳✶✾✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝✿ ms xτα − x0 s ≤ δ h+ν g( xτα ) + α α x0 − xτα ✭✷✳✷✵✮ + U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα ❱× ν/α → ❦❤✐ α → ✭✈➭ s✉② r❛ h/α → 0✮✱ tõ ✭✷✳✶✼✮ ✈➭ ✭✷✳✷✵✮ s✉② r x ị ì tồ t ột ❞➲② ❝♦♥ ❝đ❛ ❞➲② xτα ❤é✐ tơ ②Õ✉ ➤Õ♥ ♣❤➬♥ tư x¯ ∈ X ✳ ❑❤➠♥❣ ❧➭♠ ♠✃t tÝ♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t t❛ ❣✐➯ sư xτα ❤é✐ tơ ②Õ✉ ➤Õ♥ x¯ ∈ X ✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✷ ❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤Ø r❛ sù ❤é✐ tơ ♠➵♥❤ ❝đ❛ ❞➲② ➤✐Ư✉ ❝đ❛ t♦➳♥ tư {xτα } tí✐ x¯✳ ❚õ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ A ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ U s s✉② r❛ ≤ Axτα − A¯ x, xτα − x¯ ≤ Axτα + αU s (xτα − x∗ ) − A¯ x − αU s (¯ x − x∗ ), xτα − x¯ = Axτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − x¯ ✭✷✳✷✶✮ − A¯ x + αU s (¯ x − x∗ ), xτα − x¯ ❱× ❞➲② {xτα } ❤é✐ tô ②Õ✉ ➤Õ♥ x¯ ♥➟♥ lim A¯ x + αU s (¯ x − x∗ ), xτα − x¯ = α→0 ✭✷✳✷✷✮ ❚õ ✭✷✳✷✮✱ s✉② r❛ Axτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − x¯ = = Axτα − Ah xτα + Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − x¯ ✭✷✳✷✸✮ ≤ Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − x¯ + hg( xτα ) xτα − x¯ ❙ư ❞ơ♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✷✳✶✹✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − x¯ = Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , xτα − x¯ + fδ , xτα − x¯ ✭✷✳✷✹✮ ≤ fδ , xτα − x¯ + νg( xτα ) x¯ − xτα ❱× xτα x¯ ♥➟♥ tõ ✭✷✳✷✹✮ s✉② r❛ lim Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − x¯ ≤ α→0 ✭✷✳✷✺✮ ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✷✳✷✶✮✱ ✭✷✳✷✷✮✱ ✭✷✳✷✸✮ ✈➭ ✭✷✳✷✺✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ lim Axτα − A¯ x, xτα − x¯ = α→0 ❈✉è✐ ❝ï♥❣ ❞♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t tô ♠➵♥❤ ➤Õ♥ Γ ❝đ❛ t♦➳♥ tư A ✈➭ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② s✉② r❛ {xτα } ❤é✐ x¯ ∈ X ✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✸ ❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ x¯ ∈ S0 ✳ ❚õ ✭✷✳✸✮ ✈➭ ✭✷✳✶✹✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ Axτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα ≥ −(h + ν)g( xτα ) x − xτα , ∀x ∈ X ❈❤♦ ✭✷✳✷✻✮ α → tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ✈í✐ ❝❤ó ý r➺♥❣ A ❧➭ t♦➳♥ tư hemi✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✷✳✷✮ s✉② r❛ A¯ x − f, x − x¯ ≥ 0, ∀x ∈ X ◆❣❤Ü❛ ❧➭ x¯ ∈ S0 ✳ x¯ = x0 ✳ ❙ư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ U s ✱ ❦Õt ❤ỵ♣ ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭✷✳✸✮ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ U s ✱ t❛ ✈✐Õt ❧➵✐ ✭✷✳✶✻✮ ë ❞➵♥❣ U s (x − x∗ ), xτα − x ≤ ❚õ h+ν δ g( xτα ) + α α x − xτα , ∀x ∈ S0 α → 0✱ δ/α, ν/α → ✭✈➭ h/α → 0✮✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ trë t❤➭♥❤ U s (x − x∗ ), x¯ − x ≤ 0, ∀x ∈ S0 ❚❤❛② x ❜ë✐ t¯ x + (1 − t)x✱ t ∈ (0, 1) tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝✉è✐ ❝ï♥❣✱ ❝❤✐❛ ❝➯ ✷ ✈Õ ❝❤♦ (1 − t) s❛✉ ➤ã ❝❤♦ t t✐Õ♥ ➤Õ♥ 1✱ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ U s (¯ x − x∗ ), x¯ − x ≤ 0, ∀x ∈ S0 , ❤❛② U s (¯ x − x∗ ), x¯ − x∗ ≤ U s (¯ x − x∗ ), x − x∗ , ∀x ∈ S0 ❙ư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ U s t❛ ❝ã x¯ − x∗ ≤ x − x∗ ✱ ∀x ∈ S0 ✳ ❱× tÝ♥❤ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ S0 ✈➭ tÝ♥❤ ❧å✐ ❝❤➷t ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ X ✱ t❛ s✉② r❛ x¯ = x0 ✳ ✷ ✷✳✷✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✹ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ t♦➳♥ tư ♥❤✐Ơ✉ ❦❤➠♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ❑Õt q ợ từ tr ị ❧ý ✷✳✹✳ ❈❤♦ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝✱ ❧å✐ ❝❤➷t ✈➭ A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ❜Þ ❝❤➷♥ hemi✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ D(A) = X ✱ Ah ❧➭ t♦➳♥ tư ỗ Us hemi tụ ➤✐Ư✉✳ ●✐➯ sư h✱ δ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (2.2) ✈➭ (2.3) t❤á❛ ♠➲♥❀ (1.8)❀ A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✱ ❦❤➯ ✈✐ ❋r❡✬❝❤❡t tr♦♥❣ ❧➞♥ ❝ñ❛ x0 ∈ S0 ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ✭✷✳✷✼✮ A(x) − A(x0 ) − A (x0 )(x − x0 ) ≤ τ˜ A(x) − A(x0 ) ; ✐✈✮ tå♥ t➵✐ ♣❤➬♥ tö z∈X s❛♦ ❝❤♦ A (x0 )∗ z = U s (x0 − x∗ ); ❑❤✐ ➤ã✱ α(ν, δ) ♥Õ✉ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ α = α(ν, δ) ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ α = (ν + δ)η1 ✱ < η1 < t❤× t❛ ❝ã ➤➳♥❤ ❣✐➳ xτα(ν,δ) − x0 = O((ν + δ)µ1 ), µ1 = ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤➬♥ ➤➬✉ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸ t❛ ❝ã ✭✷✳✷✵✮✳ ❚Ý♥❤ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝đ❛ ❞➲② tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ − η1 η1 , s 2s {xτα } ➤➢ỵ❝ s✉② tõ ✭✷✳✷✵✮ ✈➭ g(t) ✈➭ α✳ ▼➷t ❦❤➳❝ tõ ✭✷✳✶✾✮✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ U s ✈➭ tÝ♥❤ ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ❝đ❛ A t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ A(xτα ) − A(x0 ) τ τ ≤ m−1 A (h + ν)g( xα ) + δ + α xα − x∗ s−1 × x0 − xτα ❉♦ ➤ã✱ √ A(xτα ) − A(x0 ) = O( δ + ν + α) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✺ ❍➡♥ ♥÷❛ tõ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✐✐✐✮✱ ✐✈✮ ✈➭ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα = z, A (x0 )(x0 − xτα ) ≤ z (˜ τ + 1) A(xτα ) − A(x0 ) √ ≤ z (˜ τ + 1)O( δ + ν + α) ❱❐② ✭✷✳✷✵✮ ❝ã ❞➵♥❣ ms xτα ❱× − x0 s 2νg( xτα ) + δ ≤ x0 − xτα α √ + z (˜ τ + 1)O( δ + ν + α) ✭✷✳✷✽✮ α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ tr➢í❝ t❤á❛ ♠➲♥ α ∼ (ν + δ)η1 ✱ < η1 < 1✱ ♥➟♥ tõ ✭✷✳✷✽✮ s✉② r❛ ms xτα(ν,δ) − x0 s ≤ C˜1 (ν + δ)1−η1 x0 − xτα(ν,δ) + C˜2 (ν + δ)η1 /2 ❉♦ ➤ã✱ ✷ xτα(ν,δ) − x0 = O((ν + δ)µ1 ) ✷✳✷✳✸✳ ❱Ý ❞ơ sè ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ✈Ý ❞ơ sè tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tư ♥❤✐Ơ✉ ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ F (x) x∈H tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝ ✭✷✳✷✾✮ H ✱ ✈í✐ F ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ②Õ✉ tr➟♥ H tr♦♥❣ ➤ã ❤➭♠ F ❝ã ❞➵♥❣ F (x) = Ax, x , ë ➤➞② A : H → H ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❧✐➟♥ tơ❝✱ tù ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ị tr H ì F (x) = Ax✱ ♥➟♥ x0 ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✻ ✭✷✳✷✾✮ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x0 ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✷✳✶✮ ✈í✐ f ≡ θ ∈ H ✳ ❚õ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶ t❛ ❝ã A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ♥❣➢ỵ❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✳ ❍➡♥ ♥÷❛ A ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ✈í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t ❧➭ A✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✐✐✮ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷ trë t❤➭♥❤ A(x0 )∗ z = x0 ➳♣ ❞ô♥❣ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ t❛ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠ x0 ∈ RM t❤á❛ ♠➲♥ Ax0 , x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ RM , tr♦♥❣ ➤ã A = B T B ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ M ✈í✐ ♠❛ tr❐♥ ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ B = (bij )M i,j=1 , b1j = cos(2011), j = 1, , M, b2j = cos(2011), j = 1, , M, 2011 bij = sin(i)cos(j), i = 3, , M, j = 1, , M, M > i+j Ah = Ih + A ❧➭ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ A✱ tr♦♥❣ ➤ã I ❧➭ ♠❛ tr ị M t tử A ợ ❝❤♦ ♥❤➢ tr➟♥✱ x0 = (0, 0, , 0)T ∈ RM ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✷✾✮ ❝ã ❝❤✉➮♥ ♥❤á ♥❤✃t✳ ❇➞② ❣✐ê ➳♣ ❞ơ♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷ ✈í✐ t❤❛♠ sè τ ❣✐➳ rα,M α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ ❜ë✐ α ∼ (h + δ)2/3 , h = δ = = xτα,M − x0 ✳ ➤Ĩ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ➤➳♥❤ M2 ❙ư ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ①✃♣ ①Ø ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✷✾✮ ♥❤➢ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✶✹❪✮✿ ❝❤♦ tr➢í❝ z0 ∈ H {zm } ợ ị s ➤å ❧➷♣ zm+1 = zm − βm A(zm ) + αm (zm − x∗ ) , ë ➤➞② ✭✷✳✸✵✮ x∗ ❧➭ ♣❤➬♥ tö tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✱ {αm } ✈➭ {βm } ❧➭ ❝➳❝ ❞➲② sè ❞➢➡♥❣✱ ✈í✐ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❞õ♥❣ ❝ñ❛ ❞➲② ❧➷♣ ❧➭ (m) max |xj 1≤j≤M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (m−1) − xj | ≤ 10−5 , http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✼ ë ➤➞② m ❧➭ sè ❧➬♥ ❧➷♣✳ ❇➯♥❣ ❦Õt q✉➯ s❛✉ ➤➞② ➤➢ỵ❝ tÝ♥❤ t♦➳♥ ✈í✐ αm = (1 + m)−1/4 ✈➭ βm = (1 + m)−1/2 M α τ rα,M 0, 25 0.00118402 0.099213 0.0005687 16 0.039373 0.00021572 32 0.015625 9.6008 × 10−5 64 0.0062008 2.5505 × 10−5 ❇➯♥❣ ✷✳✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✽ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ P❤➵♠ ❑ú ❆♥❤ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❇➢ê♥❣ ✭✷✵✵✺✮✱ ❇➭✐ t♦➳♥ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✷❪ ◆❣✉②Ô♥ ❚✉✃♥ ❆♥❤ ✭✷✵✶✶✮✱ ✧❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tư ♥❤✐Ơ✉ ❦❤➠♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✧ ✭♥❤❐♥ ➤➝♥❣✮✳ ❬✸❪ ❨✳ ❆❧❜❡r ❛♥❞ ■✳ ❘②❛③❛♥ts❡✈❛ ✭✷✵✵✻✮✱ ♠♦♥♦t♦♥❡ t②♣❡✱ ❙♣r✐♥❣❡r✳ ❬✹❪ ❱✳ ❇❛r❜✉ ✭✶✾✼✻✮✱ ♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ◆♦♥❧✐♥❡❛r s❡♠✐❣r♦✉♣s ❛♥❞ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ❇❛✲ ◆♦♦r❞❤♦❢❢ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ P✉❜❧✐s❤✐♥❣✱ ▲❡②❞❡♥ ❚❤❡ ◆❡t❤❡r✲ ❧❛♥❞s✳ ❬✺❪ ◆❣✳ ❇✉♦♥❣ ✭✷✵✵✸✮✱ ✧❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❛t❡s ✐♥ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✉♥❞❡r ❛r❜✐tr❛r✲ ✐❧② ♣❡rt✉r❜❛t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs✧✱ ❩❤✳ ❱②❝❤✐s❧✳ ▼❛t✳ ✐ ▼❛t✳ ❋✐③✳✱ ✹✸ ✭✸✮✱ ♣♣✳ ✸✷✸✲ ✸✷✼✳ ❬✻❪ ◆❣✳ ❇✉♦♥❣ ✭✷✵✵✺✮✱ ✧❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❛t❡s ✐♥ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✧✱ ❈❯❇❖ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❏♦✉r♥❛❧ ❈❤✐❧❡✱ ✼ ✭✸✮✱ ♣♣✳ ✽✼✲✾✹✳ ❬✼❪ ■✳ ❊❦❡❧❛♥❞ ❛♥❞ ❘✳ ❚❡♠❛♠ ✭✶✾✼✻✮✱ ❧❡♠s✱ ❈♦♥✈❡① ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜✲ ❆♠st❡❞❛♠✿ ◆♦rt❤ ❍♦❧❧❛♥❞✳ ❬✽❪ ❍✳ ❲✳ ❊♥❣❧✱ ▼✳ ❍❛♥❦❡ ❛♥❞ ❆✳ ◆❡✉❜❛✉❡r ✭✶✾✾✻✮✱ ✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s✱ ❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ■♥✲ ❑❧✉✇❡r ❉♦r❞r❡❝❤t✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✾ ❬✾❪ ❏✳ ❍❛❞❛♠❛r❞ ✭✶✾✸✷✮✱ ▲❡ ♣r♦❜❧Ð♠❡ ❞❡ ❈❛✉s❤② ❡t Ðq✉❛t✐♦♥s ❛✉① ❞Ðr✐✈Ð❡s ♣❛rt✐❡❧❧❡s ❧✐♥Ð❛✐r❡s ❤②♣❡r♣♦❧✐q✉❡s✱ ❬✶✵❪ ▼✳ ▼✳ ▲❛✈r❡♥t✐❡✈ ✭✶✾✻✼✮✱ ♠❛t✐❝❛❧ P❤②s✐❝s✱ ❍❡r♠❛♥♥✱ P❛r✐s✳ ❙♦♠❡ ■♠♣r♦♣❡r❧② P♦s❡❞ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ▼❛t❤❡✲ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❬✶✶❪ ❖✳ ❆✳ ▲✐s❦♦✈❡ts ✭✶✾✾✶✮✱ ✧❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥✲ ❡q✉❛❧✐t✐❡s ♦♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❧② ❣✐✈❡♥ s❡ts✧✱ ❉✐❢❢❡r❡♥✳ ❊q✉❛✳✱ ▼✐♥s❦✱ ✶✲✺✸✳ ❬✶✷❪ ❋✳ ▲✐✉ ❛♥❞ ▼✳ ❩✳ ◆❛s❤❡❞ ✭✶✾✾✽✮✱ ✧❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ r❛t❡s✧✱ ❙❡t✲❱❛❧✉❡❞ ❆♥❛❧②s✐s✱ ✻ ✱ ♣♣✳ ✸✶✸✲✸✹✹✳ ❬✶✸❪ ■✳ P✳ ❘②❛③❛♥ts❡✈❛ ✭✶✾✽✸✮✱ ✧❙♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✇✐t❤ ♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♣❡r❛t♦rs ❜② t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✧✱ ▼❛t✳ ❋✐③✳✱ ✷✸ ❩❤✳ ❱②❝❤✐s❧✳ ▼❛t✳ ✐ ✱ ♣♣✳ ✹✼✾✲✹✽✸ ✭✐♥ ❘✉ss✐❛♥✮✳ ❬✶✹❪ ◆❣✳ ❚✳ ❚✳ ❚❤✉② ✭✷✵✶✵✮✱ ✧❆♥ ✐t❡r❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞ t♦ ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐♥✈❡rs❡✲str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s✧✱ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s✱ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✸ ❆❞✈❛♥❝❡s ❛♥❞ ✱ ♣♣✳ ✶✻✺✲✶✼✹✳ http://www.lrc-tnu.edu.vn ... y ≥ mA A(x) − A(y) , ∀x, y ∈ D(A) ◆Õ✉ ✭✷✳✾✮ A ❧➭ t♦➳♥ tử ợ ệ tì A tụ st ✈➭ A(x) − A(y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ D(A) ⊂ X mA ◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✶✳ ột t tử ợ ệ tì t t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✳ ❱Ý ❞ơ ✷✳✶✳ ✭①❡♠ ❬✶✷❪✮... ➳♥❤ ①➵ U : X → X ∗ ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ❜ø❝ ✈➭ demi✲❧✐➟♥ tơ❝✳ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ t tì U t tử ệ t ị ♥❣❤Ü❛ ✶✳✾✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥ ❝➬✉ ➤➡♥ ✈Þ ❦Ð♦ t❤❡♦ S = {x ∈ X : x = 1} x+y < ❝đ❛ X X... ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ hemi✲❧✐➟♥ tơ❝ tõ X ✈➭♦ X ∗ ✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❞♦ U s ❧➭ t♦➳♥ tö ứ ỗ > t tử Ah + αU s ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❜ø❝✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ t❛ ①Ðt (Ah + αU s )(x), x = Ah (x) + αU s (x), x